Chứng minh công thức tổ hợp bằng tích phân

Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác SUY NGHĨ CÁCH CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC Cnk BẰNG TÍCH PHÂN Bài viết phù hợp HS trung bình - HS giỏi không cần thiết Chứng minh đẳng thức số Cnk có nhiều cách (tất nhiên phụ thuộc vào dạng biểu thức đó): Sử dụng công thức Pascal; sử dụng đònh nghóa số Cnk ; sử dụng đạo hàm; sử dụng m tích phân Bài viết xin nói lên vài nhận xét để chứng minh đẳng thức Cnk tích phân * Phương pháp dùng tích phân để chứng minh đẳng thức Cnk gồm bước: co + Bước 1: Đánh giá toán giải phương pháp tích phân + Bước 2: Dựa vào đặc thù đẳng thức để tìm xét (hoặc các) nhò thức phù hợp + Bước 3: Khai triển nhò thức nêu + Bước 4: Lấy tích phân vế với cận hợp lý oc uo c Hầu hết bạn HS giỏi làm tốt bước này, có bạn HS TB - Khá gặp khó khăn Theo tôi, toán dạng giải hay không khâu bạn có cách giải tốt bước thứ hay không Sau xin trình bày vài kinh nghiệm nhận xét để tìm biểu thức nhò thức phù hợp Trước hết xin ghi lại vài công thức lý thuyết bản: n  , n  / (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n n n n n n 3 n (1) n n / (1  x )  C  C x  C x  C x   (1) C x /  x k Cnk dx  C k x k 1  const k 1 n n (0  k  n) (2) (3) (4) gb 1 1 2n 1  Cnn  ( n  , n  ) Ví dụ 1: Chứng minh:  C1n  Cn2  Cn3   n 1 n 1 Cnk (k  0, k  ) Số chung với Cnk phân số k 1 => sử sụng phương pháp tích phân (vì phù hợp với:  x k Cnk dx  Cnk x k 1  const ) k 1 on NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: 1 Cnk có mẫu phân số (k + 1) lớn k 1 k 1 số chập k, đơn vò => có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk kh NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: NX3: Dấu số hạng cộng (+) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 1/, ta khai triển nhò thức: (1  x )n (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n (1) - Lấy tích phân hai vế (1), cận từ tới (ta chọn cận từ tới chúng với Cnk , số khác) k 1 1 n  (1  x ) dx   (C 0 n  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n ).dx GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1 (1  x )n1 1 1 Cnn x n 1   Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   n 1 n 1  n1  1 1 Cnn (đccm)   Cn1  Cn2  Cn3   n 1 n 1 (1)n1 n n 1 Cn  ( n  , n  ) Ví dụ 2: Chứng minh: Cn  Cn  Cn  Cn   n 1 n 1 m (5) (1)k 1 k C (k  0, k   ) Số chung với Cnk phân k 1 n số => sử sụng phương pháp tích phân (vì phù hợp với:  x k Cnk dx  Cnk x k 1  const ) k 1 co NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: c (1)k 1 k Cn có mẫu phân số (k + 1) lớn NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: k 1 k 1 số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk oc uo NX3: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 2/, ta khai triển nhò thức: (1  x )n (1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n > Vậy chưa khớp dấu đề, ta nhân vế cho (-1), vậy: (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n 1 Cnn x n (6) - Lấy tích phân hai vế (6), cận từ tới (ta chọn cận từ tới chúng với Cnk , số khác) k 1 1   (1  x )n dx   (Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n 1 Cnn x n ).dx gb (1  x )n 1 1 (1)n 1 n n 1   (Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   C x ) n 1 n 1 n (1)n 1 n 1 1  1  Cn1  Cn2  Cn3   C n 1 n 1 n (1)n 1 n n 1 1  Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   Cn  (đccm ) n 1 n 1 on  kh Ví dụ 3: (Đại học Khối B - 2003) 22  1 23  24  n1  n Cho n nguyên dương, tính: Cn0  Cn  Cn  Cn   C n 1 n (7) k 1  k C (k  0, k   ) => sử sụng k 1 n phương pháp tích phân, đồng thời số hạng tổng quát gợi ý: hiệu số! Ta đoán giá trò cận trừ giá trò cận NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 2k 1  k k 1  có mẫ u củ a phâ n số NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: C (k + 1) lớn k 1 k 1 n số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk NX3: Dấu số hạng cộng (+) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 1/, ta khai triển nhò thức: (1  x )n - Lấy tích phân vế (1), Số hạng tổng quát có dạng 2k 1  k C , nên ta chọn cận từ tới k 1 n 2 3 n n n  (1  x ) dx   (Cn  Cn x  Cn x  Cn x   Cn x ).dx 1 2 (1  x )n 1 1 1 Cnn x n 1   Cn0 x  C1n x  Cn2 x  Cn3 x   n 1 n 1 co m (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n (1) c 3n 1  2n 1 2  1 23  2  n 1  n Cn  Cn  Cn   C  1 n 1 n 1 n 22  1 23  24  2n1  n 3n1  2n1 Vậy ta có:  Cn  Cn  Cn   C  n 1 n n 1 Ví dụ 4: Chứng minh: oc uo  (1)n n 1 1 Cn  Cn  Cn  Cn   Cn  ( n  , n  ) n2 (n  1)(n  2) (8) (1)k k Cn (k  0, k   ) Số chung với Cnk phân số k2 => sử sụng phương pháp tích phân (1)k k (1)k NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn có mẫu phân số (k + 2) lớn k 2 k2 gb NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k 1 , tức là: x k 1 Cnk (*) NX3: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 2/, ta khai triển nhò thức: (1  x )n on (1  x )n  Cn0  C1n x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n Tới đây, nhận thấy số hạng vế phải chưa giống ta đoán (*), ta nhân hai vế cho x Ta được: x (1  x )n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 (9) kh - Trong số hạng tổng quát đề, chung với Cnk (1)k , số khác, nên lấy k2 tích phân vế (9), cận từ tới 1 1 2 3 n n n n 1  x(1  x ) dx   (Cn x  Cn x  Cn x  Cn x   (1) Cn x ).dx 0 (1)n n n  1 1 * VP  ( Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   C x ) n2 n 1 1 (1)n n  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   C n2 n GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác * Xét VT: x   t 1 Đặt t   x  dt   dx x 1 t  0 1   x (1  x )n dx    (1  t ).t n dt   (1  t ).t n dt   (t n  t n 1 ).dt  0 Vậy : 1 1 (1)n n Cn  Cn  Cn  Cn   Cn  n2 (n  1)(n  2) m n 1 n2 1 t  t    n 1 n2 n  n  (n  1)(n  2) ( n  , n  ) co  Ví dụ 5: ( n  , n  ) (10) c 1 (1)n n1 n  (1)n Chứng minh: 2Cn0  2.C1n  23.Cn2  24 Cn3   Cn  n 1 n 1 (1)k k 1 k Cn (k  0, k  ) Số chung với Cnk k 1 phân số => sử sụng phương pháp tích phân NX2: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) (1)k k 1 k (1)k NX3: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn có mẫu phân số (k + 1) lớn k 1 k 1 oc uo NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk , lại thừa số 2k 1 đâu ra??? Ta suy nghó rằng: khai triển (1  x )n mà là: (1  x )n Khá hợp lý!, mà lũy thừa số (k+1), với Cnk Vậy ta cần nhân thêm số đủ gb Tóm lại , khai triển: 2(1  x )n 2(1  x )n  2.(Cn0  Cn1 x  Cn2 22.x  Cn3 23.x   (1)n Cnn 2n.x n )  2(1  x )n  2Cn0  C1n 22 x  Cn2 23.x  Cn3 24.x   (1)n Cnn 2n 1.x n ) (11) - Lấy tích phân vế (11), cận từ tới 1 on 1 2 3 n n n n 1 n  2(1  x ) dx   (2Cn  Cn x  Cn x  Cn x   (1) Cn x ).dx 0 1 1 1   (1  x ) d (1  x )  (2C x  Cn1 2 x  Cn2 23.x  Cn3 24.x   (1)n Cnn 2n 1.x n 1 ) n 1 0 kh n n (1  x )n1 1 1 Cnn 2n 1   2Cn0  Cn1 22  Cn2 23  Cn3   (1)n n 1 n 1 (1)n1 1 1 Cnn 2n 1   2Cn0  Cn1 22  Cn2 23  Cn3 24   (1)n n 1 n 1 n 1 n 1 (1) n1 n  (1)n Cn  ( n  , n  ) Vậy : 2Cn  Cn  Cn  Cn   n 1 n 1 * Cách khác: Có thể khai triển: (1  x )n , lấy tích phân hai vế với cận từ tới  GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1 1 2n 1  n C  Ví dụ 6: Chứng minh: Cn  Cn  Cn  Cn   12 3n  n 3(n  1) ( n  , n  ) (12) Cnk (k  0, k   ) Số chung với Cnk phân 3k  số => sử sụng phương pháp tích phân NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cnk ta đoán trước lấy nguyên hàm số 3k  k k 3k  có dạng: x Cn Mà chung với Cn lũy thừa biến phải k Vậy cần phải viết là: m NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: NX3: Dấu số hạng cộng (+) - Chính mà ta khai triển nhò thức: x (1  x )n x (1  x )n  x [Cn0  Cn1 ( x )  Cn2 ( x )2  Cn3 ( x )3   Cnn ( x )n ] - Trong số hạng tổng quát đề, chung với Cnk 1 , số khác, nên lấy 3k  oc uo tích phân hai vế (13), cận từ tới (13) c  x (1  x )n  Cn0 x  Cn1 ( x )  Cn2 ( x )  Cn3 ( x11 )   Cnn ( x 3n  ) co x k  Cnk  x ( x )k Cnk n 11 3n2 n  x (1  x ) dx   (Cn x  Cn ( x )  Cn ( x )  Cn ( x )   Cn ( x )).dx 0 1 1 1 * VP  ( Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x12   Cnn x n 3 ) 12 3n  1 1 Cnn  