Tâm I của mặt cầu là giao điểm của trục Oz với a... Viết pt mặt cầu có bán kính nhỏ nhất mà tiếp xúc với đường thẳng AC và OB Hướng dẫn :Gọi I là tâm mặt cầu, M,N lần lượt là tiếp điểm
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN 1) Phương trình mặt cầu :
* Cho mặt cầu S(I,R) có tâm I a b c ( ; ; ) và bán kính R : Pt mặt cầu là ( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2
x a- + y b- + z c- = R
* Dạng khai triển : x2+y2 +z2 +ax by cz d + + + = 0 là pt mặt cầu khi và chỉ khi a2+b2+c2 - 4d f 0 Khi đó ta viết pt trên về dạng
4
Suy ra tâm mặt cầu là : ; ; , 1 2 2 2 4
a b c
Iæç- - - ö ÷ R= a +b +c - d
Ví dụ 1: Viết pt mặt cầu trong các trường hợp sau “
a) đường kính AB với A( 1;1;1 ,) ( B 3; 1;1 - )
b) đi qua 3 điểm A( 0; 0;1 ,) ( B 1; 0; 0 ,) ( C 0;1;0 ) và gốc tọa độ
c) đi qua 3 điểm A,B,C ở trên và có tâm thuộc mặt phẳng x+y+ - =z 3 0
Giải : a) Tâm là trung điểm của AB là : I ( 2; 0;1 ) , bán kính 1 2
2
R= AB = Vậy ptmc là : ( ) 2 2 ( ) 2
x- +y + z - = b) Gọi ptmc là : x2+y2+z2 +ax by cz d + + + = 0
Mặt cầu đi qua 4 điểm trên nên lần lượt thay tọa độ 4 điểm đó vào pt ta có hệ :
Û
. Vậy ptmc là : 2 2 2
0
x +y +z - -x y z - =
d) Gọi tâm mặt cầu là I a b c ( ; ; ) và bán kính R, Ta có :
( )
IA R
IB R
IC R
=
ì
ï
=
ï
í
=
ï
ï Î
î
2
2 2 2 2
2
1
1
1
1
2
3 0
b
c
R
a b c
ï
ï =
=
ï + + - = ï = î
ï
î
Ví dụ 2: Viết pt mc đi qua 3 điểm A( 0; 0;1 ,) ( B 1; 0; 0 ,) ( C 0;1;0 ) và có bán kính nhỏ nhất.
Giải : Gọi tâm mặt cầu là I a b c ( ; ; ) và bán kính R, Ta có : IA IB
IA IC
=
ì
í
=
î
a c b
ï
ï
î
2
2
R=IA= a +b + c- = a - a+ = æça - ö ÷ + ³
Bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi 1, 2
a=b=c= R = PTmc là:
Trang 22) Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu :
Cho mặt cầu S I R ( , ) và mặt phẳng ( )a
Mặt phẳng ( )a tiếp xúc mặt cầu S I R ( , ) Ûd I( , ( ) a ) = R
Ví dụ 3: Viết pt mc có tâm thuộc trục Ox, và tiếp xúc với hai mp sau :
( ) a : 2x+2y- + =z 1 0,( ) b :x+2y+2z - = 6 0
Giải :Tâm IÎOxÞ I a ( ; 0; 0 )
Ta có : ( ( ) )
( )
2 1
6 ,
3
a
R
a
R
a b
ì +
=
ï
Þ
-
=
ï
î Suy ra:
2
3
a
a
= -
é
ê
ê =
ë
3
a= - ÞR = : ptmc là : ( ) 2 2 2 169
2
9
x+ +y +z =
a= ÞR = : ptmc là :
2
2 2
Ví dụ 4: Cho mặt cầu có pt : 2 2 2 ( )
9x +9y +9z +126x+272= 0 S Viết pt mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu trên
và đi qua các điểm A( 2;1;1 ,) ( B 0;3; 0 )
Giải : Mặt cầu có tâm ( 7;0; 0 , ) 13
3
Gọi pt mặt phẳng là : ( ) ( 2 2 2 )
:ax by cz d 0 a b c 0
( )
( ) ( )
,
A B
a
a a
ï
Î
í
ï
Î
ï
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
3
a d
a b c
a b c d
b d
ì - +
=
ï
+ +
ï
ï
Ûí + + + =
ï
+ =
ï
ï
î
* Nếu b = 0 : từ (3) ta có d = 0 , và từ (2) ta có c= - 2 a thay tất cả vào (1) ta có:
2
5
a
a
-
= Û = , do oó pt vô nghiệm
* Nếu b ¹ 0 : chọn b = 1
Từ (3) ta có d = - 3 và từ (2) ta có : c=2 2 - a Thay vào pt (1) ta có :
2
3
1 2 2
a
- -
= + + -
Giải pt này bằng cách bình phương hai vế : ( ) 2 ( 2 ( ) 2 )
9 7a+3 =169 a + +1 2 2 - a , ta tìm được a, từ đó tính được c.
