Với mong muốn giúp các em có một cái nhìn tổng quát và luôn có hướng giải chính xác và đơn giản trong vấn đề này tác giả đã trình bày chuyên đề nhỏ “Phương pháp và kĩ thuật chứng minh mộ
Trang 11 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
Chứng minh đẳng thức tổ hợp là bài tập thường thấy ở các đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi lớp 11, 12 những năm gần đây Với mong muốn giúp các em có một cái nhìn tổng quát và luôn có hướng giải chính xác và đơn giản trong vấn đề này tác giả đã trình bày chuyên đề nhỏ “Phương pháp và kĩ thuật chứng minh một đẳng thức tổ hợp”
Lưu ý: Ở đây, tác giả chỉ sử dụng kiến thức lớp 11 Những em lớp 12 có thể sử dụng thêm đạo hàm, tích phân để giải quyết vấn đề này (Sẽ đề cập trong một tài liệu khác) Tuy nhiên, đối với một số bài toán, việc dung đạo hàm tích phân khá phức tạp,
và đôi lúc là không thể áp dụng…
Chúng ta bắt đầu nào !
Trước hết hãy xem dạng tổng quát của một đẳng thức tổ hợp
𝑆 = 𝛼0𝐶𝑛0+ 𝛼1𝐶𝑛𝑘+𝛼1𝐶𝑛2𝑘 + ⋯ + 𝛼𝑛−1𝐶𝑛[
𝑛
𝑘].𝑘−1
+ 𝛼𝑛𝐶𝑛[
𝑛
𝑘].𝑘trong đó 𝛼𝑖 là các hệ số, 𝑘 là khoảng cách
Từ đây, chúng ta rút ra rằng để làm tốt bài tập dạng này, ta cần phải có kĩ thuật
xử lí 𝛼𝑖 và khoảng cách 𝑘
A Xử lí “khoảng cách 𝒌”
Sau đây là những ví dụ minh họa
A1 Sử dụng khai triển NewTon
Ví dụ 1:Chứng minh rằng 𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1+𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛
Giải:Ta có:
(𝑥 + 1)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛𝑘
𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 = 𝐶𝑛0 𝑥0+ 𝐶𝑛1 𝑥1+𝐶𝑛2 𝑥2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1 𝑥𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛 𝑥𝑛 (𝐼1) Trong (𝐼1) cho 𝑥 = 1, ta được 𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1+𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛−1+ 𝐶𝑛𝑛 = 2𝑛(đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng 𝐶2𝑛0 + 𝐶2𝑛2 +𝐶2𝑛4 + ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛−2 + 𝐶2𝑛2𝑛 = 22𝑛−1
Trang 22 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Giải:Ta có:
(𝑥 + 1)2𝑛 = ∑ 𝐶2𝑛𝑘
2𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 = 𝐶2𝑛0 𝑥0+ 𝐶2𝑛1 𝑥1+𝐶2𝑛2 𝑥2+ ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛 𝑥2𝑛 (1)
(𝑥 − 1)2𝑛 = ∑ 𝐶2𝑛𝑘
2𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 (−1)2𝑛−𝑘 = 𝐶2𝑛0 𝑥0− 𝐶2𝑛1 𝑥1+𝐶2𝑛2 𝑥2+ ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛 𝑥2𝑛 (2) Cộng vế theo vế hai khai triển trên ta được:
(𝑥 + 1)2𝑛+ (𝑥 − 1)2𝑛 = 2(𝐶2𝑛0 𝑥0+𝐶2𝑛2 𝑥2+ ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛 𝑥2𝑛) (𝐼20) Trong (𝐼20) cho 𝑥 = 1, ta được 𝐶2𝑛0 + 𝐶2𝑛2 +𝐶2𝑛4 + ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛−2+ 𝐶2𝑛2𝑛 = 22𝑛−1(đpcm)
Nhận xét:
Nếu ta trừ vế theo vế hai khai triển trên ta sẽ thu được điều sau:
(𝑥 + 1)2𝑛− (𝑥 − 1)2𝑛 = 2(𝐶2𝑛1 𝑥1+𝐶2𝑛3 𝑥3+ ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛−1 𝑥2𝑛−1) (𝐼21) Giả sử trong (𝐼21) cho 𝑥 = 1, ta được 𝐶2𝑛1 + 𝐶2𝑛3 +𝐶2𝑛5 + ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛−3+ 𝐶2𝑛2𝑛−1 = 22𝑛−1
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
𝐶3𝑛0 + 𝐶3𝑛3 +𝐶3𝑛6 + ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛−3 + 𝐶3𝑛3𝑛 =1
3(23𝑛+ (1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
+ (1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
)
Giải:Ta có:
(𝑥 + 1)3𝑛 = ∑ 𝐶3𝑛𝑘
3𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 = 𝐶3𝑛0 𝑥0+ 𝐶3𝑛1 𝑥1+𝐶3𝑛2 𝑥2+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 𝑥3𝑛 (1)
(𝑥 −1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
= ∑ 𝐶3𝑛𝑘
3𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 (−1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛−𝑘
trong đó, 𝑒32 = −1
2−
√3
2 𝑖
= 𝐶3𝑛0 (𝑒32)3𝑛 𝑥0+ 𝐶3𝑛1 (𝑒32)3𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 (𝑒32)0 𝑥3𝑛 (2)
(𝑥 −1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
= ∑ 𝐶3𝑛𝑘
3𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 (−1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛−𝑘
trong đó, 𝑒33 = −1
2+
√3
2 𝑖
= 𝐶3𝑛0 (𝑒33)3𝑛 𝑥0+ 𝐶3𝑛1 (𝑒33)3𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 (𝑒33)0 𝑥3𝑛 (3) Cộng vế theo vế các khai triển trên ta thu được:
Trang 33 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
(1 + 𝑥)3𝑛+ (𝑥 −1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
+ (𝑥 −1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
= 𝐶3𝑛0 𝐴3𝑛 𝑥0+ 𝐶3𝑛1 𝐴3𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 𝐴0 𝑥3𝑛, (4) trong đó, 𝐴𝑚 = 1 + (𝑒32)𝑚+ (𝑒33)𝑚
Ta sẽ chứng minh được rằng, 𝐴3𝑚 = 3; 𝐴3𝑚+1 = 𝐴3𝑚+2 = 0
Thật vậy, (𝑒32)3 = (−1
2−
√3
2 𝑖)
3
= 1; (𝑒33)3 = (−1
2+
√3
2 𝑖)
3
= 1, Suy ra 𝐴3𝑚 = 1 + (1)𝑚+ (1)𝑚 = 3;
𝐴3𝑚+1 = 1 + (𝑒32)3𝑚 𝑒32+ (𝑒33)3𝑚 𝑒33 = 1 + 𝑒32+ 𝑒33 = 0 và
𝐴3𝑚+2 = 1 + (𝑒32)3𝑚 (𝑒32)2+ (𝑒33)3𝑚 (𝑒33)2 = 1 + (𝑒32)2+ (𝑒33)2 = 1 + 𝑒33+ 𝑒32 = 0
Do đó từ (4) suy ra
(1 + 𝑥)3𝑛+ (𝑥 −1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
+ (𝑥 −1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
= 3(𝐶3𝑛0 𝑥0 + 𝐶3𝑛3 𝑥3+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 𝑥3𝑛) (𝐼30) Trong (𝐼30) cho 𝑥 = 1, ta được
𝐶3𝑛0 + 𝐶3𝑛3 +𝐶3𝑛6 + ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 =1
3(23𝑛+ (1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
+ (1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
) (đpcm)
Nhận xét:
Một câu hỏi thường gặp??
Nếu ta muốn tính 𝐶3𝑛1 + 𝐶3𝑛4 +𝐶3𝑛7 + ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛−2 (5) Hay 𝐶3𝑛2 + 𝐶3𝑛5 +𝐶3𝑛8 + ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛−4 + 𝐶3𝑛3𝑛−1 (6) Gợi ý một chút nhé!
Chúng ta cùng nhìn lại biểu thức 𝐴𝑚 = 1 + (𝑒32)𝑚+ (𝑒33)𝑚 và tính chất
𝐴3𝑚 = 3; 𝐴3𝑚+1 = 𝐴3𝑚+2 = 0 Bạn đã suy nghĩ ra chưa???
Dễ dàng nhận ra rằng, nếu chúng ta muốn tính (5) ta phải làm cho hệ số của 𝑥1 là 𝐴3𝑚 Muốn vậy, ta làm như sau: Lấy (1) 1 + (2) 𝑒32+ (3) 𝑒33 Khi đó, ta thu được
Trang 44 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
(1 + 𝑥)3𝑛+ (𝑥 −1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
𝑒32+ (𝑥 −1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
𝑒33
= 3(𝐶3𝑛1 𝑥1+ 𝐶3𝑛4 𝑥4+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛−2 𝑥3𝑛−2) (𝐼31) Tương tự, nếu lấy (1) 1 + (2) (𝑒32)2+ (3) (𝑒33)2 ta thu được
(1 + 𝑥)3𝑛+ (𝑥 −1
2−
√3
2 𝑖)
3𝑛
(𝑒32)2+ (𝑥 −1
2+
√3
2 𝑖)
3𝑛
(𝑒33)2
= 3(𝐶3𝑛2 𝑥2 + 𝐶3𝑛5 𝑥5+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛−1 𝑥3𝑛−1) (𝐼32)
Để tính (5), (6) ta chỉ cần cho cho 𝑥 = 1 trong (𝐼31) và (𝐼32)
Chúng ta cùng qua ví dụ 4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
𝐶4𝑛0 + 𝐶4𝑛4 +𝐶4𝑛8 + ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛−4 + 𝐶4𝑛4𝑛 = 24𝑛+ (1 + 𝑖)4𝑛+ (1 − 𝑖)4𝑛
Giải: Ta có
(𝑥 + 1)4𝑛 = ∑ 𝐶4𝑛𝑘
4𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 = 𝐶4𝑛0 𝑥0+ 𝐶4𝑛1 𝑥1+𝐶4𝑛2 𝑥2+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛 𝑥4𝑛 (1)
(𝑥 − 1)4𝑛 = ∑ 𝐶4𝑛𝑘
4𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 (−1)4𝑛−𝑘
= 𝐶4𝑛0 (−1)4𝑛 𝑥0+ 𝐶4𝑛1 (−1)4𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛 (−1)0 𝑥4𝑛 (2) (𝑥 + 𝑖)4𝑛 = ∑ 𝐶4𝑛𝑘
4𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 (𝑖)4𝑛−𝑘
= 𝐶4𝑛0 (𝑖)4𝑛 𝑥0 + 𝐶4𝑛1 (𝑖)4𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛 (𝑖)0 𝑥4𝑛 (3) (𝑥 − 𝑖)4𝑛 = ∑ 𝐶4𝑛𝑘
4𝑛
𝑘=0
𝑥𝑘 (−𝑖)4𝑛−𝑘
= 𝐶4𝑛0 (−𝑖)4𝑛 𝑥0+ 𝐶4𝑛1 (−𝑖)4𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛 (−𝑖)0 𝑥4𝑛 (4) Cộng vế theo vế các khai triển trên ta thu được:
(1 + 𝑥)4𝑛+ (1 − 𝑥)4𝑛+ (𝑥 + 𝑖)4𝑛+ (𝑥 − 𝑖)4𝑛
= 𝐶4𝑛0 𝐴4𝑛 𝑥0+ 𝐶4𝑛1 𝐴4𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛 𝐴0 𝑥4𝑛, (5) trong đó, 𝐴𝑚 = 1 + (−1)𝑚+ (𝑖)𝑚+ (𝑖)𝑚
Trang 55 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Ta sẽ chứng minh được rằng 𝐴4𝑚 = 4; 𝐴4𝑚+1 = 𝐴4𝑚+2 = 𝐴4𝑚+3= 0
Thật vậy, ta có (𝑖)4 = 1; (−𝑖)4 = 1 Suy ra:
𝐴4𝑚 = 1 + (−1)4𝑚+ (1)𝑚+ (1)𝑚 = 4
𝐴4𝑚+1 = 1 + (−1)4𝑚+1 + (𝑖)4𝑚 𝑖 + (−𝑖)4𝑚 𝑖 = 0
𝐴4𝑚+2 = 1 + (−1)4𝑚+2 + (𝑖)4𝑚 𝑖2+ (−𝑖)4𝑚 (−𝑖)2 = 0
𝐴4𝑚+3 = 1 + (−1)4𝑚+3 + (𝑖)4𝑚 𝑖3+ (−𝑖)4𝑚 (−𝑖)3 = 0
Do đó, từ (5) suy ra
(1 + 𝑥)4𝑛+ (1 − 𝑥)4𝑛+ (𝑥 + 𝑖)4𝑛+ (𝑥 − 𝑖)4𝑛
= 4(𝐶4𝑛0 𝑥0 + 𝐶4𝑛4 𝑥4+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛 𝑥4𝑛) (𝐼40) Trong (𝐼40) cho 𝑥 = 1, ta được
𝐶4𝑛0 + 𝐶4𝑛4 +𝐶4𝑛8 + ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛−4 + 𝐶4𝑛4𝑛 = 24𝑛+ (1 + 𝑖)4𝑛+ (1 − 𝑖)4𝑛(đpcm)
Nhận xét:
Cũng như nhận xét ở ví dụ 3 ta thu được 3 khai triển khác như sau:
Lấy (1) − (2) +(3) 𝑖 + (4) (−𝑖):
(1 + 𝑥)4𝑛− (1 − 𝑥)4𝑛+ (𝑥 + 𝑖)4𝑛 𝑖 + (𝑥 − 𝑖)4𝑛 (−𝑖)
= 4(𝐶4𝑛1 𝑥1+ 𝐶4𝑛5 𝑥5+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛−3 𝑥4𝑛−3) (𝐼41) Lấy (1) + (−1)2 (2) +(3) (𝑖)2+ (4) (−𝑖)2:
(1 + 𝑥)4𝑛+ (1 − 𝑥)4𝑛+ (𝑥 + 𝑖)4𝑛 (𝑖)2+ (𝑥 − 𝑖)4𝑛 (−𝑖)2
= 4(𝐶4𝑛2 𝑥2 + 𝐶4𝑛6 𝑥6+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛−2 𝑥4𝑛−2) (𝐼42) Lấy (1) + (−1)3 (2) +(3) (𝑖)3+ (4) (−𝑖)3:
(1 + 𝑥)4𝑛− (1 − 𝑥)4𝑛+ (𝑥 + 𝑖)4𝑛 (𝑖)3+ (𝑥 − 𝑖)4𝑛 (−𝑖)3
= 4(𝐶4𝑛3 𝑥3 + 𝐶4𝑛7 𝑥7+ ⋯ + 𝐶4𝑛4𝑛−1 𝑥4𝑛−1) (𝐼43)
Tổng quát hóa bài toán
Ở mục này, tôi xin dành cho những em có mong muốn nghiên cứu sâu về đằng thức tổ hợp
Bài toán: Cho 𝑘, 𝑛 là số nguyên dương, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 Tính tổng
𝑆 = 𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛𝑘+𝐶𝑛2𝑘 + ⋯ + 𝐶𝑛[
𝑛
𝑘].𝑘−1+ 𝐶𝑛[
𝑛
𝑘].𝑘
Trang 66 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Chú thích: [𝑥] được gọi là phần nguyên của 𝑥
Ở các ví dụ 1,2,3,4 tương ứng lần lượt với 𝑘 = 1,2,3,4
Cùng theo dõi lời giải tổng quát
Giải: Ta có
(𝑥 + 𝑒𝑘1)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛𝑘
𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖 (𝑒𝑘1)𝑛−𝑖
= 𝐶𝑛0 (𝑒𝑘1)𝑛 𝑥0+ 𝐶𝑛1 (𝑒𝑘1)𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 (𝑒𝑘1)0 𝑥𝑛 (1) (𝑥 + 𝑒𝑘2)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛𝑘
𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖 (𝑒𝑘2)𝑛−𝑖
= 𝐶𝑛0 (𝑒𝑘2)𝑛 𝑥0 + 𝐶𝑛1 (𝑒𝑘2)𝑛−1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 (𝑒𝑘2)0 𝑥𝑛 (2)
… (𝑥 + 𝑒𝑘𝑘)𝑛 = ∑ 𝐶𝑛𝑘
𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖 (𝑒𝑘𝑘)𝑛−𝑖
= 𝐶𝑛0 (𝑒𝑘𝑘)𝑛 𝑥0+ 𝐶𝑛1 (𝑒𝑘𝑘)𝑛−1 𝑥1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 (𝑒𝑘𝑘)0 𝑥𝑛 (𝑘) Trong đó, 𝑒𝑘1, 𝑒𝑘2, … , 𝑒𝑘𝑘 là các căn bậc 𝑘 của 1 Ở chuyên đề này, tác giả không đề cập nhiều về căn bậc nguyên thủy của một số
Cộng vế theo vế tất cả các khai triển trên (𝑘 khai triển) ta thu được:
(𝑥 + 𝑒𝑘1)𝑛+ (𝑥 + 𝑒𝑘2)𝑛+ ⋯ + (𝑥 + 𝑒𝑘𝑘)𝑛
= 𝐶𝑛0 𝐴𝑛 𝑥0+ 𝐶𝑛1 𝐴𝑛−1 𝑥1 + ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 𝐴0 𝑥𝑛 (𝑘 + 1) trong đó, 𝐴𝑚 = (𝑒𝑘1)𝑚+ (𝑒𝑘2)𝑚+ ⋯ + (𝑒𝑘𝑘)𝑚
