SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn : Toán lớp 11 Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề ) ĐỀ BÀI Câu (5,0 điểm) Cho số thực a khác Xét dãy số xn xác định x1 a ; xn 1 xn , n Tùy theo giá trị a tính giới hạn dãy số xn Câu ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N N cho với số tự nhiên m, n ta có tính chất sau: i) f 0; m m ii) f n 1;0 f n;1 iii) f n 1; m 1 f n; f n 1; m Tính f 3;2016 Câu ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD hình thang, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với điểm H nội tiếp đường tròn (O) tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh DA, AB, BC, CD gọi I, J, K, L hình chiếu vuông góc H cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: 1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm đường tròn 2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy điểm Câu ( 5,0 điểm) Cho tập hợp X 1;2;3; ;2016 Tìm số k nguyên dương nhỏ cho với tập gồm k phần tử tập hợp X chứa số nguyên liên tiếp - HẾT ĐÁP ÁN Câu (5,0 điểm) Cho số thực a khác Xét dãy số xn xác định xn x1 a ; xn 1 , n Tùy theo giá trị a tính giới hạn dãy số xn Giải Ta có xn1 xn 1 xn x xn 2 n xn 2, n N * Nên dãy số xác định xn xn x 1 1 n 2 xn ; xn 1 x 3 3 n 2 xn , n N * - Nếu a = xn 1, n N * lim xn - Nếu a = xn 3, n N * lim xn - Nếu a khác 1; có (1,5 điểm) x 1 x1 1 xn 1 xn 1 n 1 22 2n xn 1 xn 3 xn1 3 x1 3 22 xn 1 a 1 - n xn 1 a 3 n 2n a 1 a 3 n 2n (1) (1,5 điểm) Nếu a a 4a a Từ (1) có lim xn 1 lim limx n n a 1 2n a - (1 điểm) Nếu a a 4a a Từ (1) có lim xn 1 lim 1 2n a 3 1 2n a limx n (1 điểm) Câu ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N N cho với số tự nhiên m, n ta có tính chất sau: i) f 0; m m ii) f n 1;0 f n;1 iii) f n 1; m 1 f n; f n 1; m Tính f 3; 2016 Giải: Từ i), ii) iii) ta có: f 1; n f 0; f 1; n 1 f 1; n 1 f 0;0 n n 2(*) ( 1điểm) f 2; n f 1; f 2; n 1 f 2; n 1 1.2 f 2;0 2n f (1;1) 2n 2n (**) (1 điểm) f 3; n f 2; f 3; n 1 f 3; n 1 (1 điểm) f 3; n f 3; n 1 3 n f 3; 3 n f 2;1 3 n 3 (***) ( điểm ) f 3; 2016 22019 ( điểm) Câu ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD hình thang, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với điểm H nội tiếp đường tròn (O) tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh DA, AB, BC, CD gọi I, J, K, L hình chiếu vuông góc H cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: 1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm đường tròn 2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy điểm Giải: A L I M G N D B H J T K O Q P j C a) T Ta có tứ giác MNPQ hình chữ nhật nên nội tiếp đường tròn (T) (0,5 điểm) ˆ QHC ˆ ABH ˆ ACD ˆ Q HI NIQ ˆ 900 Có AHI ˆ MJP ˆ MLP ˆ 900 tt : M JH ,Q LH , N KH NKQ Vậy tám điểm M,N,P,Q,I,J,K,L thuộc đường tròn (T) b) Gọi G giao điểm IK với JL Ta có (1 điểm) ( 0,5 điểm) (0, điểm) H / (T ) HI HQ HJ HM HK HN HL.HP k (1),T / (T ) TM TP TN TQ(2) Dùng phép nghịch đảo N cực H, phương tích k có: I, J, K, L tương ứng biến thành Q, M, N, P Vì tứ giác ABCD hình thang nên H không thuộc IK JL nên phép nghịch đảo N biến đường thẳng IK, JL tương ứng thành đường tròn (HQN), (HMP) biến G thành G’ giao điểm khác H hai đường tròn Nên G’H trục đẳng phương hai đường tròn (3) Từ (2) (3) có T G thuộc G’H Lại có tứ giác OPHM hình bình hành HM, OP vuông góc DC; OM, PH vuông góc AB nên T trung điểm OH Vậy OH qua điểm G ( ĐPCM) ( 2,5 điểm) Câu (5,0 điểm) Cho tập hợp X 1; 2;3; ; 2016 Tìm số k nguyên dương nhỏ cho với tập gồm k phần tử tập hợp X chứa số nguyên liên tiếp Giải: Xét tập hợp A X / 5k ,1 k 403 A 2016 403 1613 Với k không lớn 1613, chọn tập hợp B tập gồm k phần tử A, tập X B chứa số nguyên liên tiếp (1,5 điểm) Nếu k = 1614 Xét C tập X gồm 1614 phần tử Ai 5i 4;5i 3;5i 2;5i 1;5i ,i 1; 403, A404 2016 (1.5 điểm) Nếu tập hợp chứa tối đa phần tử thuộc C số phần tử C không 4x403+1= 1613 ( vô lý) Vậy tập hợp gồm phần tử phải có tập C nên C chứa số nguyên lien tiếp Vậy số k nhỏ cần tìm 1614 - HẾT - (2 điểm)