SKKN phương trình mặt cầu

hoctoancapba.com PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU A ĐẶT VẤN ĐỀ: Các toán phương pháp toạ độ không gian từ trước đến có đề thi TN, ĐH-CĐ Nếu học sinh nắm phương pháp toạ độ học sinh giải nhiều toán hình học không gian phương pháp toạ độ Trong đời sống hàng ngày, gặp nhiều đồ vật có dạng hình cầu như: Quả bóng, địa cầu người biết tính chất mặt cầu Học sinh học mặt cầu phương trình mặt cầu Chương trình, SGK HH 12 Trong phần "Phương pháp toạ độ không gian" SGK HH12 có ba đối tượng nghiên cứu là: Đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Khi dạy học sinh phương trình mặt cầu nhận thấy học sinh không khó tiếp thu kiến thức mặt cầu việc vận dụng vào giải tập phương trình mặt cầu nhiều học sinh không làm được, không nắm dạng toán phương trình mặt cầu số ứng dụng phương trình mặt cầu giải số toán đại số Trong viết trình bày phương pháp giải toán về: Viết phương trình mặt cầu, toán tiếp tuyến, tiếp diện, đường tròn không gian số ứng dụng toán đại số cần luyện tập cho học để học sinh giải tốt toán gặp kì thi B NỘI DUNG: I Các kiến thức bản: Phương trình mặt cầu: Dạng 1: Mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 2 2 2 Dạng 2: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) (2) Khi đó: Mặt cầu tâm I(-a; -b; -c), bán kính R = a + b + c − d Vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R đường thẳng ( ∆ ) Tính: d ( I , ∆ ) Nếu: d ( I , ∆ ) > R :( ∆ ) ∩ ( C ) = ∅ ; d ( I , ∆ ) < R : ( ∆ ) ∩ ( C ) điểm phân biệt; d ( I , ∆ ) = R : ( ∆ ) , ( C ) tiếp xúc nhau, ( ∆ ) gọi tiếp tuyến mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu với mặt phẳng: Cho mặt cầu (C) tâm I(a; b; c), bán kính R mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = Aa +Bb +Cc+D Tính: d ( I , ( P ) ) = A2 + B2 + C Nếu: 1) d ( I , ( P ) ) > R : ( P ) ∩ ( C ) = ∅ ; -1- hoctoancapba.com 2) d ( I , ( P ) ) < R : ( P ) ∩ ( C ) ( 2 đường tròn H ; r = R − d ( I ; ( P ) ) ) với H hình chiếu I (P) Vậy đường tròn không gian có phương trình: 2 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R    Ax + By + Cz + D = 3) d ( I , ( P ) ) = R : ( P ) , ( C ) tiếp xúc điểm H hình chiếu I (P), (P) gọi tiếp diện mặt cầu (C) II Các dạng toán: Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu cho trước (dạng pt (2)): Cách 1: Đưa dạng Cách 2: Kiểm tra điều kiện a + b + c − d > ⇒ tâm bán kính Ví dụ: Cho phương trình: x + y + z − 2m x − 4my +8m − = Tìm điều kiện để phương trình phương trình mặt cầu Khi tìm tập hợp tâm họ mặt cầu Giải: Pt cho ⇔ ( x − m2 ) + ( y − 2m ) + z = m − 4m2 + 2 2 phương trình mặt cầu ⇔ m − 4m + = ( m − ) > ⇔ m ≠ ± yI2 Khi tâm I ( m ; 2m; 0) Ta thấy tâm I thuộc mặt phẳng Oxy và: xI = y Vậy tập hợp tâm I parabol x = nằm mp Oxy bỏ điểm: M (2; 2;0) N (2; −2 2;0) Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết số yếu tố cho trước Đi xác định tâm bán kính mặt cầu: - Biết tâm: tìm bán kính; - Biết bán kính: tìm tâm; - Chưa biết tâm bán kính:Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện, tiếp xúc với mặt phẳng cho trước thường xác định tâm trước sau tìm bán kính Bài 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I(4; 3; 2) tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) với: A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 3) x y z Giải: Phương trình mp(ABC): + + = ⇔ x + y + z − = 3 Bán kính mặt cầu: R = d ( I , ( ABC ) ) = ⇒ Phương trình mặt cầu: ( x − 4) + ( x − 3) + ( x − ) = 12 -2- hoctoancapba.com Bài 2: Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) cho mặt cầu cắt đường thẳng (d) có 5x − y + 3z + 20 = phương trình:  điểm A, B cho AB = 16  3x − y + z − = Giải: r (d) qua M(11; 0; -25) có véc tơ phương u = ( 2;1; − ) Gọi H hình chiếu I (d) Có: uuu r r  MI , u    IH = d ( I , AB ) = = 15 ⇒ Bán kính mặt cầu: r u  AB  R = IH +  ÷ = 17 Vậy phương trình mặt cầu:   Bài 3: ( x − 2) R d A H B + ( y − 3) + ( z + 1) = 289 2 x −1 y − z − = = 2 hai mặt phẳng ( P1 ) : x + 2y + 2z − = 0; ( P2 ) : 2x + y + 2z −1= Lập phương trình mặt cầu có tâm I nằm (d) tiếp xúc với mặt phẳng Giải: I ∈ ( d ) ⇒ I ( 2t + 1; t + 2; 2t + ) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) có phương trình: Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng ⇔ d ( I , ( P1 ) ) = d ( I , ( P2 ) ) t = 8t + = 9t + ⇔ 8t + = 9t + ⇔  ⇔ t = −18 8t − = −9t − 17  t = ⇒ I1 ( 1; 2;3) ; R1 = ⇒ Pt m / c ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 2 2 18 19   16   15   19 16 15   t = − ⇒ I  − ; ; ÷; R2 = ⇒ Pt m / c ( S ) :  x + ÷ +  y − ÷ +  z − ÷ = 17 17 17   17   17  289  17 17 17   Chú ý: Nếu ( P1 ) P( P2 ) : 1) d song song không cách ( P1 ) ( P2 ) nằm ( P1 ) ( P2 ) : Không có mặt cầu thoả mãn 2) d song song cách ( P1 ) ( P2 ) : Có vô số mặt cầu thoả mãn 3) d không song song, không nằm ( P1 ) ( P2 ) : Có mặt cầu thoả mãn Bài 4: Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(-1; 1; 2) D(1; -1; 2) Giải: -3- hoctoancapba.com  IA2 = IB  2 Cách 1: Gọi I(x; y; z) ⇒  IB = IC ⇒ I ( 1;1;1) , R = IA =  IC = ID  Cách 2: 2 2 2 Gọi phương trình mặt cầu là: x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = ( a + b + c − d > ) Mặt cầu qua điểm A, B, C, D nên: 2a + 2b + d + = 6a + 2b + 4c + d + 14 =  ⇒ ⇒ a = b = −1; c = −2; d = −2a + 2b + 4c + d + =  2a − 2b + 4c + d + = Kết luận: Phương trình mặt cầu là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = Chú ý: Bài toán (ĐH KD-2004): Trong không gian Oxyz cho điểm A(2; 0;1), B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) mặt phẳng (P) có phương trình: x + y + x - = Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mặt phẳng (P) Cách giải toán tương tự cách toán 2 Dạng 3: Lập phương trình tiếp diện mặt cầu Bài toán 1: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I, bán kính R điểm A Cách giải: uu r mp(P) qua A nhận véc tơ IA làm véc tơ pháp tuyến Bài toán 2: Lập phương trình r tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết véc tơ pháp tuyến (P) là: n = ( A; B; C ) Cách giải: ( P ) : Ax + By + Cz + D = Có: d ( I , ( P ) ) = R ⇔ Aa +Bb +Cc+D A2 + B2 + C = R ⇒ tìm D suy phương trình mp(P) Chú ý: Trong toán cho biết véc tơ pháp tuyến dạng: - Biết ( P ) song song với mặt phẳng song song với đường thẳng cho trước - Biết vuông góc với đường thẳng cho trước Bài toán 3: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) chứa đường thẳng (d) cho trước Cách giải: - Xét đường thẳng (d) dạng phương trình tổng quát; -4- hoctoancapba.com - Viết phương trình chùm mặt phẳng qua (d); - Sử dụng điều kiện tiếp xúc tìm mp(P) Bài toán 4: Lập phương trình tiếp diện (P) mặt cầu (S), tâm I(a; b; c), bán kính R biết (P) qua điểm C và: 1) Song song với đường thẳng (d) cho trước 2) Vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước Cách giải: 1) Gọi: ( Q ) = ( d ; C ) ; a = ( P ) ∩ ( Q ) ⇒ a qua A song song với d nên có pt xác định Bài toán trở thành viết phương trình mp(P) qua a tiếp xúc với mặt cầu (S) 2) Tương tự với: d qua A vuông góc với mp(Q) Dạng 4: Đường tròn không gian Bài toán 1: Xác định tâm, tính bán kính đường tròn giao mặt phẳng với mặt cầu cho trước: Cách giải: Sử dụng tính chất phần B.I2) để tìm tâm, tính bán kính đường tròn Bài toán 2: Tìm tâm bán kính đường tròn giao mặt cầu (S), (S') có tâm I, I'; bán kính R, R' Cách giải: - Đưa pt đường tròn giao mặt cầu pt đường tròn giao mặt cầu (S) với mặt phẳng (Q) - Tâm đường tròn O = II '∩ ( Q ) ; bán kính r = R − d ( I ; ( P ) ) Bài toán 3: Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn sau kẻ từ A cho trước: 2  ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R ( 1)  Ax + By + Cz + D =   Cách giải: Gọi B tiếp điểm Để ý B thuộc đường tròn nên toạ độ B thoả mãn (1) Lạiucó: uu r tiếp uuu rtuyến uuu rAB uuu rcủa đường tròn đồng thời tiếp tuyến mặt cầu tâm O nên: ⇒ AB ⊥ OB ⇒ AB OB = ( ) từ (1) (2) suy toạ độ B ⇒ tiếp tuyến AB Dạng 5: Ứng dụng mặt cầu giải số toán đại số Bài 1:  x + y + z =1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm, tìm nghiệm đó:  (1) 2 x − y + z = m Giải: -5- hoctoancapba.com Nghiệm hệ phương trình (nếu có) tọa độ điểm chung của: mặt cầu (S): x + y + z =1 , (S) có tâm O(0; 0; 0) bán kính R = mặt phẳng ( α ) :2 x − y + z − m = Do hệ (1) có nghiệm (S) (α) tiếp xúc ⇔ d ( O, (α ) ) = −m m = =1 ⇔  22 + (−1) + 22 m = − TH1:m = nghiệm hệ hình chiếu vuông góc H O (α1): 2x – y + 2z – =  x = 2t  đường thẳng ∆ qua O vuông góc với (α1) có phương trình  y = − t ( t ∈ R )  z = 2t  giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (α1) ∆ t = ⇒H 2 2  ;− ; ÷ 3 3 TH2: m = -3 Gọi H’ hình chiếu vuông góc O (α2): 2x – y + 2z + =   2 ⇒ H’  − ; ; − ÷ (tương tự TH1) 3    2 Vậy m = hệ có mghiệm  x = ; y = − ; z = ÷ 3  2  m = - hệ có mghiệm  x = − ; y = ; z = − ÷ 3 3   x + y + z = ( 1)  2 Bài 2: Giải hệ phương trình:  x + y + z = ( )  3  x + y + z = ( 3) Giải: Mặt cầu (S): x + y + z = , tâm O bán kính R = mp(α): x + y + z – = tiếp xúc với d ( O, (α ) ) = −3 12 + 12 + 12 = 3=R  x + y + z = ( 1) Do hệ phương trình  có nghiệm nhất, 2  x + y + z = ( ) dễ thấy nghiệm x = y = z = nghiệm thỏa (3) Vậy hệ cho có nghiệm x = y = z = Bài 3: Cho ba số thực x, y, z thỏa: x + y + z =1 Tìm GTLN GTNN của: F = 2x + y − z − Giải: Xét mặt cầu (S): x + y + z =1 , tâm O, bán kính R = mặt phẳng (α): x + y − z − = -6- hoctoancapba.com  x = 2t  Đường thẳng ∆ qua O vuông góc với (α) có phương trình  y = 2t ( t ∈ R ) giá trị tham z = − t   2 1  2 1 ⇒ ∆ (S) cắt điểm: A  ; ; − ÷ B  − ; − ; ÷  3 3  3 3 4 4 + + −9 − − − −9 3 3 3 d ( A, (α ) ) = =2; d ( B, (α ) ) = =4 2 22 + 22 + ( −1) 22 + 22 + ( −1) số t tương ứng với giao điểm ∆ (S) t = ± Lấy M(x; y; z) ∈ (S), d ( M , (α ) ) = Luôn có 2x + y − z − + + ( −1) 2 = F d ( A, (α ) ) ≤ d ( M , (α ) ) ≤ d ( B, (α ) ) ⇔ ≤ F ≤ ⇔ ≤ F ≤ 12 ;z= − 3 Fmax = đạt x = y = − ; z = 3 Vậy Fmin = đạt x = y = Bài tập vận dụng: Bài 1: 2x − y − z + 1= Trong hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d):  mặt cầu (S) có  x + y − z − 4= phương trình: x + y + z + 4x − 6y + m = Tìm m để d cắt mặt cầu (S) điểm M, N cho MN = Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mp(P): 2x + 2y + z + = I(1; 2; -2): a) Lập phương trình mặt cầu (C), tâm I cho giao tuyến mặt cầu (C) mp (P) đường tròn có chu vi 8π b) CMR; mặt cầu (C) nói tiếp xúc với (d): 2x - = y + = z c) Lập phương trình mặt phẳng qua (d) mà tiếp xúc với mặt cầu (C) Bài 3: 2   x + ( y + ) + ( z − 1) = ( S ) Cho điểm M(0; 2; 0) đường tròn (C):    x+y+z =2 a) CMR: M nằm (C) Lập phương trình tiếp tuyến kẻ từ M tới (C) b) Từ M kẻ tiếp tuyến tới mặt cầu (S) Tìm tập hợp tiếp điểm Bài 4: Cho mặt cầu (S): ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 3) = mp(P): x - 2y + 2z + = a) CNR: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo đường tròn Lập phương trình đường tròn (C) giao tuyến tìm tâm, tính bán kính đường tròn b) Lập phương trình mặt cầu chứa (C) tâm nằm mặt phẳng (Q): x+y+z+3=0 2 -7- hoctoancapba.com Bài 5: Cho mặt cầu: ( S1 ) : ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 3) = ( S ) : ( x − 3) 2 + ( y + ) + ( z + 1) = 20 2 a) CMR: Hai m/c cắt nhau, lập phương trình đường tròn giao tuyến m/c b) Tìm tâm bán kính đường tròn Bài 6: Cho mặt cầu (S): ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = mp(P): x - 4y - 3z + = Lập phương trình tiếp diện (S) qua A(0; 1; 0) vuông góc với mp(P) 2  x2 + y2 + z − 2x − y − 6z =  Bài 7: Giải hệ phương trình: 3x + y − z − = 3 x + y − z −12 =  ĐÁP SỐ - HƯỚNG DẪN: Bài 1: ( S ) : I ( −2;3;0 ) , R = 13 − m ( m ≥ 13) r 65 d : A ( 0;1; −1) ; vtcp a = ( 2;1; ) , d ( I , d ) = 3, IM = IH + d ( I , d ) ⇒ m = − Bài 2: 2 a) Bán kính đường tròn r = 4, d ( I , ( P ) ) = ⇒ R = ⇒ ( x − 1) + ( y − ) + ( z + ) = 25 b) d ( I , ( ∆ ) ) = = R ⇒ đpcm c) 2x - 11y + 10z - 35 = Bài 3: 2   x + ( y + ) + ( z − 1) = ( S ) a) Gọi tiếp điểm H(x; y; z) Vì H thuộc (C) nên:  (1) x + y + z =   uuu r uuuur uuu r uuuur Lại có: ⇒ IH ⊥ MH ⇒ IH MH = ⇔ x + y + z = = ( )  16  Từ (1) (2) có: H1 ( 2;0; ) ; H  − ; ; ÷ ⇒ pttt  7  b) Gọi T tiếp điểm nên T thuộc m/c (S) (1) Lại có: MT = R + MI = 2 nên T thuộc m/c (S') tâm M, bán kính 2 có pt: x + ( y − ) + z = (2) Từ (1) (2) tập hợp T giao m/c (S), (S') nên mp có phương trình 2   x + ( y − 2) + z =   2 y − z = Bài 4:  −7 −11  a) Đường tròn tâm H  ; ; ÷; r = 3 3  b) Tâm J m/c nằm đường thẳng IH ⇒ J = IH ∩ ( Q ) ⇒ J ( 3; −5; −1) l = d ( J , ( P ) ) = ⇒ bán kính m/c: R '2 = r + l = 20 Bài 5: -8- hoctoancapba.com 2   ( x − ) + ( y + ) + ( z + 3) = a) R2 − R1 < I1 I < R2 + R1 ⇒ ĐPCM Pt:   x − y + 2z + = ( α )  −7 −11  b) Tâm O = I1 I ∩ ( α ) ⇒ H  ; ; ÷; r = 3 3  4 x + y − = Bài 6: Lập pt đường thẳng d qua A vuông góc với (P):  3x − z = Bài toán trở thành lập pt mp qua d, tiếp xúc với (S) Bài 7: Nghiệm hệ tọa độ điểm chung của: 3 x + y − z − = Mặt cầu (S): x + y + z − x − y − z = đường thẳng ∆:  3 x + y − z −12 = r ∆ qua M(0; 4; 0) có VTCP u = (-2; 6; 3)  x = − 2t  ⇒ ∆ có phương trình tham số:  y = + 6t ( t ∈ R )  z = 3t  Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (S) ∆ nghiệm phương trình: t = ( −2t ) + ( + 6t ) + ( 3t ) − ( −2t ) − ( + 6t ) − 6.3t = ⇔ t = − 10  49  20 136 30  ;− ÷ ⇒ ∆ (S) có hai điểm chung A ( 0; 4;0 ) A  ; 49   49 49  20 136 30  ;− ÷ Vậy hệ (3) có hai nghiệm ( 0; 4;0 )  ; 49   49 49 2 C ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY: Phương pháp khai thác triển khai để dạy học sinh lớp ôn thi TN, ĐH-CĐ bước đầu đạt kết tốt Các học sinh sau học vận dụng giải toán phương trình mặt cầu, nhận dạng cách giải, đảm bảo yêu cầu xác, tiết kiệm thời gian tìm lời giải thi Đối tượng thực nghiệm năm học lớp 12A2 12A9: Đối với lớp 12A2 dạy kĩ, đầy đủ dạng cho học sinh tìm tòi, khai thác câu hỏi khác xoay quanh toán Đối với lớp 12A9 đối tượng học sinh yếu hơn, cho học sinh làm toán phân tích cặn kẽ lời giải để học sinh hiểu được, làm theo biết độc lập tìm tòi lời giải toán Khi dạy trước hết đưa toán để học sinh tìm lời giải, sau tổng hợp cách làm dạng để học sinh nắm phương pháp, có nhìn tổng quát giải toán Khi dạy tránh trình bày dạng phương pháp giải trước sau đưa tập cho học sinh làm, toán thay số, dần làm cho học sinh lười suy nghĩ thụ động làm toán D MỘT SỐ KIẾN NGHỊ: -9- hoctoancapba.com Theo việc bồi dưỡng chuyên môn cho giáo viên phải tiến hành thường xuyên, liên tục, trước hết việc tự bồi dưỡng thể kết giảng dạy tài liệu thu thập Vì nhà trường, tổ, nhóm chuyên môn nên phân công cụ thể người viết báo cáo, sáng kiến kinh nghiệm phần tuỳ theo sở trường trình bày hàng tháng, hàng quí sau kì mà không thiết để cuối năm học Các báo cáo photo cho người tổ, nhóm để đọc, bổ sung, trình bày trước tổ sửa chữa, hoàn thiện làm tài liệu giảng dạy chung cần Các tài liệu có chất lượng hỗ trợ kinh phí thưởng đánh giá thi đua người viết Nếu làm vừa mang tính động viên, khích lệ, vừa mang tính ràng buộc việc tự học hội tốt để giáo viên học hỏi lẫn nhau, đặc biệt giúp cho giáo viên trẻ học hỏi nhiều kinh nghiệm thầy cô trước, vừa có tài liệu tốt để giảng dạy Các báo cáo mang tính đặc thù môn nên trình bày tổ, nhóm; báo cáo phương pháp trình bày trước hội đồng GD nhà trường E TÀI LIỆU THAM KHẢO: Sách giáo khoa, sách tập HH12 (Chuẩn NC) Đề thi ĐH năm Bộ đề năm 1996 Tài liệu khai thác mạng - 10 - hoctoancapba.com - 11 -