Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O.. Gọi d là đường thẳng chứa phân giác trong góc A của tam giác ABC.. Các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, AC cắt d lần lượt tại M và N.. Gọi
Trang 1Trang 1
(Đề thi gồm 01 trang)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
LẦN THỨ IX, NĂM HỌC 2015 – 2016
ĐỀ THI MÔN TOÁN – KHỐI 11
Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 23/4/2016
Câu 1 (4 điểm) Tìm số hạng tổng quát của dãy số (u n) biết
1
1
n
n
Câu 2 (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến của (O) tại B, C
cắt nhau tại S Gọi d là đường thẳng chứa phân giác trong góc A của tam giác ABC Các đường trung trực của các đoạn thẳng AB, AC cắt d lần lượt tại M và N Gọi P
là giao điểm của BM và CN, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MNP, H là trực tâm của tam giác OMN
a Chứng minh H, I đối xứng với nhau qua d
b Chứng minh A, I, S thẳng hàng
Câu 3 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : sao cho:
2
f xf x y f yf x x x y
Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương x y , với x y, nguyên tố cùng nhau
và thỏa mãn phương trình: 3 3
2 x x y y
Câu 5 (4 điểm) Cho n là một số nguyên dương chẵn lớn hơn hoặc bằng 4 Ta tô màu mỗi
số trong các số nguyên dương từ 1 đến n sao cho
2
n
số trong chúng được tô màu
xanh và
2
n
số còn lại được tô màu đỏ Với mỗi cách tô như vậy, kí hiệu f n là số các
số nguyên dương bất kì mà nó có thể viết được dưới dạng tổng hai số khác màu
a Tìm tất cả các giá trị của f4
b Khi n 8, chứng minh rằng f n 2n 3. Hãy chỉ ra một cách tô màu thỏa mãn f n 2n 5.
- HẾT -
(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và các loại Máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC