Phương trình mặt cầu

Thực hiện : GV Trần Phú Hiếu.

Thực hiện : GV Trần Phú Hiếu

I) Phương trình mặt cầu:

Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a,b,c) và bán kính R Khi đó : Phương trình mặt cầu có dạng :

1) PT thu gọn :

( x − a ) (2 + y − b ) (2 + z − c ) 2 = R2 ( ) 1

2 ) PT khai triển :

( ) 2

0 2

2 2

2 2

2 + y + z − ax − by − cz + d =

x

1) PT thu gọn :

( x − a ) (2 + y − b ) (2 + z − c ) 2 = R2 ( ) 1

2 ) PT khai triển :

( ) 2

0 2

2 2

2 2

2 + y + z − ax − by − cz + d =

x

Chú ý :

 Phương trình (2) được gọi là phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) bán kính R = khi :

a2 + b2 + c2 – d > 0

d c

b

a2 + 2 + 2 −

O

I ≡

 Đặc biệt :

(1)<=> x2 + y2 + z2 = R2 : gọi là mặt cầu tâm O,bán kính R

VD1: Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của mặt

cầu (S) ,biết :

a)( x – 3)2 + ( y +4)2 + ( z – 2)2 = 16

b) x2 + y2 + z2 – 4x + 6z – 12 = 0

ĐS : a) Tâm I(3,-4,2) , Bán kính R = 4

b) Tâm I( 2,0,-3),Bán kính R = 5

VD2:Tìm phương trình mặt cầu (S) biết:

a)(S) có tâm I(-1,2,3) và qua gốc tọa độ O

b) (S) có đường kính AB , với A(6,2,-5);B(-4,0,7)

VD2:Tìm phương trình mặt cầu (S) biết:

a)(S) có tâm I(-1,2,3) và qua gốc tọa độ O

b) (S) có đường kính AB , với A(6,2,-5);B(-4,0,7)

HD Giải

Vậy: Pt của (S) : (x +1)2 + ( y - 2)2 + (z-3)2 = 14 b) * (S) có đường kính AB => Tâm I của (S) là

trung điểm AB => I( , , )1 1 1

* Bán kính R = IA = 62

Vậy : (S) : (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 1)2 = 62

a) * Mcầu (S) qua gốc tọa độ => Bán kính

R = OI = …= 14

II) Sự tương giao của mặt phẳng và mặt cầu

Cho mặt cầu (S) có tâm I ; bán kính R và mặt phẳng (P).Gọi IH = d(I;(P)); ( H là hình chiếu

của I xuống (P)).Khi đó :

 IH > R => mp (P) và mặt cầu (S) không có

điểm chung

 IH = R => mp (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại tiếp điểm H.Khi đó : mp(P) gọi là tiếp diện của

mặt cầu (S) tại H

 IH < R => mp (P) và mặt cầu (S) giao theo

một đường tròn (C) có tâm là H,bán kính r = R2 − IH 2

Đường tròn (C) có phương trình : ( )

( )







S P

VD:

Cho mặt cầu (S) :x2 + y2 + z2 – 2y – 4z -20 = 0

Và mp (P) : x + 2y – z + 8 = 0

a) CMR: mp(P) cắt mặt cầu (S) theo một đường

tròn (C) b) Tìm tọa độ tâm và tính bán kính của (C)

HD GIẢI

a) *(S) có tâm I(0,1,2) và bán kính R = 5

6

8

) (

;

* d I P = = <R Vậy : mp(P) và mặt cầu (S) cắt nhau theo một đường tròn (C) có phương trình :





= +

− +

=

−

−

− +

+

0 8

2

0 20

4

2 :

) (

2 2

2

z y

x

z y

z y

x C

3

43 =

=

r

b) * Bán kính của (C) :

* Gọi H là tâm của (C) => H là hình chiếu của I

xuống (P)

* Gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với (P)

( 1 , 2 , − 1 )

=

=> d có vtcp a

*Vậy : phương trình đường thẳng :

d : x = t ; y = 1 + 2t ; z = 2 - t

* Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ :









 − −

=>













= +

− +

−

=

+

=

=

3

10

; 3

5

; 3

4

0 8

2 2

2

1

H z

y x

t z

t y

t x

CỦNG CỐ

1) Phương trình mặt cầu,tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S)

2) Điều kiện tiếp xúc của mặt phẳng và mặt cầu

3) Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn (C)

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1 : Lập phương trình mặt cầu (S),biết :

1)(S) có tâm I(1,4,-7) và tiếp xúc với mp(P) :

6x + 6y – 7z +42 = 0

2) (S) qua 4 điểm A(1,0,0);B(0,0,1);C(2,1,0) và D(2,2,1)

Bài 2:

Lập phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) :x 2 + y 2 + z 2 – 10x + 2y + 26z -113 = 0 và song song với hai đường thẳng :









=

−

−

=

+

−

= +

=

−

−

=

+

8

2 1

3

7 :

2

2 3

1 2

5

1

z

t y

t

x d

và

z y

x d