Phương trình nghiệm nguyên

Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell vì nó có nhiều trong các sách và phương trình Pythagore ; Fermat cũng cónhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản Chú ý : các bạn có thể tì

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ VỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆm NGUYÊN

Tác Giả : Thái Thuận

10 chuyên Toán THPT chuyên THĐ ; Phan Thiết ; Bình Thuận

Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh

Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn , nhỏ , trong và ngoài nước Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản của nghiệm nguyên ( các dạng ; các phương pháp giải ) chứ không đi sâu ( vì vốn hiểu biết có hạn ) Tôi cũng sẽ không nói về phương trình Pell ( vì nó có nhiều trong các sách ) và phương trình Pythagore ; Fermat ( cũng cónhiều trong sách ; khái niệm rất đơn giản )

Chú ý : các bạn có thể tìm đọc thêm cuốn “ phương trình và bài toán nghiệm nguyên “ của thầy

Từ đó ta có nghiệm phương trình này :

Chú ý : Ta còn có cách thứ để tìm nghiệm của phương trình trên Đó là phương pháp tìm nghiệm riêng để giải phương trình bậc nhất ẩn

Ta dựa vào định lí sau :

Nếu phương trình với có tập nghiệm là thì mọi nghiệm của phương trình nhận từ công thức :

Định lí này chứng minh không khó ( bằng cách thế trực tiếp vào phương trình )

Dựa vào định lý này ; ta chỉ cần tìm nghiệm riêng của phương trình

Đối với các phương trình có hệ số nhỏ thì việc tìm nghiệm khá đơn giản nhưng với các phương trình có lớn thì không dễ dàng chút nào Do đó ta phải dùng đến thuật toán ơ cơ lit ( các bạn có thể tìm đọc các sách ; tôi sẽ không nói nhiều về thuật toán này ) Ngoài ra còn

có thêm phương pháp hàm Euler

Dạng 2 : Đưa về phương trình ước số :

Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải :

Lập bảng dễ dàng tìm được nghiệm phương trình trên

Ví dụ 3:Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Dạng 3:Phương pháp tách các giá trị nguyên

Ví dụ 4: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải :

Phương Pháp 2 : Phương Pháp Lựa Chọn Modulo ( hay còn gọi là xét số dư từng vế )

Trước tiên ta có các tính chất cơ bản sau :

số chính phương chia dư ; chia dư ; chia dư

Ví Dụ 5 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Còn

Do đó phương trình trên vô nghiệm

Có thể mở rộng thêm cho nhiều modulo như và mở rộng cho số lập phương ; tứ phương ; ngũ phương

Ta đến với Ví Dụ sau :

Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:

Dễ thấy

Mặt khác :

Do đó phương trình trên vô nghiệm

Chú ý : Nhiều bài toán nghiệm nguyên trong đề thi vô địch toán các nước đôi khi phải xét đến modulo khác lớn ; ta xét đến ví dụ sau :

Ví Dụ 7 :(Balkan1998) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

( vô lí)

Do đó phương trình này vô nghiệm

Chỉ dòng ; thật ngắn gọn và đẹp phải không nào

Nói chung để xét modulo hiệu quả còn phải tùy thuộc vào sự nhạy bén của người làm toán Nói thêm :

Đối với các phương trình nghiệm nguyên có sự tham gia của các số lập phương thì modulo

Ta xét Ví Dụ sau

Ví Dụ 8 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Dựa vào nhận xét trên :

Ví Dụ 9 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải : Không mất tính tổng quát có thể giả sử

và

Ta xét đến Ví Dụ tiếp theo để thấy sự hiệu quả của phương pháp này

Ví Dụ 10 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Ghi chú : Việc Áp Dụng BDT vào bài toán nghiệm nguyên rất ít dùng vì ẩn ý dùng BDT rất dễ bị

"lộ" nếu người ra đề không khéo léo Tuy nhiên cũng có vài trường hợp dùng BDT khá hay

Do đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Còn phương trình này thì sao nhỉ :

Bằng cách tương tự ; dễ dàng nhận ra là nghiệm duy nhất

Nói thêm : Đối với phương trình trên ; ta có bài toán tổng quát hơn Tìm các số nguyên dươngthoả :

Đáp số đơn giản là nhưng cách giải trên vô tác dụng với bài này Để giải bài này thì hữu hiệu nhất là xét modulo ( các phương trình chứa ẩn ở mũ thì phương pháp tốt nhất vẫn là xét modulo ) Phần này chỉ nói thêm nên chúng ta tạm thời không giải bài toán này bây giờ mà sẽ để lại dịp khác

Dạng 5 : Dùng điều kiện hoặc để phương trình bậc có nghiệm

Ví Dụ 14 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Giải bất phương trình trên không khó ; dễ dàng suy ra được :

Do nguyên nên dễ dàng khoanh vùng được giá trị của và thử chọn

Nói chung thì phương pháp này được dùng khi có dạng ( hoặc

Phương pháp đánh giá cơ bản dựa vào nhận xét sau :

1/ không tồn tại thoả

Thế vào phương trình ban đầu

Nhận xét trên có thể mở rộng với số lập phương ; ta đến với ví dụ tiếp theo :

Ví Dụ 16: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Bằng cách trên ta có được :

lần lượt xét ta tìm được các nghiệm phương trình là:

Phương Pháp 5: Dùng tính chất của số chính phương

Dạng 1 : Trước tiên ta đến với mệnh đề sau :

Chứng minh mệnh đề này không khó ; ta chứng minh bằng phản chứng : Giả sử không là

số chính phương nên trong phân tích thành ước nguyên tố của hoặc tồn tại 1 số chứa ít nhất 1 ước nguyên tố p với số mũ lẻ Giả sử là Vì nên không chứa thừa số

cũng chứa thừa số với số mũ lẻ ( vô lí trái với điều kiện là số chính phương) Bây

Vô lí do đó mệnh đề được chứng minh

Bây giờ áp dụng mệnh đê trên ; ta đến với ví dụ sau

Ví Dụ 18: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Phương trình này vẫn còn những cách giải khác nhưng điều tôi muốn nhấn mạnh chính là việc dùng mệnh đề trên giúp cho lời giải bài toán trở nên ngắn gọn hơn

Phương Pháp 6: Lùi vô hạn ( hay còn gọi là phương pháp xuống thang)

Phương pháp này dùng để chứng minh một phương trình nào đó ngoài nghiệm tầmthường thì không còn nghiệm nào khác Phương pháp này có thể được diễn giải như sau :

Bắt đầu bằng việc giả sử là nghiệm của Nhờ những biến đổi ; suy luận số học ta tìm được 1 bộ nghiệm khác sao cho các nghiệm quan hệ với bộ nghiệm đầu tiên bởi tỉ số nào đó Ví Dụ :

chia hết cho với là số tự nhiên tuỳ ý Điều này xảy ra

.Để rõ ràng hơn ta xét một Ví Dụ

Ví Dụ 19: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Giải:

Gọi là nghiệm của phương trình trên

Xét theo modulo Ta chứng minh đều chia hết cho

Thật vậy ; rõ ràng vế phải chia hết cho

Giả sử là nghiệm của phương trình trên

Rõ ràng chẵn ( do chẵn ) nên có 2 trường hợp xảy ra

Trường Hợp 1 : có số lẻ ; số chẵn Không mất tính tổng quát giả sử lẻ chẵn.Xét theo modulo thì :

Tóm lại nghiệm phương trình là

Phương Pháp 7: Nguyên Tắc Cực Hạn hay còn gọi là Nguyên Lí Khởi Đầu Cực Trị

Về mặt hình thức thì phương pháp này khác với phương pháp lùi vô hạn nhưng về ý tưởng sử

dụng thì như nhau ; đều chứng minh 1 phương trình không có nghiệm không tầm thường Phương pháp bắt đầu bằng việc giả sử là nghiệm của với điều kiện ràng buộc với bộ Ví Dụ như nhỏ nhất hoặc nhỏ nhất v v Bằng những phép biến đổi số học ta tìm được bộ nghiệm khác trái với những điều kiện ràng buộc trên.

Ví dụ khi chon bộ với nhỏ nhất ta lại tìm được bộ thoả

Từ đó dẫn đến phương trình cho có nghiêm là Ta hãy xét ví dụ

Ví Dụ 21 : Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Phương Pháp 8: Sử Dụng Một Mệnh Đề Cơ Bản Của Số Học

Trước tiên ta đến với bài toán nhỏ sau:

Cho là số nguyên tố có dạng với nguyên dương ; là số tự nhiên lẻ Chứng minh rằng nếu thì

Chứng minh:

Giả sử ko chia hết cho thì rõ ràng ko chia hết cho

Theo fermat nhỏ :

nên

Mặt khác do lẻ nên theo hằng đẳng thức :

( là số nào đó )

Do đó theo ta có điều phải chứng minh

Xét 1 trường hợp nhỏ của bài toán trên :

Khi ; vì lẻ nên

Lúc đó ta có mệnh đề sau : là số nguyên tố có dạng Khi đó nếu thìMệnh đề hết sức đơn giản này lại là 1 công cụ vô cùng hiệu quả đối vơi nhiều bài toán khó

Ví Dụ 22: ( bài toán Lebesgue) Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

( đây là 1 trường hợp nhỏ của phương trình Mordell )

Ghi chú : Phương trình Mordell là phương trình có dạng ; bài toán trên là trường hợp phương trình Mordell với

Giải:

Trước tiên ta có bổ đề nhỏ sau :

Mọi số nguyên có dạng đều có ít nhất ước nguyên tố có dạng

Chứng Minh:

Giả sử A không có ước nguyên số nào có dạng

( vô lí)

Do đó A có ước dạng

Nếu là số nguyên tố thì bổ đề được chứng minh Nếu là hợp số Lý luận tương tự

ta lại có có ước có dạng Nếu lại là hợp số thì lai tiếp tục Vì quá trình trên là hữu hạn nên ta có điều phải chứng minh

Quay lại bài toán

Ví Dụ 23: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

( phương trình Mordell với )

Do đó phương trình trên vô nghiệm

Và cuối cùng để thấy thêm sự hiệu quả của mệnh đề này ; ta hãy đến với bài toán của Euler

Ví Dụ 24: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Nhưng trước hết hãy xem lời giải của Euler để nhìn nhận ra sự giá trị của mệnh đề trên : giả sử pt có tâp nghiệm với là giá trị nhỏ nhất của

Vậy pt này vô nghiệm

Nhưng nếu dùng mệnh đề trên thì lời giải ngắn gọn hơn nhiều :

Rõ ràng đều có dạng Thật vậy :

Do đó có ít nhất ước nguyên tố

( vô lí)

Do đó phương trình trên vô nghiệm

Các dạng cơ bản của phương trình vô định nghiệm nguyên mình đã giới thiệu hết Việc sắp xếp các dạng ; phương pháp là theo chủ ý của mình nên ít nhiều sẽ sai sót Sau đây là phần nói thêm

về các phương trình vô định siêu việt và phương trình khác ( kiến thức sơ sai nên mình nói cũng

sơ thôi )

Đầu tiên là phương trình dạng mũ :

Như đã nói thì phương trình dạng mũ thường có phương pháp chung là xét Modulo ( nhưng không phải là luôn luôn )

Ví Dụ 26: Giải phương trình nghiệm nguyên sau :

Ví Dụ 26: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

với ( Việt Nam 1982) Giải:

Ta đến với các bài toán khó hơn

Ví Dụ 28: Giải phương trình nghiệm nguyên dương sau :

Giải:

Rõ ràng là nghiệm

Xét Không mất tính tống quát giả sử

do y nguyên nên nguyên

Do đó phương trình vô nghiệm với

Kết luận : nghiệm phương trình là với

Chú ý : Ta có thể giải phương trình theo cách khác Nhưng trước hết ; ta cần chứng minh mệnh

đề sau :

Ta chứng minh phần thuận ; phần đảo là điều hiển nhiên

Trong phân tích ra dạng chuẩn tắc thì số nguyên tố có lũy thừa tương ứng là

Do đó trong phân tích ra dạng chuẩn tắc thì số nguyên tố có lũy thừa tương ứng là

Vì

Vì được chọn tuỳ ý nên

Quay lại với bài toán

Ví Dụ 29 : Giải phương trình nghiệm nguyên không âm sau :

Kết luận : nghiệm phương trình là

Ví Dụ 30 : Giải phương trình nghiệm nguyên không âm sau :

Bài toán này đã được đề cập trong phần trước và đây là lời giải của nó : Xét theo modulo

Nhưng thì không chia hết cho

Kết luận : nghiệm của phương trình là

Ví Dụ 31 : Giải phương trình nghiệm nguyên dương :

Vô lí do đó phương trình trên vô nghiệm

Bài toán với các nghiệm nguyên tố

Ví Dụ 31 : Tìm để

a) là số nguyên tố

Kết luận : nghiệm của phương trình là

Từ bài toán trên hẳn chúng ta dễ dàng hình dung là lời giải bài toán sau: Tìm các số nguyên tố thoả :

Các Phương Trình chứng minh vô số nghiệm :

Ví Dụ 34 : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm Giải:

Ta xây dựng nghiệm của phương trình này

Đặt

Thế vào ta được :

Phương trình có vô số nghiệm có dạng :

Tổng quát hoá bài toán với phương trình

Với cách giải trên ; phương trình có vô số nghiệm có dạng :

Chú ý: Công Thức trên chưa chắc đã lấy hết tất cả các nghiệm của bài toán nhưng chúng ta chỉ cần có như vậy để hoàn thành bài toán

Ví Dụ 35 : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm

Giải hệ trên ta được

Kết luận : Phương trình có vô số nghiệm có dạng :

Ví Dụ 36 : Chứng minh rằng phương trình có vô số nghiệm

Sau đây là phần các bài tập ; mình sẽ xếp các bài tập không theo từng dạng và các bạn phải xác định dạng của nó để có phương án xử lí thích hợp

48/ (APMO ) Tìm n nguyên dương để phương trỉnh sau có nghiệm

49/ Chứng minh rằng phương trình sau có vô số nghiệm : ( Brazil 1990 )

nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

Thay vào được

Thay vào được thỏa mãn

Vậy PT có 2 nghiệm

===========

27/

Giả sử x,y,z là nghiệm sao cho min

Viết x,y,z dưới dạng

Pt tương đương:

Đặt

hoặc

Ko mất tính tổng quát giả sử cặp pt thứ 1 đúng Ta thấy v,u cùng lẻ

có tính chẵn lẻ khác nhau)

Vậy p,q,m là nghiệm của PT ban đầu Ta thấy vô lí

Vậy PT vô nghiệm

KT trực tiếp chúng đều ko là nghiệm

Vậy chỉ có là nghiệm của PT

70/ PT Fermat (vô nghiệm)

PT tương đương với

Sau đó sử dụng phương pháp cực hạn và công thức nghiệm của PT Pi-ta-go để chứng minh được

Xét tương tự như trên TH này cũng ko xảy ra.

4, Nếu x<z , lại xét 2 trường hợp y<x và y>x, cả 2 đều cho điều vô lí.Vậy

Hay

, thay vào PT ban đầu ta có:

Thay vào tìm tiếp y

6/ Một số CP chia cho 8 dư 0,1,4

Vậy chia 8 dư 0,1,2,4 hoặc 5

37/ (nghiệm nguyên dương)

Ko mất tính tổng quát giả sử , khi đó:

Vậy PT có nghiệm nguyên dương duy nhất

là số CP, và , ở đây

Từ đó tìm ra được n

============

25/ VP là số lẻ nên lẻ do đó x lẻ

Vậy PT ko có nghiệm nguyên

31/ Nghiệm nguyên dương

Không mất tính tổng quát giả sử

MẶt khác nếu thì thay vào PT ban đầu sẽ ko thỏa mãn Do đó phải có 2 số khác nhau

Hiển nhiên x lẻ, do đó chia cho 4 dư chẵn chẵn.

Đặt x=2a+1, y=2b với

Thay vác biểu thức này vào PT ban đầu được:

Nếu thì ta được

Với a\geq 1 thì n và nguyên tố cùng nhau Do đó n và đều là số CP ĐẶt

ta có vô lí vì Vậy ta có 2 nghiệm là

Đáp số:

=========

12/ Dễ thấy x và y phải chia hết cho 3

Do đó cũng là 1 nghiệm của pt đã cho

Vậy

=============

13/ Đưa về phương trình ước số:

Lập bảng tiếp được các giá trị sau:

ko có nghiệm nguyên.Nếu thì

ko có nghiệm nguyênVậy pt ko có nghiệm nguyên.

============

1-2 /2 bài này tương tự nhau, vì vậy tôi sẽ giải 1 bài

1

Từ pt trên ta có

Đặt , thay vào (1) ta được:

Vậy công thức nghiệm tổng quát của x,y là:

Số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn của là

Số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩn của là

Do

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Từ đó tồn tại các số nguyên sao cho

Thật vậy giả sử điều ngược lại, tức là y>x hoặc z>x

-Ko mất tính tổng quát giả sử

Pt ban đầu được viết lại dưới dạng

PT tổng quát có nghiệm nguyên là

Do đó (1) ko có nghiệm nguyên Tức là điều này ko thể xảy ra

Vậy pt có nghiệm nguyên duy nhất

================

16-26/2 bài tương tự nhau nên chỉ cần giải 1 bài là đc

Đưa về phương trình bậc 2 đối với x

, pt này ko có nghiệm nguyên.

Vậy

69/Ta có

Thay vào ban đầu được ko là số nguyên

Vậy pt ko có nghiệm nguyên dương

2 là nghiệm nguyên dương của tam thức bậc 2:

Theo định lý Vi-et, phương trình này còn có 1 nghiệm khác là

là một nghiệm nguyên dương của (1)

Ta có

Ta thấy

Do đó n nhận các giá trị Thử từng trường hợp ta có:

Tất cả đều thỏa mãn

===========Với ta có

65/ Với Viết lại dưới dạng:

Do và cùng tính chẵn lẻ nên và cùng chẵn, và chỉ có 1 số chia hết cho 4.do

đó ta có:

(k lẻ)

-Nếu ta có

(do k lẻ)Thay vào thấy ko thỏa mãn

9/ chia cho 3 dư 0 hoặc chia cho 9 dư 0 hoặc

chia cho 9 dư 0, 1 hoặc -1

Tương tự chia cho 9 dư 0, 1 hoặc -1

chia cho 9 dư Mà 50 chia cho 9 dư 5 nên pt ko có nghiệm nguyên