Một đáp số là : x+2y+2z - =6 0
Trang 3Ví dụ 5: Viết pt mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( ) S :x +y +z -4x +2= 0 , đi qua điểm A ( 1; 0;1 ) , và tạo với mặt phẳng ( xOy ) một góc 450
Giải : Mặt cầu đã cho có tâm I( 2; 0; 0 ,) R = 2
ax by cz d+ + + = a +b +c ¹
Ta có :
( )
( )
0
,
cos 45
2
A
n k
n k
a
a
a
a
ì
ï
ï
Î
í
ï
ï
ï
ï
uur r
uur r
2 2 2
2
c
a d
a d
a b c
ì
=
ï
+
ï
* Nếu c = 0 thì từ PT(1) ta thấy hệ vô nghiệm
* Nếu c ¹ 0 : chọn c = 1 . Từ pt(2) ta có d= - - 1 a thay vào (1) ta có 1 1 1 2 3
1
a
a
a
=
é
= Û - = Û ê = -
Với a= Þ3 d = - 4 thay vào (3) :
2
2
vn
b
+ + Với a= - Þ1 d = 0 thay vào (2) ta có b = 0
Vậy mặt phẳng cần tìm có pt : - +x z = 0
Ví dụ 6: Cho A( 1;1;1 ,) ( B 1;3; 1 - ) . Viết pt mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng ( xOy ) , đi qua B và tiếp xúc với đường thẳng OA tại A
Hướng dẫn :Gọi mặt cầu S có tâm I a b ( ; ;0 ) , bán kính R.
Ta có các điều kiện :
IB R
IA R IAOA
ì =
ï
=
í
ï
=
î uur uuur , giải ra được a =1,b=2,R = 2
Ví dụ 7: Viết pt mặt cầu tiếp xúc hai mặt phẳng ( ) a : 2a+2y+ + =z 1 0,( ) b : 2x+2y+ - = z 5 0 và đi qua hai điểm A( 2; 0; 0 ,) ( B 1;0;1 )
Hướng dẫn :Nhận xét hai mp trên song song với nhau., do đó bán kính mặt cầu 1 ( ( ) ( ) , )
2
R= d a b
Lây điểm M ( 0;0; 1 - ) ( ) Î a , thì 1 ( ,( ) ) 1 1 5 1
R= d M b = - - =
Gọi mặt cầu S có tâm I a b ( ; ;0 ) , bán kính R, ta có :
( )
( )
, ,
IA R
IB R
a
b
ï
=
ï
í
=
ï
ï
=
î
giải hệ này ra được a,b,c
Ví dụ 8: Viết pt mặt cầu có tâm thuộc trục Oz và tiếp xúc hai đường thẳng D1 :x= +1 t y, = +1 2 ,t z= 2 t ,
2 :x 3 2 ,t y 2 t z, 2 2 t
Hướng dẫn :Nhận thấy D Ç D = 1 2 I ( 1;1; 0 )
( )a là mặt phẳng chứa đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên và vuông góc với mp chứa hai
đt đó. Tâm I của mặt cầu là giao điểm của trục Oz với ( )a
Trang 4Cách khác: Gọi mặt cầu S có tâm I( 0; 0; a ) , bán kính R. Và hai tiếp điểm của hai đường thẳng với mặt cầu
( 1 ,1 2 , 2 ) ( , 3 2 , 2 , 2 2 )
M +m + m m N + n +n + n
Ta có :
1
2
IM IN R
IM u
IN u
D
D
ï
=
í
ï
=
ï
uuur uur
uur uuur giải hệ ba pt 3 ẩn này tìm được a, R,m,n.
*Hoặc gọi tọa độ tâm I( 0; 0; a ) , khi đó ta có :
ur uuur uur uur
ur uur , trong đó M( 1;1; 0 ,) ( N 3; 2; 2 )
Ví dụ 9: Cho ba điểm A( 1;0; 0 ,) ( B 0;1; 0 ,) ( C 0; 0;1 ) . Viết pt mặt cầu có bán kính nhỏ nhất mà tiếp xúc với đường thẳng AC và OB
Hướng dẫn :Gọi I là tâm mặt cầu, M,N lần lượt là tiếp điểm của mặt cầu và tiếp tuyến. Ta có :
2
2
MN
R=IM+IN³MN ÞR ³
Vậy R nhỏ nhất khi MN nhở nhất và I thuộc đoạn MN, hay MN là đoạn vuông góc chung và I là trung điểm của MN.
đó là mặt cầu có đường kính MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AC và OB
3) Mặt phẳng cắt mặt cầu :
Cho mặt cầu S tâm I , bán kính R và mặt phẳng ( )a
Nếu h= d I( , ( ) a ) p R thì mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn xác đinh như sau :
Tâm H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mp( )a
Bán kính tính theo công thức 2 2
r = R - h đường tròn lớn nhất khi và chỉ khi h = 0 hay mp( )a đi qua tâm mặt cầu.
Ví dụ 10: Cho mặt phẳng ( )a : 2x+2y- - = z 3 0 . Viết pt mặt cầu :
a) Có tâm là I ( 1;1; 2 ) và cắt mặt phẳng ( )a theo đường tròn có diện tích bằng 35
9
p
b) Có tâm thuộc trục Ox , tiếp xúc mặt phẳng ( yoz ) và cắt mặt phẳng ( )a theo đường tròn có bán kính lớn nhất.
Giải : Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng ( )a là :
( ) 2
2 2
3
h = + - - =
+ + -
, từ công thức diện tích đường
3
S
S p r r
p
9 9
R =h +r = + = ÞR = Vậy ptmc cần tìm là : ( x-1) ( 2+ y-1) ( 2+ z -2) 2 = 4
b) Mặt cầu cắt mp ( )a theo một đường tròn lớn nhất khi tâm I thuộc mp( )a Theo giả thiết nó còn thuộc
Ox, nên ta có ngay tâm là 3 ; 0;0
2
I æç ö ÷
Tiếp xúc mặt ( yOz ) nên có bán kính 3
2
I
R= x =
Vậy ptmc là :
2
2 2
Trang 5Viết ptmp qua A,B sao cho nó cắt mặt cầu theo một đường tròn có
a) Bán kính lớn nhất
b) Bán kính nhỏ nhất
Giải : a) Mặt phẳng cần tìm đi qua A,B và tâm mặt cầu. Bạn tự giải
b) Gọi pt mp là ( ) ( 2 2 2 )
:ax by cz d 0 a b c 0
Vì mặt phẳng đi qua A,B nên ta có : 3 0
Þ
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mp lớn nhất
( )
2
h d I
Nếu c = 0 thì h = 0
Nếu c ¹ 0 chọn c = 1 : khi đó
2
1
2
h
b
= + lớn nhất khi b = 0 Khi đó ptmp cần tìm là : x+ -z 4= 0
Ví dụ 12: Viết pt đường tròn đi qua 3 điểm A( 1;1; 0 ,) ( B 0; 2; 0 ,) ( C 1;1;1 )
Hướng dẫn :Viết pt mặt phẳng ( ) ( a = ABC )
Lấy 1 điểm D Ï ( ) a ( nên thử gốc tọa độ O ), viết pt mặt cầu đi qua 4 điểm A,B,C,D
Đường tròn cần tìm là giao của mặt phẳng và mặt cầu trên
Ví dụ 13: Cho mặt cầu ( ) 2 2 2
S x +y +z - x+ z - = và mặt phẳng ( )a : 2x-2y+ +z 6= 0 . Tìm điểm
M thuộc mặt cầu ( ) S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( )a nhỏ nhất , lớn nhất
Hướng dẫn : Mặt phẳng không cắt mặt cầu.
Giả sử đường thẳng qua tâm mặt cầu vuông góc với mp cắt mặt cầu tại hai điểm A,B. Đó là hai điểm cần tìm
Ví dụ 14: Cho mặt cầu : ( ) 2 ( ) ( 2 ) 2
S x + y- + x + = và hai điểm thuộc mặt cầu A( 3; 2; 2 ,- ) ( B 0; 2;1 ) . Tìm điểm C thuộc mặt cầu ( ) S sao cho diện tích D ABC lớn nhất.
Hướng dẫn :Ta có thể dễ dàng chứng minh rằng đó là 1 trong hai giao điểm của đường thẳng đi qua tâm mặt cầu và trung điểm của AB.
Ví dụ 15: Cho mặt cầu ( ) ( ) ( 2 ) 2 2 28
3
S x- + y- +z = và mặt phẳng ( )a : 2x-2y+ +z 6= 0 Viết pt mp nằm trong mp( )a , đi qua điểm A ( 2; 2; 6 - ) và tiếp xúc với mặt cầu ( ) S
Hướng dẫn :đáp số D:x= - +1 3 ,t y= +1 t z, = - -2 4 t