Phuong trinh nghiem nguyen

 1.1 Tìm x nguyên để P nguyên 1.    + + x x 2.    + +− x x    − + = x x P Bài 4. Cho biê ̉ u thư ́ c: a 3 3 a M 2 a 6 2 a 6 + − = − − + vơ ́ i a 0;a 9.≥ ≠        !"# $ %  &!  '&  ()  *   &!  '&  !+#"# $ %  &!  '&  +#,-  .-/  &!  '&  +# "  . Bài 5 Cho biểu thức 1 1 A 1 a 1 a 1 = − − − + !01 2345%"6.78'9:(&;.<%= (01 %5%>?+#?!";&5'6(&;.<%=,8 @>?+#. 1.2. Tìm x để P nguyên. Bài   A + + x x B   + x C;%D&5'6+#.1   + x 3.E&,8>?+# !"F   + x ! ∈ G ⇒   =+ axa a a x  − =⇒ H1 / ≥ x # /  ≥ − a a HI&! / ≥ / ≥−⇔ a a ⇔  ≤ HI&! / < / ≤−⇔ a a ⇔  ≥ JKL&0 HM+ / ≤< a ! ∈ G#!N!HI&!.14O7I&! .14 *  D ,L&%D&5'6+#.14O784 *  1.3 Tìm căp số x, y nguyên Phương pháp 1 : Đưa về dạng tích P&Q"R&3.S-'1.7TULV7Q'5&,8W%.%X!%5%"!.<%%.<!YZ7Q3.E&,8W%. %X!%5%>?+# Bài 1 :1 .&[ +#%X!3.S-'1.V +  \4  OJ0 Lời giải :J0S-"S-7I&J+\40J4  B4+B+  0OJ]0 H14  B4+B+  ^/7I& :&4Z+#_J]0^+\4^/ Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 1 F`.5%ZO4OA478+\4N4  B4+B+  "T+#US-#!%D(? `.E)>!V +\4O784  B4+B+  NJ0 +\4784  B4+B+  ONJ0 +\4784  B4+B+  ANJ0 +\4A784  B4+B+  NJH0 CQ"M+Z(8&5%&.S"Sa%&E&b+Q P8&1 .&[ +#%X!3.S-'1. . Bài 34B+4+ ⇔ 4+c4c+B ⇔ 4J+c0\J+\0 ⇔ J+\0J4\0/ Bài 44+c4B+c ⇔ 4J+\0cJ+\0 ⇔ J+\0J4\0 Bài 54B4+B+O ⇔ 4B4+B+B/ ⇔ 4J+B0BJ+B0/ ⇔ J+B0J4B0/ Bài 6. 4  c4+d4c+ce ⇔ 4  c4c4+B+B4\\ ⇔ 4J4\0c+J4c0B J4\0\ ⇔ J4\0J4c+B0\ Bai 7. 4B\4+Be+   ⇔ e+  ce4+B4+\4 ⇔ e+J+\40B Bai 8. (y 2 + 4)(x 2 + y 2 ) = 8xy 2 ⇔ (xy – 2y) 2 + (y 2 – 2x) 2 = 0 2 2 y 0 xy 2y 0 x 2 y 2x 0 y 2x  =  − =    = ⇔ ⇔    − =   =  Do đó có các nghiệm: (0; 0); (2; 2); (2; -2) Bài 9. +  4B4B+B4  B+  B4+ ⇔ 4  B4+cJ4B+0c+  J4\0 ⇔ 4J4B+0c J4B+0c+  J4\0 ⇔ J4B+0J4\0c+  J4\0 ⇔ J4\0J4B+c+  0 Bài 10. *4 * Be4  +B+  c*+c/ ⇔ *J4 * B4  +B+  0cJ+  B*+B*0  ⇔ *J4  B+0  cJ+B0   ⇔ Bài 11*4  B4+B*4B+B/ ⇔ 4J4B+0BJ4B+0B4B\ ⇔ J4B+0J4B0BJ4B0\ ⇔ J4B0J4B+B0\ P8&23  4B+4+  4+c4B+  4B4+B+O 4. 4  c4+d4c+ce 5. 4B\4+Be+  6. J+  B*0J4  B+  0e4+  7. +  4B4B+B4  B+  B4+ 8. *4 * Be4  +B+  c*+c/ Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 2 Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn Q%5%Y4Z+ZfZ%D7!&'g(1."hZ!%D.;&E>i4j+jfj.F%Sa% ,L&";1 %5%.&[ .k! l"&T`&[8+_"DZUm3.n3.576";^%5% .&[ %X!3.S-'1."l%. ZQ%5%Y%D%o'9%&?.!.S,p+._!%m(2%Z%5%>?+#,&#&Q3.1 !>q`.iY";"S!7TULbr.@%.F%WY.- Bài 11. :1 .&[ +#US-%X!3.S-'1.V 4B+Bf4+fJ0 Lời giải : s7!&'g(1."h%X!4Z+Zf'3.S-'1.Z'SI%.Q!4n4j+jf H14Z+Zf+#US-#4+ft/ZU4j+jf^4+f4B+Bfjf^4+j ^4+.@%uNNv Q4+^4+Z.!+78J0!%DVBffZ7w,W Q4+ZU4j+#478+Z.!+78J0Z^f Q4+ZU4j+#478+Z.!+78J0Z^f H2+.&[ +#US-%X!3.S-'1.J0,8%5%.576%X!JNN0 Bài 12. :1 .&[ +#US-%X!3.S-'1.V x4Bx+BxfJ0 Lời giải :s7!&'g(1."h%X!4Z+ZfZ'SI%.Q!4n4j+jf!%DV x4Bx+Bxfjx4^4jx^4 .!+478J0!%DV x+BxfB^x+Bxfjx+^+j ^+^xf/J7w,W0 .F%+^xf^f H2+.&[ +#US-%X!3.S-'1.J0,8%5%.576%X!JNN0 P8&231 .&[ +#%5%3.S-'1.V 4B+Bf4+f *J4+B+fB4f0*4+f Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết .S-3.538+>iUyW.%.o%.&!.Q";%.< &.3.S-'1.7w.&[  .F%1 .&[ %X!3.S-'1. Bài 15. :1 .&[ +#%X!3.S-'1.V 4  \+  J*0 Lời giải :_3.S-'1.J*0!^43.E&,8>?,z.!+4`BJ`.@%G078 J*0Z!"Sa%V *`  B*`B\+   S-"S-J`  B`\0+   ^+  ,8>?%.{^+,8>?%.{ CF+J.@%G0Z!%DV J`  B`\0*   S-"S-`J`B0  BJ]]0 .24nV`J`B0,8>?%.{Z  B,8>?,z^3.S-'1.J]]07w.&[  H2+3.S-'1.J*0`.w%D.&[ +# Bài 17. :|.< &.'}`.w~L&%5%>?+#4Z+Zf.k! lV Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 3 4  B+  Bf  4B+BfB///J0 Lời giải :!%D4  \4J4\04J4B0,8W%.%X!>?+#,&#&Q3J7I&4,8>? +#0s"DV4  \4%.&!.Q%. S-•+  \+78f  \f%p%.&!.Q%._"D!%DV4  B+  Bf  \4\+\f%.&! .Q%. H1///`.w%.&!.Q%.#4  B+  Bf  \4\+\ft///7I& :&>?+#4Z+Z f<%,83.S-'1.J0`.w%D.&[ +# Bài 18. x + x + x = 4y + 4y ² ³ ² ⇔ (x + 1)(x +1) = (1 + 2y) (1)² ² §Æt (x + 1; x + 1) = d (d ² ∈ N * ) Ta cã x + 1 M d ⇒ x + x ² M d ⇒ (x + x) – (x + 1) ² ² M d ⇒ x – 1 M d ⇒ (x + 1) – (x – 1) M d ⇒ 2 M d (2) Tõ (1) ta cã x + 1 vµ x +1 ®Òu lµ sè lÎ (3)² Tõ (2) vµ (3) ta cã d = 1 (4) Bài 19. 1 .&[ +#%X!3.S-'1.V 4+B4\+Jd0 Lời giải :!%DJd0S-"S-+J4\0\4BH14`.w.k! l3.S- '1.#Jd0S-"S-7I&V +J\4B0xJ4\0S-"S-+\BxJ4\0 !.o+V+,8>?+#S-"S-7I&4\,8SI%%X!.!+4\.F%4\ \S-"S-7I&4.F%4_"D!%D.&[ J4N+0,8JN\078JN/0 |.9€V|D.;Um3.S-3.53";&E&(8&58+Z.•"S!3.S-'1.Jd07T ULV4J+B0\J+B0S-"S-J4\0J+B0 P8&23J.S-3.530V1 4Z+ G 20. /*OAOAOO 21.  22. OO 23.Z J4Z+ GB0 24. J4Z+ GB0 25.Z J4Z+ GB0 Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức sm(o"h.<%";"5.&5 @Y8"D78_>•"5.&58+^%5%&5'6 +#%X!Y8+ Bài 24 :1 .&[ +#%X!3.S-'1.V 4  \4+B+  JA0 Lời giải : JA0S-"S-7I&J4\+x0  \+  x* H1J4\+x0  ‚/^\*+  x*‚/ ^\j+j Kƒ,Sa.!++\NN\NN/783.S-'1.";W.4!%D%5%.&[  +#%X!3.S-'1.,8V J4N+0.@%uJ\N\0NJN0NJ\N\0NJN0NJ\N0NJN\0v Bài4  B4+B+  4  +   Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 4 HI&  ≥ x 78  ≥ y !%D      ≥ ≥   * * yyx xyx „+'!4  +  xyyxxyyxyxyxyx ++>++≥+++=+≥  0J `.w.k! l3.S-'1.|.< k  ≤ x 78  ≤ y Q4  ± .F%+  ± .13.S-'1.`.w.k! l HI&4/Z4Z4\!.o+3.S-'1.%D.&[ +# J4N+0 ( ) ( ) ( ){ } NNNN/N/ −−∈ Bài tập tổng hợp &E&%5%3.S-'1..&[ +#V 25.4  \*4+ d4\+B/ 27.O4  Be+  AO 28.4  B/4+Be+  Od 1 4Z++#US-.k! lV O *4+\J4B+0O / J4+B+fBf40*4+f 31. 4+xfB+fx4Bf4x+  x4Bx+BxfxOO Phương pháp 5 : Đưa về dạng tổng, lập phươngV P&Q"R&3.S-'1.7TULV7Q'5&,8R%X!%5%(1.3.S-Z7Q3.E&,8R %X!%5%>?%.W.3.S- Bài 33 :1 .&[ +#%X!3.S-'1.4  B+  \4\+eJe0 Lời giải :Je0…^*4  B*+  \*4\*+ …^J*4  \*4B0BJ*+  \*+B0* …^†4\†  B†+\†  B P}3.S-3.53.i%.:!.o+*%.‡%DU+.o @UL3.MW%..8.R %X!.!&>?%.W.3.S-  78   s"D3.S-'1..k! l%.‡'.!&`.E)V &E&%5%.['#^3.S-'1.Je0%D(?.&[ +#,8J4N+0ˆuN0NJN0N J\N\0NJ\N\0v Bài 341 .&[ +#%X!3.S-'1.  Bài 35. Ninh Bình 09- 10. Tìm x, y nguyên thoả mãn: 4B+B4+B4  B+  ⇔4  B+  c4c+c4+* ⇔J4  c4+B+  0BJ4  c4B0BJ+  c+B0d ⇔J4c+0  BJ4c0  BJ+c0  d Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 5 s4Z+ ∈ G#%.‡%D.;3.MW%.d  B  B  CM+,83.S-'1.%.<!Y4+%D7!&'g.S.!Z<%,8Q%D.&[ 4! 78+(.1%p%D.&[ 4(78+! V 4 +  4   +    − =  − =   − =  ⇒ 4  + / =   =  .F% 4 / +  =   =  V 4 +  4   +    − =  − =   − =  ⇒ 4  +  =   =  .F% 4  + / = −   =  V 4 +  4   +    − =  − =   − =  ⇒ 4  +  =   =  .F% 4 / +  =   = −  ‰Q,2V.S-'1.%Dd%F3.&[ ,8V  x o y =   =  N x y o =   =     x y =   =  N   x y =   =  N /  x y =   = −  N   / x y = −   =  Bài 361 .[ +#%X!3.S-'1.>! 4 d c4  +B+  d* ⇔ 4 d cJ4 d  \4  +B+ 0 d* ⇔ J4  0  BJ4  \+0  /  B*  /  Be       =− = / *   yx x  ⇔ .F%      =− =   e / yx x ⇔  H2+%D*%F3.&[ JNe0NJN\e0NJ/Ne0NJ/N\e0 Bài 124  c4+B+  4c+c ⇔ J4  c4+B+  \4B+B0/ ⇔ 4  c4+B+  \*4Bd+B*/ ⇔ 4  c4+B+  B4  c*4B*B+  Bd+BOO ⇔ J4\+0  BJ4\0  BJ+\0  O  B  B  Phương pháp 6 : Lùi vô hạn Bài 37 :1 .&[ +#%X!3.S-'1.4  \+  /JO0 Lời giải : &E>iJ4 / N+ / 0,8.&[ %X!JO0.1V4 /  \+ /  /^4 / %.&!.Q%.Z"F4 / 4  N J4  ˆG0Z!%DV4   \+ /  /…^4   \+ /  / ^+ / %.&!.Q%.Z"F+ / +  NJ+  ˆG0 _"D!%DV4   \+   /…^4   \+   / H2+QJ4 / N+ / 0,8.&[ +#%X!JO0.1J4 / xN+ / x0%p,8.&[ +#%X! JO0 Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 6 &Q3y%,23,2S-•Z!%D7I&`+#US-(o`1Z%p,8.&[ +# %X!JO0.!+4 / 78+ / "T%.&!.Q%. ` 7I& :&`,8>?+#US-m+€C&T8+ %.‡4E+'!`.&4 / + / / H2+3.S-'1.JO0%D.&[ U+.o,84+/ Phương pháp 7 : xét chữ số tận cùng Bài 38 :1 .&[ +#US-%X!3.S-'1.ŠBŠBB4Š+  J/0 Lời giải :|.4,ƒ,Sa(}NNN*Z!%D!+.&[ +#US-J4N+0 %X!3.S-'1.J/0,8JN078JN0 Q4^*.1U‹.o+`Š7I&`^*"T%D%.Œ>?2%m(}/6ŠBŠBŠB*ŠB ŠBB4ŠBŠBB4Š%D%.Œ>?2%m(} F`.5%7Q3.E&,8>?%.W.3.S-#`.w.;%D%.Œ>?2%m,8 H2+3.S-'1.J/0%.‡%D.!&.&[ +#US-J4N+0ˆuJN0NJN0v Bài 39 :1 4Z++#US-.k! l3.S-'1.V 4  B4\ +B J0 Lời giải :|.4%5%&5'6_/"QOZU‹U845%"6."Sa%%.Œ>?2%m%X!4  B 4\%.‡.2%5%&5'6NNOF`.5%Z!.o+ +B ,8,p+._!(2%,z%X!# %.Œ>?2%m%X!D%.‡%D.;,8.F%AZ`.5%7I&NNO H2+J0`.w.;4E+'!D&%5%.`.5%Z3.S-'1.J0`.w%D.&[ +# US- P8&58+%p%D.;&E&(}3.S-3.53>iUyW.%.o%.&!.Q Phương pháp 8 : Sử dụng tính chất nghiệm của phương trình bậc hai P&Q"R&3.S-'1.7TUL3.S-'1.(2%.!&%X!YZ%&%5%Y`.5%,8.! >?Z >iUy%5%W.%.o7T.&[ %X!3.S-'1.(2%";45%"6.&5'6%X!%5% .! >? Bài 40 :&E&3.S-'1..&[ +#V 4  B+  B*4+B*4B+B/J0 Lời giải : J0+  BJ*4B0+B4  B*4B/ !.o+Q3.S-'1.%D.&[ .1++#^\*4\ +#Z 84 +## +# ^•Ž+4  \*  7I&ˆGZUm3.S-3.53J"S!7TULW%.0^J4B0J4\0 *Z!45%"6."Sa%4784\ H2+3.S-'1.J0%D.!&.&[ +#J4N+0ˆuJN\0NJ\N0v Bài 41 :1 .&[ +#%X!3.S-'1.4  \J+B04B+B/J0 Lời giải :&E>i3.S-'1.Y4%D.&[ +#4  Z4  .1.r"6.,WH&\n! %DV ^J4  \0J4  \0J\0J\0 ^4  B4  .F%4  B4  A Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 7 ^+e.F%+Z.!+78J0Z3.S-'1.8+%D*.&[ VJ4N+0ˆuJANe0N JdNe0NJ*N0NJN0v 1 .&[ +#%X!3.S-'1.(2% Bài 42.|.3.S-'1.4  cJ!\04B!  B/J0 1 o%E%5%&5'6%X!!";J0%DW.o.&[ +# P:&4 /  ∈ f,8.&[ %X!J0!%D4 /  cJ!\04 / B!  B/J0 |&J0,83.S-'1.(2%"?&7I&! * /  / Ž −−−=∆ xx J0%D.&[ .1 Ž ∆ ≥ / * /  / −−− xx / ≥ ⇔  /* /  / ≤++ xx ! .<%(2%.!&%D.!&.&[ ,8\N *  − H2+ Ž ∆ ≥ / ⇔  *   / −≤≤− x 714 /  ∈ f#4 / \.!+4 / \78J0!%D!  B!B / ⇔ (a + 1) 2 = 0 ⇔ a + 1 = 0 ⇔ a = - 1 lúc đó phương trình đã cho là 5x 2 + 7x + 2 = / %D.&[ +#,84\ Bài 43.T×m a ∈ N ®Ó ph¬ng tr×nh x 2 – a 2 x + a + 1 = 0 cã nghiÖm nguyªn. Ta có: C;3.S-'1.%D.&[ +#.1Ur,!3.E&,8>?%.W.3.S- CFV 7I&`,8>?+#‰Q.a37I&"&T`&[!,8>?•.&#!%DV ‰&; '!7I&!!%DUr,!(}*J.k! l0 ]HI&!^ •n.&[V „+'!V F`.5% s"DV &Œ!.!&>?%.W.3.S-,&#&Q3`.w%D>?%.W.3.S-8#  `.w,8>?%.W.3.S-`.&!^ ‰KV! Phương pháp 9•‰‘3•&Œ!>?(1.3.S-Z,233.S-Z%5%W%.%5%>?+#,&# &Q3 Bài 441 .&[ +#3.S-'1.>!V !.o+  Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 8 Phương pháp 10. .S-3.534?.!V Bài 45V1 4Z+Zf G.k! l !.o+%.‡%D4+f/.k! l ]HI&3.S-3.538+.S•%.!(@.&[ (}/ Phương pháp 11.S-3.53.Q HWUy.S(8&5%.UŒ`&[!B(B%/.1!%D.;7&Q!\J(B%0N(\J!B%0N%\J!B(0 '~&53Uy78(8&5 Phương Pháp 12 VW%.>?•.&#,&#&Q3,8>?%.W.3.S-.1'>?%D >?(}/ Bài 46. J 0 ^.F%,8 .F%,8 P8&2353UyV *A J 0 *e J 0 Phương pháp 9Vsm%5%.7&QUSI&UL,&#3.M>? Bài 491 .&[ +#%X!3.S-'1.V  J4B+0B B  J4B+0B B H1>•3.MW%.'#,8U+.o# P8&23V1 .&[ +#%X!3.S-'1.V / f  Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 9   Bài tập tổng hợp Bài 531 4Z++#.k! l%5%3.S-'1.V !04  \*4+B+  dO (0 4 *+B Bài 54 :1 .&[ +#%X!%5%3.S-'1.V !0 4 B 4  4  (0+ * 4 d B4  B Bài 55 :|.< &.'}3.S-'1.    BOOA`.w%D.&[ +# 1 .&[ +#%X!3.S-'1.4  \+  \Of  / Bài 56 :1 .&[ +#%X!3.S-'1.4  B+  \4+B4B+\//. 5.4. Hệ phương trình nghiệm nguyên Bài 57.    =−− −=−−    zyx zyx    =−−+−−++ −+= ⇔    =−−−+ −+= ⇔ Odd  0J   zyzyzyzy zyx zyzy zyx Đinh Quang Thành GV trường THCS Ninh Khánh TP Ninh Bình – ĐT 0303503650 10