Chứng minh công thức tổ hợp bằng đạo hàm

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ NHỊ THỨC NEWTON VỚI ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN PHẦN 1: SỬ DỤNG ĐẠO HÀM 1/ Các khai triển bản: n (a  b)n  Cn0 a n  Cn1a n1b   Cnk a nk b k   Cnn b n   Cnk ank b k k 0 n k 0 f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   (1)n Cnn x n m (a  b)n  (a  ( b))n  Cn0 a n  Cn1 a n 1 (b)   Cnk a n  k (b)k   C nn (b)n   (1)k Cnk a n k b k co 2/ Tính chất công thức Nhò thức Newton: a/ Số số hạng n + (số) Các hệ số khai triển (a + b)n dãy n + số: Cn0 , Cn1 , Cn2 , , Cnn1, Cnn d/ Số hạng tổng quát thứ k + là: Tk 1  Cnk a n k b k a  b   Cn0  C1n  Cn2   Cnn  2n a  b   Cn0  C1n  Cn2   (1)n Cnn  oc uo - Đặc biệt: c b/ Tổng số mũ a b là: (n - k) + k = n, (ta quy ước số mũ a giảm dần b tăng dần) c/ Các cặp hệ số cách biên nhau: Cnk  Cnn  k e/ Công thức nhò thức Newton: (a  b)n  n Cnk a nk b k  k 0 công thức khai triển nhò thức (a + b)n theo lũy thừa giảm a tăng b Nếu muốn viết khai triển nhò thức (a + b)n theo lũy thừa tăng a giảm b công thức có dạng: (a  b)n  (b  a)n  n Cnk b nk a k  k 0 3/ Lưu ý: Khi sử dụng đạo hàm Mỗi cấp đạo hàm vế chọn giá trò x cho ta hệ thức tổ hợp: n gb (1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x   Cnn x n   Cnk x k k 0 n(1  x )n1  C1n  2Cn2 x  kCnk x k 1   nCnn x n1 Đạo hàm cấp 2: n(n 1)(1  x )n  1.2.Cn2  2.3.Cn3 x  (k  1).k Cnk x k 2   (n 1)n.Cnn x n Đạo hàm cấp 3: n(n 1)(n  2).(1  x )n3   1.2.3.Cn3  2.3.4.Cn4  (k  2)(k  1).k.Cnk x k 3   (n  2)(n  1)n.Cnn x n3 on Đạo hàm cấp 1: kh Chú ý: - Số số hạng giảm dần theo cấp đạo hàm Đạo hàm cấp k (n + - k) số hạng - Có cần nhân biến x; x2 , x3, vào vế trước đạo hàm để tạo hệ thức II/ Bài tập: Bài 1: Chứng minh: a / Cn1  2Cn2  3Cn3  4Cn4   nCnn  n.2n 1 b / 2.1 Cn2  3.2.Cn3  4.3.Cn4   n(n  1)Cnn  n.(n  1).2n  HD :  Xét (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n  Đạo hàm lần, xét với x   Kết GV: HQH - TN Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Bài 2: Chứng minh: Cn0  2Cn1  3Cn2  4Cn3   (n  1)Cnn  (n  2).2n 1 HD :  Có : (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n  Do cần lũy thừa x C1n 2, Cn2  Nhân vế với x  x (1  x )n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n 1 m  Đạo hàm cấp1, chọn x   Kết  Xét f ( x )  (1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n g( x )  x.(1  x )n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n 1  f '( x )  Cn1  2.Cn2 x  3.Cn3 x  4.Cn4 x   n.Cnn x n 1  n(1  x )n 1 Và : g '( x )  (1) c f '(1)  Cn1  2.Cn2  3.Cn3  4.Cn4   n.Cnn  n(2)n 1 co Bài 3: Chứng minh: 12.Cn1  2.Cn2  32.Cn3   p Cnp   n Cnn  n.(n  1).2n   n.2n 1 g ''( x )  2Cn1  3.2.x.Cn2  4.3.x Cn3  5.4.x 3Cn4   (n  1).n.x n 1Cnn  2n(1  x )n 1  n.(n  1).x.(1  x )n   Lấy (2)  (1)  Kết oc uo g ''(1)  2Cn1  3.2.Cn2  4.3.Cn3  5.4.Cn4   (n  1).n.Cnn  2n(2)n 1  n.(n  1).(2)n  (2) Bài 4: Tính n.Cn0  (n  1)C1n   Cnn 1  Xét : [(1  x )n ]'  (Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n   )'  nCn0 x n 1  (n  1)Cn1 x n   (n  2)Cn2 x n 3   n(1  x )n 1  nCn0 x n 1  (n  1)Cn1 x n   (n  2)Cn2 x n 3  gb  Chọn x  1, có đáp số Bài 5: (Khối A - 05) Tìm số nguyên dương n cho: C21 n 1  2.2.C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1   (2n  1).22 n C22nn11  2005 Ta có : (1  x )2 n 1  C20n 1  C21 n 1 x  C22n 1 x  C23n 1 x   C22nn11 x n 1 , x   Đạo hàm vế ta có : on (2n  1)(1  x )2 n  C21n 1  2.C22n 1 x  3.C23n 1 x   (2n  1).C22nn11 x n , x   Thay x  2, ta có : C21 n 1  2.2.C22n 1  3.22 C23n 1  4.23 C24n 1   (2n  1).2 n C22nn11  2n  Theo giả thiết ta có 2n   2005  n  1002 kh Bài 6: Cho n số nguyên dương Chứng minh: Cn2  2Cn3  3.Cn4   (n  1)Cnn  (n  2)2n 1  Xét hàm số : f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x   Cnn x n  f (1)  2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn (1) Ta có : f '( x )  n(1  x )n 1  C1n  2Cn2 x   nCnn x n 1  f '(1)  n.2n 1  Cn1  2Cn2   nCnn (2) Trừ vế (2) với (1), ta có : n.2n 1  2n  Cn2  2Cn3   (n  1)Cnn   Cn2  2Cn3  3Cn4   (n  1)Cnn  (n  2)2n 1   đfcm GV: HQH - TN Trang: