HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

Số lượng một góc mở là đo dọc theo vòng cung của một đường tròn bán kính 1 với tâm của nó ở đỉnh của góc.. ĐỊNH NGHĨA SỐ ĐO RADIAN Nếu đường tròn có bán kính là 1 được vẽ với đỉnh của

KHOA TOÁN -

ĐỌC VÀ GIỚI THIỆU SÁCH BẰNG TIẾNG ANH

CHƯƠNG 6 SÁCH PRECALCULUS

BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

HUẾ, 09/2014

KHOA TOÁN -

ĐỌC VÀ GIỚI THIỆU SÁCH BẰNG TIẾNG ANH

CHƯƠNG 6 SÁCH PRECALCULUS

BÀI TẬP LỚN HỌC PHẦN: RÈN LUYỆN NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM THƯỜNG XUYÊN 3

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ĐĂNG MINH PHÚC

HUẾ, 09/2014

Để đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên liên quan đến tính toán, chúng tôi đã dịch chương 6 trong sách “Precalculus” Mỗi phần của chương bao gồm:

ở một số chỗ cho thích hợp và dễ hiểu hơn

Chúng tôi hi vọng rằng với việc dịch chương 6 trong cuốn sách “Precalculus” góp phần tích cực hơn nữa trong việc cung cấp các tài liệu bổ ích cho các thầy cô giáo để làm tư liệu, giúp các em học sinh tự học, rèn luyện kĩ năng giải toán, nâng cao khả năng vận dụng kiến thức và góp phần rèn luyện tư duy toán học

Mặc dù đã cố gắng hết sức song phần dịch này khó tránh khỏi những thiếu sót.Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các độc giả để chúng tôi có thể hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Huế, tháng 09 năm 2014

Các tác giả

- JAMES STEWART nhận được MS của mình từ Đại học Stanford và tiến sĩ từ Đại học Toronto

Ông đã nghiên cứu tại Đại học London và bị ảnh hưởng bởi các nhà toán học nổi tiếng George Polya tại Đại học Stanford Stewart là giáo sư danh dự tại Đại học McMaster và hiện là giáo sư Toán học tại Đại học Toronto Lĩnh vực nghiên cứu của ông là phân tích sự hài hòa và các kết nối giữa toán học và

âm nhạc James Stewart là tác giả của một loạt sách giáo khoa bán chạy nhất được xuất bản bởi Brooks/Cole, Cengage Learning; trong đó có Precalculus và một loạt các sách giáo khoa toán học ở trường trung học

- LOTHAR REDLIN lớn lên trên đảo Vancouver, nhận bằng Cử nhân Khoa học từ Đại học Victoria,

và đã nhận được bằng tiến sĩ từ Đại học McMaster ở năm 1978 Sau đó, ông đã nghiên cứu và giảng dạy tại trường Đại học Washington, Đại học Waterloo, và Đại học bang California, Long Beach Ông hiện là Giáo sư Toán học tại Đại học bang Pennsylvania, Abington Campus Lĩnh vực nghiên cứu của ông là hình học tôpô.

- SALEEM WATSON nhận được bằng cử nhân khoa học từ Đại học Andrews ở Michigan Ông đã

làm nghiên cứu sau đại học tại Đại học Dalhousie và Đại học McMaster, nơi ông nhận bằng tiến sĩ vào năm 1978 Sau đó, ông đã nghiên cứu tại Viện Toán học của Đại học Warsaw, ở Poland Ông cũng giảng dạy tại Đại học bang Pennsylvania Ông hiện là Giáo sư Toán học tại Đại học bang California, Long Beach Lĩnh vực nghiên cứu của ộng là giải tích hàm

MỤC LỤC

CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC: PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN TAM GIÁC VUÔNG………… 3

6.1 SỐ ĐO GÓC 4

Số đo góc 4

Góc ở vị trí chuẩn 6

Độ dài của một cung tròn 8

Diện tích của một hình quạt tròn 9

Chuyển động tròn 10

6 1 BÀI TẬP 12

6.2 LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VUÔNG 20

Tỷ số lượng giác……….20

Tam giác đặc biệt 21

Ứng dụng lượng giác của tam giác vuông 23

6 2 BÀI TẬP 26

6.3 CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC 36

Các hàm số lượng giác của góc 36

Ước lượng hàm số lượng giác của góc bất kỳ 37

Mối quan hệ của hàm lượng giác với số thực 38

Đẳng thức lượng giác 42

Diện tích của tam giác 45

6 3 BÀI TẬP 46

6.4 HÀM NGƯỢC CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ TAM GIÁC VUÔNG 55 Hàm ngược của hàm Sin, hàm ngược của hàm Cosin, hàm ngược của hàm Tan 55

Biểu thị các biểu thức liên quan đến hàm ngược của hàm lượng giác 59

6 4 BÀI TẬP 61

6.5 ĐỊNH LUẬT SIN 66

Định luật sin 67

Trường hợp không xác định 68

6 5 BÀI TẬP 72

6.6 ĐỊNH LUẬT COSIN 80

Định luật cosin 80

Sự chuyển hướng: hướng chuyển động và góc phương vị 83

Diện tích tam giác 84

6 6 BÀI TẬP 86

CHƯƠNG 6 | ÔN TẬP 94

KIỂM TRA LÝ THUYẾT 94

BÀI TẬP 95

CHƯƠNG 6 | KIỂM TRA 104

MÔ HÌNH TẬP TRUNG 107

Khảo sát 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO 114

CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC: PHƯƠNG PHÁP

TIẾP CẬN TAM GIÁC VUÔNG

Nếu θlà một góc trong tam giác vuông, thì tỉ số lượng giác θ được định nghĩa là độ dài của cạnh đối diện với θ chia cho độ dài của cạnh huyền Tỷ số này là giống nhau cho bất kì tam giác nào, bao gồm các tam giác lớn tạo bởi mặt trời, trái đất, và mặt trăng! (Xem Phần 6.2, Bài tập 61.)

Các hàm lượng giác có thể được định nghĩa bằng hai cách khác nhau nhưng tương đương: như những hàm số thực (Chương 5) hoặc những hàm số góc (Chương 6) Hai phương pháp tiếp cận là độc lập với nhau, vì vậy Chương 5 hoặc Chương 6 có thể được nghiên cứu trước Ta nghiên cứu cả hai phương pháp vì các phương pháp khác nhau có các ứng dụng khác nhau

Số đo góc  Góc ở vị trí chuẩn  Độ dài của cung tròn  Diện tính của hình quạt tròn  Chuyển động tròn

Góc AOB bao gồm hai tia R1và R2 với gốc O chung (xem hình 1) Ta thường thể hiện góc bằng việc quay từ tia R1 lên R2 Trong trường hợp này, R1 được gọi là tia đầu, và R2 được gọi là tia cuối của góc Nếu quay ngược chiều kim đồng hồ, góc được xem là dương, và nếu quay theo chiều kim đồng hồ, thì góc được xem là âm

HÌNH 1

 Số đo góc

Số đo của một góc là tổng số vòng quay quanh gốc yêu cầu di chuyển từ R1 lên R2.

Dễ thấy, sẽ có nhiều góc "mở ra" Một đơn vị của phép đo góc là độ Một góc có số

đo là 1 độ được hình thành bằng cách quay cạnh đầu

của một vòng quay đầy đủ Trong tính toán và trong các phần của toán học, một cách tự nhiên hơn của việc đo

góc là sử dụng số đo radian Số lượng một góc mở là đo dọc theo vòng cung của

một đường tròn bán kính 1 với tâm của nó ở đỉnh của góc

ĐỊNH NGHĨA SỐ ĐO RADIAN

Nếu đường tròn có bán kính là 1 được vẽ với đỉnh của góc ở tâm thì số đo của góc đó trong radian (viết tắt rad) là độ dài của cung đối diện góc đó (xem Hình 2)

HÌNH 2

Số đo radian của

Chu vi của đường tròn bán kính 1 là 2 và quay đúng một vòng là 2 , một góc bẹt

có số đo rad, và một góc vuông có số đo là rad Một góc mà đối diện với cung

có độ dài 2 theo đường tròn đơn vị có số đo radian là 2( xem hình 3)

HÌNH 3: Số đo radian

Khi quay đúng 1 vòng số đo độ là 360o và số đo radian là 2 rad, ta có hệ thức liên

hệ đơn giản giữa hai đại lượng đo góc như sau

MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐỘ VÀ RADIAN

Để đổi độ sang radian, làm phép nhân với

Để đổi radian sang độ, làm phép nhân với

Số đo của góc = 1 rad

Số đo góc là 1 rad được biểu diễn trong hình 4

VÍ DỤ 1 | Chuyển đổi giữa radian và độ

(a) Biểu diễn 60o theo radian

(b) Biểu diễn radian theo độ

LỜI GIẢI Ta có sự liên hệ giữa độ và góc

(a) (b) o

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 3 VÀ 15

là 300 Hơn nữa, đối với góc , ta viết hay có nghĩa là số đo của là

300 hay Nếu không cho trước đơn vị, các góc được giả định là được đo bằng radian

(a) Tìm góc khác nhau 360o với góc trong vị trí chuẩn

(b) Tìm góc khác nhau 360o với góc trong vị trí chuẩn

HÌNH 6 (b) Để tìm góc dương khác nhau 360o với , ta cộng thêm một bội số nào đó của

LỜI GIẢI Ta có thể trừ 1290o cho 360o một số lần mà ta muốn, và được kết quả của góc khác nhau 360o với 1290o Do đó 1290o

- 360o = 930o là khác nhau 360o với

1290o, và vì thế góc 1290o - 2(360o) = 570o cũng vậy

thiết Một cách hữu hiệu để làm điều này là xác định 1290o trừ bội số là bao nhiêu của 360o, đó là chia 1290 cho 360, và số dư sẽ là góc ta cần tìm Ta thấy rằng 1290 trừ đi 3 lần 360 được 210 Do đó, 210o là góc cần tìm (xem hình 8)

HÌNH 8

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 39

 Độ dài của một cung tròn

HÌNH 9: s =

Một góc mà số đo rad của nó là được đối diện với một cung bằng chu vi của đường tròn Do đó, trong một đường tròn bán kính r, độ dài s của một cung đối diện với góc (xem Hình 9) là

ĐỘ DÀI CỦA MỘT CUNG TRÒN

Trong một đường tròn bán kính r, độ dài s của một cung đối diện với góc ở tâm rad là

Giải góc , ta có công thức quan trọng

Đây là công thức cho phép ta định nghĩa số đo radian trong một đường tròn bán kính

r Số đo rad của một góc là s/r, s là độ dài của cung tròn đối diện với góc trong một đường tròn bán kính r (xem hình 10)

HÌNH 10

VÍ DỤ 4 | Độ dài cung tròn và số đo góc

(a) Tìm độ dài cung tròn đối diện với góc ở tâm là 30o của đường tròn bán kính 10m

(b) Một góc ở tâm trong đường tròn bán kính 4m đối diện với cung có độ dài 6m

Tìm số đo của theo radian

Công thức s = r chỉ đúng khi có số

đo theo radian

LỜI GIẢI:

Từ ví dụ 1b ta thấy rằng 30o = rad Vì thế độ dài của cung tròn là

Từ công thức s/r, ta có

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 55 VÀ 57

 Diện tích của một hình quạt tròn

Diện tích của một đường tròn bán kính r là A= r2

Diện tích hình quạt của đường tròn này với góc ở tâm bằng diện tích toàn bộ đường tròn (xem hình 11)

Vì thế diện tích của hình quạt này là

HÌNH 11

DIỆN TÍCH CỦA MỘT HÌNH QUẠT TRÒN

Trong một đời tròn bán kính r, diện tích A của hình quạt với góc ở tâm rad là

VÍ DỤ 5 | Diện tích của một hình quạt

Tìm diện tích một hình quạt của đường tròn với góc ở tâm là 600 nếu bán kính đường tròn là 3m

Công thức A = r2 chỉ đúng khi số

đo góc theo radian

LỜI GIẢI Để sử dụng công thức diện tích hình

quạt tròn, ta phải tìm góc ở tâm của hình quạt theo radian: 60o = 60( rad = /3 rad Do

đó, diện tích của hình quạt là

của điểm: tốc độ dài và tốc độ góc Tốc độ dài là tốc

độ mà quãng đường di chuyển đang thay đổi, vì thế tốc

độ dài bằng quãng đường di chuyển chia cho thời gian

trôi qua Tốc độ góc là tốc độ mà góc ở tâm đang thay đổi, vì vậy tốc độ góc là số rad góc thay đổi này chia cho thời gian trôi qua

TỐC ĐỘ DÀI VÀ TỐC ĐỘ GÓC

Giả sử một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn bán kính r và tia từ tâm đường tròn đến những điểm đi qua rad trong thời gian t Cho là khoảng cách điểm di chuyển trong thời gian t Thì tốc độ của đối tượng được cho bởi

VÍ DỤ 6 | Tìm tốc độ góc và tốc độ dài

Một cậu bé quay một hòn đá được treo vào dây có độ dài 3 ft với tốc độ 15 vòng trong 10 giây Tìm vận tốc dài và vận tốc góc của hòn đá

LỜI GIẢI Trong 10s, góc thay đổi 30 rad Vì vậy

tốc độ góc của hòn đá là

Khoảng cách mà hòn đá di chuyển được trong 10s là

Vì thế tốc độ dài của hòn đá là

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 79 Chú ý rằng tốc độ góc không phụ thuộc vào bán kính của đường tròn, mà chỉ phụ thuộc vào góc Tuy nhiên, nếu ta biết tốc độ góc và bán kính r, ta có thể tìm tốc độ dài như sau:

MỐI QUAN HỆ GIỮA TỐC ĐỘ DÀI VÀ TỐC ĐỘ GÓC Nếu một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn bán kính r với tốc độ góc , thì tốc độ dài của nó được cho bởi

VÍ DỤ 7 | Tìm tốc độ dài từ tốc độ góc Một người phụ nữ đang đi một chiếc xe đạp với bánh xe có đường kính 26 inches Nếu bánh xe quay 125 vòng mỗi phút (vòng/phút), tìm tốc độ mà cô ấy di chuyển theo dặm/giờ LỜI GIẢI Tốc độ góc của bánh xe là 2 125 = 250 rad/phút Khi bánh xe có bán kính 13 in (nửa đường kính), tốc độ dài là v = r = 13 250 10210,2 in./phút Khi tốc độ dài là 12in./phút, 5280 ft/dặm, và 60 phút/giờ, tốc độ của cô ấy theo dặm/giờ là

 BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 81

KHÁI NIỆM

1 (a) Số đo radian của một góc là độ dài của _ mà đối diện với góc trong

một đường tròn bán kính _

(b) Để đổi độ sang radian, ta làm phép nhân với _

(c) Để đổi radian sang độ, ta làm phép nhân với _

2 Góc ở tâm được biểu diễn trong đường tròn bán kính r

(a) Độ dài của cung đối diện với là s = _

(b) Diện tích của hình quạt với góc ở tâm là A = _

27–32 ■ Cho số đo một góc trong vị trí chuẩn Tìm góc dương và góc âm mà khác

nhau 360o với góc đã cho

53 Tìm bán kính r của đường tròn trong hình

54 Tìm độ dài của cung đối diện với góc ở tâm 45o trong đường tròn bán kính 10m

dặm

56 Góc ở tâm trong đường tròn bán kính 5m là góc chắn cung có độ dài 6m Tìm

số đo góc theo độ và radian

57 Một cung có độ dài 100m đối diện góc ở tâm trong đường tròn bán kính

50m Tìm số đo góc theo độ và radian

58 Cung tròn độ dài 3 ft đối diện với góc ở tâm 25o Tìm bán kính của đường tròn

59 Tìm bán kính của đường tròn nếu một cung có độ dài 6m đối diện với góc ở tâm

rad

60 Tìm bán kính của đường tròn nếu một cung có độ dài 4 ft đối diện với góc ở tâm

135o

61 Tìm diện tích của hình quạt biểu diễn trong mỗi hình

62 Tìm bán kính của mỗi đường tròn nếu diện tích hình quạt là 12

63 Tìm diện tích một hình quạt mà góc ở tâm là 1 rad trong đường tròn bán kính

68 Ba đường tròn bán kính 1, 2 và 3 ft tiếp xúc ngoài với nhau, được biểu diễn

trong hình Tìm diện tích hình quạt của đường tròn bán kính 1 mà cắt bởi 2 đoạn nối tâm với tâm của 2 đường tròn khác

ỨNG DỤNG

69 Khoảng cách di chuyển Bánh xe của một chiếc xe có đường kính là 28 in

Chiếc xe sẽ di chuyển bao xa (theo dặm) nếu bánh xe quay 10000 lần mà không bị trượt?

70 Sự quay của bánh xe Bánh xe đường kính 30 in sẽ quay bao nhiêu vòng nếu

như chiếc xe di chuyển một khoảng cách là 1 dặm?

71 Vĩ độ Pittsburgh, Pennsylvania, và Miami, Florida, gần như trên cùng kinh

tuyến Pittsburgh có vĩ độ 40,5oN, và Miami có vĩ độ 25,5o

N Tìm khoảng cách giữa hai thành phố này (Bán kính của Trái Đất là 3960 dặm)

72 Vĩ độ Memphis, Tennessee, và New Orleans, Louisiana, gần như trên cùng

kinh tuyến Memphis có vĩ độ 35oN, và New Orleans có vĩ độ 30o

N Tìm khoảng cách giữa hai thành phố này (Bán kính của Trái Đất là 3960 dặm)

73 Quỹ đạo của Trái Đất Tìm khoảng cách mà Trái Đất di chuyển trong một

ngày trên đường đi của nó quanh Mặt Trời Giả sử rằng một năm có 365 ngày và đường đi của Trái Đất quanh Mặt Trời là một đường tròn bán kính 93 triệu dặm [ Đường đi của Trái Đất quanh Mặt Trời thực ra là một elip với Mặt Trời là một tiêu điểm (xem phần 10.2) Đây là elip, tuy nhiên tâm sai rất nhỏ, vì vậy nó gần như là đường tròn.]

74 Chu vi của Trái Đất Nhà toán học Hy Lạp Eratosthenes (khoảng 276-195

trước Công nguyên) đã đo chu vi của Trái Đất từ các quan sát sau Ông nhận thấy rằng vào một ngày nào đó mặt trời chiếu trực tiếp xuống một giếng sâu ở Syene (Aswan hiện đại) Cùng thời gian đó ở Alexandria, 500 dặm về phía bắc (trên cùng một kinh tuyến), các tia sáng mặt trời đến thiên đỉnh một góc tới 7,2o Sử dụng thông tin này và hình để tìm bán kính và chu vi của Trái Đất

75 Dặm hải lí Tìm khoảng cách dọc theo cung trên mặt ngoài của Trái Đất mà đối

diện với góc ở tâm 1' ( 1' = độ) Khoảng cách này được gọi là 1 hải lí (Bán kính của Trái Đất là 3960 dặm)

76 Thủy lợi Một hệ thống thủy lợi sử dụng một ống dẫn thẳng dài 300 ft mà xoay

quanh một điểm trung tâm như hình vẽ Do một trở ngại đường ống được phép xoay quanh trụ chỉ 280o Tìm diện tích được tưới bởi hệ thống này

77 Thanh gạt nước kính chắn gió Đỉnh và đáy của thanh gạt nước kính chắn gió

cách điểm chốt lần lượt là 34 in và 14 in Khi đi vào hoạt động, thanh gạt nước quét qua 135o Tìm diện tích quét được cảu lưỡi gạt

78 Dây buộc con bò Một con bò bị cột bởi một dây 100 ft ở góc bên trong của

một tòa nhà hình chữ L, như trong hình tìm diện tích mà con bò có thể lướt qua

79 Quạt Một cái quạt trần với cánh quạt 16 in quay 45 vòng/phút

(a) Tìm tốc độ góc của quạt theo rad/phút

(b) Tìm tốc độ dài của đỉnh cánh quạt theo in./phút

80 Cưa tròn Một cưa tròn có lưỡi bán kính 6 in Giả sử rằng lưỡi cưa quay 1000

vòng/phút

(a) Tìm tốc độ góc của lưỡi cưa theo rad/phút

(b) Tìm tốc độ dài của răng cưa theo ft/s

81 Tay quay Một tay quay bán kính 2 ft đã đưa đống đồ

nặng lên Nếu tay quay quay 8 vòng trong 15 s, tìm tốc độ mà

vật nặng đang đi lên

vòng/phút Tìm tốc độ của chiếc xe theo dặm/giờ

83 Tốc độ ở đường xích đạo Trái Đất quay quanh trục của nó mỗi lần 23 giờ 56

phút 4 giây, và bán kính của Trái Đất là 3960 dặm Tìm tốc độ dài của điểm trên đường xích đạo theo dặm/giờ

84 Bánh xe tải Bánh xe của một xe tải có đường kính 48 in di chuyển 50 dặm/giờ (a) Tìm tốc độ góc của bánh xe theo rad/phút

(b) Bánh xe quay bao nhiêu vòng mỗi phút?

85 Tốc độ của dòng nước Để đo tốc độ của dòng nước, các nhà khoa học đặt một

bánh xe chèo thuyền trong dòng nước và quan sát tốc độ mà nó quay Nếu bánh xe chèo thuyền có bán kính 0,20 m và quay 100vòng/phút, tìm tốc độ của dòng theo m/s

86 Bánh xe đạp Các bánh răng và dây xích của một xe đạp được biểu diễn trong

hình Đĩa có bán kính 4 in., líp có bán kính 2 in., và bánh xe bán kính 13 in Người

đi xe đạp đạp 40 vòng/phút

(a) Tìm tốc độ góc của líp

(b) Tìm tốc độ của xe đạp (Giả sử rằng bánh xe quay với tốc độ tương tự như líp)

87 Cốc hình nón Một cốc hình nón được làm từ một mảnh giấy hình tròn với bán

kính 6 cm bằng việc cắt ra một hình quạt và liên kết các cạnh được thể hiện trên trang tiếp theo Giả sử = 5 /3

(a) Tìm chu vi C của cốc đang mở

(b) Tìm bán kính r của cốc đang mở [Gợi ý: Sử dụng C = 2 ]

(c) Tìm chiều cao h của cốc [Gợi ý: Sử dụng định lí Pytago.]

KHÁM PHÁ  THẢO LUẬN  VIẾT

89 Những cách khác nhau của đo góc Các tùy chỉnh của việc đo góc sử dụng độ,

với 360o trong một đường tròn, trở lại những ngày của người Babylon cổ đại, là những người đã sử dụng một hệ thống số dựa trên nhóm 60 Hệ thống khác của đo

góc chia đường tròn thành 400 đơn vị, được gọi là grads Trong hệ thống này một

tam giác vuông là 100 grad, vì vậy điều này phù hợp với hệ thống cơ số 10 của chúng ta

Viết một bài luận ngăn so sánh lợi thế và bất lợi của hai hệ thống này và hệ thống radian của việc đo góc Bạn thích hệ thống nào? Tại sao?

90 Đồng hồ và góc Trong một giờ kim

phút trên một đồng hồ di chuyển qua một

vòng tròn hoàn chỉnh, và kim giờ di chuyển

qua

của một vòng tròn Kim phút và kim

giờ di chuyển giữa 1:00 P.M và 6:45 P.M

qua bao nhiêu radian (trong cùng một

ngày)?

Tỉ số lượng giác  Tam giác đặc biệt  Ứng dụng lượng giác của tam giác vuông

Trong phần này ta nghiên cứu tỉ số nhất định của các cạnh trong tam giác vuông, được gọi là tỉ số lượng giác, và đưa ra nhiều ứng dụng

HÌNH 1

 Tỉ số lượng giác

Xét một tam giác vuông với góc nhọn Tỉ số lượng giác được định nghĩa dưới đây (xem Hình 1)

trong khoảng nửa độ

Đây được coi là bảng

lượng giác đầu tiên

Ông ấy đã sử dụng cái

x2 = 7, vậy x = Ta sử dụng hình tam giác trong hình 4 để tìm ra tỷ lệ

sin = cos = tan = csc =

sec = cot =

BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 19

 Tam giác đặc biệt

Tam giác vuông đã biết có tỉ số có thể được tính toán dễ dàng từ định lí Pytago Kể

từ khi chúng được sử dụng thường xuyên, ta đề cập đến chúng ở đây

Tam giác đầu tiên thu được bằng cách vẽ một đường chéo trong một hình vuông cạnh 1 (xem hình 5) Theo đinh lí Pytago đường chéo này có độ dài Kết quả tam giác có các góc 45o, 45o, và 90o (hay , và ) Để có được hình tam giác thứ hai, chúng ta bắt đầu với một tam giác đều ABC cạnh 2 và vẽ đường trung trực

góc ABC, ta có được một tam giác với các góc 30o

, 60o, 90o (hay , và )

Bây giờ ta có thể sử dụng tam giác đặc biệt trong hình 5 và 6 để tính các tỉ số lượng giác cho các góc với số đo 30o, 45o, và 60o (hay , và ) Được liệt kê trong Bảng 1

Bảng 1: Những giá trị tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Bạn nên kiểm tra các mối quan hệ này ngay lập tức từ định nghĩa của các tỷ số lượng giác

Ta thực hiện quy ước rằng khi ta viết sin t, ta có thể hiểu sin của góc có số đo radian

là t Ví dụ, sin 1 nghĩa là sin của góc 1 rad Khi sử dụng máy tính để tìm giá trị xấp

xỉ của số này, thiết lập máy tính của bạn ở chế độ radian; bạn sẽ tính ra rằng

Nếu bạn muốn tìm sin của góc có số đo 1o, thiết lập máy tính của bạn ở chế độ độ; bạn sẽ tính ra rằng

 Ứng dụng lượng giác của tam giác vuông

Một tam giác có 6 phần: 3 góc và 3 cạnh Để giải một tam giác nghĩa là xác định tất

cả các phần của nó từ thông tin đã biết về tam giác, rằng là để xác định độ dài của 3 cạnh và số đo của 3 góc

VÍ DỤ 3 | Giải một tam giác vuông

Giải tam giác ABC, được biểu diễn trong hình 7

Tương tự, cos 30o

= b/12

BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 31

Hình 8 cho thấy rằng nếu ta biết cạnh huyền r và một góc nhọn trong một tam giác vuông, thì

độ dài của a và b được cho bởi

và Khả năng giải tam giác vuông bằng cách sử dụng các tỉ số lượng giác là nền tảng cho nhiều

Công nguyên) là một nhà khoa học

Hy Lạp nổi tiếng, nhạc sĩ, nhà thiên

văn học và hình học Trong cuốn sách

của mình Kích thước và Khoảng cách

của Mặt Trời và Mặt Trăng, ông ước

tính khoảng cách đến Mặt Trời bằng

cách quan sát khi mặt trăng khuyết

một nửa, tam giác hình thành bởi Mặt

Trời, Mặt Trăng, và Trái Đất có

vuông tại Mặt Trăng Phương pháp

của ông là tương tự như mô tả ở bài

tập 61 trong phần này Aristarchus là

người đầu tiên đưa ra lý thuyết cho

rằng Trái Đất và các hành tinh di

chuyển xung quanh Mặt Trời, một ý

tưởng mà không được sự chấp nhận

đầy đủ cho đến khi giai đoạn

Copernicus, 1800 năm sau đó Đây là

lý do Aristarchus thường được gọi là

"Copernicus của thời cổ đại."

học và phép đo khoảng cách Những ứng dụng

ta xét trong phần này luôn luôn liên quan đến tam giác vuông, nhưng như ta sẽ thấy trong 3 phần tiếp theo, lượng giác cũng hữu ích trong việc giải tam giác mà không cần đến tam giác vuông

Để thảo luận các ví dụ tiếp theo, ta cần một số thuật ngữ Nếu một người quan sát tìm kiếm một đối tượng, thì đường từ mắt cảu người quan sát

đến đối tượng được gọi là đường ngắm (Hình

9) Nếu đối tượng được quan sát thấy là trên phương ngang, thì góc giữa đường ngắm và

phương ngang được gọi là góc lên cao Nếu đối

tượng dưới phương ngang, thì góc giữa đường

ngắm và phương ngang được gọi là góc hạ xuống Trong rất nhiều các ví dụ và các bài tập

trong chương này, góc lên cao và hạ xuống sẽ dược đưa ra một giả thuyết người quan sát ở mặt đất Nếu đường ngắm là một đối tượng vật lí, chẳng hạn như mặt phẳng nghiêng hoặc một

sườn đồi, ta sử dụng thuật ngữ góc nghiêng

HÌNH 9

Ví dụ tiếp theo đưa ra một ứng dụng quan trọng của lượng giác về vấn đề đo lường:

Ta đo chiều cao của một cây cao mà không phải leo lên nó! Mặc dù ví dụ là đơn giản, kết quả là nền tảng để hiểu tỉ số lượng giác được áp dụng như thế nào cho vấn

đề như vậy

Thales xứ Miletus (khoảng 625-547 trước

Công nguyên) là người sáng lập huyền

thoại của hình học Hy Lạp Người ta nói

rằng ông đã tính toán chiều cao của một

cột Hy Lạp bằng cách so sánh chiều dài

cái bóng của mình với chiều dài cái bóng

của cột Việc sử dụng tính chất tam giác

đồng dạng, ông đã lập luận rằng tỷ lệ

chiều cao h của cột với chiều cao h' của

ông bằng với tỷ số chiều dài bóng của cột

s với chiều dài bóng của ông ấy s':

Khi ba trong số này là số đã biết, Thales

đã có thể tính toán chiều cao của cột

Theo truyền thuyết, Thales đã sử dụng

phương pháp tương tự để tìm chiều cao

của Kim Tự Tháp ở Ai Cập, một kỳ công

mà làm ấn tượng vua Ai Cập Plutarch đã

viết rằng "Mặc dù ông ấy [vị vua của Ai

Cập] ngưỡng mộ bạn [Thales] về những

thứ khác, nhưng ông đặc biệt thích cách

mà bạn đo chiều cao của Kim Tự Tháp mà

không có bất kỳ rắc rối hoặc các công cụ

nào." Các nguyên tắc Thales đã sử dụng,

thực tế là tỷ số các cạnh tương ứng của

tam giác đều bằng nhau, là nền tảng cho

chủ đề của lượng giác

VÍ DỤ 4 | Tìm chiều cao của một cái cây

Do đó chiều cao của cây khoảng 256 ft

HÌNH 10

BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 47

VÍ DỤ 5 | Bài toán liên quan đến tam giác

vuông

Từ một điểm trên mặt đất cách 500 ft từ móng của một tòa nhà, một người quan sát thấy rằng góc lên cao đến đỉnh của tòa nhà là 24o

và góc lên cao đến đỉnh của một cột cờ trên tòa nhà là 27o Tìm chiều cao của tòa nhà và chiều dài của cột cờ

LỜI GIẢI Hình 11 minh họa bài toán

Chiều cao của tòa nhà được tìm bằng cách giống với cách mà ta đã tìm chiều cao của cây trong ví dụ 4

HÌNH 11

Chiều cao của tòa nhà xấp xỉ 223 ft

Để tìm độ dài của cột cờ, đầu tiên ta phải tìm chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cao nhất:

Để tìm chiều dài của cột cờ, ta trừ k cho h Vậy chiều dài của cột cờ là xấp xỉ 255 - 223 =

32 ft

BÂY GIỜ HÃY THỬ LÀM BÀI TẬP 55

6 2 BÀI TẬP

KHÁI NIỆM

1.Tam giác vuông với góc được thể hiện trong hình vẽ

(a) Ký hiệu cạnh đối diện, cạnh kề của góc và cạnh huyền của tam giác

(b) Hàm lượng giác của góc được định nghĩa như sau:

(c) Tỷ số tam giác trong vuông không phụ thuộc vào kích cỡ của tam giác Điều này

là vì tất cả các tam giác vuông với một góc vuông là

2 Các đẳng thức đối ứng phát biểu rằng

17-18  Biểu diễn x và y theo tỷ số lượng giác của góc

19-24  Vẽ tam giác có góc nhọn , và tìm 5 tỷ số lượng giác của góc

27 sin30o cos60o + sin60o cos30o 28 (sin60o)2 + (cos60o)2

29 (cos30o)2 – (sin30o)2 30 ( sin cos - sin cos )2

31-38 Giải tam giác vuông

39 Sử dụng thước để đo các cạnh của tam giác rồi sử dụng số đo của bạn để ước

tính 6 tỷ số lượng giác của góc

40 Sử dụng bản đồ, vẽ tam giác vuông có góc nhọn 40o Đo các cạnh và sử dụng kết quả của bạn để ước tính 6 tỷ số lượng giác của góc

41-44 Tìm x, làm tròn đến 2 chữ số thập phân

45 Biểu diễn độ dài x theo tỷ số lượng giác của góc

46 Biểu diễn độ dài a, b, c và d trong hình vẽ theo tỷ số lượng giác của góc

ỨNG DỤNG

47 Chiều cao của tòa nhà Góc cao đến đỉnh của tòa nhà Empire State ở New

York được tìm thấy là 11o tại một điểm trên mặt đất cách đáy tòa nhà 1 dặm.Sử dụng thông tin đó, tìm chiều cao của tòa nhà Empire State

48.Vòm cung Gateway Một máy bay đang bay trong tầm cao của vòm cung

Gateway ở StLouis, Missouri, ở độ cao 35.000ft Phi công muốn ước tính khoảng cách từ cô đến vòm cung Gateway Cô tìm được góc thấp đến một điểm trên mặt đất dưới mái vòm là 220

(a) Tính khoảng cách giữa máy bay và mái vòm?

(b) Tính khoảng cách giữa một điểm trên mặt đất ngay dưới máy bay và vòm cung? 49.Độ lệch của tia Laze Một chùm tia laze được hướng về phía trung tâm của mặt

trăng, nhưng chùm này đi lệch 0.5o

so với đường dự kiến

(a) Tính khoảng cách từ mục tiêu được giao đến nơi mà chùm tia laze đến mặt

trăng? (Khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng là 240.000 dặm)

(b) Bán kính của mặt trăng là khoảng 1.000 dặm Chùm tia có đâm vào mặt trăng

hay không?

50 Khoảng cách trên biển Từ đỉnh của một ngon hải đăng cao 200 ft, góc hạ thấp

đến một con tàu trên biển là 230

Khoảng cách từ con tàu đến đáy của ngọn hải đăng

51 Thang nghiêng Một cái thang dài 20 ft tựa vào một tòa nhà sao cho góc giữa

mặt đất và cái thang là 72o Tính chiều cao từ mặt đất đến điểm thang chạm vào tòa nhà?

thông tin liên lạc Nếu dây chằng tạo một góc 65o với mặt đất Tính chiều cao của tháp thông tin liên lạc?

53 Độ cao của cánh diều Một người đàn ông nằm trên bãi biển, thả diều Ông giữ

sợi dây diều trên mặt đất ,và ước tính góc cao đến con diều là 50o Nếu sợi dây dài

450 ft, độ cao của diều so với mặt đất là bao nhiêu?

54 Xác định khoảng cách Một người phụ nữ đứng trên đồi nhìn thấy cột cờ, cô ấy

biết nó cao 60 ft Góc hạ thấp đến bên dưới của cột cờ là 14o,và góc cao đến đỉnh của cột cờ là 18o Tìm khoảng cách x từ cô ấy đến cột cờ

55 Chiều cao của tháp Một tháp nước được đặt cách một tòa nhà 325 ft ( xem

hình vẽ) Từ một cửa sổ trong tòa nhà, Một người quan sát lưu ý rằng góc cao đến đỉnh của tháp là 39o

và góc hạ thấp đến bên dưới của tháp là 25o Chiều cao của tháp? Độ cao của cửa sổ?

56 Xác định khoảng cách Một máy bay đang bay ở độ cao 5150 ft, trực tiếp trên

một đường cao tốc thẳng Hai người lái xe đang lái xe ô tô trên đường cao tốc ở hai phía đối diện của máy bay, và các góc hạ thấp một chiếc xe là 35o

và xe khác là

52o Tính khoảng cách giữa các xe?

57 Xác định khoảng cách Nếu cả hai chiếc xe trong bài tập 56 là ở một bên của

máy bay và nếu các góc hạ thấp đến một chiếc xe là 38o và chiếc xe khác là 52o, tính khoảng cách giữa các xe?

58 Chiều cao của một khinh khí cầu Một khinh khí cầu bay trên một đường

thẳng Để ước tính chiều cao so với mặt đất, ngay lập tức một người trên khinh khí cầu đo góc hạ thấp đến hai điểm mốc liên tiếp ở cùng một bên của khinh khí cầu Các góc thấp được tìm thấy là 20o và 22o Tính độ cao của khinh khí cầu?

59 Chiều cao của ngon núi Để ước tính chiều cao của một ngọn núi trên một

đồng bằng, góc cao đến đỉnh núi được xác định là 32o

Đến gần núi một ngàn feet dọc theo đồng bằng, đo được góc cao là 35o Ước tính chiều cao của núi

60.Chiều cao của mây che phủ Để đo chiều cao của đám mây che phủ tại một sân

bay, một công nhân bật đèn lên một góc 75o so với mặt phẳng ngang Một người quan sát cách 600m đo được góc cao đến chỗ ánh sang là 45o Tìm chiều cao của đám mây

61 Khoảng cách đến mặt trời Khi mặt trăng khuyết một nửa, trái đất, mặt trăng và

mặt trời tạo thành một góc vuông (xem hình) Vào thời điểm đó góc hình thành bởi ánh nắng mặt trời, trái đất và mặt trăng đo được là 89,85o Nếu khoảng cách từ trái đất đến mặt trăng là 240.000 mi, ước tính khoảng cách từ trái đất đến mặt trời

tập 61, ta cần biết khoảng cách đến mặt trăng Đây là một cách để ước lượng khoảng cách: Khi mặt trăng được nhìn thấy ở đỉnh cao của nó tại một điểm A trên trái đất,

có thể quan sát được từ điểm B (xem hình sau) Điểm A và B cách nhau 6155 dặm,

và bán kính của trái đất là 3960 dặm

(a) Tìm góc theo độ

(b) Ước tính khoảng cách từ điểm A đến mặt trăng

63 Bán kính của Trái đất Trong bài tập 74 của phần 6.1 một phương pháp đã

được đưa ra để tìm bán kính của trái đất Đây là một phương pháp hiện đại hơn: Từ một vệ tinh ở ngoài trái đất 600 dặm, quan sát thấy rằng các góc hình thành bởi trục thẳng đứng và đường ngắm đường chân trời là 60,276o Sử dụng thông tin này để tìm bán kính của trái đất

64 Thị sai Để tìm khoảng cách đến ngôi sao gần đó, phương pháp thị sai là hữu ích

Ý tưởng là để tìm một tam giác với một đỉnh là ngôi sao và một đáy lớn nhất có thể được Để làm điều này, ngôi sao phải được quan sát thấy ở hai thời điểm khác nhau chính xác là cách nhau 6 tháng, và sự thay đổi rõ ràng của nó ở vị trí được ghi lại

Từ hai sự quan sát này, có thể tính toán đươc (Thời điểm được chọn sao cho

lớn nhất có thể, mà đảm bảo rằng góc = 90 o) Góc = 90 o được gọi

là thị sai của sao Alpha Centauri, ngôi sao gần trái đất nhất có thị sai là 0.000211o Ước tính khoảng cách đến ngôi sao này (Lấy khoảng cách từ trái đất đến mặt trời là 9,3*107 dặm)

65.Khoảng cách từ sao Kim tới Mặt trời: sự kéo dài ra của một hành tinh là góc

tạo bởi hành tinh, trái đất và mặt trời (xem hình ) Khi sao Kim đạt được kéo dài cực đại 46,3o, trái đất, sao Kim và mặt trời tạo thành một tam giác với góc vuông tại sao Kim Tìm khoảng cách giữa sao Kim và mặt trời trong đơn vị thiên văn (AU) (Theo Định nghĩa khoảng cách giữa trái đất và mặt trời là 1 AU)

KHÁM PHÁ - THẢO LUẬN - VIẾT

66 Tam giác đồng dạng Nếu hai tam giác đồng dạng, những thuộc tính chung của

chúng là gì? Giải thích bằng cách nào để các thuộc tính này làm cho nó có thể định nghĩa tỷ số lượng giác mà không liên quan đến kích thước của tam giác

Các hàm số lượng giác của góc ► Biểu thị các hàm số lượng giác với góc bất

kỳ ► Đẳng thức lượng giác ► Diện tích tam giác

Trong phần trước ta đã định nghĩa các tỷ số lượng giác cho góc nhọn Tại đây ta mở rộng các tỷ số lượng giác cho tất cả các góc bằng định nghĩa các hàm số lượng giác của các góc Với những hàm số này ta có thể giải các bài toán thiết thực liên quan đến các góc mà không nhất thiết là góc nhọn

▼Các hàm số lượng giác của góc

Cho POQ là một tam giác vuông với góc nhọn như trong Hình 1(a) Đặt ở vị trí

chuẩn như trong Hình 1(b)

HÌNH 1

Khi đó là một điểm trên tia cuối của Trong tam giác POQ, cạnh đối

có độ dài y và cạnh kề có độ dài x Sử dụng định lý Pytago, ta thấy rằng cạnh huyền