Tùy theo giá trị của a hãy tính giới hạn của dãy số đó.. 5,0 điểm Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang, có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau tại điểm H và nội tiếp đường trò
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN
ĐỀ ĐỀ XUẤT THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ
NĂM HỌC: 2015 – 2016 Môn : Toán lớp 11
Thời gian: 180 phút ( không kể thời gian giao đề )
ĐỀ BÀI
Câu 1 (5,0 điểm) Cho số thực a khác 2 Xét dãy số xn xác định bởi
2
3
n n
n
x
x
Tùy theo giá trị của a hãy tính giới hạn của dãy số đó
Câu 2 ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N2 N sao cho với mọi số tự nhiên m, n ta có các tính chất sau:
i) f 0; m m 1
ii) f n 1;0 f n ;1
iii) f n 1; m 1 f n f n ; 1; m
Tính f 3;2016
Câu 3 ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang, có hai đường chéo
AC, BD vuông góc với nhau tại điểm H và nội tiếp đường tròn (O) tâm O Gọi M,
N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh DA, AB, BC, CD và gọi I, J, K, L lần lượt
là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng: 1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm trên một đường tròn
2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy tại một điểm
Câu 4 ( 5,0 điểm) Cho tập hợp X 1;2;3; ;2016 Tìm số k nguyên dương nhỏ nhất sao cho với mọi tập con gồm k phần tử của tập hợp X đều chứa ít nhất 5 số nguyên liên tiếp
- HẾT
Trang 2-ĐÁP ÁN
Câu 1 (5,0 điểm) Cho số thực a khác 2 Xét dãy số x n xác định bởi
2
3
n n
n
x
x
Tùy theo giá trị của a hãy tính giới hạn của dãy số đó
Giải
Ta có
* 1
*
- Nếu a = 1 thì *
x nN x
- Nếu a = 3 thì *
x nN x
(1,5 điểm)
- Nếu a khác 1; 2 và 3 thì có
2
2
1
1
n n
n
x
(1) (1,5 điểm)
- Nếu a 1 a 3 4a 8 a 2 Từ (1) có
2
2
1 1 3
n n
x
a a
- Nếu a 1 a 3 4a 8 a 2 Từ (1) có
2
2
3 1
1
n
n
x
a a
(1 điểm)
Trang 3Câu 2 ( 5,0 điểm) Cho hàm số f : N2 N sao cho với mọi số tự nhiên m, n ta có các tính chất sau:
i) f 0;m m 1
ii) f n 1; 0 f n ;1
iii) f n 1;m 1 f n f n ; 1;m
Tính f 3; 2016
Giải: Từ i), ii) và iii) ta có:
( 1điểm)
2; n 1; 2; n 1 2; n 1 1.2 2; 0 2 (1;1) 2 2 3 (**)
(1 điểm)
3; n 2; 3; n 1 2 3; n 1 3
(1 điểm)
( 1 điểm )
2019
f
( 1 điểm)
Câu 3 ( 5,0 điểm) Cho tứ giác ABCD không phải là hình thang, có hai đường chéo AC, BD
vuông góc với nhau tại điểm H và nội tiếp đường tròn (O) tâm O Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh DA, AB, BC, CD và gọi I, J, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng:
1) Tám điểm M, N, P, Q, I, J, K, L nằm trên một đường tròn
2) Ba đường thẳng IK, JL, OH đồng quy tại một điểm
Giải:
Trang 4T
G I L
K
J
Q
P
N M
B D
O
C
A
H
Ta có tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên nội tiếp được đường tròn (T) (0,5 điểm)
Có AHIˆ ABHˆ ACDˆ QHCˆ Q HI NIQˆ 900
(1 điểm)
0
, Q
( 0,5 điểm) Vậy tám điểm M,N,P,Q,I,J,K,L đều thuộc đường tròn (T) (0, 5 điểm) b) Gọi G là giao điểm của IK với JL Ta có
Trang 5/ ( ) HM (1), / ( ) (2)
H T HI HQ HJ HK HN HL HP k T T TM TP TN TQ
Dùng phép nghịch đảo N cực H, phương tích k có: I, J, K, L tương ứng biến thành Q, M, N, P
Vì tứ giác ABCD không phải là hình thang nên H không thuộc IK và JL nên phép nghịch đảo N biến đường thẳng IK, JL tương ứng thành các đường tròn (HQN), (HMP) và do đó biến G thành G’ là giao điểm khác H của hai đường tròn đó Nên G’H là trục đẳng phương của hai đường tròn (3)
Từ (2) và (3) có T và G thuộc G’H
Lại có tứ giác OPHM là hình bình hành do HM, OP cùng vuông góc DC; OM, PH cùng vuông góc AB nên T là trung điểm của OH Vậy OH đi qua điểm G ( ĐPCM) ( 2,5 điểm)
Câu 4 (5,0 điểm) Cho tập hợp X 1; 2;3; ; 2016 Tìm số k nguyên dương nhỏ nhất sao cho với mọi tập con gồm k phần tử của tập hợp X đều chứa ít nhất 5 số nguyên liên tiếp
Giải: Xét tập hợp AX / 5 ,1 k k 403 A 2016 403 1613
Với k không lớn hơn 1613, thì chọn bất kỳ tập hợp B là tập con gồm k phần tử của A, cũng là tập con của X và B không thể chứa 5 số nguyên liên tiếp (1,5 điểm) Nếu k = 1614 Xét C là một tập con của X gồm 1614 phần tử
i
A i i i i i A
(1.5 điểm) Nếu mỗi tập hợp trên chứa tối đa 4 phần tử thuộc C thì số phần tử của C không quá 4x403+1=
1613 ( vô lý) Vậy trong các tập hợp gồm 5 phần tử trên phải có 1 tập là con của C nên C chứa 5
số nguyên lien tiếp
Vậy số k nhỏ nhất cần tìm bằng 1614 (2 điểm)
- HẾT -