Bài tập dùng đồ thị để biện luận số nghiệm có đáp án thầy lê bá trần phương

Bài 1 Cho hàm s : 1 3 3 2 5

y x  x 

a Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s đã cho

b Tìm m đ ph ng trình: 3 2

x  x  m có 3 nghi m th c phân bi t

Gi i:

a Các em t kh o sát

m

x  x   m x  x   

Do đó đ ph ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t thì đ ng th ng 5

4

m

y  ph i c t đ th (C) t i 3

4

m

m

Bài 2: Cho hàm s : y  x3 3x22

a Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s đã cho

b Tìm m đ ph ng trình: 3 2

1 2

x  x  m có 3 nghi m phân bi t, trong đó có 2 nghi m nh h n 1

Gi i:

a Các em t kh o sát

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Dùng đ th bi n lu n s nghi m c a ph ng trình

thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn

s d ng hi u qu , B n c n h c tr c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này

b Ta có: 3 2 1

2

2

log m 2 M M,    ( ; ) (*)  x 3x  2 M

Do đó đ ph ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t, trong đó có 2 nghi m nh h n 1 thì 2 đ th :



áp s : 1 m 4

Bài 3: Cho hàm s : yx33 (1)x

a Kh o sát và v đ th hàm s (1)

b Tìm m đ ph ng trình: 3

2

2 3

1

m

m

 có 3 nghi m phân bi t

Gi i:

a Các em t kh o sát

1

m



m

m



B ng bi n thiên :

m - -1 1 +

M’ - 0 + 0 -

M 0 1

-1 0

T b ng bi n thiên suy ra  1 M1

S nghi m c a ph ng trình này đúng b ng s nghi m c a 2 đ th : 3

3 ( )

yx  x C và yM v i

 1;1

Do đó đ ph ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t thì 2 đ th :

 

3

3 (1)



2

2

1

m M

m



2 2

yx  x 

a Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s đã cho

b Tìm m đ ph ng trình: 4 4 2 3

2x  x  có 4 nghi m phân bi t m

Gi i:

a Các em t kh o sát

b Ta có:

2

2x x m m( 0) x 4x  3 log m

 s nghi m c a ph ng trình đã cho b ng s giao đi m c a 2 đ th :

2







Trong đó (C’) đ c suy ra t (C) b ng cách:

- gi nguyên ph n đ th (C) phía trên Ox

- l y đ i x ng ph n còn l i c a (C) qua Ox

C n c vào đ th thì ph ng trình đã cho có 4 nghi m phân bi t khi và ch khi:

2

2







Bài 5 Cho hàm s yx33x22

a Kh o sát và v đ th (C) c a hàm s

b Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình 2

1

m

x

 theo tham s m

Gi i:

a Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s 3 2

3 2

yx  x 

 T p xác đ nh: Hàm s có t p xác đ nh DR

S bi n thiên: y'3x26 x Ta có ' 0 0

2

x y

x





   



 0 2;  2 2

y  y  y y  

 B ng bi n thiên:

th :

b Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình 2

1

m

x

 theo tham s m

1

m

x

Do đó s nghi m c a ph ng trình b ng s giao đi m c a  2   

y x  x x C và đ ng th ng , 1

ym x

1

f x khi x

f x khi x





+ Gi nguyên đ th (C) bên ph i đ ng th ng x1

+ L y đ i x ng đ th (C) bên trái đ ng th ng x1 qua Ox

th :

 D a vào đ th ta có:

+ m 2 :Ph ng trình vô nghi m;

+ m 2 :Ph ng trình có 2 nghi m kép;

+   2 m 0 : Ph ng trình có 4 nghi m phân bi t;

+ m0 :Ph ng trình có 2 nghi m phân bi t

Bài 6 : Cho hàm s : yx33x29x7 ( )C

a Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C)

b Tìm m đ ph ng trình: 3 2

3

x  x  x m có đúng 2 nghi m phân bi t

Gi i:

a Các em t kh o sát

b Ph ng trình 3 2

3

Do đó s nghi m c a ph ng trình đã cho b ng s giao đi m c a 2 đ th :

3

y x  x  x C v y  m m

Ta có:





Nên (C’) đ c suy ra t (C) b ng cách:

- gi nguyên ph n đ th (C) ng v i x0 (bên ph i Oy)

- l y đ i x ng ph n v a gi l i qua Oy

C n c vào đ th ,

đ ph ng trình cho có đúng 2nghi m ph i có:

3

3







1

x y x







a Kh o sát và v đ th (C) hàm s đã cho

b Bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình: 1

1

x

m x





Gi i:

a Các em t kh o sát

3 log m 7

3 log m 7

b S nghi m c a ph ng trình đã cho b ng s giao đi m c a 2 đ th

1

( ') :

1 1

1

x x

x x

x x





    

 



Do đó (C’) đ c suy ra t (C) b ng cách:

+ gi nguyên ph n đ th (C) ng v i x0

+ l y đ i x ng ph n v a gi l i qua Oy

C n c vào đ th (C’) và d ta th y

+ N u m < -1, m > 1 thì ph ng trình có 2 nghi m

+ N u m = -1 thì ph ng trình có 1 nghi m

+ N u   1 m 1 thì ph ng trình vô nghi m

áp án bài t p tham kh o

yx  x  Tìm m đ ph ng trình: 4 2

4

Gi i:

• Kh o sát và v đ th hàm s (C): 4 2

yx  x 

• Ta v đ th hàm y = 4 2

x  x  nh sau:

- Gi nguyên đ th (C1) c a (C) n m trên Ox

- L y đ i x ng ph n v a b c a (C) qua Ox ta đ c ph n (C2)

V y (C’) = (C1)(C2)

Nhìn vào (C’) ta th y đ PT: 4 2

4

phân bi t thì:

4

1 log m   2 4 m 16

Bài 2: (HVHCQG – A) Cho (C): y = x3 – 6x2

+ 9x Bi n lu n s nghi m c a ph ng trình:

x  x  x  m

Gi i:

• Kh o sát và v đ th hàm s (C): 3 2

yx  x  x

• Ta v đ th hàm (C): 3 2

y x  x  x  f x nh sau:

- Gi ph n đ th (C1) c a (C) n m bên ph i Oy

- L y đ i x ng ph n (C1) v a l y c a (C) qua Oy ta đ c

ph n (C2)

V y (C’) = (C1) (C2)

Nhìn vào đ th ta có:

+ N u 3    (*) vô nghi m m 0 m 3

+ N u 3      m 0 m 3 S  3;0 PT (*) có 3 nghi m phân bi t

+ N u 0       PT (*) có 6 nghi m 3 m 4 1 m 3

+ N u 3          PT (*) có 4 nghi m phân bi t m 4 m 1 S  1; 4

+ n u 3    m 4 m 1 PT (*) có 2 nghi m phân bi t

Bài 3: Cho (C): y = 2x4– 4x2 Tìm m đ ph ng trình: 2 2

2

x x  m có đúng 6 nghi m phân bi t

Gi i:

Ta có: x x2 2  2 m 2m2x x2 2 2 2x44x2  f x( )

• Tr c h t ta Kh o sát và v đ th hàm s (C): 4 2

y x  x

• Ta v đ th hàm 4 2

f x  x  x nh sau:

- Gi nguyên đ th (C1) c a (C) n m trên Ox

- L y đ i x ng ph n v a b c a (C) qua Ox ta đ c ph n (C2)

V y (C’) = (C1)(C2)

Nhìn vào (C’) ta th y đ PT: 4 2

2x 4x 2m có 6 nghi m phân bi t thì 02m   2 0 m 1

y f x  x  x b) Tìm m đ 3

4 x 3xmx m  1 0có 4 nghi m phân bi t

Gi i:

2

f x  x     x

f x  x  x

 C c đ i 1; 0 ;

2

1

; 2 2

  

i m u n U(0; -1)

4 x 3 xmx m   1 0 f x 4 x 3x 1 m x( 1) (*)

th (C’): y f x  đ c v t đ th (C): y f x( ) theo qui t c:

- Gi nguyên ph n đ th (Ca) c a (C) ng v i x ≥ 0

- L y (C’a) đ i x ng v i (Ca) qua Oy, khi đó (C’) = (Ca) (C’a)

Nghi m c a (*) là hoành đ giao đi m

c a đ ng th ng (dm): y = m(x – 1) v i đ th (C’): y f x 

Ta th y (dm) luôn đi qua đi m A(1; 0) (C’)

và (dm) qua B(0; -1) là (AB):

y = x – 1 có h s góc k1 = 1

ng th ng c a h (dm) ti p xúc v i (C’a)

t i đi m có hoành đ x0 < 0 là nghi m c a ph ng trình:

2 2

2

3(1 4 )





4x 3x 1 3(1 4x )(x 1)

(1 4 ) 2 1 3(1 4 )( 1)

2 2(2x 1)(2x 2x 1) 0

2

Nhìn vào đ th (C’) ta th y: ph ng trình có 4 nghi m phân bi t thì

(dm): y = m(x – 1) ph i c t đ th (C’): y = f x  t i 4 đi m phân bi t

Bài 5. Gi i bi n lu n BPT: x25x 4 a

Gi i:

 

 

2 2

2





G i (C1) là ph n đ th n m phía trên tr c hoành c a y = x2 – 5x + 4 còn (C2) là ph n đ th đ i x ng qua Ox v i ph n đ th n m phía d i Ox c a y = x2– 5x + 4

Khi đó ( )C (C1)(C2) Xét 2

1 (C)(ya) :x 5x 4 a 1 5 9 4 ; 2 5 9 4

Nhìn vào đ th ta có:

• N u a ≤ 0 thì BPT vô nghi m

• N u 0 9

4 a

  thì BPT có nghi m x( ;x x1 3)(x4;x2)

• N u 9

4

a Thì b t ph ng trình có nghi m x( ;x x1 2)

Ngu n : Hocmai.vn