PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN Năm học 2013-2014 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Câu1(5điểm) a)Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x − 3x3 + 3x + ax + b chia hết cho đa thức B( x) = x − 3x + b)Cho đa thức Q = ( x + 3)( x + 5)( x + 7)( x + 9) + 2014 Tìm số dư phép chia đa thức Q cho đa thức x + 12 x + 32 Câu2 (2điểm) Chứng minh bất đẳng thức: 1 + ≥ Với a; b số dương a b a+b Áp dụng bất đẳng thức tìm giá trị nhỏ M = xy + x + y với x; y dương x + y =1 Câu (6 điểm) Giải phương trình : a) 1 1 + + = x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 x −1 − x − + x − = b) Câu (7điểm) Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 60 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh : BC a) BD.CE = b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẤN CHẤM OLYMPIC TOÁN CẤP HUYỆN TRƯỜNG THCS XUÂN DƯƠNG Năm học 2013-2014 Môn: Toán Câu1 (5điểm) a)(3điểm) Ta cú: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + (2điểm) Để A( x)MB( x) { a − 3= b + 4= ⇔ { a= b= − (1điểm) b)(2điểm) Ta có (0,5điểm) Q = ( x + 12 x + 27)( x + 12 x + 35) + 2014 Đặt t = x + 12 x + 32 ta có Q = (t − 5)(t + 3) + 2014 (0,5điểm) Lập luận để tìm số dư: số dư phép chia : Q = (t − 5)(t + 3) + 2014 = t − 2t + 1999 cho t ⇒ dư 1999 (1điểm) Câu 2:(mỗi ý điểm) Ta có: a + b2 ≥ 2ab với a,b ⇔ a + b + 2ab ≥ 4ab ⇔ (a + b) ≥ 4ab (1) (0,5điểm) Vì a,b dương ⇒ a + b > 0; a.b > nên từ (1) suy ra: a+b 1 ≥ hay + ≥ a.b a+b a b a+b Dấu “=” xẩy ⇔ a = b (0,5điểm) M= 3 +( + ) xy xy x + y Do x; y dương x + y =1 ⇒ = ( x + y ) ≥ xy ( suy từ (x – y)2 ≥ 0) ⇔ xy ≤ 1 ⇔ ≥2 2 xy Dấu “=” xẩy ⇔ x = y = (1) 3 4 Mặt khác áp dụng bất đẳng thức trên: ( xy + x + y ) ≥ ×2 xy + x + y = ×( x + y )2 = 12 (2) (0,5điểm) Dấu “=” xẩy ⇔ xy = x + y ⇔ x = y = Vậy từ (1) (2) ta có : M ≥ + 12 = 14 Giá trị nhỏ MinM = 14 đạt x = y = (0,5điểm) Câu : (2điểm) a) x2+9x+20 =(x+4)(x+5); x2+11x+30 =(x+6)(x+5); x2+13x+42 =(x+6)(x+7); ĐKXĐ : x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6; x ≠ −7 (0,5điểm) Phương trình trở thành : 1 1 + + = ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 1 1 1 − + − + − = x + x + x + x + x + x + 18 1 − = x + x + 18 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Vậy x=-13; x=2 (0,5điểm) b) x − − x − + x − = (II) + Nếu x