Bài tập tính góc trong hình không gian

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) PH Chuyên đ : Hình h c không gian NG PHÁP XÁC Đ NH TÍNH NHANH GÓC ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông t i B Bi t AB  2a , ACB  300 Hình chi u vuông góc c a S m t ph ng ( ABC ) trung m c a c nh BC góc t o b i SA m t đáy b ng 600 Tính cosin c a góc t o b i AH SC Gi i: G i H trung m c a BC , đó: SH  ( ABC ) , suy góc t o b i S 2a SA m t đáy SAH  60 Có BC    2a tan ACB tan 30 AB  BH  BC  a , đó: AH  AB2  BH  a M Xét tam giác SAH ta có: SH  AH tan 600  a  a 21 G i M trung m c a SB , suy HM // SC , đó:  AH , SC    AH , HM  Ta có HM  MB  600 A 300 2a (1) H B SB SH  BH 21a  3a   a 2 Tam giác AMB vuông t i B nên ta có: AM  AB2  MB2  4a  6a  10a 42 AH  HM  AM 7a  6a  10a  (2) Xét tam giác AMH có: cos AHM    AH HM 28 2.a 7.a T (1) (2) suy cosin c a góc t o b i AH SC cos AHM  42 28 Bài Cho hình chóp đ u S ABC có SA  2a , AB  3a Tính góc gi a SA m t ph ng đáy ABC Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) Gi i: G i H hình chi u vuông góc c a S ( ABC ) Do S ABC hình chóp đ u nên H tr ng tâm tam giác ABC ( ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau) Ta có SH  ( ABC ) , HA hình chi u c a SA ( ABC ) Suy  SA,( ABC )   ( SA, HA)  SAH Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - C Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian G i I trung m c a BC , tam giác ABC đ u c nh 3a nên: AI  3a  AH  AI  a 3 S Xét tam giác SAH ta có: cos SAH  2a AH a    SAH  300 2a SA V y  SA,( ABC )   30 A Ta có (SBC ) ( ABC )  BC  BC  AI  BC  ( SAI ) Mà   BC  SH ( SAI ) ( SBC )  SI M t khác:  ( SAI ) ( ABC )  AI B H 3a I C   (SBC ),( ABC )   ( SI , AI )  SIA  2  SH  SA  AH  (2a )  a Ta có   HI  AH  a  2   a  tan SIA  V y tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) SH a   IH a 2 Bài Cho hình chóp đ u S ABCD , đáy tâm O có c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a SA, BC Bi t góc gi a MN ( ABCD) b ng 600 Tính sin c a góc t o b i MN ( SAC ) Gi i: Do S ABCD hình chóp đ u nên ta có SO  ( ABCD) S G i P trung m c a AO Khi MP / / SO  MP  ( ABCD) Suy  MN,( ABCD)   MNP  600 M Trong tam giác NCP theo đ nh lí cosin ta có: PN  CN  CP  2CN.CP.cos 450  5a a 10  PN  Trong tam giác vuông MNP ta có : A P  a 10 OH  PN a 10 D    MN  cos MNP cos 60    PM  NP tan MNP  a 10 tan 600  a 30  SO  PM  a 30  4 G i H trung m c a OC Suy NH / / BD mà BD  (SAC )  NH  (SAC ) Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 B N C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Do  MN,(SAC )   NMH a NH a a 10 Ta có NH  OB  Suy ra: sin NMH  :   4 10 MN V y sin c a góc t o b i MN ( SAC ) b ng 10 a Bài Cho hình chóp S ABC có SA  ( ABC ) , BAC  1200 , AB  AC  a SA Tính góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) Gi i: G i M trung m c a BC  BC  AM  BC  ( SAM ) Khi   BC  SA S Suy  (SBC ),( ABC )   SMA Tam giác ABC cân t i A nên AM  AC.cos MAC  a cos 600  a A C 1200 Trong tam giác vuông SAM có : SA a a   SMA  300 tan SMA  :  AM 3 M B V y  ( SBC ),( ABC )   30 Bài Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a Tính góc t o b i hai m t ph ng ( BA' C ) ( DA' C ) Gi i: G i O tâm c a hình vuông ABCD H OH  A' C ( H  A' C ) Khi đó: A' C  OH    A' C  ( BDH ) A' C  BD  A' V y  ( BA' C ),( DA' C)   ( HB, HD) B' Trong tam giác vuông A' BC có BH  C' 2SA' BC BC A' B a a a    A' C A' C a H a Trong tam giác BHD , áp d ng đ nh lí cosin ta có: 2a 2a   2a BH  DH  BD   cos BHD  2a 2 BH DH T D' A ng t ta có DH  D O B C Suy BHD  1200  ( HB, HD)  600 V y  ( BA' C ),( DA' C)   60 Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Bài Cho hình l ng tr đ u ABC A' B ' C ' , đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b G i M trung m c a AB  góc t o b i đ ng th ng MC ' m t ph ng ( BCC ' B ') Tính tan  Gi i: t trung m c a A' B ' BC G i M ', N l n l M B G i P trung m c a BN Ta có: AN  BC    AN  ( BCC ' B ') AN  BB ' A P N C M t khác MP // AN , nên suy MP  ( BCC ' B ') Do  MC ',( BCC ' B ')     MC ' P Tam giác ABC đ u c nh a nên AN  Suy MP  B' a A' M' AN a  C' L i có MC '  MM '2  M ' C '2  b  3a 3a 3a 9a 2   b  Suy PC '  MC '  MP  MC '  b  16 16 2 Trong tam giác vuông C ' PM ta có tan MC ' P  9a MP a a : b2    PC ' 4 16b2  9a Bài Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a SA, SC Bi t ( BM , ND)  600 Tính chi u cao c a hình chóp Gi i: G i O tâm c a hình vuông ABCD G tr ng tâm tam giác SAC ng th ng qua G song song v i BM c t BC F ng th ng qua G song song v i DN c t AD E  EA  ED BF GM GN ED  Ta có     FC GC GA EA  FC  FB M Suy EF qua tâm c a hình vuông ABCD O trung m c a đo n EF G N  EGF  600 T ( BM , ND)  60  (GE, GF )  60    EGF  1200 A O *) V i EGF  60 B Ta có GEF cân t i G, suy GEF đ u  GO  Hình vuông ABCD có c nh a nên ta d dàng tính đ Hocmai – Ngôi tr E 0 Suy SO  3GO  S F C EF c EF  10a 3 10 30a a ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - D Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) *) V i EGF  1200 Ta có GEF cân t i G, suy GO  V y SO  Chuyên đ : Hình h c không gian EF  10a 30a  SO  3GO  6 30a 30a ho c SO  Bài Cho hình l ng tr ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân v i AB  AC  a , BAC  1200 c nh bên BB '  a G i I trung m c a CC ' Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) Gi i: C' B' I A' B M C H A    Cách 1: Kéo dài B ' I c t BC t i M , ( ABC ),( AB ' I )  ( ACM ),( AIM )  Ta có CI  ( ACM ) , ta có cách d ng góc gi a hai m t ( ACM ) ( AIM ) nh sau:   D ng CH  AM ( H  AM )  AM  (CHI )  AM  IH , suy ( ACM ),( AIM )  CHI CI / / BB ' 3a   C trung m c a BM  SACM  SABC  AB AC.sin BAC  Ta có  CI  BB ' Ta có CM  CB2  AB2  AC  AB AC.cos BAC  3a  BM  2BC  2a Khi đó: AC  AB2  AM BM a  AM   a2   3a  AM  7a  AM  a 2SACM a 21a a 70 3a a 21 2  IH  CI  CH      Suy CH  142 14 14 AM 2.a Xét tam giác ICH ta có: cos CHI  30 CH a 21 14   14 a 70 10 IH 30 10 Cách 2: Ta có tam giác ABC hình chi u vuông góc c a tam giác AB ' I m t ph ng ( ABC ) V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) b ng   Khi g i   ( ABC ), ( AB ' I ) , suy cos   SABC SAB' I (*) Ta có B ' C '2  BC  AB2  AC  AB AC.cos BAC  3a  BI  B ' C '2  C ' I  Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 a 13 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Khi AB '2  AI  ( AB2  BB '2 )  ( AC  CI )  2a  Suy SAB' I  Chuyên đ : Hình h c không gian 5a 13a   B ' I  AB ' I vuông t i A 4 a 10 3a M t khác: SABC  AB AC.sin BAC  AB ' AI  4 Áp d ng (*), ta có: cos   SABC 3a a 10 30 :   SAB' I 4 10 30 10 Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i C SA vuông góc v i đáy; SC  c Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) đ th tích kh i chóp SABC l n nh t V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) b ng Gi i: G i  góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) S (v i 00    900 )  BC  AC Ta có   BC  ( SAC )  BC  SC  BC  SA Do   SCA Trong tam giác vuông SAC ta có:  BC  AC  SC cos   a cos    SA  SC sin   a sin  A B Khi th tích kh i chóp SABC là: 1 ABC  a cos  sin  V  SAS 3 Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có: 1 V  a cos  sin   a (1  sin  ) sin  9 C   sin   sin     sin   2  2a 3 4a  sin   sin  4a 2  V    sin     27 2   243   D u ‘=” x y  sin       arcsin   sin   sin     3 Bài 10 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vuông c nh b ng a , m t bên SAB tam giác đ u n m m t ph ng G i I trung m c a AB S 1) Tính cosin c a góc t o b i BD m t ph ng ( SAD) 2) Tính cosin c a góc t o b i SD m t ph ng ( SCI ) 3) Tính cosin c a góc t o b i hai đ ng th ng IC SD H Gi i  SI  AB   SI  ( ABCD) Ta có ( SAB)  ( ABCD) ( SAB) ( ABCD)  AB  N A I B Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! D T ng đài t v n: 1900 69-33 K M C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian a 1) D ng BH  SA (1) ( H  SA)  DA  AB Ta có   DA  ( SAB)  DA  BH (2)  DA  SI T (1) (2), suy ra: BH  (SAD) Khi DH hình chi u vuông góc c a DB lên m t ( SAD) SAB đ u c nh a  SI  Suy ( BD,(SAD))  ( DH , DB)  BDH Ta có BD  a BH  Khi cos BDH  a a 3a  DH  BD  BH  2a   10 DH a :a   BD 10 2) G i M trung m c a BC K giao m c a DM CI V y cosin c a góc t o b i BD m t ph ng ( SAD) b ng BIC  CMD  ICB  MDC Mà DCK  ICB  900  DCK  CDM  900  DM  CI  DM  CI V y  DM  ( SCI ) hay DK  (SCI )  DM  SI Suy SK hình chi u c a SD lên m t ph ng ( SCI )  (SD,(SCI ))  (SD, SK)  DSK Ta có tam giác SAD vuông t i A (do DA  (SAB) - ch ng minh ý 2) ) Suy SD  SA2  AD2  a 2 CD 2 2a a a  a  Ta có DM  CD  CM  a     , : CD  DK.DM  DK  DM a 5 2 2 2 4a a  Suy SK  SD  DK  2a  5 2 Xét tam giác SDK ta có: cos DSK  15 SK a   SD 5.a 15 3) D ng m N cho A trung m c a IN , ICDN hình bình hành , suy IC // ND Suy ( IC, SD)  ( DN, SD) V y cosin c a góc t o b i SD m t ph ng ( SCI ) b ng 3a a a SN  SI  IN   a2  2 Áp d ng h qu đ nh lí cosin tam giác SND ta có: 5a 7a 2a   2 SD  DN  SN 4  10  cos SDN   2SD.DN 20 a 2.a 2 10 V y cos( IC , SD)  cos( DN, SD)  cos SDN  20 Ta có DN  CI  DM  Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Bài 11 Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a i m M thu c đo n BC ' , N thu c đo n AB ' a ng th ng MN t o v i m t ph ng ( ABCD) góc  Ch ng minh r ng: MN  sin   cos  Gi i: G i M ', N ' l n l t hình chi u D C c a M , N lên m t ( ABCD) M' Không m t tính t ng quát gi s MM '  NN ' MN M ' N '  P N' A B Khi  MN,( ABCD)   NPN '   M Ta có MM '  BM '; NN '  AN '  a  BN ' D' M t khác MN  PN  PM  MN cos   PN cos   PM cos   PN ' PM '  M ' N '    MN sin   PN sin   PM sin   NN ' MM '   (a  BN ')  BM '  a  ( BN ' BM ') (1)  Do M ' N '  BN '2  BM '2  MN cos   P C' N A' B' (2)  T (1) (2), suy MN sin   cos   a  ( BN ' BM ')   BN '2  BM '2   a  ( BN ' BM ')  BN ' BM '  a (do 2( x2  y2 )  ( x  y)2 ) Suy MN  a sin   cos  (đpcm) Bài 12 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông t i B , có SA  AB  a , BAC   , SA  ( ABC ) góc gi a hai m t ph ng ( SAC ) ( SBC )   cos  Ch ng minh r ng tan  tan   cos  Tam giác ABC th a mãn u ki n đ   600 Gi i: G i H , K l n l t hình chi u vuông góc c a A SB, SC CB  AB  CB  ( SAB)  CB  AH  AH  ( SBC ) Ta có  CB  SA S Suy AH  SC  SC  ( AHK)  SC  KH K Khi AKH   (do AKH  900 ) BC AH AH BC (1)  AB HK AB HK AH SH  ABH ~ SAH  AB  SA Do  (2) SCB ~ SHK  CB  SC  HK SH Ta có tan  tan   H A C B Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Thay (2) vào (1) ta đ M t khác AC  Suy c: tan  tan   Chuyên đ : Hình h c không gian BC AH SH SC SC   AB HK SA SH SA a a2 a  cos   SC  SA2  AC  a   cos  cos  cos  SC  cos   cos   hay tan  tan   (đpcm) cos  SA cos  Do   600 nên tan  tan   tan   tan    cos   cos    1   tan  2 cos  cos  cos  Suy 3tan    tan   tan   1 Do 00    900  tan      450 V y tam giác ABC vuông cân t i B Bài 13 Cho hình chóp S ABC có hai m t (SAB), (SAC ) vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) Tam giác ABC cân t i đ nh A , trung n AD  a , đ ng th ng SB t o v i m t ph ng ( ABC ) m t góc b ng  h p v i m t ph ng (SAD) m t góc b ng  1) Xác đ nh góc  ,  a sin  sin  2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC V  3cos(   ) cos(   ) Gi i: S 1) Xác đ nh góc  ,  ( SAB)  ( ABC )   SA  ( ABC ) Ta có ( SAC )  ( ABC )  ( SAB) ( SAC )  SA Suy hình chi u c a SB lên ( ABC ) AB Khi  SB, ( ABC )   (SB, AB)  SBA   Tam giác ABC cân t i A có AD trung n  BD  AD , mà ta có:  BD  SA BD  (SAD) A B a Suy hình chi u c a SB lên ( SAD) SD D Khi  SB, (SAD)   ( SB, SD)  BSD   C 2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC V  a sin  sin  3cos(   ) cos(   )  SB2  SA2  AB2  SA2  AD  BD  Ta có:  SA  SB sin   SB2  SB2 sin   a  SB2 sin   BD  SB sin    SB2 (1  sin   sin  )  a  SB2  a2 a2   sin   sin  cos   sin  (1) Ta có th tích c a kh i chóp S ABC là: Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian 1 a V  SABC SA  AD.BC.SA  a 2SB sin  SB sin   SB2 sin  sin  6 Thay (1) vào (2) ta đ (2) a a2 a sin  sin   sin sin   (*) c: V  cos   sin  3(cos   sin  ) L i có: cos2   sin    cos 2  cos 2 cos 2  cos 2    cos(   ) cos(   ) (2*) 2 Thay (2*) vào (*) ta đ c: V  Hocmai – Ngôi tr a sin  sin  3cos(   ) cos(   ) ng chung c a h c trò Vi t !! Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : T ng đài t v n: 1900 69-33 Hocmai.vn - Trang | 10 -