Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác SUY NGHĨ CÁCH CHỨNG MINH MỘT ĐẲNG THỨC Cnk BẰNG TÍCH PHÂN Bài viết phù hợp HS trung bình - HS giỏi không cần thiết Chứng minh đẳng thức số Cnk có nhiều cách (tất nhiên phụ thuộc vào dạng biểu thức đó): Sử dụng công thức Pascal; sử dụng đònh nghóa số Cnk ; sử dụng đạo hàm; sử dụng m tích phân Bài viết xin nói lên vài nhận xét để chứng minh đẳng thức Cnk tích phân * Phương pháp dùng tích phân để chứng minh đẳng thức Cnk gồm bước: co + Bước 1: Đánh giá toán giải phương pháp tích phân + Bước 2: Dựa vào đặc thù đẳng thức để tìm xét (hoặc các) nhò thức phù hợp + Bước 3: Khai triển nhò thức nêu + Bước 4: Lấy tích phân vế với cận hợp lý oc uo c Hầu hết bạn HS giỏi làm tốt bước này, có bạn HS TB - Khá gặp khó khăn Theo tôi, toán dạng giải hay không khâu bạn có cách giải tốt bước thứ hay không Sau xin trình bày vài kinh nghiệm nhận xét để tìm biểu thức nhò thức phù hợp Trước hết xin ghi lại vài công thức lý thuyết bản: n , n / (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n n n n n n 3 n (1) n n / (1 x ) C C x C x C x (1) C x / x k Cnk dx C k x k 1 const k 1 n n (0 k n) (2) (3) (4) gb 1 1 2n 1 Cnn ( n , n ) Ví dụ 1: Chứng minh: C1n Cn2 Cn3 n 1 n 1 Cnk (k 0, k ) Số chung với Cnk phân số k 1 => sử sụng phương pháp tích phân (vì phù hợp với: x k Cnk dx Cnk x k 1 const ) k 1 on NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: 1 Cnk có mẫu phân số (k + 1) lớn k 1 k 1 số chập k, đơn vò => có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk kh NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: NX3: Dấu số hạng cộng (+) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 1/, ta khai triển nhò thức: (1 x )n (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n (1) - Lấy tích phân hai vế (1), cận từ tới (ta chọn cận từ tới chúng với Cnk , số khác) k 1 1 n (1 x ) dx (C 0 n Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n ).dx GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1 (1 x )n1 1 1 Cnn x n 1 Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x n 1 n 1 n1 1 1 Cnn (đccm) Cn1 Cn2 Cn3 n 1 n 1 (1)n1 n n 1 Cn ( n , n ) Ví dụ 2: Chứng minh: Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 m (5) (1)k 1 k C (k 0, k ) Số chung với Cnk phân k 1 n số => sử sụng phương pháp tích phân (vì phù hợp với: x k Cnk dx Cnk x k 1 const ) k 1 co NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: c (1)k 1 k Cn có mẫu phân số (k + 1) lớn NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: k 1 k 1 số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk oc uo NX3: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 2/, ta khai triển nhò thức: (1 x )n (1 x )n Cn0 C1n x Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n > Vậy chưa khớp dấu đề, ta nhân vế cho (-1), vậy: (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x (1)n 1 Cnn x n (6) - Lấy tích phân hai vế (6), cận từ tới (ta chọn cận từ tới chúng với Cnk , số khác) k 1 1 (1 x )n dx (Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x (1)n 1 Cnn x n ).dx gb (1 x )n 1 1 (1)n 1 n n 1 (Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x C x ) n 1 n 1 n (1)n 1 n 1 1 1 Cn1 Cn2 Cn3 C n 1 n 1 n (1)n 1 n n 1 1 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 Cn (đccm ) n 1 n 1 on kh Ví dụ 3: (Đại học Khối B - 2003) 22 1 23 24 n1 n Cho n nguyên dương, tính: Cn0 Cn Cn Cn C n 1 n (7) k 1 k C (k 0, k ) => sử sụng k 1 n phương pháp tích phân, đồng thời số hạng tổng quát gợi ý: hiệu số! Ta đoán giá trò cận trừ giá trò cận NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 2k 1 k k 1 có mẫ u củ a phâ n số NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: C (k + 1) lớn k 1 k 1 n số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk NX3: Dấu số hạng cộng (+) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 1/, ta khai triển nhò thức: (1 x )n - Lấy tích phân vế (1), Số hạng tổng quát có dạng 2k 1 k C , nên ta chọn cận từ tới k 1 n 2 3 n n n (1 x ) dx (Cn Cn x Cn x Cn x Cn x ).dx 1 2 (1 x )n 1 1 1 Cnn x n 1 Cn0 x C1n x Cn2 x Cn3 x n 1 n 1 co m (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n (1) c 3n 1 2n 1 2 1 23 2 n 1 n Cn Cn Cn C 1 n 1 n 1 n 22 1 23 24 2n1 n 3n1 2n1 Vậy ta có: Cn Cn Cn C n 1 n n 1 Ví dụ 4: Chứng minh: oc uo (1)n n 1 1 Cn Cn Cn Cn Cn ( n , n ) n2 (n 1)(n 2) (8) (1)k k Cn (k 0, k ) Số chung với Cnk phân số k2 => sử sụng phương pháp tích phân (1)k k (1)k NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn có mẫu phân số (k + 2) lớn k 2 k2 gb NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k 1 , tức là: x k 1 Cnk (*) NX3: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) - Chính mà ta vào lý thuyết CT 2/, ta khai triển nhò thức: (1 x )n on (1 x )n Cn0 C1n x Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n Tới đây, nhận thấy số hạng vế phải chưa giống ta đoán (*), ta nhân hai vế cho x Ta được: x (1 x )n Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 (9) kh - Trong số hạng tổng quát đề, chung với Cnk (1)k , số khác, nên lấy k2 tích phân vế (9), cận từ tới 1 1 2 3 n n n n 1 x(1 x ) dx (Cn x Cn x Cn x Cn x (1) Cn x ).dx 0 (1)n n n 1 1 * VP ( Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x C x ) n2 n 1 1 (1)n n Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 C n2 n GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác * Xét VT: x t 1 Đặt t x dt dx x 1 t 0 1 x (1 x )n dx (1 t ).t n dt (1 t ).t n dt (t n t n 1 ).dt 0 Vậy : 1 1 (1)n n Cn Cn Cn Cn Cn n2 (n 1)(n 2) m n 1 n2 1 t t n 1 n2 n n (n 1)(n 2) ( n , n ) co Ví dụ 5: ( n , n ) (10) c 1 (1)n n1 n (1)n Chứng minh: 2Cn0 2.C1n 23.Cn2 24 Cn3 Cn n 1 n 1 (1)k k 1 k Cn (k 0, k ) Số chung với Cnk k 1 phân số => sử sụng phương pháp tích phân NX2: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) (1)k k 1 k (1)k NX3: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn có mẫu phân số (k + 1) lớn k 1 k 1 oc uo NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: số chập k, đơn vò ==> có khả ban đầu Cnk chung với x k , tức là: x k Cnk , lại thừa số 2k 1 đâu ra??? Ta suy nghó rằng: khai triển (1 x )n mà là: (1 x )n Khá hợp lý!, mà lũy thừa số (k+1), với Cnk Vậy ta cần nhân thêm số đủ gb Tóm lại , khai triển: 2(1 x )n 2(1 x )n 2.(Cn0 Cn1 x Cn2 22.x Cn3 23.x (1)n Cnn 2n.x n ) 2(1 x )n 2Cn0 C1n 22 x Cn2 23.x Cn3 24.x (1)n Cnn 2n 1.x n ) (11) - Lấy tích phân vế (11), cận từ tới 1 on 1 2 3 n n n n 1 n 2(1 x ) dx (2Cn Cn x Cn x Cn x (1) Cn x ).dx 0 1 1 1 (1 x ) d (1 x ) (2C x Cn1 2 x Cn2 23.x Cn3 24.x (1)n Cnn 2n 1.x n 1 ) n 1 0 kh n n (1 x )n1 1 1 Cnn 2n 1 2Cn0 Cn1 22 Cn2 23 Cn3 (1)n n 1 n 1 (1)n1 1 1 Cnn 2n 1 2Cn0 Cn1 22 Cn2 23 Cn3 24 (1)n n 1 n 1 n 1 n 1 (1) n1 n (1)n Cn ( n , n ) Vậy : 2Cn Cn Cn Cn n 1 n 1 * Cách khác: Có thể khai triển: (1 x )n , lấy tích phân hai vế với cận từ tới GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác 1 1 2n 1 n C Ví dụ 6: Chứng minh: Cn Cn Cn Cn 12 3n n 3(n 1) ( n , n ) (12) Cnk (k 0, k ) Số chung với Cnk phân 3k số => sử sụng phương pháp tích phân NX2: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cnk ta đoán trước lấy nguyên hàm số 3k k k 3k có dạng: x Cn Mà chung với Cn lũy thừa biến phải k Vậy cần phải viết là: m NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: NX3: Dấu số hạng cộng (+) - Chính mà ta khai triển nhò thức: x (1 x )n x (1 x )n x [Cn0 Cn1 ( x ) Cn2 ( x )2 Cn3 ( x )3 Cnn ( x )n ] - Trong số hạng tổng quát đề, chung với Cnk 1 , số khác, nên lấy 3k oc uo tích phân hai vế (13), cận từ tới (13) c x (1 x )n Cn0 x Cn1 ( x ) Cn2 ( x ) Cn3 ( x11 ) Cnn ( x 3n ) co x k Cnk x ( x )k Cnk n 11 3n2 n x (1 x ) dx (Cn x Cn ( x ) Cn ( x ) Cn ( x ) Cn ( x )).dx 0 1 1 1 * VP ( Cn0 x Cn1 x Cn2 x Cn3 x12 Cnn x n 3 ) 12 3n 1 1 Cnn Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 12 3n * Xét VT: Đặt t x dt x dx x 1 t 2 1 t n 1 2n 1 x (1 x ) dx t n dt 31 n 1 n 1 gb x t 1 n 1 1 2n 1 ( n , n ) Vậy : Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cnn 12 3n 3(n 1) on Ví dụ 7: 1 1 1 1 Chứng minh: Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 (1)n 1Cnn n n ( n , n ) (14) kh (1)k 1 k NX1: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn (k 0, k ) Số chung với Cnk phân k số => sử sụng phương pháp tích phân NX2: Dấu số hạng thay đổi từ cộng (+) sang trừ (-) (1)k 1 (1)k 1 k (k ), NX3: Số hạng tổng quát tổng vế trái là: Cn có mẫu phân số k k số chập k => điều có (1 x )n , khai triển (1 x )n sau lấy nguyên hàm mẫu phân số phải lớn số chập đơn vò Điều gợi ý ta khai GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác (1)k 1 triển (1 x ) chia lại cho x sau lấy nguyên hàm ta có mẫu phân số (k), k số chập k Tóm lại, khai triển: (1 x )n x 1 (1 x )n (Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n ) x x 1 (1 x )n Cn0 Cn1 Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 ) x x (1)k 1 k - Theo số hạng tổng quát Cn ta cần lấy tích phân hai vế từ tới k Do ta biến đổi tiếp chút: - Nhưng lấy lúc bò vướng x (1 x )n 1 Cn1 Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 ) x ( x ) 1 (1 x )1 (1 x )2 (1 x )3 (1 x )n 1 Cn1 Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 ) x 1 (1 x )1 (1 x )2 (1 x )3 (1 x )n 1 Cn1 Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 c co m n oc uo 1 (1 x )1 (1 x )2 (1 x )3 (1 x )n 1 Cn1 Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 (15) - Lấy tích phân hai vế (15), cận từ tới 1 1 [1 (1 x ) (1 x ) (1 x ) (1 x ) ].dx (Cn1 Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n 1 ).dx n 1 1 1 1 1 x (1 x )2 (1 x )3 (1 x )4 (1 x )n Cn1 x Cn2 x Cn3 x (1)n Cnn x n n n 0 ( n , n ) on gb 1 1 1 1 ( ) Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 (1)n Cnn n 4 n 1 1 1 1 Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 (1)n Cnn n n 1 1 1 1 Vậy : Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 (1)n Cnn n n kh CÁC BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: 1 1 (1)n1 n 1/ Tính: Cn1 Cn2 Cn3 Cn4 Cn ( n , n ) n n 1 n2 n 3 1 1 3n1 2/ Chứng minh: 2Cn0 22.Cn1 23.Cn2 24 Cn3 2n1 Cnn ( n , n ) n 1 n 1 1 n1 2 n1 ( n , n ) (Khối A - 07) 3/ Chứng minh: C2 n C2 n C2 n C2 n 2n 2n HD: Vì VT số chập chẵn, nên ta khai triển đan dấu cộng lại Khai triển (1 x )2 n (1 x )2 n Cộng vế theo vế 1 1 (1)n Cnn Cn Cn Cn Cn 12 16 4(n 1) 4(n 1) GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ 4/ Chứng minh: Trang: Truy cập www.khongbocuoc.com để download thêm tài liệu học tập khác ================== Hướng dẫn: Cn1 Cn2 Cn3 (1)n1Cnn Bài 1: Tính B= n n 1 n n n 1 n n Xét : ( x 1) Cn x Cn x Cn x Cn3 x n 3 (1)n Cnn 1 Lấy : ( x 1)n dx (Cn0 x n Cn1 x n 1 Cn2 x n Cn3 x n 3 (1)n Cnn )dx C Cn1 n Cn2 n 1 Cn3 n (1)n Cnn ( x 1) n 1 x x x x x n 1 n 1 n n 1 n2 1 Cn3 (1)n Cnn (1)n 1 Cn Cn Cn n 1 n 1 n n 1 n 1 n 1 n n 1 C C C C (1) Cn (1) n n n n n 1 n 1 n n 1 n n chẵn B n lẻ B n 1 22 23 24 2n 1 n 3n1 Bài 2: Chứng minh: 2.Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 C n 1 n n 1 HD : n n 1 oc uo c co m Đặt f ( x ) (1 x )n Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n 2 (1 x )n dx Cn0 Cn1 x Cn2 x Cn3 x Cnn x n dx 0 (1 x )n 1 x2 x3 x4 x n 1 n xCn0 Cn1 Cn2 Cn3 C n 1 n 1 n n 1 n 1 1 2 2 2.Cn0 Cn1 Cn2 Cn3 Cn n 1 n 1 n C C1 C Cn Bài 8: Tính A= n n n n n 1 n n 1 HD: Xét ngược : (1 x )n Cn0 x n Cn1 x n 1 Cn2 x n Cnn 1 x Cnn gb on Lấy : (1 x )n dx (Cn0 x n Cn1 x n 1 Cn2 x n Cnn 1 x Cnn )dx kh GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: