PHM HUY HUN -THCS CNH THY - PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Phng phỏp1: a v dng tớch Thớ d 1: Gii phng trỡnh nghim nguyờn x2- 656xy 657y2=1983.(1) Li gii: (1)x2-657xy+xy-657y2=1983 x(x-657y)+y(x-657y)=1983 (x-657y)(x+y)=1983 Do 1983=1.1983=3.661=(-1).(-1983)=(-3).(-661) Vỡ hiu (x+y)-(x-657y)=658y chia ht cho 658 nờn 1983 phi phõn tớch thnh mt tớch hai tha s cú hiu chia ht cho 685.Vy ta cú h phng trỡnh: x + y = 661 x 657 y = x + y = x + y = 661 x 657 y = 661 x 657 y = x + y = x 657 y = 661 Giải ta đợc cặp nghiệm là:(x;y)=(660;1);(4;-1);(-660;-1);(-4;1) Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình 2x3+xy=7(1) Lời giải: (1) x(2x2+y)=7 x = x = ; x = ; x = ; x + y = x + y = x + y = x + y = x = x = x = x = ; ; ; y = y = 97 y = y = 99 2 Vậy mghiệm nguyên phơng trình là: (x;y)=(1;5); (7;-97); (-1;-9); (-7;-99) Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình y2=x(x+1)(x+7)(x+8) (1) Lời giải: (1) y2=(x2+8x)(x2+8x+7) Đặt t=x2+8x, ta có: y2=t2+7t 4y2=4t2+28t+49-49 (2t+7)2-4y2=49 (2t+7-2y)(2t+7+2y)=49 Đến toán coi nh giải xong Bài tập áp dụng x2-4xy=23 x2-2xy-3y2=8 x+y+xy=9 Phơng pháp 2: Sắp thứ tự ẩn Phơng pháp 3: sử dụng tính chất chia hết Thí dụ 2: Chứng minh không tồn số nguyên x, y, z thoả mãn: x3+y3 +z3=x+y+z+2000 (1) Lời giải: PHM HUY HUN -THCS CNH THY - PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Ta có: x3-x=(x-1)x(x+1) tích số nguyên liên tiếp(với x số nguyên) Do đó: x3-x chia hết cho Tơng tự y3-y z3-z chia hết cho => x3+y3+z3-x-y-z chia hết cho Vì 2000 không chia hết phơng trình cho nghiệm nguyên Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình 6x2+5y2=74 (1) (1) 6(x2-4) = 5(10-y2) Vì (5,6)=1, nên phải có: x2-4 5; 10-y2 Đặt x2-4=5u; 10-y2=6v Nhận thấy 6.5u=5.6v => u=v x2=5u+4 => u -4/5 y2=10-6v => v 5/3 => -4/5 u=v 5/3 Suy u=v=0 u=v=1 + u=v=0 => y2=10, y nguyên x = + u=v=1 => y = Phơng trình cho có nghiệm nguyên là: (x;y)=(3;4); (3;-4); (-3;4); (-3; -4) Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình 19x2+28y2=729.(1) Lời giải: (1) => (18x2+27y2)+(x2+y2)=729 =>x2+y2 => x 3; y Đặt x=3u; y=3v (u,v Z ).Thay vào phơng trình cho đợc: 19u2+28v2=81 Lập luận tơng tự, ta lại đợc u=3s; v=3t (s,t Z ), lại có: 19s2+28t2=9 Dễ thấy s, t không đồng thời 0, 19s2+28t2>19>9, hay phơng trình vô nghiệm Từ suy phơng trình cho nghiệm nguyên Thí dụ 5: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau: a y= 2x + ; x b xy-x-2y=3; c.2x2-2xy=5x+y-19 Lời giải: a y= 2x + Ta thấy y số nguyên x-1 ớc =2+ x x x-1=1; Ta có bảng x-1 -5 -1 x -4 y -3 Vậy nghiệm nguyên phơng trình là: (x;y)=(-4;1);(0;-3);(2;7);(6;3) 2 PHM HUY HUN -THCS CNH THY - PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN b xy+x-2y=3 y(x-2)=-x+3 y= x+3 = + x2 x2 Ta thấy y số nguyên x-2 ớc x-2=1 x=1 x=3 Từ ta có nghiệm (x;y)=(1;-2);(3;0) Chú ý dùng phơng pháp để giải toán này, ta đa dạng: x(y+1)-2(y+1)=1 (y+1)(x-2)=1 c 2x2-2xy=5x+y-19 2x2-5x+19=y(2x+1) 22 x x + 19 =x-3+ 2x + 2x + 22 Để y nguyên phải nguyên => 2x+1 phải ớc 22 2x + y= 2x+1=1; 2; 11; 22 Ta có bảng sau: 2x+1 x y -22 -23/2 -11 -6 -11 -2 -3/2 -1 -1 -26 19 1/2 Loại Loại Loại Vậy nghiệm nguyên phơng trình cho là: (x;y)=(-6;-11);(-1;-26);(0;19);(5;4) Bài tập áp dụng: Giải phơng trình nghiệm nguyên sau: 11 22 21/2 Loại a y= x + 3x ; b y(x-1)=x2+2 ; x+3 c 2x2-2xy=5x-y-19; Tìm nghiệm nguyên phơng trình: xy2+2xy-243y+x=0 HD: Ta có xy2+2xy-243y+x=0 x(y+1)2=243y(*) Từ (*) thấy (y+1,y)=1 => (y+1)2 243 ĐS: (x,y)=(54,2); (24;8) Phơng pháp 4: sử dụng bất đẳng thức Thí dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình x2-6xy+13y2=100 (1) Lời giải: (1) (x2-6xy+9y2)=100-4y2 (x-3y)2=4(25-y2) (2) Từ (2) => y225 25-y2 số phơng Vậy y2 { 0;9;16;25} => y { 0;3;4;5} Từ ta có 12 nghiệm nguyên nh sau: (x;y)=(10;0); (-10;0); (17;3); (1;3); (-17;-3); (-1;-3); (6;4); (18;4); (-18;-4); (-6;-4); (15;5); (-15;-5) Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: yz xz xy + + = x y z PHM HUY HUN -THCS CNH THY - PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Lời giải: ĐK: x,y,z Ta có: y2z2+x2z2+x2y2=3xyz => xyz>0 áp dụng bất đẳng thức côsi với số y2z2; x2z2; x2y2, ta có: y2z2+x2z2+x2y2 3 x y z => 3xyz 3 x y z => xyz xyz=1(do xyz>0) Từ ta có nghiệm nguyên: (x;y;z)=(1;1;1); (1; -1; -1); (-1;1;-1); (-1;-1;1) Thí dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình 1+x+x2+x3=y3 Từ phơng trình dễ thấy: x3 q2 chia hết cho p2 Mặt khác, (p,q)=1 => (p2,q2)=1 => chia hết cho p2 => p2 => q2 =>q=1 => =p2 số phơng + Điều kiện đủ: Đảo lại, b2-4ac = d2 số phơng phơng bd rõ ràng số hữu tỉ 2a p Định lí 2: Nếu x0= (p; q Z, q (p,p)=1) nghiệm hữu tỉ phơng q trình bậc hai ax +bx+c=0(a Z * , b; c Z ) q ớc a p ớc c trình (*) có nghiệm x1;2= Chứng minh: Thay x0= p p2 p vào phơng trình(*) ta có a + b + c = q q q ap2+bpq+cq2=0 ap2=-q(bp+cq) =>ap2 chia hết cho q =>q ớc a (vì (p,q)=1) Tơng tự cq2=-p(ap+bq) => p ớc c *lu ý: nghiệm nguyên trờng hợp đặc biệt nghiệm hữu tỉ (Khi a=1) Thí dụ 1: cho a, b, c số nguyên lẻ Chứng minh phơng trình bậc hai ax2+ bx+c=0 nghiệm hữu tỉ Lời giải: Cách 1: Giả sử phơng trình cho có nghiệm hữu tỉ, theo định lí b2-4ac=m2 số phơng =>b2-m2=4ac Vì b2 lẻ, 4ac chẵn nên m2 phải số lẻ Ta lại biết bình phơng số lẻ chia cho có số d nên b2-m2 chia hết cho 8; ac lại số lẻ nên 4ac không chia hết cho Điều mâu thuẫn với b2-m2=4ac Vậy phơng trình ax2+bx+c với a, b, c số nguyên lẻ có nghiệm hữu tỉ Cách 2: PHM HUY HUN -THCS CNH THY - PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN p q Giả sử phơng trình cho có nghiệm hữu tỉ x0= ( p; q Z, q (p,p)=1), theo định lí q ớc a p ớc c Vì a,c lẻ nên p, q lẻ => ap2, bpq, cq2 lẻ => ap2+bpq+cq2 lẻ, khác p Điều mâu thuẫn với giả thiết x0= q nghiệm hữu tỉ phơng trình cho Từ suy điều cần phải chứng minh *Lu ý: kết với đa thức bậc với hệ số số nguyên lẻ Thí dụ 2: Tìm tất số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên: x2-(3+2a)x+40-a=0 Lời giải Theo định lí 1, trớc hết để phơng trình có nghiệm hữu tỉ phải có =m2 số phơng (3+2a)2-4(40-a)=m2 4a2+16a-151=m2 (2a+4)2-m2=167 (2a+4+m)(2a+4-m)=167 { 2a + m;2a + + m} = {1;167} { 1;167} (Vì 167 số nguyên tố) Suy a=40 a=-44 Thử lại, ta thấy chúng thoả mãn điều kiện đề Vậy số a cần tìm là: 40; -44 Thí dụ 3: Chứng minh với số nguyên n ta có n2-n+2 không chia hết cho 49 Lời giải: Giả sử n2-n+2=49k (k N), nghĩa phơng trình n2-n+2-49k=0 với ẩn n phải có nghiệm nguyên n phải số phơng 1-4(2-49k)=t2 (t Z) 196k-7=t2 7(28k-1)=t2 => 28k-1 phải chia hết cho 7, điều vô lí Vậy n2-n+2 49k, điều cần phải chứng minh *Tuy nhiên có toán không cần sử dụng hai định lí Thí dụ 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm nguyên: 2x2-2mx+m2-1=0 Lời giải: Ta thấy x=t nghiệm phơng trình tồn m cho: 2t2-2mt+m2-1=0 phơng trình m2-2tm+2t2-1=0 có nghiệm ẩn m / 2 m t -2t +1 -t +1 -1 t , t Z t { 1;0;1} Ta có: + t=0 m= + t=-1 m2+2m+1=0 (m+1)2=0 m=-1 + t=1 m2-2m+1 =0 (m-1)2=0 m=1 Vậy phơng trình có nghiệm nguyên m= Bài tập áp dụng: PHM HUY HUN -THCS CNH THY - PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN Cho a, b số nguyên Chứng minh phơng trình sau nghiệm hữu tỉ: x2+3ax-3(b2+1)=0 Tìm tất số nguyên a để phơng trình sau cú nghim nguyờn: x2 (a+5)x+5a+2=0 Tỡm tt c cỏc s nguyờn a phng trỡnh sau cú nghim nguyờn: x2+ax+198=a Chng minh rng vi mi s nguyờn n ta cú n2+5n+16 khụng chia ht cho 169 Chắc chắn nhiều phơng pháp để giải phơng trình nghiệm nguyên nh nhiều ví dụ hay hấp dẫn khác Mong bạn tìm hiểu thêm trao đổi vấn đề nhiều