Ta luôn luôn chứng minh được rằng: 𝐴𝑘𝑚 = 4; 𝐴𝑘𝑚+1 = 𝐴𝑘𝑚+2 = ⋯ = 𝐴𝑘𝑚+𝑘−1 = 0 Phần chứng minh liên quan đến vấn đề về căn bậc nguyên thủy của một số
Đến đây, tôi tin rằng các em đã hiểu ra vấn đề vì vậy tôi xin dừng bài toán tổng quát lai và chuyển sang một vấn đề khác
A2 Sử dụng phương pháp cân bằng hệ số
Phương pháp cân bằng hệ số là một trong những phương pháp khá hay và mạnh trong những bài toán tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức tổ hợp Cơ sở của phương pháp là đồng nhất hai đa thức bằng nhau
Trang 77 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Từ một đẳng thức ta có thể khai triển theo hai cách khác nhau, thì hai đa thức thu được đều phải như nhau Từ đó suy ra hệ số của số hạng bậc nào ở trong 2 khai triển là bằng nhau
Ta xét vài ví dụ sau:
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số nguyên 𝑛 ≥ 1 Ta có
𝐶𝑛−1𝑛−1 𝐶𝑛1+ 𝐶𝑛−1𝑛−2 𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛−10 𝐶𝑛𝑛 = 𝐶2𝑛−1𝑛
Giải:Ta có đẳng thức
(1 + 𝑥)𝑛−1 (1 + 𝑥)𝑛 = (1 + 𝑥)2𝑛−1 với mọi số nguyên 𝑛 ≥ 1
⟺ (∑ 𝐶𝑛−1𝑘
𝑛−1
𝑘=0
𝑥𝑘) (∑ 𝐶𝑛𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖) = ∑ 𝐶2𝑛−1𝑗
2𝑛−1
𝑗=0
𝑥𝑗 ∀𝑛 ≥ 1
⟺ (𝐶𝑛−10 𝑥0+ 𝐶𝑛−11 𝑥1+ ⋯ + 𝐶𝑛−1𝑛−1 𝑥𝑛−1) (𝐶𝑛0 𝑥0+ 𝐶𝑛1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛 𝑥𝑛)
= 𝐶2𝑛−10 𝑥0+ 𝐶2𝑛−11 𝑥1+𝐶2𝑛−12 𝑥2+ ⋯ + 𝐶2𝑛−12𝑛−1 𝑥2𝑛−1
Hệ số 𝑥𝑛 trong khai triển vế trái là 𝐶𝑛−1𝑛−1 𝐶𝑛1+ 𝐶𝑛−1𝑛−2 𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛−10 𝐶𝑛𝑛
Hệ số 𝑥𝑛 trong khai triển vế phải là 𝐶2𝑛−1𝑛
Do đó 𝐶𝑛−1𝑛−1 𝐶𝑛1+ 𝐶𝑛−1𝑛−2 𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛−10 𝐶𝑛𝑛 = 𝐶2𝑛−1𝑛 (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh với mọi số nguyên 𝑛 ≥ 1 Ta có
𝐶𝑛0 𝐶2𝑛0 − 𝐶𝑛1 𝐶2𝑛2 + ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶2𝑛2𝑛 = 𝐶𝑛0 𝐶3𝑛𝑛 − 𝐶𝑛1 𝐶3𝑛𝑛+1+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶3𝑛2𝑛
Giải: Vì 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘 Do đó, đpcm tương đương với
𝐶𝑛0 𝐶2𝑛2𝑛− 𝐶𝑛1 𝐶2𝑛2𝑛−2+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶2𝑛0 = 𝐶𝑛0 𝐶3𝑛2𝑛− 𝐶𝑛1 𝐶3𝑛2𝑛−1+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶3𝑛𝑛
Ta có đẳng thức
(1 − 𝑥2)𝑛 (1 + 𝑥)2𝑛 = (1 − 𝑥)𝑛 (1 + 𝑥)3𝑛 với mọi số nguyên 𝑛 ≥ 0
⟺ (∑ 𝐶𝑛𝑘
𝑛
𝑘=0
(−1)𝑘 𝑥2𝑘) (∑ 𝐶2𝑛𝑖
2𝑛
𝑖=0
𝑥𝑖) = (∑ 𝐶𝑛𝑗
𝑛
𝑗=0
(−1)𝑗 𝑥𝑗) ( ∑ 𝐶3𝑛𝑚
3𝑛
𝑚=0
𝑥𝑚) ∀𝑛 ≥ 0
⟺ (𝐶𝑛0 𝑥0− 𝐶𝑛1 𝑥2+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝑥2𝑛) (𝐶2𝑛0 𝑥0+ 𝐶2𝑛1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶2𝑛2𝑛 𝑥2𝑛)
= (𝐶𝑛0 𝑥0− 𝐶𝑛1 𝑥1+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝑥𝑛) (𝐶3𝑛0 𝑥0 + 𝐶3𝑛1 𝑥1+ ⋯ + 𝐶3𝑛3𝑛 𝑥3𝑛)
Hệ số 𝑥2𝑛 trong khai triển vế trái là 𝐶𝑛0 𝐶2𝑛2𝑛− 𝐶𝑛1 𝐶2𝑛2𝑛−2+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶2𝑛0
Hệ số 𝑥2𝑛 trong khai triển vế phải là 𝐶𝑛0 𝐶3𝑛2𝑛− 𝐶𝑛1 𝐶3𝑛2𝑛−1+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶3𝑛𝑛
Trang 88 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Do đó, ta có được điều phải chứng minh
𝐶𝑛0 𝐶2𝑛2𝑛− 𝐶𝑛1 𝐶2𝑛2𝑛−2+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶2𝑛0 = 𝐶𝑛0 𝐶3𝑛2𝑛− 𝐶𝑛1 𝐶3𝑛2𝑛−1+ ⋯ + (−1)𝑛 𝐶𝑛𝑛 𝐶3𝑛𝑛
Những điều cần lưu ý:
Đẳng thức mà ta cần chứng minh sẽ gợi ý cho ta xét đa thức cần khai triển
Khai triển mũ bao nhiêu
Tích của hai triển nào
Hệ số của số mũ cần cân bằng
Về việc khai triển mũ bao nhiêu và khai triển tích nào chắc không phải là câu hỏi của các em (ai cũng có thể nhận ra) Vấn đề ở đây là hệ số cần cân bằng Trong ví dụ đầu tiên, ta dễ dàng nhận ra tổng các khoảng cách tương ứng với mỗi số hạng của vế trái là không đổi và bằng 𝑛, điều này giúp ta suy nghĩ đến việc cân bằng hệ số 𝑥𝑛 Ở trong ví dụ thứ 2, điều này không có sẵn Nhưng bằng công thức 𝐶𝑛𝑘 = 𝐶𝑛𝑛−𝑘 ta có thể đưa bài toán về bài toán như bài toán ví dụ đầu tiên
Lưu ý:
Ở các khai triển 𝐼10, 𝐼20, 𝐼21, … ở trên, ta có thể cho 𝑥 = 𝛼 bất kì để được một đẳng thức
có dạng 𝛼𝑘 𝐴𝑘 nào đó
Phần xử lí khoảng cách 𝑘 xin được phép dừng ở đây Chúng ta sang phần B
B Xử lí hệ số “ 𝜶𝒊”
Việc đầu tiên, hãy học thuộc hai “bí kíp” sau:
𝑘𝐶𝑛𝑘 = 𝑛𝐶𝑛−1𝑘−1 và 1
𝑘 + 1𝐶𝑛
𝑛 + 1𝐶𝑛+1
𝑘+1
Để chứng minh hai công thức trên là việc khá dễ dàng, xin dành cho các em
Hướng dẫn sử dụng:
-Muốn tu luyện được 2 môn “võ công” này, trước hết phải tự…học được :3
-Để ý ở trong cả hai công thức chúng ta đều muốn chuyển hệ số theo thành hệ số theo
và từ đây ta có thể đặt nhân tử chung các hệ số theo để thu được một đẳng thức chỉ có
hệ số là 1 hoặc −1 Khi đó bài toán sẽ trở nên cực kì dễ dàng (với kĩ năng ở mục A) Cùng theo dõi một số ví dụ đơn giản sau
Ví dụ 1:(ĐH-CĐ khối A-2005) Tìm số nguyên dương 𝑛 sao cho:
Trang 99 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
𝐶2𝑛+11 − 2.2 𝐶2𝑛+12 + 3.2 𝐶2𝑛+13 − 4.2 𝐶2𝑛+14 + ⋯ + (2𝑛 + 1) 2𝑛 𝐶2𝑛+12𝑛+1 = 2005
Giải: Số hạng tổng quát của VT: 𝑘 2𝑘 𝐶2𝑛+1𝑘 với 1 ≤ 𝑘 ≤ 2𝑛 + 1
Như nhận xét ở mục A thì 2𝑘 không phải là vấn đề của chúng ta (chỉ cần cho 𝑥 = −2 hoặc 𝑥 = 2 trong khai triển ở mục A)
Vậy, đâu là vấn đề???? Hệ số 2𝑘 + 1!!!! Chúng ta xử lí bằng công thức đầu tiên như sau:
𝑘 𝐶2𝑛+1𝑘 = (2𝑛 + 1)𝐶2𝑛𝑘−1 Vây 𝑉𝑇 = (2𝑛 + 1)(𝐶2𝑛+10 − 2 𝐶2𝑛+11 + 22 𝐶2𝑛+12 − 23 𝐶2𝑛+13 + ⋯ + 2𝑛 𝐶2𝑛2𝑛)
= (2𝑛 + 1)(1 − 2)2𝑛 = 2𝑛 + 1
Do đó 𝑛 = 1002
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
1
2𝐶2𝑛
1 +1
4𝐶2𝑛
3 +1
6𝐶2𝑛
5 + ⋯ + 1
2𝑛𝐶2𝑛
2𝑛−1 =2
2𝑛− 1 2𝑛 + 1
Giải:Số hạng tổng quát của VT: 1
𝑘 + 1𝐶2𝑛
𝑘 với 𝑘 ∈ {1,3,5, 2𝑛 − 1}
Chúng ta xử lí bằng công thức thứ hai như sau:
1
𝑘 + 1𝐶2𝑛
2𝑛 + 1𝐶2𝑛+1
𝑘+1
Vậy, 𝑉𝑇 = 1
2𝑛 + 1(𝐶2𝑛+12 + 𝐶2𝑛+14 + ⋯ + 𝐶2𝑛+12𝑛 )
2𝑛 + 1(𝐶2𝑛+10 + 𝐶2𝑛+12 + 𝐶2𝑛+14 + ⋯ + 𝐶2𝑛+12𝑛 − 1) = 2
𝑛− 1 2𝑛 + 1
= 𝑉𝑃(đpcm)
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
3 𝐶𝑛0+ 7 𝐶𝑛1+ 11 𝐶𝑛2+ ⋯ + (4𝑛 + 3)𝐶𝑛𝑛 = 4𝑛 2𝑛−1+ 3.2𝑛
Giải: Số hạng tổng quát của VT (4𝑘 + 3)𝐶𝑛𝑘 = 4𝑘 𝐶𝑛𝑘 + 3𝐶𝑛𝑘 với 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Áp dụng công thức đầu tiên 4𝑘 𝐶𝑛𝑘 + 3𝐶𝑛𝑘 = 4 𝑛𝐶𝑛−1𝑘−1+ 3𝐶𝑛𝑘 với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Do đó,
Trang 1010 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
𝑉𝑇 = 3 𝐶𝑛0+ 4𝑛(𝐶𝑛−10 + 𝐶𝑛−11 + ⋯ + 𝐶𝑛−1𝑛−1) + 3(𝐶𝑛1+ 𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛)
= 4𝑛(𝐶𝑛−10 + 𝐶𝑛−11 + ⋯ + 𝐶𝑛−1𝑛−1) + 3(𝐶𝑛0+ 𝐶𝑛1+ ⋯ + 𝐶𝑛𝑛)
= 4𝑛 2𝑛−1+ 3.2𝑛(đpcm)
Ví dụ 4: Chứng minh rằng
1.2.3 𝐶𝑛3+ 2.3.4 𝐶𝑛4+ ⋯ + (𝑛 − 2) (𝑛 − 1) 𝑛 𝐶𝑛𝑘 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 2𝑛−3
Giải: Số hạng tổng quát của VT (𝑘 − 2) (𝑘 − 1) 𝑘 𝐶𝑛𝑘 với 3 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Áp dụng công thức đầu tiên ba lần kiên tiếp ta được:
(𝑘 − 2) (𝑘 − 1) 𝑘 𝐶𝑛𝑘 = 𝑛 (𝑘 − 2) (𝑘 − 1) 𝐶𝑛−1𝑘−1 = 𝑛 (𝑛 − 1) (𝑘 − 2) 𝐶𝑛−2𝑘−2
= 𝑛 (𝑛 − 1) (𝑛 − 2) 𝐶𝑛−3𝑘−3, với 3 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Do đó,
𝑉𝑇 = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝐶𝑛−30 + 𝐶𝑛−31 + ⋯ + 𝐶𝑛−3𝑛−3) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) 2𝑛−3(đpcm)
Nhận xét:
Ở 4 ví dụ trên chúng ta có thể sử dụng đạo hàm, tích phân để giải quyết nhưng với những bài tiếp theo sau đây bạn sẽ thấy khó khăn với hai công cụ giải tích này Tôi xin nói thêm một tí về công cụ giải tích, nó rất “mạnh” Nhưng bạn không thể lấy một con dao để cắt đôi một con kiến được! Tôi e rằng bạn sẽ tự cắt vào tay mình mất!!! Kiểm chứng nhé!
