Tín Hiệu và Hệ Thống - Bài 9: Tín hiệu và hệ thống gián đoạn theo thời gian pot

Dãy sinƒ Có hai tính chất không mong muốn của dãy sin làm phân biệt nó với tín hiệu sin liên tục 1.. Tín hiệu sin liên tục luôn tuần hoàn bất kể giá trị tần số ω của nó là gì.. Tín hiệu

Chương 7: Tín hiệu và hệ thống

gián đoạn

7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian

7.1.1 Giới thiệu chung7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn

7.2 Hệ thống gián đoạn

Giới thiệu chung – Trích mẫu

ƒ Các tín hiệu gián đoạn theo thời gian: f(kT), y(kT), … hay f[k], y[k], … trong đó f[k]=f(kT) và k là số nguyên

ƒ Ví dụ: f(t) = e-t, nếu được trích mẫu sau mỗi khoảng thời gian T = 0.1 giây

Giới thiệu chung – Trích mẫu

C/D tới G tới D/C

Chương 7: Tín hiệu và hệ thống

gián đoạn

7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian

7.1.1 Giới thiệu chung7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn

7.2 Hệ thống gián đoạn

Dãy xung đơn vị/ Dãy nhảy đơn vị

ƒ Dãy xung đơn vị

ƒ Dãy nhảy đơn vị

với với

Ngược lại, 4t = e1.386t vì ln 4 = 1.386, có nghĩa là e1.386 = 4

Khi nghiên cứu tín hiệu và hệ thống liên tục ta thích dạng eλt hơn

Dãy sin

ƒ Có hai tính chất không mong muốn của dãy sin làm phân biệt nó với tín hiệu sin liên tục

1 Tín hiệu sin liên tục luôn tuần hoàn bất kể giá trị tần số ω của nó

là gì Nhưng một dãy sin cos Ωk là tuần hoàn chỉ với những giá trị

Ω thỏa mãn Ω/2π là số hữu tỷ

2 Tín hiệu sin liên tục cos ωt có một dạng sóng duy nhất với mỗi

giá trị của ω Ngược lại một dãy sin cos Ωk không có một dạng

sóng duy nhất với mỗi Ω

Thực tế, các dãy sin với các tần số hơn kém nhau một số nguyên lần 2π là giống nhau

Do đó dãy sin

Dãy sin

1 Tín hiệu sin liên tục luôn tuần hoàn bất kể giá trị tần số ω của nó

là gì Nhưng một dãy sin cos Ωk là tuần hoàn chỉ với những giá trị

Ω thỏa mãn Ω/2π là số hữu tỷ

ƒ Giá trị nhỏ nhất của N0 được thỏa mãn đgl chu kỳ của f[k]

mỗi chu kỳ chứa 6 mẫu

Chu kỳ bắt đầu tại k = 0 có mẫu (giá trị) cuối cùng đặt

tại k = N0 – 1 = 5 (không phải tại k = N0 = 6)

Một tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu tại k = -∞ (tín hiệu vô hạn)

Dãy sin

ƒ Nếu một dãy cos Ωk là tuần hoàn với chu kỳ N0 thì

ƒ Điều này chỉ có được nếu ΩN0 là một số nguyên lần của 2π

ƒ Chọn giá trị nhỏ nhất của m làm cho m(2π /Ω) là số nguyên

ƒ Ví dụ: Nếu Ω = 4π/17, thì giá trị nhỏ nhất của m làm cho m(2π /Ω) = m(17/2) là số nguyên là 2 Do đó

Dãy sin - Sự tuần hoàn

2π Ω = 8

2π Ω = 8.5

2π Ω = 2.5π

Dãy sin – Sự không duy nhất

2 Một dãy sin cos Ωk không có một dạng sóng duy nhất với mỗi Ω

m nguyên

Ví dụ: Hai tín hiệu sin khác nhau có cùng một dãy sin

Dãy biến thiên theo hàm mũ

ƒ Biên độ thay đổi

ƒ Ví dụ

1

γ <

Biên độgiảm dần

1

γ >

Biên độ tăng dần

Chương 7: Tín hiệu và hệ thống

gián đoạn

7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian

7.1.1 Giới thiệu chung7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn

7.2 Hệ thống gián đoạn

Dịch thời gian/ Đảo thời gian

ƒ Dịch thời gian: f[k-m] biểu diễn f[k] bị dịch (thời gian) bởi m

Nếu m dương, dịch sang phải (trễ)

Nếu m âm, dịch sang trái (vượt)

Co giãn thời gian

ƒ Nén thời gian: Downsampling

Phép toán này làm mất một phần dữ liệu Trong trường hợp thời

gian liên tục, nên thời gian chỉ đơn giản là làm tăng tốc tín hiệu màkhông làm mất dữ liệu

ƒ Giãn thời gian:

ƒ Nội suy: Upsampling

Khi giãn thời gian, các thời điểm lẫy mẫu bị bỏ qua sẽ được khôi

phục từ các giá trị mẫu khác không sử dụng công thức nội suy

Co giãn thời gian

ƒ Nội suy:

ƒ Nén thời gian:

ƒ Giãn thời gian:

Chương 7: Tín hiệu và hệ thống

gián đoạn

7.1 Tín hiệu gián đoạn theo thời gian

7.1.1 Giới thiệu chung7.1.2 Một số tín hiệu gián đoạn có ích7.1.3 Một số phép toán cơ bản với tín hiệu7.1.4 Ví dụ về hệ thống gián đoạn

7.2 Hệ thống gián đoạn

Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng

ƒ Trường hợp này, bản chất của các tín hiệu là gián đoạn theo thời gian

f[k] = tiền gửi ở thời điểm thứ k

y[k] = số dư tài khoản ở thời điểm thứ k được tính ngay sau

khi nhận được khoản tiền gửi f[k]

r = lãi suất kỳ hạn T

ƒ Số dư y[k] là tổng của (i) số dư trước đó y[k-1], (ii) lãi suất trên y[k-1] trong kỳ hạn T, và (iii) tiền gửi f[k]

ƒ Tiền gửi f[k] là đầu vào (kích thích) và số dư y[k] là đầu ra (đáp ứng)

ƒ Để hiện thực hóa hệ thống, ta viết lại thành

Ví dụ: Tiền gửi ngân hàng

Phương trình sai phân

ƒ Có ba cách biểu diễn

ƒ Tổng quát cho phương trình sai phân cấp n

1) Sử dụng toán tử dịch tiến

Hệ số của y[k+n] bằng 1 để chuẩn hóa phương trình

2) Thay k bởi k + n (Sử dụng toán tử dịch lùi)

Phương trình sai phân3) Sử dụng các điều kiện đầu

ƒ y[n], đầu ra tại mẫu thứ k, được tính toán từ 2n + 1 thông tin

- n giá trị quá khứ của đầu ra: y[k-1], y[k-2], …, y[k-2],

- n giá trị quá khứ của đầu vào: f[k-1], f[k-2], …, f[k-n], và

- giá trị hiện tại của đầu vào f[k]

ƒ Nếu tín hiệu vào là nhân quả, thì f[-1] = f[-2] = … = f[-n] = 0, và

chúng ta chỉ cần n điều kiện đầu y[-1], y[-2], …, y[-n]

PT sai phân – Điều kiện đầu

ƒ Sử dụng các điều kiện đầu

ƒ Hệ thống đệ quy (Recursive systems): cho phép chúng ta tính

toán đầu ra y[0], y[1], y[2], y[3], … bằng cách lặp hoặc truy hồi

ƒ Ví dụ, để tìm y[0], ta đặt k = 0

- Vế trái là y[0], và vế phải chứa các thành phần y[-1], y[-2], …, y[-n]

và các giá trị đầu vào f[0], f[-1], f[-2], …, f[-n]

- Nếu biết các điều kiện đầu này, ta có thể dùng phép lặp để tìm đáp ứng y[0], y[1], y[2], y[3], … v.v…

ƒ Hệ thống không đệ quy: là một trường hợp đặc biệt của hệ thống đệquy với

PT sai phân – Điều kiện đầu

ƒ Giải bằng phương pháp lặp

1) Điều kiện đầu y[-1] = 16 và

2) Đầu vào nhân quả f[k] = k2 (bđ tại k = 0)

ƒ Phương trình này có thể biểu diễn là

ƒ Nếu đặt k = 0

ƒ Đặt k = 1 và sử dụng giá trị y[0] = 8 và f[1] = (1)2 =1, ta có

ƒ Đặt k = 2 và sử dụng giá trị y[1] = 5 và f[2] = (2)2, ta có

Đáp ứng đầu vào không

Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ

ƒ Phương trình sai phân

1) Điều kiện đầu y[-1] = 0 và y[-2] = 25/4, và đầu vào f[k] = 4 - ku[k]

Trong ví dụ này ta chỉ xác định thành phần đáp ứng đầu vào không y0[k]

ƒ Phương trình hệ thống biểu diễn dạng toán tử là

Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ

ƒ Trường hợp 2: Nghiệm bội Ví dụ, cho hệ thống được mô tả bởi

Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ

Đáp ứng đầu vào không: Ví dụ

hay

ƒ Hai phương trình đồng thời với hai biến là c cosθ và c sinθ

ƒ Nghiệm của các phương trình này là

và

ƒ Chia c sinθ cho c cosθ nhận được

ƒ Thay θ = -0.17 radian vào c cosθ = 2.308 nhận được c = 2.34 và

Xung Kronecker & Đáp ứng xung đơn vị

ƒ Gọi δ[n] là xung gián đoạn theo thời gian, còn gọi là xung Kronecker

ƒ Đáp ứng xung h[n]: đáp ứng của hệ LTI rời rạc với xung gián đoạn

theo thời gian

ƒ Một cách dễ hiểu, nó tương ứng với việc đưa vào hệ thống một tác động tức thời tại n = 0 và xem điều gì sẽ xảy ra

Các xung đơn vị/Dịch thời gian

ƒ Ý tưởng: sử dụng tập (vô hạn) các xung đơn vị để biểu diễn tín hiệu

gian đoạn

ƒ Xét một tín hiệu gián đoạn x[n] bất kỳ Nó có thể được viết thành tổ

hợp tuyến tính của các xung đơn vị

Giá trị thực Xung bị dịch

ƒ Do đó tín hiệu có thể được biểu diễn thành

ƒ Tổng quát, một tín hiệu gián đoạn bất kỳ có thể mô tả bởi

Ví dụ 1: Các xung đơn vị

ƒ Tín hiệu gián đoạn x[n]

ƒ Được phân tích thành tổng của

các thành phần sau

Ví dụ 2: Các loại đáp ứng xung đơn vị

Đáp ứng xung hữu hạn , ổn định , nhân quả

ƒ Nhìn vào đáp ứng xung, ta

có thể xác định được một số

tính chất của hệ thống

Đáp ứng xung vô hạn , ổn định , nhân quả

Đáp ứng xung vô hạn , không ổn định , nhân quả

Chương 7: Tín hiệu và hệ thống rời

Tích chập

ƒ Tích chập gián

đoạn theo thời gian ƒ tục Tích chập theo thời gian liên

ƒ Với mỗi giá trị của n, ta

tính toán một tổng mới

ƒ Với mỗi giá trị của n,

ta tính toán một tíchphân mới

Hệ LTI được biểu diễn bởi đáp ứng xung

Hệ LTI được biểu diễn bởi đáp ứng xung