Bài tập tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy có đáp án thầy lê bá trần phương

Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian V KH I CHĨP CĨ C NH BÊN VNG GÓC V I ÁY ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH Các đ c tô màu đ t p NG m c đ nâng cao Bài Cho hình chóp S ABC có m t bên SBC tam giác đ u c nh a , c nh bên SA vng góc v i m t ph ng đáy góc BAC b ng 1200 Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABC Gi i Cách 1 VSABC  SABC SA +) Tính SABC ? Áp d ng đ nh lý hàm s cơsin cho tam giác ABC , ta có BC  AB2  AC  AB AC.cos1200 a  a  AB2  AB2 ( )  a  AB2  AB  (Tam giác ABC cân tai A ) Suy SABC  1 a a 3 a2  AB AC.sin1200  2 3 12 +) SA  SB2  AB2  a  V y VSABC  a2 a  3 a2 a a3  12 36 Cách g i I trung m BC  AI  BC, SI  BC VSABC  SABC SA Mà : +) SABC  1 BC AI  a AI 2 M t khác,ta có tan 600  Hocmai – Ngơi tr BI a a a2  3  AI   SABC  AI AI 12 ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c không gian a 3  a  a SA  SI  AI          2 3 V y VSABC  Bài 2 a3 36 Đ(KD ' ' ' ' ' Cho hình h p đ ng ABCDABC vng D có đáy hình vng tam giác AAC ' ' ' cân, AC  a Tính theo a th tích c a kh i t di n ABBC Gi i ' ' VABB'C '  SABB' BC Mà : +) SABB'  BABB ' ' M t khác,xét tam giác vng AAC ta có ' ' ' ' AA  AC  AC  2AA  a  AA  a  BB'  AC ( n n a,xét tam giác vuông ABC ,ta có AB2  BC  AC  AB2  ' ' BC  BC  AB  V y VABB'C ' a2 a2 a  AB   SABB'  2 a a3  48 Bài Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng cân t i B, AB  a , c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy góc gi a m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) b ng 300 G i M trung m c a SC Tính theo a th tích c a kh i chóp S.ABM Gi i S  (SBC ),( ABC )   SBA  300 M G i H trung m AC  MH / / SA MH  ( ABC ) 1 VSABM  VSABC  VMABC  SABC SA SABC MH 3 A C a 300 1  SABC ( SA MH )  SABC SA Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t H a B T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph Mà: Hình h c khơng gian a2 BABC  2 +) SABC  +) tan 300  V y VSABM  ng) SA SA a    SA  SB a a3 36 Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng t i A B, AB  BC  a , AD  2a , c nh bên SA vuông góc v i m t ph ng đáy SA  2a G i M, N l n l t trung m c a SA,SD Tính theo a th tích c a kh i đa di n ABCDNM Gi i VABCDNM  VMABC  VCADNM 1 1 a3 SA   VMABC  SABC MA  BABC 3 2  VCADNM  ? G i I trung m AD,ta có ABCI hình vng  CI  (SAD) VCADNM 1  AD  NM  AM  2a  a  a a3  SADNM CI  CI  a 3 2 V y VABCDNM  a a 2a   Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng t i A D, AD  CD  a , AB  3a , c nh bên SA vng góc v i m t ph ng đáy.Góc gi a SC m t đáy b ng 450 Tính theo a th tích c a kh i chóp S ABCD Gi i  SC,( ABCD)   SCA  450 VSABCD  SABCD SA Mà: +) SABCD   AB  DC  AD   3a  a  a  2a 2 +) SAC vuông cân t i A  SA  AC  AD2  DC  2a  a Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph V y VSABCD ng) Hình h c khơng gian 2a  Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng c nh bên SA vng góc v i m t ph ng đáy Tính theo a th tích c a kh i chóp S ABCD ,bi t : a) AB  a ,góc gi a SD m t ph ng (SAB) b ng 300 b) BD  2a ,góc gi a m t ph ng (SBD) m t đáy b ng 600 a)  SD,(SAB)   DSA  300 1 VSABCD  SABCD SA  a SA 3 M t khác : tan 300  AD a   SA SA  SA  a  VSABCD a3  a a  3 b) G i O  AC  BD  (SBD),( ABCD)   SOA  600 VSABCD  SABCD SA Mà:+) AB2  BC  AC  BD2  AB2  4a  AB  a  SABCD  2a +) SA  OA.tan 600  a V y VSABCD  2a 3 Bài Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình vng c nh a, SA  ABCD SA a A B C D l n l trung m c a SC SD SA SB S tâm hình vng ABCD Tính th tích