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi nguyên dương 𝑛:
(𝐶𝑛1)2+ 2 (𝐶𝑛2)2+ ⋯ + 𝑛 (𝐶𝑛𝑛)2 = 𝑛 𝐶2𝑛−1𝑛 Đạo hàm?, Tích phân… Có vẻ như không hiệu quả cho lắm Nhưng chỉ cần sử dụng hai công thức trên, bài toán quả thực rất đơn giản
Giải: Số hạng tổng quát của VT: 𝑘 (𝐶𝑛𝑘)2 với 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Áp dụng công thức đầu tiên ta được 𝑘 (𝐶𝑛𝑘)2 = 𝑘 𝐶𝑛𝑘 𝐶𝑛𝑘 = 𝑛𝐶𝑛−1𝑘−1 𝐶𝑛𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Do đó,
𝑉𝑇 = 𝑛 (𝐶𝑛−10 𝐶𝑛1+ 𝐶𝑛−11 𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛−1𝑛−1 𝐶𝑛𝑛)
= 𝑛(𝐶𝑛−1𝑛−1 𝐶𝑛1+ 𝐶𝑛−1𝑛−2 𝐶𝑛2+ ⋯ + 𝐶𝑛−10 𝐶𝑛𝑛) = 𝑛 𝐶2𝑛−1𝑛 (đpcm) Tiếp tục nào!
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
Trang 1111 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
(𝐶𝑛
0
1 )
2
+ (𝐶𝑛
1
2)
2
+ ⋯ + ( 𝐶𝑛
𝑛
𝑛 + 1)
2
=𝐶2𝑛+2
𝑛+1 − 1 (𝑛 + 1)2
Giải: Số hạng tổng quát của VT: ( 𝐶𝑛
𝑘
𝑘 + 1)
2
với 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Áp dụng công thức thứ hai ta được:
( 𝐶𝑛
𝑘
𝑘 + 1)
2
(𝑛 + 1)2(𝐶𝑛+1𝑘+1)2 = 1
(𝑛 + 1)2𝐶𝑛+1𝑘+1 𝐶𝑛+1𝑛−𝑘, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Do đó,
(𝑛 + 1)2(𝐶𝑛+11 𝐶𝑛+1𝑛 + 𝐶𝑛+12 𝐶𝑛+1𝑛−1+ ⋯ + 𝐶𝑛+1𝑛+1 𝐶𝑛+10 ) =𝐶2𝑛+2
𝑛+1 − 1 (𝑛 + 1)2 (đpcm) Nhận xét:
-Đến đây, bạn đã có thể giải quyết khá tốt các bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp rồi đấy! Nhưng không có môn “võ công” nào là không có “điểm yếu” !
-“Điểm yếu” ở 2 công thức trên là gì??? Cùng nhìn lại 2 công thức trên
𝑘𝐶𝑛𝑘 = 𝑛𝐶𝑛−1𝑘−1 và 1
𝑘 + 1 𝐶𝑛
𝑘 = 1
𝑛 + 1 𝐶𝑛+1
𝑘+1
Ta luôn muốn biến đổi hệ số theo thành hệ số theo để đặt được nhân tử chung cho mỗi
số hạng và đưa hệ số của đẳng thức cần chứng minh về hoặc Với những ví dụ ở trên
ta đã áp dụng khá “ngọt” Tiếp tục đến với ví dụ sau
Ví dụ 7:Chứng minh rằng:
1
2 𝐶2𝑛
0 +1
4 𝐶2𝑛
2 +1
6 𝐶2𝑛
2𝑛 + 2 𝐶2𝑛
2𝑛 = 2
2𝑛
2𝑛 + 1−
22𝑛+1− 1 (2𝑛 + 1)(2𝑛 + 2)
Giải: Số hạng tổng quát của VT: 1
2𝑘 + 2 𝐶2𝑛
2𝑘 với 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
Chắc là sử dụng công thức thứ hai rồi, làm thôi
1 2𝑘 + 2 𝐶2𝑛
2𝑘 = ⋯ =? ? ? ? ?
Mà khoan, không giống công thức thứ 2 lắm, Giá mà 2𝑘 + 1 thì tốt quá