Bài tập tính góc giữa đường với mặt có đáp án thầy lê bá trần phương

Tính góc gi a SD và mp SAC.

Các bài đ c tô màu đ là các bài t p m c đ nâng cao

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, (SAB)(ABCD) ( là trung đi m c a

AB, SH=HC, SA=AB Tính góc gi a đ ng th ng SC và m t ph ng (ABCD)

Gi i

+ Ta có: 1 ,

a

AH  AB SAABa,

2

a

SH HC BH BC 

Vì

2

4

a

SA AH   AH nên tam giác SAH vuông t i A

hay SAAB mà (SAB)(ABCD) Do đó SA(ABCD)

và AC là hình chi u vuông góc c a SC lên mp(ABCD)

+ Ta có: (SC ABCD, ( ))SCA, tan 2

2

SA SCA

AC

V y góc gi a đ ng th ng SC và m t ph ng (ABCD) là góc có tang b ng 2

2

6

SA a Tính sin c a góc gi a:

a) SC và (SAB)

b) AC và (SBC)

Gi i:

a) Ta có: BCAB (gt) và SABC (vì SA(ABCD))

 BC(SAB)

do đó SB là hình chi u vuông góc c a SC trên mp(SAB)

(SC SAB, ( )) BSC

 

ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH NG

a H

D

A S

D

A S

H

b) Ta có: sin( , ( )) sin 2 2 2

4

 c) + Trong mp(SAB) k AHSB (H SB) Theo a) BC(SAB)AHBC nên AH (SBC) hay

CH là hình chi u vuông góc c a AC trên mp(SBC) (AC SBC, ( )) ACH

+ Xét tam giác vuông SAB có: 1 2 12 12 72 6

AH  AB SA  a  

+ V y sin( , ( )) sin 21

7

AH

AC

G i E, F l n l t là hình chi u vuông góc c a A lên các c nh SB và SD

a) Ch ng minh BC  (SAB), CD  (SAD)

b) Ch ng minh (AEF)  (SAC)

c) Tính tan  v i  là góc gi a c nh SC v i (ABCD)

Gi i

a Vì SA(ABCD)SABC BC, ABBC(SAB)

SA ABCD SACD CDADCD SAD

b SA(ABCD SA a),  , các tam giác SAB, SAD vuông cân

FE là đ ng trung bình tam giác SBD FE BD

BDACFEAC SA ABCD BDSAFESA

FE SAC FE AEF  SAC  AEF

c SA(ABCD) nên AC là hình chi u c a SC trên (ABCD)    SCA

  SA  a    

AC a

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có SA  ABCD đáy ABCD là hình vuông c nh a ; SA = a 6 G i A( AK

l n l t là đ ng cao c a các tam giác SAB và SAD

1) Ch ng minh :  SAD ;  SDC là nh ng tam giác vuông

2) Ch ng minh: AK (SDC) ; HK  (SAC)

3) Tính góc gi a đ ng th ng SD và m t ph ng (SAC)

Gi i:

Ta có : SA (ABCD) ; AD  (ABCD)  SA  AD   SAD vuông t i A

C/m:  SDC là tam giác vuông

Ta có : SA  (ABCD) ; DC(ABCD)

 DC  SA

DC  AD (do ABCD vuông)

 DC  (SAD) mà SD  (SAD)

 DC SD   SDC vuông t i D

2) C/m: AK (SDC)

Ta có: DC  (SAD) ; AK  (SAD)

 AK  DC, có AK  SD (gi thi t)

 AK  SDC đpcm

C/m: HK  (SAC)

Ta có :  SAB =  SAD (c-g-c) SB=SD

Mà H, K là hình chi u c a A lên SB, SD  SH SK

SB  SD HK // BD (1) Xét tam giác cân SBD, OB=OD (O là tâm hvuông ABCD) SO  BD (2)

T (1),(2)  HK  SO (*)

M t khác: AO  BD (3)

T (1),(3)  HK  AO (**)

T (*),(**) HK(SAO)

Hay HK SAC đpcm

3) Tính góc gi a SD và mp (SAC)

Ta có: SOOD  SO là hình chi u c a SD trên mp (SAC)

 góc gi a SD và mp (SAC) là góc h p b i SD và SO

DO= 2

2 a, SD= 7a Sin DSO=

2

1 2

a DO

SD  a 

V y DSO = arcsin 1

14

Bài 5: Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a và có tâm O G i M,N l n l t là trung đi m SA;BC.Bi t góc gi a MN và (ABCD) b ng 60 0 Tính MN, SO, góc gi a MN và m t ph ng (SAO)

Gi i

O A

B

S

K

H

G i P là trung đi m AO Khi đó MP SO và SO  (ABCD)

Do đó MN ABCD  MNP = 600

Trong NCP theo đ nh lý hàm s Cosin ta có:

2 2

2

2 os45

2 2 2

  

 

   

 

   

NP CN CP CN CP c

a

Trong tam giác vuông MNP ta có 0

10

4 1

2

a

G i ( là trung đi m OC Suy ra NH // BD mà BD  SAC do đó MN SAC  NMH

Ta có 1 2, 5

a

NH  OB MNa Suy ra trong tam giác vuông MNH ta có

1 sin

2 5

NHM  NH 

MN

V y góc gi a MN và m t ph ng (SAC) là 1 góc có giá tr  th a mãn sin 1 ;0

2

2 5



   

Bài 6: Cho hình vuông ABCD và tam giác đ u SAB c nh a n m trong 2 m t ph ng vuông góc G i I là trung đi m AB CMR: SI (ABCD) và tính góc h p b i SC v i (ABCD)

Gi i

S d ng tính ch t 2 mp vuông góc ta có:

( )

SI SAB

SAB ABCD AB SI ABCD

SI AB







 



Khi đó ) là hình chi u c a S lên (ABCD)

suy ra SC có hình chi u lên (ABCD) là IC

(SC ABCD, ( )) (SC IC, ) SCI

     

(do tam giác SIC vuông t i I nên góc SCI là góc nh n)

S) là đ ng cao c a tam giác đ u ABC nên 3

2

a

SI 

K

A

D

S

H

L

Trong tam giác vuông ICB:

2

IC IB BC  a 

3

2 tan

5 2

a SI SCI

CI a

5

G i O là trung đi m c a c nh AB

1.Tìm góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD)

2 Tìm góc gi a SO và m t ph ng (SCD)

3 Tìm góc gi a SC, SD và m t ph ng (SAB)

Bài gi i

1 G i O là trung đi m c a AB=> SO vuông góc v i m t ph ng (ABCD)

góc gi a SA, SB, SC, SD v i m t ph ng (ABCD) l n l t là các góc

2

2

5

3

15 tan

5 15 arctan( )

5

    

    

   

  

a

a

SO SCO

OC SCO

T ng t ta tính đ c arctan( 15)

5

SDO

2 T O k OK vuông góc v i DC, K OE vuông góc v i SK t i E => góc gi a SO và m t ph ng (SCD) là

góc: tan : 3 2 3

3 4

OK

SO

2 3 arctan

3

OSK

3 T ng t nh ý ta có góc gi a SC, SD v i m t ph ng (SAB) l n l t là các góc:

O A

D S

K E

45

Bài 8 (t gi i): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh là a K SA vuông góc v i (ABCD) và SA a 2

a) Tính góc gi a SC và (ABCD)

b) Tính góc gi a SC và (SAB)

c) Tính góc gi a SC và (SBD)

O S

B

A

D

C H

Đáp s : a) [SC,(ABCD)] = 45o b) [SC,(SAB)] = 30o c) [SC,(SBD)] = arcsin 1

10

Ý c): có góc gi a SC và SBD là góc CSO

Ta có tam giác SAC vuông cân t i A có O là trung đi m AC

Cótan 1

2

 ASO

0 tan tan 45 1

tan tan 1/ 2 tan

1 tan

1 tan tan 1 1/ 2 tan

 

       

ASC

ASO OSC

Các em có th làm t i tan 1

3

 OSC là ok Không c n ph i tìm ra sin

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph ng

Ngu n : Hocmai