kh i chóp S A B C D t S Gi i ABCD ABCD C' SA  ( ABCD)  SA  ( A' B ' C ' D ') SA/ / SA  S ' A'  ( A' B ' C ' D ') B' D' A' A B VS A B C D = SA' B'C ' D ' S ' A' Mà: S' D C Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian a SA= 2 SA A B C D hình vng SA B C D AB AD a2 a a3 a a a2 = => VS A B C D = = 24 2 Bài Cho hình chóp t giác SABCD có đáy hình thang ABC  BAD  900 , BA = BC = a; AD = 2a Gi s SA vng góc v i (ABCD) SA = a G i H hình chi u c a A SB Tìm th tích c a t di n SHCD Gi i: Ta có SA   ABCD   BC   SAB  BC  AH mà AH  SB  AH   SBC  M t khác AD  (SAB)=>AD  HA Nh v y AH kho ng cách gi a AD (SAB)  d D , SHC   AH SA2 AB2 1 2a a 2 2 AH       a AH AS2 AB2 SA2  AB2 3a  AH  a AC  AB2  BC  a  HC  AC  AH  2a  2a 2a  3 2a SH  SA2  AH  2a  a  3 SC  SA2  AC  2a  2a  2a G i ) trung m c a SC => SI  4a a SC  a  HI  SH  SI   a2  3  SSHC  1 a a2 2a  HI SC  2 3 a2 a3 1  VSHCD  HAS SHAC  a = 3 Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian Bài Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng c nh a , SA vng góc v i đáy SA a G i M, N l n l t trung m c a SB SD ) giao m c a SC m t ph ng (AMN) Ch ng minh SC vng góc v i AI tính th tích kh i chóp MBAI Gi i Ta có T  AM  BC , ( BC  SA, BC  AB)   AM  SB, ( SA  AB)  AM  SC (1) AN  SC (2) ng t ta có T (1) (2) suy S AI  SC H V IH song song v i BC c t SB t i ( Khi )( vng góc v i (AMB)=> VABMI Ta có I  SABM IH N a2 SABM  VABMI  B A IH SI SI SC SA2 a2      2 2 BC SC SC SA  AC a  2a 1  IH  BC  a 3 V y M D C a2 a a3  36 Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a, SA vng góc v i đáy Góc gi a m t ph ng (SBC) (SCD) b ng 600 Tính theo a th tích kh i chóp S.ABCD Gi i G i M hình chi u vng góc c a B lên SC Ch ng minh đ c góc DMB = 1200  DMB cân t i M Th t v y: S - Do BD vng góc v i (SAC)=> BD vng góc SC - Mà MB vng góc v i SC (theo cách d ng)  SBC , SDC MB, DM (chú ý góc gi a đ Có tam giác DMB cân t i M u d th y (do SDC Gi s góc gi a đ ng th ng DM, MB= DMB Tam giác DMB tam giác đ u => DMB 120 Hocmai – Ngơi tr ng th ng góc nh n) M SBC ) B 600 u vô lý DB>BM ng chung c a h c trò Vi t A D T ng đài t v n: 1900 58-58-12 C - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph Tính đ c: DM2 = ng) Hình h c không gian 2 a  SCD vuông t i D DM đ ng cao nên 1 = + 2 DM DS DC2 Suy DS = a Tam giác ASD vuông t i A suy SA = a a V y th tích S.ABCD b ng Bài 11 Cho hình chóp S ABC SA vng góc v i m t ph ng ABC Đáy tam giác ABC cân t i A đ dài trung n AD a , c nh bên SB t o v i đáy m t góc  t o v i m t (SAD) góc  Tìm th tích hình chóp S.ABC Gi i Th tích hình chóp S.ABC là: V  SAS ABC Tam giác ABC cân đ nh A nên trung n AD đ ng cao c a tam giác Theo gi thi t: SA  mp  ABC   SBA   SB, mp  ABC     BD  mp  SAD   BSD   Đ t BD = x suy ra: AB  a  x2  SA  a  x2 tan  SB  BD SA  sin  sin   x sin   a  x2 tan  sin  a sin  x  cos 2  sin  a sin  sin  2 Do V  a  x tan  a x  cos 2  sin  Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SC  (ABC) ABC vuông t i B Bi t r ng AB = a, AC = a  a   góc gi a hai m t ph ng (SAB) (SAC) b ng  v i tan   13 Tính th tích kh i chóp S.ABC theo a Gi i G i H, K hình chi u c a C lên SA, SB Ta ch ng minh đ Hocmai – Ngơi tr c ng chung c a h c trị Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian CK  (SAB), SA  (CHK) suy CHK vuông t i K SA  KH Do =CHK T tan   13  sin   13  CK  13 1 19 19 CH Đ t SC = x >0 Trong tam giác vng SAC có T    CH  3a x2 CH CA2 CS 3a  x2 2 ng t tam giác vuông SAC có CK  2a2 x 2a  x 2 1   3a  x   13  x  6a Suy VSABC  SC.SABC  2a 3  2a  x2  19 Bài 13 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O