PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 13 §2 Phép biến đổi toán với giá trị ban đầu Phép biến đổi đạo hàm Nghiệm toán giá trị ban đầu Hệ phương trình vi phân tuyến tính Những kĩ thuật biến đổi bổ sung Đặt vấn đề Vận dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số ax (t ) bx(t ) cx(t ) f (t ) với điều kiện x x0 , x x0 So sánh với phương pháp giải học Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính Phép biến đổi đạo hàm Định lý Cho f t liên tục trơn khúc với t bậc mũ t (tức tồn số không âm c, M T thoả mãn: f (t ) Mect , t T (2.1) Khi tồn L f t với s c có L f t sL f t f sF s f Chứng minh +) L f s e st f t dt e st df t +) e st f t s e st f t dt t Do f t Mect , t T e st f t 0 s c +) Từ Định lí (bài 1) e st f t dt hội tụ với s c +) Từ ta có L f s sL f s f Định nghĩa Hàm f gọi trơn khúc a ; b khả vi a ; b trừ hữu hạn điểm f t liên tục khúc a ; b Nghiệm toán giá trị ban đầu Hệ Phép biến đổi đạo hàm bậc cao Giả sử hàm số f , f , , f n 1 mũ t Khi tồn L f L f n liên tục trơn khúc với t bậc t với s c có t s nL f t s n 1f s n 2f f n 1 s nF s s n 1f s n 2f f n 1 n 84 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Sử dụng Định lí 1, chứng minh n! a) L t neat , n 1,2,3, s a n 1 Chứng minh qui nạp +) n F s = 1: f t teat f t ateat eat sF s f aF s s a 2 +) n = k: L t k eat k! s a k 1 k 1 ! k k at k k! L t e s a s a s ak 1 s a k 2sk b) L t sinh kt s k2 +) f(t) = t.sinhkt f(0) = có +) f'(t) = sinhkt + kt coshkt, f'(0) = f''(t) = 2kcoshkt + k2t sinhkt +) L t k 1eat +) L 2k cosh kt k 2t sin kt s 2L f t sf f s +) 2k k 2F s s 2F s , F s L t sinh kt 2 s k 2ks +) F s s k 2 Hình 4 Sử dụng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu Ví dụ Giải phương trình a) x x x với điều kiện x 2, x 1 Ta có: L x t sX s L x t s X x sx x s X s 2s 85 s a PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Thay vào phương trình cho có s X s 2s 1 sX s X s s s X s 2s 2s 2s 3 X (s ) s s (s 3)(s 2) s s Do L 1 eat nên có x(t ) e3t e 2t 5 sa nghiệm toán giá trị ban đầu Ví dụ Giải toán giá trị ban đầu a) x x sin3t , x x Bài toán gắn liền với trình chuyển động hệ vật – lò xo với tác động lực bên ngoài) Hình 2 Hệ vật – lò xo thỏa mãn toán điều kiện đầu Ví dụ Điều kiện đầu vật vị trí cân Từ điều kiện ban đầu có: L x t s X s sx x s X s Từ bảng 4.1.2 có L sin3t s 32 Thay vào ta có s X s X s s 9 As B Cs D X s (s 9)(s 4) (s 4) (s 9) 3 Đồng ta có A C 0, B , D , 5 3 X s 10 s s 3 Do L sin2t nên ta có x ( t ) sin2 t sin3t , L sin3t 10 s 4 s 32 b) x x 0, x 3, x ( x t 3cos3t sin3t ) c) x x 15 x 0, x 2, x 3 ( x t 7e 3t 3e 5t ) d) x x cos t , x 0, x ( x t cos t cos 2t ) e) x x 1, x 0, x ( x t 1 cos3t ) 86 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Nhận xét Như phương pháp biến đổi Laplace cho lời giải trực tiếp tìm nghiệm toán giá trị ban đầu mà không cần phân biệt phương trình vi phân không Hệ phương trình vi phân tuyến tính Phép biến đổi Laplace có khả biến đổi hệ phương trình vi phân tuyến tính thành hệ phương trình đại số tuyến tính 2 x 6 x 2y , Ví dụ a) Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính y 2x 2y 40 sin3t với điều kiện ban đầu x x y y Đây toán giá trị ban đầu xác định hàm dịch chuyển x t y t hệ hai vật thể Hình 4.2.5, giả sử lực f t 40 sin3t tác động bất ngờ tới vật thể thứ hai thời điểm t = hai vật thể trạng thái tĩnh vị trí cân chúng Hình Hệ vật thể thỏa mãn điều kiện đầu Ví dụ Cả hai vật thể vị trí cân Từ điều kiện ban đầu có L x t s X s s x x s X s Tương tự L y t s 2Y s Do L sin3t , thay vào hệ phương trình có hệ phương trình sau: s 9 2s X (s ) 6 X (s ) 2Y (s ) (s 3) X (s ) Y (s ) 120 120 s Y (s ) X (s ) 2Y (s ) 2 X (s ) (s 2)Y (s ) s 9 s 9 (s 3) 1 2 (s 2) 1 120 s 9 1 s2 (s 1)(s 4) 120 s2 Do X s s2 ; 120 (s 4)(s 9)(s 1) Do x t sin t sin2t sin3t Tương tự có Y s 2 120 2 s 9 s2 s2 120(s 3) (s 4)(s 9)(s 1) nên có y t 10 sin t sin 2t sin 3t 87 120 s 10 (s 1) s2 s2 s2 18 s2 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Hình Các hàm định vị x t y t Ví dụ a) x 2y x 0, x b) x y y 0, y Tác động toán tử Laplace, sử dụng điều kiện ban đầu có s 1 X s 2sY s sX s sY s 1 X s sX s sY s 1 Y s sX s 1 s Y s 1 Giải hệ phương trình tuyến tính cấp ta có +) X s Y s 3s 3s 3s 1/ s 1/ 2 s 1/ s 1/ s t L sinh 3 1/ s 1/ 2 s 1/ t t L cosh L sinh 3 3 t t t +) x t , y t cosh sinh sinh 3 3 x x 2y t y x e , x y c) 2t e e t 3te t , y t e2t e t 6te t ) 9 x 2x y 0, x y d) y x 2y 0, x y 1 1 ( x t 2t sin2t , y t 2t sin2t ) x 3y x 0, x e) 1/ x y y 0, y t t t ( x t 3 sinh , y t 2cosh sinh ) 2 ( x t 88 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 3y x 0, x 2/ x y y 0, y 2 t t t ( x t sin , y t 2cos sin ) 2 x 3 x y f) 1) , x x y y 0 y x y sin t x 2x 2y sin t 2) , y x y x x y y 0 x 3 x y , x(0) x(0) g) , y x y , y (0) 0, y (0) x (t ) y (t ) (2sin t sin 2t ) (sin2t sin t ) Những kỹ thuật biến đổi bổ sung Ví dụ Chứng minh L teat s a 2 Đặt f t teat có f 0, f t eat ateat Do có L eat ateat L f t sL f t sL teat Do phép biến đổi tuyến tính nên có: L eat aL teat sL teat L eat 1 at (Do L e ) s a s a s a Ví dụ Tìm L t sin kt Đặt f t t sin kt có f 0, f t sin kt kt cos kt, f Do L teat f t 2k cos kt k 2t sin kt Mặt khác L f t s 2L f t , L cos kt 2ks s k s s2 k nên có k 2L t sin kt s 2L t sin kt Do L t sin kt 2ks ( s k )2 Định lí Phép biến đổi tích phân Nếu f t liên tục khúc với t bậc mũ t t F s với s c L f ( )d L f t s s 89 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo hay là: L 1 thao.nguyenxuan@hust.edu.vn t t F (s ) f d L s 1 F d t Chứng minh +) f liên tục khúc g t f d liên tục, trơn khúc với t t có g t t f d M ec d 0 M ct M e 1 ect C C g t hàm bậc mũ t +) Sử dụng định lí ta có L f t L g t sL g t g t +) Do g nên ta có L f d L g t L f t s Ví dụ Tìm nghịch đảo phép biến đổi Laplace G(s ) t 1 s a Ta có L 1 L L s ( s a ) s 1 s (s a ) t 1 d ea d eat 1 s a a t 1 1 s s a Từ tiếp tục có L L L s s (s a ) t 1 d s s a 1 t 1 1 a e 1 d ea (eat at 1) a 0 a a a HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 90