Bài giảng toán tài chính chương CHUỖI TIỀN tệ (ANNUITIES)

CHƯƠNG V CHUỖI TIỀN TỆ (ANNUITIES) I.TỔNG QUAN • Chuỗi tiền tệ loạt khoản tiền phát sinh định kỳ theo khoảng cách thời gian • Một chuỗi tiền tệ hình thành xác định được: – – – – Số kỳ phát sinh (số lượng kỳ khoản) : n Số tiền phát sinh kỳ (thu chi) : a Lãi suất tính cho kỳ :i Độ dài kỳ: khoảng cách thời gian cố định kỳ trả (có thể năm, quý, tháng…) I.TỔNG QUAN • Phân loại chuỗi tiền tệ: – Theo số tiền phát sinh kỳ: – Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền phát sinh kỳ – Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền phát sinh kỳ không I.TỔNG QUAN Năm Năm n-1 n a1 a2 a3 a4 an-1 an n-1 n a1 a2 a3 a4 an-1 an I.TỔNG QUAN • Phân loại chuỗi tiền tệ: – Theo số kỳ khoản phát sinh: • Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh hữu hạn • Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh vô hạn – Theo phương thức phát sinh: • Chuỗi phát sinh đầu kỳ: số tiền phát sinh đầu kỳ • Chuỗi phát sinh cuối kỳ: số tiền phát sinh cuối kỳ I.TỔNG QUAN • Chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ Năm a2 a1 n-1 n an a3 a4 an-1 I.TỔNG QUAN • Chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ Năm a1 n-1 a3 a2 a4 a5 an n II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ • Giá trị tương lai (definitive value): tổng giá trị tương lai kỳ khoản xác định vào thời • Hiện giá (giá trị – present value): tổng giá kỳ khoản xác định thời điểm điểm cuối chuỗi tiền tệ (cuối kỳ thứ n) gốc (thời điểm 0) II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ • Năm 2.1 Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ a1 a2 a3 n-1 an-1 n an an-1 (1 + i) … a2 (1 + i)n-2 a1 (1 + i)n-1 II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ • Vậy giá trị tương lai (giá trị cuối) chuỗi tiền tệ biểu diễn sau: V = a (1+i)n-1 + a (1+i)n-2 + a (1+i)n-3 +…+ a n n • Nếu ta gọi: – ak : giá trị kỳ khoản thứ k – i : lãi suất –n : số kỳ phát sinh n Vn = ∑ a k (1 + i ) k =1 n−k Hệ từ công thức tính Vn chuỗi tiền tệ Gọi • n số nguyên nhỏ gần với n • n số nguyên lớn gần với n Hệ từ công thức tính Vn chuỗi tiền tệ • CÁCH 1: chọn n = n nghĩa quy tròn n sang số nguyên nhỏ gần Lúc V V n2 n Để đạt giá trị V sau n kỳ khoản, phải giảm bớt kỳ khoản cuối số thừa (V n n2 V ) nên n a = a - (V -V ) n2 n2 n Hệ từ công thức tính Vn chuỗi tiền tệ • CÁCH 3: chọn n = n thay tăng thêm khoản kỳ khoản cuối cùng, ta để V tài khoản n1 thêm thời gian x để V tiếp tục phát sinh lợi tức (kép) đạt giá trị V n1 n Hệ từ công thức tính V0 chuỗi tiền tệ • • Tính giá trị kỳ khoản a Tính giá trị lãi suất i i a = V0 −n − (1 + i ) − (1 + i ) i −n V0 = a Hệ từ công thức tính V0 chuỗi tiền tệ   • Tính số kỳ khoản n   log   1 − V0 i   a  ⇒n= log(1 + i ) • Trường hợp n số nguyên, ta đặt – n1: số nguyên nhỏ gần với n – n2: số nguyên lớn gần với n • Có cách để quy tròn số n Hệ từ công thức tính V0 chuỗi tiền tệ • CÁCH 1: chọn n = n , nghĩa quy tròn n sang số nguyên nhỏ gần Lúc V < V Để đạt 01 giá V , phải tăng thêm vào kỳ khoản cuối n khoản x Vì V = V + x(1+i)-n1 01 ⇒ x = (Vo − Vo1 )(1 + i ) n1 Hệ từ công thức tính V0 chuỗi tiền tệ • CÁCH 2: chọn n = n , nghĩa quy tròn n sang số nguyên lớn gần nhất, lúc V >V Để đạt 02 giá V , phải giảm bớt kỳ khoản cuối n khoản x Vì V = V - x(1+i)-n2 01 ⇒ x = (Vo1 − Vo )(1 + i ) n2 3.2 Giá trị tương lai giá chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ: • Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ (V ’) n Từ công thức V ’ = V (1+i) n n (1 + i ) − ⇒V = a (1 + i ) i ' n n 3.2 Giá trị tương lai giá chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ: • Hiện giá chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ (V ’) o Từ công thức V ’ = V (1+i) 0 − (1 + i ) ⇒V = a i ' −n (1 + i ) IV CHUỖI TIỀN TỆ BIẾN ĐỔI CÓ QUY LUẬT: 4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng 4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân 4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng (phát sinh cuối kỳ): • Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng Xét chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng có giá trị kỳ khoản a =a, công sai r lãi suất i a2 = a1 + r = a + r a3 = a2 + r = a + 2r … an = an-1 + r = a + (n-1)r 4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng (phát sinh cuối kỳ): n  r  (1 + i ) − nr  Vn =  a +  −  i i i   −n  r   − (1 + i )  nr Vo =  a + + nr   − i i    i 4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân (phát sinh cuối kỳ) • Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân: Xét chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân có giá trị kỳ khoản a =a, công bội q lãi suất i a2 = a1q = a q a3 = a2q = a q2 a4 = a3q = a q3 … an = an-1q = a qn-1 4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân (phát sinh cuối kỳ) q n − (1 + i ) n Vn = a q − (1 + i ) q n − (1 + i) n Vo = a (1 + i) − n q − (1 + i) •Đặc biệt q= (1+ i) Vn = na (1 + i) n −1 Vo = na (1 + i) −1 [...]... V ’ = V (1+i) 0 0 1 − (1 + i ) ⇒V = a i ' 0 −n (1 + i ) IV CHUỖI TIỀN TỆ BIẾN ĐỔI CÓ QUY LUẬT: 4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng 4.2 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số nhân 4.1 Chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng (phát sinh cuối kỳ): • Giá trị tương lai của 1 chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng Xét 1 chuỗi tiền tệ biến đổi theo cấp số cộng có giá trị của kỳ khoản đầu tiên là a =a,... trị tương lai của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ Chuỗi tiền tệ đều, giá trị của tất cả các kỳ khoản đều bằng nhau: a = a = ……= a =a 1 2 n-1 n III GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU Vn = a (1 + i ) n −1 + a (1 + i ) n−2 + + a(1 + i ) + a (1 + i ) − 1 ⇒ Vn = a i n III GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU • Hiện giá của 1 chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối... CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ V ’ = a + a (1+i)-1 + a (1+i)-2 +…+ a (1+i)-(n-1) 0 1 2 3 n n V0′ = ∑ a k (1 + i ) k =1 − k +1 = V0 (1 + i ) III GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU 3.1 Giá trị tương lai và hiện giá của một chuỗi tiền tệ đều phát sinh cuối kỳ 3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ III GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU... TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU • Hiện giá của một chuỗi tiền tệ cố định phát sinh vĩnh viễn (n → ∞) a Vo = i n → +∞ Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền tệ đều • • Tính kỳ khoản a Vn i ⇒a= n (1 + i ) − 1 Tính lãi suất i (tra bảng tài chính 3 hay áp dụng công thức nội suy) (1 + i ) − 1 Vn = i a n Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền tệ đều • Tính số lượng kỳ khoản n... của chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ: • Giá trị tương lai của chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ (V ’) n Từ công thức V ’ = V (1+i) n n (1 + i ) − 1 ⇒V = a (1 + i ) i ' n n 3.2 Giá trị tương lai và hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ: • Hiện giá của chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ (V ’) o Từ công thức V ’ = V (1+i) 0 0 1 − (1 + i ) ⇒V = a i ' 0 −n (1 + i ) IV CHUỖI TIỀN... MỘT CHUỖI TIỀN TỆ • 2.1 Hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ Năm 0 1 2 n-1 n a2 a1 a1 (1 + i)-1 a2 (1 + i)-2 … an-1(1 + i)-(n-1) an (1 + i)-n an-1 an II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ V = a (1+i)-1 + a (1+i)-2 + a (1+i)-3 +…+ a (1+i)-n 0 1 2 3 n n V0 = ∑ a k (1 + i ) k =1 −k II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ 2.2 Giá trị tương lai của một chuỗi tiền. .. Giá trị tương lai của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ (V ’) n Năm 0 1 2 n-1 n an a1 a2 an (1 + i) … a2 (1 + i)n-1 a1 (1 + i)n II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ V ’ = a (1+i)n + a (1+i)n-1 +…+ a (1+i) n 1 2 n n n − k +1 ′ Vn = ∑ a k (1 + i ) = Vn (1 + i ) k =1 II GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ • Hiện giá của một chuỗi tiền tệ phát sinh đầu kỳ (V ’) 0 Năm 0 1... Vn của chuỗi tiền tệ đều • CÁCH 2: chọn n = n , nghĩa là quy tròn sang số nguyên lớn hơn gần nhất Lúc đó V >V 2 n2 n Để đạt được giá trị V sau n kỳ khoản, chúng ta phải giảm bớt ở kỳ khoản cuối cùng số còn thừa (V n 2 n2 V ) nên n a = a - (V -V ) n2 n2 n Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền tệ đều • CÁCH 3: chọn n = n và thay vì tăng thêm 1 khoản ở kỳ khoản cuối cùng, ta có thể để V trên tài khoản... cách để quy tròn số n Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền tệ đều • CÁCH 1: chọn n = n , nghĩa là quy tròn n sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất Lúc đó V < V Để đạt được 1 01 0 hiện giá V , phải tăng thêm vào kỳ khoản cuối cùng n một khoản x 0 1 Vì V = V + x(1+i)-n1 0 01 ⇒ x = (Vo − Vo1 )(1 + i ) n1 Hệ quả từ công thức tính V0 của chuỗi tiền tệ đều • CÁCH 2: chọn n = n , nghĩa là quy tròn n sang... i log( + 1) a n= log(1 + i ) Trong trường hợp n không phải là số nguyên ta phải biện luận thêm Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền tệ đều Gọi • n là số nguyên nhỏ hơn gần nhất với n 1 • n là số nguyên lớn hơn gần nhất với n 2 Hệ quả từ công thức tính Vn của chuỗi tiền tệ đều • CÁCH 1: chọn n = n nghĩa là quy tròn n sang số nguyên nhỏ hơn gần nhất Lúc đó V ... QUAN • Phân loại chuỗi tiền tệ: – Theo số tiền phát sinh kỳ: – Chuỗi tiền tệ cố định (constant annuities): số tiền phát sinh kỳ – Chuỗi tiền tệ biến đổi (variable annuities): số tiền phát sinh... giá chuỗi tiền tệ phát sinh cuối kỳ 3.2 Giá trị tương lai giá chuỗi tiền tệ cố định phát sinh đầu kỳ III GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI VÀ HIỆN GIÁ CỦA MỘT CHUỖI TIỀN TỆ ĐỀU • Giá trị tương lai chuỗi tiền tệ. .. loại chuỗi tiền tệ: – Theo số kỳ khoản phát sinh: • Chuỗi tiền tệ có thời hạn: số kỳ phát sinh hữu hạn • Chuỗi tiền tệ không kỳ hạn: số kỳ phát sinh vô hạn – Theo phương thức phát sinh: • Chuỗi