phuong trinh và bpt mu logarit

Phương trình và bất phương trình siêu việt A. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit. I. Các kiến thức cơ bản. 1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa. 2. Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit. 3. Các phương trình và bất phương trình cơ bản: • Với mọi số dương m thì: + );10(log ≠<=⇔= amxma a x +    ≠<< >> ⇔> 10log 1log akhimx akhimx ma a a x • Với mọi số thực m thì: + m a axmx =⇔= log +    <<< >> ⇔> 10 1 log akhiax akhiax mx m m a Trường hợp mxma a x << log; xét tương tự. II. Một số phương pháp giải: 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số : Bài 1: Giải các phương trình: 1. 521 10.25.2 ++ = xxx 2. x x − −+ 3 1 log)12(log 3 13 . 3. Bài 2: Giải các bất phương trình: 1. )12(log42log4)1444(log 2 555 +<−+ − xx . 2. 1 1 1 )25()25( − + − +≤− x x x Lưu ý: Cần nhớ: + );()( )()( xgxfaa xgxf =⇔= + ;0)()()(log)(log >=⇔= xgxfxgxf aa +    <<< >> ⇔> 10)()( ;1)()( )()( akhixgxf akhixgxf aa xgxf +    <<< >> ⇔> .10)()( ;1)()( )(log)(log akhixgxf akhixgxf xgxf aa 2. Phương pháp đặt ẩn số phụ: Bài 1: Giải các phương trình, và bất phương trình:: 1. 62)154()154( =−++ xx . 2. 2 2 2 log 4 2log 6 x x + 3. 0414.249.3 =−+ xxx Lưu ý: Mục đích của phương pháp đặt ẩn số phụ là chuyển các bài toán đã cho về phương trình hoặc bất phương trình đẫ biết cách giải. + Dạng cbaba xfxf =−±+ )()( )()( (hoặc > c) với mbaba =−+ ))(( ( m là hằng số) ta nên dặt )( )( xf bat += . + Dạng 0.)(. )(2)()(2 =++ xfxfxf vcuvbua thì nên chia cho )(2 xf v rồi đặt )( xf v u t       = . + Dạng a.f(x) 2 +b.f(x)+c=0 (hoặc >0) với f(x)=m g(x) hoặc f(x)=log m g(x) ta đặt t=f(x) để đưa phương trình hoặc bất phương trình bậc hai ẩn t. 3. Phương pháp lôgarit hoá: Lưu ý: Phương pháp lôgarit hoá có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tíchcác luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. Cần nhớ: + )0,10(log)( )( >≠<=⇔= babxfba a xf + bxgxfbaba a xg a xf a xgxf log)()(loglog )()()()( =⇔=⇔= hoặc )(log)( xgaxf b = Bài 1: Giải các phương trình: 1. 24 32 2 −+ = xx 2. 68.3 2 = + x x x 4. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số: Lưu ý: nếu PT có nghiệm x 0 , một vế của PT là hàm số đồng biến , vế kia là hàm số nghịch biến hoặc là hàm số hằng thì nghiệm x 0 là duy nhất. Bài 1: Giải các PT : 1. x x 5 log33 −= (ĐS x=1). 2. 132 2 += x x (ĐS x=2) 5. Hệ phương trình mũ và lôgarit: Lưu ý: Để giải hệ phương trình mũ và lôgarít ta cũng dùng các phương pháp thế, cộng đại số , phương pháp đặt ẩn số phụ… như hpt đã biết. Bài 1: Giải các hệ phương trình: 1.    = = 182.3 123.2 yx yx (ĐS: (x;y)=(2;1)). 2.    =− =−+− 3log3)9(log3 121 3 3 2 9 yx yx (ĐS: (1;1), (2;2)) 3.    −=− −=− 9loglog10 8log3log5 4 2 2 42 yx yx (HD: đặt u=log 2 x; v=log 4 y) 4.    =+ =+ 2)23(log 2)23(log xy yx y x (HD: đây là hpt đối xứng loại 2 nên tìm được (x;y)=(5;5)) Bài 2: Bài tập Bài 1: Giải các phương trình sau: 1. 2 x+4 =4 2x-1 . 2. 22 43 93 − − = x x . 3. 7 x+2 - 7 1 .7 x+1 -14.7 x-1 +2.7 x =48. 4. 7 3x +9.5 2x =5 2x +9.7 3x. 5. 9 x - 2 1 2 + x = 2 3 2 + x -3 2x-1. 6. 039.369 31 22 =+− −− xx . 7. ( ) ( ) 10 105 33 − + xx =84. 8. 502.5 1 12 = + − x x x ĐS: x=2; x=log 5 10. 9. x 2lgx =10x ĐS: x=10; x=10 -2 . 10. xx x = + lg 5 1 10 1 ĐS: x=1; x=100. 11. 5 24 28 = − + x xx ĐS: x=1;x=log 2 ( ) 293 − . 12. ( ) ( ) 62154154 =−++ xx ĐS: x=-2; x=2. 13. 0210.325 2 1 1 2 11 =−+ ++ xxx ĐS: x=-1. 14. 68383 33 =       −+       + xx ĐS: x=3; x=-3. 15. 3.16 x +2.81 x =5.36 x ĐS: x=0; x= 2 1 . 16. 5 x +12 x =13 x ĐS: x=2. 17. 6 x -2 x =32 ĐS: x=2. 18. 3.4 x +(3x-10).2 x +3-x=0 ĐS: x=1; x=-log 2 3. 19. 1+( 3 ) x =2 x ĐS: x=2. 20. 9.7 x +1= x 8 2 (Tính đơn điệu) ĐS: x=1. 21. x xx 23232 =       −+       + ĐS: x=2. 22. 9 x +2(x-2).3 x +2x-5=0 ĐS: x=1. 23. B. Phương trình lượng giác: I. Các kiến thức cơ bản: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Hệ thức cơ bản Cung đối Cung bù s in 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = 2 1 cos α 1 + 2 cot α = tan α = sin cos α α cot α = cos sin α α tan α .cot α = 1 cos(- α ) = cos α sin(- α ) = - sin α tan(- α ) = - tan α cot(- α ) = - cot α sin( π - α ) = sin α cos( π - α ) = -cos α tan( π - α ) = - tan α cot( π - α ) = -cot α 2 1 sin α Cung phụ Hơn kém π /2 Hơn kém π Chu kỳ sin( π /2 - α ) = cos α cos( π /2 - α ) = sin α tan( π /2 - α ) = cot α cot( π /2 - α ) = tan α sin( α + π /2 ) = cos α cos( α + π /2) =- sin α tan( α + π /2) =- cot α cot( α + π /2) = -tan α sin( α + π ) = -sin α cos( α + π ) = -cos α tan( α + π ) = tan α cot( α + π ) = cot α sin( α +k2 π ) = sin α cos( α +k2 π ) = cos α tan( α +k π ) = tan α cot( α +k π ) = tan α Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa sin(a - b) = sina.cosb – sinb.cosa tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan a b a b + − tan( a - b) = tan tan 1 tan .tan a b a b − + cos2a= 2 2 cos sina a− =2cos 2 a -1 = 1 - 2sin 2 a sin2a = 2sina.cosa tan2a = 2 2tan 1 tan a a− cos 2 a = 1 os2a 2 c+ sin 2 a = 1 os2a 2 c− tan 2 a = 1 os2a 1 os2a c c − + Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng cosa + cosb = 2cos 2 a b+ .cos 2 a b− cosa – cosb = -2sin 2 a b+ .sin 2 a b− sina + sinb = 2sin 2 a b+ .sin 2 a b− sina – sinb = 2cos 2 a b+ .sin 2 a b− tana + tanb = sin( ) cos .cos a b a b + tana – tanb = sin( ) cos .cos a b a b − cosa.cosb = 1 2 [ ] cos( ) cos( )a b a b− + + sina.sinb = [ ] 1 cos( ) cos( ) 2 a b a b− − + sina.cosb = [ ] 1 sin( ) sin( ) 2 a b a b− + + Hệ quả cosx + sinx = 2 cos(x - π /4) cosx – sinx = 2 cos(x + π /4) sinx +cosx = 2 sin(x + π /4) sinx –cosx = 2 sin(x - π /4) Công thức nhân ba cos3a = 4cos 3 a – 3cosa sin3a = 3sina – 4sin 3 a tan3a = 3 2 3tan tan 1 3tan a a a − − PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phương trình cơ bản sinx = a (-1 a≤ ≤ 1) cosx = a (-1 a≤ ≤ 1) tanx = a (a ∈ R) cotx = a (a ∈ R) ⇔ sinx = sin α ⇔ 2 2 x k x k α π π α π = +   = − +  ⇔ cosx = cos α ⇔ x = ± α +k2 π ⇔ tanx = tan α ⇔ x = α +k π ⇔ cotx = cot α ⇔ x = α +k π II. Phương trình lượng giác thường gặp 1 .Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác Dạng : asin 2 x +b sinx + c =0 acos 2 x +bcosx + c = 0 cách giải: Đặt t = sinx , t = cosx (-1 ≤ t ≤ 1) Dạng : atan 2 x + btanx + c = 0 acot 2 x + bcotx + c = 0 cách giải: Đặt t = tanx , t = cotx ,(t ∈ R) 2. Pt bậc nhất theon sinx và cosx 3.Pt thuần nhất bậc hai theo sinx và cosx Dạng : acosx + bsinx = c cách giải: +Điều kiện có nghiệm: a 2 +b 2 ≥ c 2 +Chia cả hai vế cho 2 2 a b+ ta có: 2 2 2 2 2 2 b c osx + sinx = a a a c a b b b+ + + ⇔ cos(x - α ) = 2 2 c a b+ (với cos α = 2 2 a a b+ , sin α = 2 2 b a b+ )  Dạng : asin 2 x +bsinx.cosx +cos 2 x= d cách giải: +Xét cosx =0 +Xét cosx ≠ 0 Chia cả hai vế cho cos 2 x, đưa về pt bậc hai theo tanx 4.Pt đối xứng đối với sinx và cosx Dạng : a(sinx +cosx) +bsinx.cosx =c cách giải: Đặt t =sinx + cosx 2 sin(x+ π /4) (đk - 2 ≤ t ≤ 2 ) Đưa pt về bậc hai theo t Chú ý: Pt phản xứng: a(sinx - cosx) +bsinx.cosx = c vẩn giải tương tự BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT 0 π /6 π /4 π /3 π /2 2 π /3 3 π /4 5 π /6 π sin α 0 1/2 2 / 2 3 / 2 1 3 / 2 2 /2 1/ 2 0 cos α 1 3 / 2 2 / 2 1/ 2 0 - 1/ 2 - 2 / 2 - 3 / 2 -1 tan α 0 3 /3 1 3 / / - 3 -1 - 3 0 cot α / / 3 1 3 / 3 0 - 3 / 3 -1 - 3 / / II.Một số baì tập: Bài 1: Giải các phương trình: 24. cotx + sinx(1+tanx.tan 2 x ) =4. 25. cos 4 x+sin 4 x+cos 0 2 3 ) 4 3sin(). 4 ( =−−− ππ xx 26. tanx+tan 2 x+tan 3 x+cotx+cot 2 x+cot 3 x=6 27. sin 3 x-cos 3 x=cos2x.tan       −       + 4 tan 4 ππ xx 28. 3sin 2 x-cos2x-sin2x+cos 2 x=1 . Phương trình và bất phương trình siêu việt A. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit. I. Các kiến thức cơ bản. 1. Định nghĩa và các tính chất. và các tính chất của luỹ thừa. 2. Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit. 3. Các phương trình và bất phương trình cơ bản: • Với mọi số dương m thì: +