SA vng góc v i đáy hình chóp Cho AB = a, SA = a G i H K l n l t hình chi u vng gãc c a A lên SB, SD Ch ng minh SC  (AHK) tính th tích kh i chóp OAHK Gi i *) BC vng góc v i (SAB)  BC vng góc v i AH mà AH vng v i SB  AH vng góc v i (SBC)  AH vng góc SC (1) (1) T ng t AK vng góc SC (2) (2)  SC vng góc v i (AHK ) 2 2 *) SB  AB  SA  3a  SB  a  AH.SB  SA.AB  AH   SH  a 2a 2a  SK  3 (do tam giác SAB SAD b ng vuông t i A) + Ta có HK song song v i BD nên HK SH 2a   HK  BD SB + K OE// SC c t mf (AHK) t i E  OE  ( AHK)(doSC  ( AHK)) suy OE đ ng cao c a hình chóp OAHK + G i ) giao m c a AE v i SC, SA  AC  a Tam giác SAC cân t i A Mà AI vng góc v i SC SC vng góc A(K Có OE//SC, OA=OC =>OE=1/2 IC=1/4SC = a/2 Hocmai – Ngơi tr ng chung c a h c trị Vi t S) C) hay ) trung m c a SC T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian + Có ta giác AHK cân t i A (do tam giác vuông SAB SAD b ng nhau) + G i AM đ ng cao c a tam giác cân AHK ta có AM  AH  HM  4a 2a  AM= a3 1a VOAHK  OE.SAHK  HK AM  32 27 Bài 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình ch nh t v i AB = a , AD = 2a C nh SA vng góc v i m t ph ng đáy c nh bên SB t o v i m t ph ng đáy m t góc 600 Trên c nh SA l y m M cho AM = a , m t ph ng ( BCM) c t c nh SD t i N Tính th tích kh i chóp S.BCNM Gi i Tính th tích hình chóp SBCMN ( BCM)// AD nên m t ph ng c t mp( SAD) theo giao n MN // AD  BC  AB Ta có :   BC  BM  BC  SA T giác BCMN hình thang vng có BM đ ng cao MN SM MN    Ta có SA = AB tan600 = a , AD SA 2a Suy MN = a 3 2 a a 3 2a 4a BM = 3 Di n tích hình thang BCMN : 4a  2a   BC  MN BM   S = 2     2a 10a    3  H AH  BM Ta có SH  BM BC  (SAB)  BC  SH V y SH  ( BCNM)  S( đ ng cao c a kh i chóp SBCNM Trong tam giác SBA ta có SB = 2a , AB AM =  SB MS V y BM phân giác c a góc SBA  SBH  300  SH = SB.sin300 = a G i V th tích chóp SBCNM ta có V = Hocmai – Ngơi tr ng chung c a h c trị Vi t 10 3a SH (dtBCNM ) = 27 T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian Bài 15 Kh i chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác vng cân đ nh C SA vng góc v i m t ph ng (ABC), SC = a Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng SCB ABC đ th tích kh i chóp l n nh t Gi i S G i  góc gi a hai mp (SCB) (ABC) Ta có :   SCA; BC = AC = a.cos  ; SA = a.sin  1 V y VSABC  SABC SA  AC.BC.SA  a sin .cos 2 6  a sin  1  sin   B A Xét hàm s : f(x) = x x3 kho ng ( 0; 1) 3x2 f '  x   x   Ta có f x T ta th y kho ng (0;1) hàm s f(x) liên t c C   có m t m c c tr m c c đ i, nên t i hàm s đ t GTLN hay Max f  x  f    x 0;1  3 3 V y MaxVSABC = a3 đ tđ c sin  = 1  hay   arc sin (v i0<   ) 3 Bài 16 Cho hình chóp SABCD đáy ABCD hình vng c nh a, SA  ABCD SA a m M  AD, E  CD, a AM = CE = G i N trung m c a BM K giao m c a AN BC Tính th tích kh i chóp SADK theo a ch ng minh r ng: (SKD)  (SAE) Gi i S 1 VSADK = SADK SA  SADK a 3 M A Mà SADK  SABCD  SABK  SDCK = a  SABM  CK.CD = a2  1 3a AB AM  a 2 N B A K M D N a 3a a = a  a   E B => VSADK K C a3 a2  a  Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia PEN-C: Mơn Tốn (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) Hình h c khơng gian L u ý Vì AM BK nên theo h qu c a đ nh lý talet ta có NM NA AM   NB NK BK Mà N trung m c a BM  NM  NB  NA  NK, AM  BK) + Ta th y tam giác vuông ADE = tam giác vng DCK ( CK=DE, AD=DC) => DAE  CDK M t khác: DAE  AED  900  CDK  AED  900  AE  DK  DK  AE Ta có:   DK  ( SAE ) , mà DK  (SKD) => (SAE)  (SKD)  DK  SA Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph Ngu n Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : ng Hocmai - Trang | 11 -