Phương trình mặt cầu

Thực hiện : GV Trần Phú Hiếu I) Phương trình mặt cầu: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R Khi đó : Phương trình mặt cầu có dạng : 1) PT thu gọn : ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 2 222 Rczbyax =−+−+− 2) PT khai triển : ( ) 2.0222 222 =+−−−++ dczbyaxzyx 1) PT thu gọn : ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 2 222 Rczbyax =−+−+− 2) PT khai triển : ( ) 2.0222 222 =+−−−++ dczbyaxzyx  Chú ý :  Phương trình (2) được gọi là phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R = khi : a 2 + b 2 + c 2 – d > 0 dcba −++ 222 OI ≡  Đặc biệt : (1)<=> x 2 + y 2 + z 2 = R 2 : gọi là mặt cầu tâm O,bán kính R VD 1 : Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ,biết : a)( x – 3) 2 + ( y +4) 2 + ( z – 2) 2 = 16 b) x 2 + y 2 + z 2 – 4x + 6z – 12 = 0 ĐS : a) Tâm I(3,-4,2) , Bán kính R = 4 b) Tâm I( 2,0,-3),Bán kính R = 5 VD 2 :Tìm phương trình mặt cầu (S) biết: a)(S) có tâm I(-1,2,3) và qua gốc tọa độ O b) (S) có đường kính AB , với A(6,2,-5);B(-4,0,7) VD 2 :Tìm phương trình mặt cầu (S) biết: a)(S) có tâm I(-1,2,3) và qua gốc tọa độ O b) (S) có đường kính AB , với A(6,2,-5);B(-4,0,7) HD Giải Vậy: Pt của (S) : (x +1) 2 + ( y - 2) 2 + (z-3) 2 = 14 b) * (S) có đường kính AB => Tâm I của (S) là trung điểm AB => I( , , ) 1 1 1 * Bán kính R = IA = 62 Vậy : (S) : (x – 1) 2 + (y – 1) 2 + (z – 1) 2 = 62 a) * Mcầu (S) qua gốc tọa độ => Bán kính R = OI = …= 14 II) Sự tương giao của mặt phẳng và mặt cầu Cho mặt cầu (S) có tâm I ; bán kính R và mặt phẳng (P). Gọi IH = d(I;(P)); ( H là hình chiếu của I xuống (P)).Khi đó :  IH > R => mp (P) và mặt cầu (S) không có điểm chung  IH = R => mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H.Khi đó : mp(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H .  IH < R => mp (P) và mặt cầu (S) giao theo một đường tròn (C) có tâm là H,bán kính 22 IHRr −= Đường tròn (C) có phương trình : ( ) ( )    S P VD: Cho mặt cầu (S) :x 2 + y 2 + z 2 – 2y – 4z -20 = 0 Và mp (P) : x + 2y – z + 8 = 0 a) CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C) b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C) HD GIẢI a) *(S) có tâm I(0,1,2) và bán kính R = 5 ( ) 6 8 )(;* ==PId <R Vậy : mp(P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo một đường tròn (C) có phương trình :    =+−+ =−−−++ 082 02042 :)( 222 zyx zyzyx C 3 43 . == r b) * Bán kính của (C) : * Gọi H là tâm của (C) => H là hình chiếu của I xuống (P) * Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) ( ) 1,2,1 −==> avtcpcód *Vậy : phương trình đường thẳng : d : x = t ; y = 1 + 2t ; z = 2 - t * Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ :       −− =>        =+−+ −= += = 3 10 ; 3 5 ; 3 4 082 2 21 H zyx tz ty tx CỦNG CỐ 1) Phương trình mặt cầu,tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) 2) Điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu 3) Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn (C) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: Lập phương trình mặt cầu (S),biết : 1)(S) có tâm I(1,4,-7) và tiếp xúc với mp(P) : 6x + 6y – 7z +42 = 0 2) (S) qua 4 điểm A(1,0,0);B(0,0,1);C(2,1,0) và D(2,2,1) Bài 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) :x 2 + y 2 + z 2 – 10x + 2y + 26z -113 = 0 và song song với hai đường thẳng :      = −−= +−= + = − − = + 8 21 37 : 2 2 3 1 2 5 : 21 z ty tx dvà zyx d . hiện : GV Trần Phú Hiếu I) Phương trình mặt cầu: Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R Khi đó : Phương trình mặt cầu có dạng : 1) PT thu gọn. H zyx tz ty tx CỦNG CỐ 1) Phương trình mặt cầu, tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S) 2) Điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu 3) Cách xác định tâm và