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   12 3n  * Xét VT: Đặt t   x  dt  x dx x  1 t  2 1 t n 1 2n 1    x (1  x ) dx   t n dt   31 n 1 n 1 gb x   t 1 n 1 1 2n 1  ( n  , n  ) Vậy : Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cnn  12 3n  3(n  1) on Ví dụ 7: 1 1 1 1 Chứng minh: Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   (1)n 1Cnn      n n ( n  , n  ) (14) kh (1)k 1 k NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn (k  0, k  ) Số chung với Cnk phân k số => sử sụng phương pháp tích phân NX2: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) (1)k 1 (1)k 1 k (k ), NX3: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn có mẫu phân số k k số chập k => điều có (1  x )n , khai triển (1  x )n sau lấy nguyên hàm mẫu phân số phải lớn số chập đơn vò Điều gợi ý ta khai GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác (1)k 1 triển (1  x ) chia lại cho x sau lấy nguyên hàm ta có mẫu phân số (k), k số chập k Tóm lại, khai triển: (1  x )n x 1 (1  x )n  (Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n ) x x 1  (1  x )n  Cn0  Cn1  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 ) x x (1)k 1 k - Theo số hạng tổng quát Cn ta cần lấy tích phân hai vế từ tới k Do ta biến đổi tiếp chút: - Nhưng lấy lúc bò vướng x (1  x )n  1  Cn1  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 )  x  ( x ) 1  (1  x )1  (1  x )2  (1  x )3   (1  x )n 1   Cn1  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 ) x   1  (1  x )1  (1  x )2  (1  x )3   (1  x )n 1   Cn1  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 c co m n oc uo  1  (1  x )1  (1  x )2  (1  x )3   (1  x )n 1   Cn1  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 (15) - Lấy tích phân hai vế (15), cận từ tới 1 1  [1  (1  x )  (1  x )  (1  x )   (1  x ) ].dx   (Cn1  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n 1 ).dx n 1 1 1 1 1  x  (1  x )2  (1  x )3  (1  x )4   (1  x )n  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   (1)n Cnn x n n n 0 ( n  , n  ) on gb 1 1 1 1  (     )  Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   (1)n Cnn n 4 n 1 1 1 1 Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   (1)n Cnn       n n 1 1 1 1 Vậy : Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   (1)n Cnn       n n kh CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: 1 1 (1)n1 n 1/ Tính: Cn1  Cn2  Cn3  Cn4   Cn ( n  , n  ) n n 1 n2 n 3 1 1 3n1  2/ Chứng minh: 2Cn0  22.Cn1  23.Cn2  24 Cn3   2n1 Cnn  ( n  , n  ) n 1 n 1 1 n1 2 n1 ( n  , n  ) (Khối A - 07) 3/ Chứng minh: C2 n  C2 n  C2 n   C2 n  2n 2n  HD: Vì VT số chập chẵn, nên ta khai triển đan dấu cộng lại Khai triển (1  x )2 n  (1  x )2 n  Cộng vế theo vế 1 1 (1)n Cnn  Cn  Cn  Cn  Cn   12 16 4(n  1) 4(n  1) GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ 4/ Chứng minh: Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ================== Hướng dẫn: Cn1 Cn2 Cn3 (1)n1Cnn Bài 1: Tính B=     n n 1 n  n n 1 n n  Xét : ( x  1)  Cn x  Cn x  Cn x  Cn3 x n 3   (1)n Cnn 1  Lấy :  ( x  1)n dx   (Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n   Cn3 x n 3   (1)n Cnn )dx C Cn1 n Cn2 n 1 Cn3 n (1)n Cnn ( x  1) n 1       x x x x x n 1 n 1 n n 1 n2 1 Cn3 (1)n Cnn (1)n 1 Cn Cn Cn        n 1 n 1 n n 1 n  1 n 1 n n 1 C C C C (1) Cn (1)  n   n  n  n   n 1 n 1 n n 1 n   n chẵn  B    n lẻ  B  n 1  22 23 24 2n 1 n 3n1  Bài 2: Chứng minh: 2.Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   C  n 1 n n 1 HD : n n 1 oc uo c co  m  Đặt f ( x )  (1  x )n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n 2   (1  x )n dx   Cn0  Cn1 x  Cn2 x  Cn3 x   Cnn x n dx 0 (1  x )n 1 x2 x3 x4 x n 1 n   xCn0  Cn1  Cn2  Cn3   C n 1 n 1 n n 1 n 1 1 2 2  2.Cn0  Cn1  Cn2  Cn3   Cn n 1 n 1 n C C1 C Cn Bài 8: Tính A= n  n  n   n n 1 n n 1 HD:  Xét ngược : (1  x )n  Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n    Cnn 1 x  Cnn gb  on  Lấy :  (1  x )n dx   (Cn0 x n  Cn1 x n 1  Cn2 x n    Cnn 1 x  Cnn )dx kh GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: