Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ NHỊ THỨC NEWTON VỚI ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN PHẦN 1: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM 1/ Các khai triển bản: n (a b)n Cn0 a n Cn1a n1b Cnk a nk b k Cnn b n Cnk ank b k k 0 n k 0 f ( x ) (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n f ( x ) (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x (1)n Cnn x n m (a b)n (a ( b))n Cn0 a n Cn1 a n 1 (b) Cnk a n k (b)k C nn (b)n (1)k Cnk a n k b k co 2/ Tính chất công thức Nhò thức Newton: a/ Số số hạng n + (số) Các hệ số khai triển (a + b)n dãy n + số: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn1, Cnn d/ Số hạng tổng quát thứ k + là: Tk 1 Cnk a n k b k a b Cn0 C1n Cn2 Cnn 2n a b Cn0 C1n Cn2 (1)n Cnn oc uo - Đặc biệt: c b/ Tổng số mũ a b là: (n - k) + k = n, (ta quy ước số mũ a giảm dần b tăng dần) c/ Các cặp hệ số cách biên nhau: Cnk Cnn k e/ Công thức nhò thức Newton: (a b)n n Cnk a nk b k k 0 công thức khai triển nhò thức (a + b)n theo lũy thừa giảm a tăng b Nếu muốn viết khai triển nhò thức (a + b)n theo lũy thừa tăng a giảm b công thức có dạng: (a b)n (b a)n n Cnk b nk a k k 0 3/ Lưu ý: Khi sử dụng đạo hàm Mỗi cấp đạo hàm vế chọn giá trò x cho ta hệ thức tổ hợp: n gb (1 x )n Cn0 C1n x Cn2 x Cnn x n Cnk x k k 0 n(1 x )n1 C1n 2Cn2 x kCnk x k 1 nCnn x n1 Đạo hàm cấp 2: n(n 1)(1 x )n 1.2.Cn2 2.3.Cn3 x (k 1).k Cnk x k 2 (n 1)n.Cnn x n Đạo hàm cấp 3: n(n 1)(n 2).(1 x )n3 1.2.3.Cn3 2.3.4.Cn4 (k 2)(k 1).k.Cnk x k 3 (n 2)(n 1)n.Cnn x n3 on Đạo hàm cấp 1: kh Chú ý: - Số số hạng giảm dần theo cấp đạo hàm Đạo hàm cấp k (n + - k) số hạng - Có cần nhân biến x; x2 , x3, vào vế trước đạo hàm để tạo hệ thức II/ Bài tập: Bài 1: Chứng minh: a / Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 nCnn n.2n 1 b / 2.1 Cn2 3.2.Cn3 4.3.Cn4 n(n 1)Cnn n.(n 1).2n HD : Xét (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n Đạo hàm lần, xét với x Kết GV: HQH - TN Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Bài 2: Chứng minh: Cn0 2Cn1 3Cn2 4Cn3 (n 1)Cnn (n 2).2n 1 HD : Có : (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n Do cần lũy thừa x C1n 2, Cn2 Nhân vế với x x (1 x )n Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n 1 m Đạo hàm cấp1, chọn x Kết Xét f ( x ) (1 x )n Cn0 C1n x Cn2 x Cn3 x Cnn x n g( x ) x.(1 x )n Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n 1 f '( x ) Cn1 2.Cn2 x 3.Cn3 x 4.Cn4 x n.Cnn x n 1 n(1 x )n 1 Và : g '( x ) (1) c f '(1) Cn1 2.Cn2 3.Cn3 4.Cn4 n.Cnn n(2)n 1 co Bài 3: Chứng minh: 12.Cn1 2.Cn2 32.Cn3 p Cnp n Cnn n.(n 1).2n n.2n 1 g ''( x ) 2Cn1 3.2.x.Cn2 4.3.x Cn3 5.4.x 3Cn4 (n 1).n.x n 1Cnn 2n(1 x )n 1 n.(n 1).x.(1 x )n Lấy (2) (1) Kết oc uo g ''(1) 2Cn1 3.2.Cn2 4.3.Cn3 5.4.Cn4 (n 1).n.Cnn 2n(2)n 1 n.(n 1).(2)n (2) Bài 4: Tính n.Cn0 (n 1)C1n Cnn 1 Xét : [(1 x )n ]' (Cn0 x n Cn1 x n 1 Cn2 x n )' nCn0 x n 1 (n 1)Cn1 x n (n 2)Cn2 x n 3 n(1 x )n 1 nCn0 x n 1 (n 1)Cn1 x n (n 2)Cn2 x n 3 gb Chọn x 1, có đáp số Bài 5: (Khối A - 05) Tìm số nguyên dương n cho: C21 n 1 2.2.C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 (2n 1).22 n C22nn11 2005 Ta có : (1 x )2 n 1 C20n 1 C21 n 1 x C22n 1 x C23n 1 x C22nn11 x n 1 , x Đạo hàm vế ta có : on (2n 1)(1 x )2 n C21n 1 2.C22n 1 x 3.C23n 1 x (2n 1).C22nn11 x n , x Thay x 2, ta có : C21 n 1 2.2.C22n 1 3.22 C23n 1 4.23 C24n 1 (2n 1).2 n C22nn11 2n Theo giả thiết ta có 2n 2005 n 1002 kh Bài 6: Cho n số nguyên dương Chứng minh: Cn2 2Cn3 3.Cn4 (n 1)Cnn (n 2)2n 1 Xét hàm số : f ( x ) (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cnn x n f (1) 2n Cn0 Cn1 Cn2 Cnn (1) Ta có : f '( x ) n(1 x )n 1 C1n 2Cn2 x nCnn x n 1 f '(1) n.2n 1 Cn1 2Cn2 nCnn (2) Trừ vế (2) với (1), ta có : n.2n 1 2n Cn2 2Cn3 (n 1)Cnn Cn2 2Cn3 3Cn4 (n 1)Cnn (n 2)2n 1 đfcm GV: HQH - TN Trang: