Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường THPT chuyên bảo lộc lâm đồng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẢO LỘC KỲ THI HSG KHU VỰC DH VÀ ĐBBB LẦN THỨ ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; LỚP : 11 Số Phách Số phách Câu hỏi 1: ( 4.0 điểm) Giải hệ phương trình sau  y x3  3x  x  y  x  y  x      x3  y  x  y  x   y  3x     5 x  y   Đáp án câu hỏi 1: ĐK:  y  x   Ta viết lại pt (1) 1  x, y    2  *   y x  x  x  y  x  y  x    xy  y x  y  x  y  xy  x   x (3) Nếu x  từ điều kiện (*) ta có y  không thỏa mãn hệ phương trình Nếu x  , chia hai vế pt (3) cho x2  ta 2 3y y  y       y  x   (4) x x x 2 3y y 3y  y   y  y  y  2 5            3  1  x x x  2x  x x  2x  Mặt khác VP    Khi VT (4)  VP   y  x , vào phương trình (2) ta phương Ta có VT    trình: Nh n x3  x  x   x   x3  x  x   t r ng f  x  li n t c tr n R ta có Đặt f  x   x3  x  x  (5) f  2   0, f    , f 1  0, f    nên phương trình f  x   có nghiệm ph n iệt n m  2;  Đặt x  2cosu, u   0;   Khi sinu  ( ) có ạng : 8cos3u  4cos2 u  4cosu   hay sinu  8cos3u  4cos u  4cosu  1   4sin u.cosu  2cos u  1  4sin u.cos 2u  sin u   2sin 2u.cos2u  2sin 2u.cos u  sin u   sin 4u   sin 3u  sin u   sin u   sin 4u  sin 3u 6  3   3 5  ; Giải pt ( ) ta thu u   ;  , x  n n ta chọn x  cos , x  cos 7 7 7  Với x  2cos  ta y  4cos  7 3 3 Với x  2cos ta y  4cos 7     3 3 Kết lu n: V y nghiệm hệ cho  x; y    2cos ; 4cos  ,  2cos ; 4cos 7  7     Câu hỏi 2: ( 4.0 điểm) u1 , u2  (0;1)  Cho ãy số thực (un ) thỏa mãn  43 un   un 1  un , n  Chứng minh r ng ãy (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Đáp án câu hỏi 2:  x1  u1 , u2   Xét dãy ( xn ) :   xn 1  xn  xn 5  + Ta thấy xn  (0;1) xn3  xn  xn  xn  xn 133 43 + Ta có xn1  xn  xn   xn  xn 5 V y ãy  xn  tăng, ị chặn tr n n n hội t , lim xn  a (0  a  1) Chuyển qua giới hạn ta được: a  a3  a  a  + Ta chứng minh xn  u2n1; u2n  (*) ng quy nạp theo n Ta có x1  u1; u2  Giả sử xn  u2n1; u2 n  1 4 Suy xn 1  xn3  xn  u23n  u2 n 1  u2 n 1  5 5 xn1  43 4 xn  xn  xn31  xn  u23n 1  u2 n  u2 n  5 5 5 V y (*) với n nguy n ương Từ suy lim un  Câu hỏi 3: ( điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp có cặp cạnh đối không song song Các đường thẳng AB CD cắt điểm E đường ch o AC BD cắt F Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD BFC cắt điểm thứ hai K Chứng minh r ng hai đường thẳng EK FK vuông góc Đáp án câu hỏi 3:  Gọi G giao điểm AD BC, O t m đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Ta ùng kí hiệu (ABC), (ABCD) tương ứng để đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tứ giác ABCD Ta có AD, BC, FK tr c đẳng phương cặp đường tròn (ABCD) (ADF), (ABCD) (BCF), (ADF) (BCF) n n AD, BC, FK đồng quy G hay F, K, G thẳng hàng  Không tổng quát ta giả sử F n m K G Ta có DKC  (1800  DKF )  (1800  CKF )  DAF  CBF  1 DOC  DOC  DOC 2 (ta ùng góc định hướng cho trường hợp) Suy điểm D, C, K, O thuộc đường tròn ta gọi (C1)  Tương tự, điểm A, B, K, O thuộc đường tròn ta gọi (C 2) Ta có AB, CD, OK tr c đẳng phương cặp đường tròn (ABCD) (C 2), (ABCD) (C1), (C1) (C2) n n AB, CD, OK đồng quy E hay O, K, E thẳng hàng  X t cực đối cực đường tròn (O), ta có GF đối cực E n n GF vuông góc với OE Mà G, K, F thẳng hàng; O, K, E thẳng hàng n n EK FK vuông góc (điều phải chứng minh) G A B F O D E K C Câu hỏi 4: ( điểm) Tìm tất hàm số f : R  R thỏa mãn:   xf  xy   xyf  x   f x f  y   x y ,x , y  R Đáp án câu hỏi 3:       x  f  x    (1) Cho =y ta x  f x   Cho =1, y=1 ta f 1   Cho y=1 ta 2xf  x   f  x   x   f  x    f  x    f  x   x  Bây giờ, giả sử tồn a  cho a  f a (1)   a  f  a    a  f a     a  f a    f a   a  Cho =0, y=0 ta f  2  2    2    2    (2)  f a  a  f a  f a2  f a  a2  f a  a f a  a  2  2   f a  a  nên ta có f a  a  f a  a  2a  vô lý     v y f x  x ,x   f x  x , x (1)  x  f  x  ,x  R  f  x   x ,x   x  0, y  0  x  yf  x   xf  y    yf  x   xf  y  (3) Thay x ởi y từ (3) xf  y   yf  x   xf  y   yf  x   f  x   cx ,x  (2)  2xf  x   f  x   x  2x  x  f  x   x    f  x   x ,x  2   v y f x  cx ,x  với c  x  x Thử lại thấy thỏa mãn cx x  0, c  Từ ta f  x    (2) Câu hỏi 5: (3 điểm) Tìm giá trị lớn P  a2  b2 , a, b số nguy n thoả mãn  a; b  2014 (b  ab  a )  Đáp án câu hỏi 5: Ta t nghiệm nguy n ương ( x; y) phương trình: ( x  xy  y )  (1) với x  y Gọi (b; a) nghiệm ( b  a ) + X t ộ (a  b; b) ta có:  (a  b)2  (a  b)b  b    (b  ab  a )   2 Suy (a  b; b) nghiệm (1) Rõ ràng (2; 1) nghiệm (1), n n ta có ộ sau nghiệm (1): (3;2), (5;3), (8;5), (13;8), (21;13),(34;21), + X t ộ (a; b  a) ta có:  a  a(b  a)  (b  a)    (b  ab  a )   2 Suy (a; b  a) nghiệm (1) - Nếu a  b  a  b  2a  b(b  a)  2a  b  ab  a  (a  1) (vô lí) - Nếu a  b  a ộ (a; b  a) nghiệm (1) nhỏ nghiệm (b; a) Quá trình phải ừng lại kết thúc nghiệm (b;1) (b  1) Chú ý th m r ng (2; 1) ộ uy thoả mãn (1) mà b  Tóm lại tất nghiệm nguy n ương (1) là:  Fn ; Fn 1  với n  ãy số F  F   Fn  :   Fn 1  Fn  Fn 1 n  Như v y giá trị lớn P ng giá trị lớn Fn21  Fn2 với Fn  2014 Dãy số hạng ãy Fi onacci thoả mãn là: 1, 1, 2, 3, , 8, 13, 21, , 377, 610, 987, 1597 V y giá trị lớn P ng 9872  15972 , 89, , 233, Câu hỏi 6: ( điểm) Cho t p hợp gồm 201 phần tử sau: 1; 2; 3; ; 2014 Cần loại ỏ ao nhi u phần tử khỏi t p hợp tr n, cho t p hợp lại có tính chất: phần tử ng tích hai phần tử lại khác Đáp án câu hỏi 6: Trước hết, ta loại ỏ số 2, 3, , , … , {1; ; 6;… ;201 } thỏa mãn đề ài Th t v y, số có số x { , chứng minh t p số lại ng hiển nhi n 1.x  x  y với ; 6;… ; 201 } y  { ; 6;… ; 201 }\{x} Nếu không số ng 1, tức x, y  { ; 6;… ; 201 } x  y , xy  452  2025  2014 không thuộc t p cho Như v y, ta cách loại ỏ phần tử thỏa mãn đề ài B y giờ, ta t cách loại ỏ ất kỳ phần tử X t ộ số: (2; 87;  87) (3; 86;  86) (4; 85;  85) …………… (44; 45; 44  45) Do tất số ộ tr n đôi khác nhau, ta loại ỏ phần tử, n n t p lại chứa số ộ tr n Bộ a số không thỏa mãn đề ài, n n cách loại ỏ t không thỏa mãn ài toán V y ta cần loại ỏ phần tử