Bai giang ODCT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI KHOA CÔNG TRÌNH BỘ MÔN KẾT CẤU *** ỔN ĐỊNH CÔNG TRÌNH HÀ NỘI 04-2012 Mục lục Khái niệm 1.1 Khái niệm ổn định 1.2 Phân loại ổn định 1.2.1 Mất ổn định vị trí 1.2.2 Mất ổn định dạng cân 1.3 Bậc tự 1.4 Các phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Phương pháp tĩnh học 1.4.2 Phương pháp lượng 1.4.3 Phương pháp động lực học Ổn định thẳng 2.1 Phương trình chuyển vị nội lực 2.2 Ổn định thẳng, tiết diện không đổi hai đầu 2.2.1 Trường hợp liên kết cứng hai đầu 2.2.2 Trường hợp liên kết đàn hồi 2.3 Ổn định thẳng có tiết diện thay đổi có liên Ổn định hệ thẳng 3.1 Các giả thiết 3.2 Tính ổn định khung theo phương pháp chuyển vị 3.2.1 Phản lực nội lực thẳng chịu nén kéo liên kết chuyển vị cưỡng 3.2.2 Nội dung phương pháp chuyển vị 3.3 Ổn định dầm liên tục 3.4 Ổn định chịu nén dàn i 1 2 5 5 kết 7 11 16 19 19 20 20 22 24 25 Danh sách hình vẽ 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Thanh chịu nén tâm (a), Trạng thái cân uốn dọc (b), Mất ổn định loại (c) Vành tròn kín chịu áp lực phân bố hướng tâm (a), Vòm parabol chịu tải trọng phân bố theo phương ngang (b), Khung chịu tải trọng tâm (c) Khung đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng Dầm chữ I chịu uốn phẳng tải trọng Trạng thái biến dạng (a) điều kiện cân lực (b) Sơ đồ giá trị µ tương ứng Thanh có đầu ngàm đàn hồi đầu tự Giải phương trình đồ thị Thanh có đầu ngàm cứng đầu liên kết đàn hồi Phương pháp đồ thị Thanh có đầu ngàm đàn hồi đầu liên kết tuyệt đối cứng Thanh có tiết diện thay đổi hình bậc thang Tải trọng tác dụng hệ (a), Tải trọng tác dụng nút (b) Biến dạng liên kết chuyển vị cưỡng chịu lực nén Khung phẳng (a), Hệ (b) Hệ dầm liên tục Các chịu nén dàn iii 4 10 11 12 13 14 15 16 20 20 23 25 26 Chương Khái niệm Trong toán thiết kế kết cấu công trình thường phải kiểm tra điều kiện bền, điều kiện cứng điều kiện ổn định Các phương pháp tính toán kiểm tra điều kiện bền điều kiện cứng nghiên cứu học phần Cơ học kết cấu Bài giảng giới thiệu phương pháp tính toán kiểm tra điều kiện ổn định kết cấu công trình thông qua việc xác định lực tới hạn hệ 1.1 Khái niệm ổn định • Hiện tượng ổn định: Nhiều công trình thực tế (kết cấu chịu nén kéo với uốn) chịu tác dụng tải trọng giá trị nhỏ giá trị cho phép điều kiện bền điều kiện cứng kết cấu khả bảo toàn hình dạng ban đầu trạng thái biến dạng mà chuyển sang dạng cân khác Nội lực dạng cân phát triển nhanh làm cho công trình bị phá hoại Người ta gọi tượng kết cấu bị ổn định • Quan điểm ổn định Euler-Lagrange: Ổn định tính chất công trình có khả giữ vị trí ban đầu giữ dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng tương ứng với tải trọng tác dụng • Vị trí công trình hay dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng công trình gọi ổn định tác dụng tải trọng sau gây cho công trình độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đầu dạng cân ban đầu nguyên nhân tải trọng có bỏ nguyên nhân công trình có khuynh hướng quay trở trạng thái ban đầu • Vị trí công trình hay dạng cân ban đầu trạng thái biến dạng công trình gọi không ổn định tác dụng tải trọng sau gây cho công trình độ lệch nhỏ khỏi vị trí ban đầu dạng cân ban đầu nguyên nhân tải trọng có bỏ nguyên nhân công trình không quay trở trạng thái ban đầu Lúc này, độ lệch công trình khuynh hướng giảm dần mà tiếp tục phát triển công trình có vị trí dạng cân • Trạng thái tới hạn: Bước độ công trình từ trạng thái ổn định sang trạng thái không ổn định gọi ổn định Giới hạn đầu bước độ gọi trạng thái tới hạn công trình Tải trọng tương ứng với trạng thái tới hạn gọi tải trọng tới hạn 1.2 1.2.1 Phân loại ổn định Mất ổn định vị trí Hiện tượng ổn định vị trí xảy toàn công trình xem tuyệt đối cứng, không giữ nguyên vị trí ban đầu mà buộc phải chuyển sang vị trí khác Nguyên nhân gây ổn định vị trí ngoại lực tác dụng công trình cân vị trí ban đầu mà cân vị trí khác vị trí ban đầu Ví dụ: trường hợp ổn định lật trượt kết cấu tường chắn, mố trụ cầu, tháp nước 1.2.2 Mất ổn định dạng cân Mất ổn định loại Các đặc trưng tượng ổn định loại (mất ổn định Euler): Dạng cân có khả phân nhánh Phát sinh dạng cân khác dạng cân ban đầu tính chất Hình 1.1: Thanh chịu nén tâm (a), Trạng thái cân uốn dọc (b), Mất ổn định loại (c) Trước trạng thái tới hạn dạng cân ban đầu ổn định, sau trạng thái tới hạn dạng cân ban đầu không ổn định Ví dụ: Thanh thẳng chịu nén tâm hình 1.1a Khi lực P nhỏ, thẳng, trạng thái chịu nén trạng thái ban đầu Nếu đưa hệ khỏi dạng ban đầu nguyên nhân bỏ nguyên nhân hệ dao động trở dạng ban đầu Do đó, dạng cân ổn định Trạng thái cân ổn định mô tả đoạn OA hình 1.1c Khi tăng lực P đến giá trị gọi lực tới hạn Pth , trạng thái tới hạn Ngoài trạng thái cân chịu nén có khả phát sinh đồng thời trạng thái cân uốn dọc, nghĩa trạng thái cân phiếm định Như dạng cân bị phân nhánh thành hai dạng biến dạng Trạng thái tương ứng với điểm phân nhánh A đồ thị hình 1.1c Khi lực P > Pth trạng thái cân chịu nén có khả tiếp tục tồn song không ổn định Dạng cân không ổn định tương ứng với nhánh AB đồ thị Trong hệ phát sinh đồng thời trạng thái cân uốn dọc biến dạng hữu hạn 1.1b Dạng cân ổn định mô tả nhánh AC AD đồ thị 1.1c Hiện tượng ổn định loại xẩy dạng sau: • Mất ổn định dạng nén tâm (hình 1.2) • Mất ổn định dạng biến dạng đối xứng (hình 1.3) • Mất ổn định dạng uốn phẳng (hình 1.4) Hình 1.2: Vành tròn kín chịu áp lực phân bố hướng tâm (a), Vòm parabol chịu tải trọng phân bố theo phương ngang (b), Khung chịu tải trọng tâm (c) Hình 1.3: Khung đối xứng chịu tải trọng tác dụng đối xứng Mất ổn định loại hai Các đặc trưng tượng ổn định loại hai: Dạng cân không phân nhánh Biến dạng dạng cân hệ không thay đổi tính chất Trong phạm vi giảng ta nghiên cứu toán ổn định loại dạng cân trạng thái biến dạng hệ làm việc giới hạn đàn hồi 1.3 Bậc tự Bậc tự hệ số thông số hình học độc lập đủ để xác định vị trí tất điểm hệ hệ ổn định Hình 2.7: Thanh có đầu ngàm đàn hồi đầu liên kết tuyệt đối cứng Thay thông số vào phương trình (2.10) (2.11) ta có: y(x) = y (0) sin αx R − αx − sin αx α α EI y (x) = y (0) cos αx − R α2 EI − cos αx (2.37) (2.38) Từ điều kiện biên: x = l y(l) = y (l) = Rlω ta có phương trình: y(l) = y (0) sin αl R − αl − sin αl = α α EI R y (l) = y (0) cos αl − α2 EI − cos αl = Rlω (2.39) (2.40) Phương trình ổn định thiết lập từ điều kiện tồn y (0) Q(0): tgαl = αl + (αl)2 ωEI l (2.41) v + v2 ωEI l (2.42) hay tgv = Hình 2.8: Thanh có tiết diện thay đổi hình bậc thang • Khi ω = hay liên kết ngàm đàn hồi trở thành ngàm cứng, phương trình ổn định trở thành: tgv = v hay v = 4, 493 Kết quả: Pth = π EI (0, 7l)2 Ta công thức tính lực tới hạn có đầu ngàm đầu khớp • Khi ω = ∞ tức ngàm đàn hồi trở thành khớp, ta có sin v = hay v = π Kết quả: π EI Pth = l Ta công thức tính lực tới hạn có hai đầu khớp 2.3 Ổn định thẳng có tiết diện thay đổi Xét gồm hai đoạn có độ cứng thay đổi hình 2.8 Phương trình vi phân viết cho đoạn sau: EI1 y1 + P y1 = P δ (2.43) EI2 y2 + P y2 = P δ (2.44) Nghiệm hai phương trình vi phân: y1 = A1 sin α1 x + B1 cos α1 x + δ (2.45) y2 = A2 sin α2 x + B2 cos α2 x + δ (2.46) đó: α12 = P ; EI1 α22 = P EI2 Các điều kiện biên: • Tại x = 0: y2 = • Tại x = l: y1 = δ • Tại x = l2 ta có: y1 = y2 y1 = EI2 α2 y2 = 12 y2 EI1 α2 Từ điều kiện biên ta lập hệ phương trình: A2 A1 sin α1 l + B1 cos α1 l A1 α1 cos α1 l2 − B1 α1 sin α1 l2 + B2 α2 sin α2 l2 A1 sin α1 l2 + B1 cos α1 l2 − B2 cos α2 l2 = = = = 0 0 (2.47) (2.48) (2.49) (2.50) Phương trình ổn định thu từ điều kiện tồn số tích phân: sin α1 l cos α1 l2 sin α1 l2 cos α1 l − sin α1 l2 cos α1 l2 sin α2 l2 = − cos α2 l2 α2 α1 (2.51) Khai triển định thức viết gọn lại ta thu phương trình: tgα1 l1 tgα2 l2 = α1 α2 (2.52) Khi biết tỉ số EI1 /EI2 l1 /l2 ta giải phương trình (2.52) xác định lực tới hạn cần tìm Chương Ổn định hệ thẳng 3.1 Các giả thiết Khi nghiên cứu ổn định hệ ta chấp nhận giả thiết sau nhằm đơn giản hóa việc xác định tải trọng tới hạn: Vật liệu làm việc giai đoạn đàn hồi Các nút hệ xem tuyệt đối cứng, chuyển vị đầu quy tụ vào nút Các hệ xem không co dãn Trước sau biến dạng, khoảng cách theo phương ban đầu nút hệ không thay đổi Khi xác định chuyển vị hệ, xét đến ảnh hưởng biến dạng uốn moment uốn lực dọc phát sinh trước hệ ổn định Bỏ qua ảnh hưởng gia số lực dọc phát sinh sau hệ ổn định Tải trọng tác dụng hệ đặt nút Những tải trọng gây kéo nén mà không gây uốn ngang hệ chưa bị ổn định Trong thực tế, tải trọng không đặt nút mà đặt nút Do trước giải toán ổn định ta cần xác định lực dọc hệ chịu tải trọng cho theo phương pháp học kết cấu Tiếp xác định tải trọng tới hạn cho hệ chịu tải trọng đặt nút với giá trị lực dọc vừa tìm bước 19 Hình 3.1: Tải trọng tác dụng hệ (a), Tải trọng tác dụng nút (b) 3.2 Tính ổn định khung theo phương pháp chuyển vị 3.2.1 Phản lực nội lực thẳng chịu nén kéo liên kết chuyển vị cưỡng Hình 3.2: Biến dạng liên kết chuyển vị cưỡng chịu lực nén Tương tự toán kiểm tra điều kiện bền, để chuẩn bị cho việc nghiên cứu phương pháp chuyển vị tính ổn định hệ phẳng, ta cần lập sẵn kết phản lực nội lực phần tử mẫu thẳng, tiết diện không đổi có liên kết khác hai đầu liên kết chuyển vị cưỡng Trong toán ổn định, chuyển vị cưỡng bức, thiết phải kể đến ảnh hưởng lực nén (kéo) P Xét trường hợp tổng quát: ab tiết diện không đổi, có liên kết hai đầu, chịu lực nén P hình vẽ ϕa ϕb góc xoay đầu a đầu b với quy ước chiều dương chiều quay thuận chiều kim đồng hồ; ∆ chuyển vị thẳng tương đối hai đầu a b theo phương vuông góc với trục thanh, chiều dương quy ước hình vẽ Do tác dụng chuyển vị cưỡng lực nén P , bị biến dạng phát sinh nội lực Vấn đề đặt xác định nội lực (moment Ma , Mb lực cắt Qa , Qb ) đầu sở xác định nội lực Từ điều kiện cân ΣY = ΣMb = ta có: Qa = Qb = − Ma + Mb + α2 EI∆ Ma + Mb + P ∆ =− l l (3.1) Sử dụng phương trình (2.10), (2.11) (2.12) với thông số ban đầu:  y(0)    y (0) M (0)    Q(0) = = = = ϕa Ma Qa Qa xác định theo (3.1), ta có: ϕa Ma Ma + Mb + α2 EI∆ (αx − sin αx) sin αx − − cos αx + α α EI l α3 EI (3.2) Ma Ma + Mb + α EI∆ (1 − cos αx) y (x) = ϕa cos αx − sin αx + (3.3) αEI l α2 EI y(x) = M (x) = αEIϕa sin αx + Ma cos αx − Ma + Mb + α2 EI∆ sin αx l α (3.4) Moment nội lực hai đầu Ma Mb đại lượng chưa biết, xác định theo điều kiện biên đầu b: với x = l y(l) = ∆ y (l) = ϕb y(l) = ϕa Ma Ma + Mb + α2 EI∆ (αl − sin αl) sin αl − − cos αl + =∆ α α EI l α3 EI y (l) = ϕa cos αl − Ma Ma + Mb + α2 EI∆ (1 − cos αl) sin αl + = ϕb αEI l α2 EI Giải hệ hai phương trình ta xác định Ma Mb theo chuyển vị ϕa , ϕb ∆ Sau tìm Qa = Qb theo (3.1): Ma = 2i µ1 ϕa + µ2 ϕb − (µ1 + µ2 ) ∆ l (3.5) Mb = 2i µ2 ϕa + µ2 ϕb − (µ1 + µ2 ) ∆ l (3.6) Qa = Qb = − ∆ 2i (µ1 + µ2 )(ϕa + ϕb ) − µ3 l l (3.7) đó: i= EI ; l µ1 = µ2 = v = αl = l P EI v tgv − v 2tgv 2tg 2v − v v v − sin v sin v 2tg 2v − v µ3 = v3 2tg 2v − v Dựa vào biểu thức (3.5), (3.6) (3.7) ta tìm phản lực hai đầu cho phần tử mẫu tính ổn định hệ theo phương pháp chuyển vị Kết cụ thể cho phụ lục 3.2.2 Nội dung phương pháp chuyển vị Khi vận dụng phương pháp chuyển vị để giải toán ổn định ta thực tương tự kiểm tra điều kiện bền học kết cấu Hệ Đặt thêm liên kết moment liên kết lực để ngăn cản tất chuyển vị nút hệ (hình 3.3b) Hình 3.3: Khung phẳng (a), Hệ (b) Hệ phương trình tắc Trong toán ổn định, tải trọng đặt nút nên hệ chưa ổn định phát sinh lực nén kéo mà không phát sinh moment uốn Như vậy, biểu đồ moment MP tải trọng gây kết cấu không tồn tại, số hạng tự RiP = Hệ phương trình tắc trở thành hệ phương trình nhất:   r11 Z1 +r12 Z2 +    r21 Z1 +r22 Z2 +     r Z +r Z + n1 n2 +r1n Zn = +r2n Zn = +rnn Zn = (3.8) Xác định hệ số hệ phương trình tắc Khác với kiểm tra độ bền, kiểm tra điều kiện ổn định, hệ số rij phụ thuộc lực nén kéo Ý nghĩa vật lý hệ số rij : phản lực đơn vị liên kết i đặt thêm vào hệ chuyển vị cưỡng liên kết j đặt thêm vào hệ lực nén kéo gây hệ Do đó, để xác định rij ta cần vẽ biểu đồ M j chuyển vị cưỡng Zj = liên kết j lực nén kéo gây hệ Sau dùng phương pháp tách nút mặt cắt để tìm phản lực liên kết i Phương trình ổn định Hệ phương trình (3.8) thỏa mãn với hai trường hợp: • Các ẩn số Zi = 0: Các nút hệ không chuyển vị, hệ trạng thái cân ban đầu Tải trọng chưa đạt đến tải trọng tới hạn • Tất số Zi = Lúc này, nút hệ có phát sinh chuyển vị, hệ có dạng biến dạng khác với dạng ban đầu tức hệ bị ổn định Điều kiện tồn nghiệm Zi định thức hệ số hệ phương trình tắc (3.8) phải không: r11 r21 D = r12 r22 r1n r2n = (3.9) rn1 rn2 rnn Các hệ số rij phụ thuộc lực nén P nên từ điều kiện (3.9) ta tìm giá trị lực tới hạn Pth Điều kiện (3.9) gọi phương trình ổn định theo phương pháp chuyển vị Theo cách giải toán ta chưa tìm giá trị ẩn số Zi hệ phương trình suy biến Để tìm dạng biến dạng hệ cách định tính ta quy ước gán cho ẩn số đơn vị, xác định ẩn khác theo hệ phương trình tắc (3.8) 3.3 Ổn định dầm liên tục Xét dầm liên tục có tiết diện không đổi nhịp chịu lực dọc trục đặt gối tựa Pk Chọn hệ hình 3.4 Trong trường hợp này, phương trình tắc thứ i biểu thị điều kiện phản lực moment liên kết đặt thêm vào thứ i không bao gồm ba số hạng: rk(k−1) Zk−1 + rkk Zk + rk(k+1) Zk+1 = vớii = 1, 2, n (3.10) Các hệ số xác định theo công thức: rk(k−1) = 2ik ϕ3 (vk ) (3.11) Hình 3.4: Hệ dầm liên tục rkk = 4ik ϕ2 (vk ) + 4ik+1 ϕ2 (vk+1 ) (3.12) rk(k+1) = 2ik+1 ϕ3 (vk+1 ) (3.13) đó: ik = EIk ; lk vk = lk Pk EIk (3.14) Công thức (3.12) nghiệm với k > k < n Khi k = k = n, hệ số rkk phụ thuộc điều kiện liên kết đầu dầm: • Nếu gối biên ngàm, r11 rnn xác định theo (3.12) • Nếu gối biên khớp, r11 rnn xác định theo công thức sau: rnn r11 = 3i1 ϕ1 (v1 ) + 4i2 ϕ2 (v2 ) = 4in ϕ2 (vn ) + 3in+1 ϕ1 (vn+1 ) (3.15) (3.16) Từ hệ phương trình (3.10) ta lập phương trình ổn định cho dầm liên tục cách cho định thức hệ số hệ phương trình tắc không Sau khai triển định thức giải phương trình ổn định ta tìm thông số vk , từ suy giá trị tới hạn lực P 3.4 Ổn định chịu nén dàn Trong phạm vi giảng ta đề cập đến toán ổn định cục dàn chịu nén dọc trục Dưới tác dụng tải trọng, dàn Hình 3.5: Các chịu nén dàn chịu nén bị ổn định làm cho toàn dàn bị phá hỏng Các chịu nén dàn thường thẳng có tiết diện không đổi thuộc loại sau: • Các đứng, biên xiên không cắt qua khác Để kiểm tra ổn định dàn này, ta xem làm việc theo sơ đồ có liên kết khớp hai đầu sử dụng công thức nghiên cứu chương • Các đứng xiên cắt qua một, hai nhiều đứng hay xiên khác Trên hình 3.5 giới thiệu số dàn thuộc loại Khi ổn định, làm việc giống có hai gối khớp hai đầu có một, hai nhiều gối đàn hồi bên nhịp • Hệ biên cầu dàn hở Cầu dàn hở cầu có đường xe chạy giằng gió biên Khi ổn định, hệ biên bị cong mặt phẳng dàn, khung ngang cầu (bao gồm dầm ngang hệ thống mặt cầu đứng) ngăn cản không cho phép hệ biên chuyển vị tự làm việc giống liên kết đàn hồi Phụ lục Các hàm số dùng phương pháp chuyển vị: P EI EI ; l v=l ϕ1 (v) = v2 tgv 3(tgv − v) i= ϕ2 (v) = v(tgv − v) 8tgv tg 2v − ϕ3 (v) = v v(v − sin v) sin v tg 2v − ϕ4 (v) = ϕ1 η1 (v) = v v v3 3(tgv − v) η2 (v) = η1 v η3 (v) = ϕ4 (v) = ϕ1 v Biểu đồ moment phản lực gối tựa liên kết chuyển vị cưỡng bức: 27