Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) PH Chuyên đ : Hình h c không gian NG PHÁP XÁC Đ NH TÍNH NHANH GÓC ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG Bài Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông t i B Bi t AB 2a , ACB 300 Hình chi u vuông góc c a S m t ph ng ( ABC ) trung m c a c nh BC góc t o b i SA m t đáy b ng 600 Tính cosin c a góc t o b i AH SC Gi i: G i H trung m c a BC , đó: SH ( ABC ) , suy góc t o b i S 2a SA m t đáy SAH 60 Có BC 2a tan ACB tan 30 AB BH BC a , đó: AH AB2 BH a M Xét tam giác SAH ta có: SH AH tan 600 a a 21 G i M trung m c a SB , suy HM // SC , đó: AH , SC AH , HM Ta có HM MB 600 A 300 2a (1) H B SB SH BH 21a 3a a 2 Tam giác AMB vuông t i B nên ta có: AM AB2 MB2 4a 6a 10a 42 AH HM AM 7a 6a 10a (2) Xét tam giác AMH có: cos AHM AH HM 28 2.a 7.a T (1) (2) suy cosin c a góc t o b i AH SC cos AHM 42 28 Bài Cho hình chóp đ u S ABC có SA 2a , AB 3a Tính góc gi a SA m t ph ng đáy ABC Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) Gi i: G i H hình chi u vuông góc c a S ( ABC ) Do S ABC hình chóp đ u nên H tr ng tâm tam giác ABC ( ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau) Ta có SH ( ABC ) , HA hình chi u c a SA ( ABC ) Suy SA,( ABC ) ( SA, HA) SAH Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - C Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian G i I trung m c a BC , tam giác ABC đ u c nh 3a nên: AI 3a AH AI a 3 S Xét tam giác SAH ta có: cos SAH 2a AH a SAH 300 2a SA V y SA,( ABC ) 30 A Ta có (SBC ) ( ABC ) BC BC AI BC ( SAI ) Mà BC SH ( SAI ) ( SBC ) SI M t khác: ( SAI ) ( ABC ) AI B H 3a I C (SBC ),( ABC ) ( SI , AI ) SIA 2 SH SA AH (2a ) a Ta có HI AH a 2 a tan SIA V y tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) SH a IH a 2 Bài Cho hình chóp đ u S ABCD , đáy tâm O có c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a SA, BC Bi t góc gi a MN ( ABCD) b ng 600 Tính sin c a góc t o b i MN ( SAC ) Gi i: Do S ABCD hình chóp đ u nên ta có SO ( ABCD) S G i P trung m c a AO Khi MP / / SO MP ( ABCD) Suy MN,( ABCD) MNP 600 M Trong tam giác NCP theo đ nh lí cosin ta có: PN CN CP 2CN.CP.cos 450 5a a 10 PN Trong tam giác vuông MNP ta có : A P a 10 OH PN a 10 D MN cos MNP cos 60 PM NP tan MNP a 10 tan 600 a 30 SO PM a 30 4 G i H trung m c a OC Suy NH / / BD mà BD (SAC ) NH (SAC ) Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 B N C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Do MN,(SAC ) NMH a NH a a 10 Ta có NH OB Suy ra: sin NMH : 4 10 MN V y sin c a góc t o b i MN ( SAC ) b ng 10 a Bài Cho hình chóp S ABC có SA ( ABC ) , BAC 1200 , AB AC a SA Tính góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) Gi i: G i M trung m c a BC BC AM BC ( SAM ) Khi BC SA S Suy (SBC ),( ABC ) SMA Tam giác ABC cân t i A nên AM AC.cos MAC a cos 600 a A C 1200 Trong tam giác vuông SAM có : SA a a SMA 300 tan SMA : AM 3 M B V y ( SBC ),( ABC ) 30 Bài Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a Tính góc t o b i hai m t ph ng ( BA' C ) ( DA' C ) Gi i: G i O tâm c a hình vuông ABCD H OH A' C ( H A' C ) Khi đó: A' C OH A' C ( BDH ) A' C BD A' V y ( BA' C ),( DA' C) ( HB, HD) B' Trong tam giác vuông A' BC có BH C' 2SA' BC BC A' B a a a A' C A' C a H a Trong tam giác BHD , áp d ng đ nh lí cosin ta có: 2a 2a 2a BH DH BD cos BHD 2a 2 BH DH T D' A ng t ta có DH D O B C Suy BHD 1200 ( HB, HD) 600 V y ( BA' C ),( DA' C) 60 Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Bài Cho hình l ng tr đ u ABC A' B ' C ' , đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b G i M trung m c a AB góc t o b i đ ng th ng MC ' m t ph ng ( BCC ' B ') Tính tan Gi i: t trung m c a A' B ' BC G i M ', N l n l M B G i P trung m c a BN Ta có: AN BC AN ( BCC ' B ') AN BB ' A P N C M t khác MP // AN , nên suy MP ( BCC ' B ') Do MC ',( BCC ' B ') MC ' P Tam giác ABC đ u c nh a nên AN Suy MP B' a A' M' AN a C' L i có MC ' MM '2 M ' C '2 b 3a 3a 3a 9a 2 b Suy PC ' MC ' MP MC ' b 16 16 2 Trong tam giác vuông C ' PM ta có tan MC ' P 9a MP a a : b2 PC ' 4 16b2 9a Bài Cho hình chóp đ u S ABCD đáy có c nh b ng a G i M , N l n l t trung m c a SA, SC Bi t ( BM , ND) 600 Tính chi u cao c a hình chóp Gi i: G i O tâm c a hình vuông ABCD G tr ng tâm tam giác SAC ng th ng qua G song song v i BM c t BC F ng th ng qua G song song v i DN c t AD E EA ED BF GM GN ED Ta có FC GC GA EA FC FB M Suy EF qua tâm c a hình vuông ABCD O trung m c a đo n EF G N EGF 600 T ( BM , ND) 60 (GE, GF ) 60 EGF 1200 A O *) V i EGF 60 B Ta có GEF cân t i G, suy GEF đ u GO Hình vuông ABCD có c nh a nên ta d dàng tính đ Hocmai – Ngôi tr E 0 Suy SO 3GO S F C EF c EF 10a 3 10 30a a ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - D Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) *) V i EGF 1200 Ta có GEF cân t i G, suy GO V y SO Chuyên đ : Hình h c không gian EF 10a 30a SO 3GO 6 30a 30a ho c SO Bài Cho hình l ng tr ABC A' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân v i AB AC a , BAC 1200 c nh bên BB ' a G i I trung m c a CC ' Tính cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) Gi i: C' B' I A' B M C H A Cách 1: Kéo dài B ' I c t BC t i M , ( ABC ),( AB ' I ) ( ACM ),( AIM ) Ta có CI ( ACM ) , ta có cách d ng góc gi a hai m t ( ACM ) ( AIM ) nh sau: D ng CH AM ( H AM ) AM (CHI ) AM IH , suy ( ACM ),( AIM ) CHI CI / / BB ' 3a C trung m c a BM SACM SABC AB AC.sin BAC Ta có CI BB ' Ta có CM CB2 AB2 AC AB AC.cos BAC 3a BM 2BC 2a Khi đó: AC AB2 AM BM a AM a2 3a AM 7a AM a 2SACM a 21a a 70 3a a 21 2 IH CI CH Suy CH 142 14 14 AM 2.a Xét tam giác ICH ta có: cos CHI 30 CH a 21 14 14 a 70 10 IH 30 10 Cách 2: Ta có tam giác ABC hình chi u vuông góc c a tam giác AB ' I m t ph ng ( ABC ) V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) b ng Khi g i ( ABC ), ( AB ' I ) , suy cos SABC SAB' I (*) Ta có B ' C '2 BC AB2 AC AB AC.cos BAC 3a BI B ' C '2 C ' I Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 a 13 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Khi AB '2 AI ( AB2 BB '2 ) ( AC CI ) 2a Suy SAB' I Chuyên đ : Hình h c không gian 5a 13a B ' I AB ' I vuông t i A 4 a 10 3a M t khác: SABC AB AC.sin BAC AB ' AI 4 Áp d ng (*), ta có: cos SABC 3a a 10 30 : SAB' I 4 10 30 10 Bài Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân t i C SA vuông góc v i đáy; SC c Hãy tìm góc gi a hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) đ th tích kh i chóp SABC l n nh t V y cosin c a góc t o b i hai m t ph ng ( ABC ) ( AB ' I ) b ng Gi i: G i góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) ( ABC ) S (v i 00 900 ) BC AC Ta có BC ( SAC ) BC SC BC SA Do SCA Trong tam giác vuông SAC ta có: BC AC SC cos a cos SA SC sin a sin A B Khi th tích kh i chóp SABC là: 1 ABC a cos sin V SAS 3 Theo b t đ ng th c AM – GM (Cauchy) ta có: 1 V a cos sin a (1 sin ) sin 9 C sin sin sin 2 2a 3 4a sin sin 4a 2 V sin 27 2 243 D u ‘=” x y sin arcsin sin sin 3 Bài 10 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình vuông c nh b ng a , m t bên SAB tam giác đ u n m m t ph ng G i I trung m c a AB S 1) Tính cosin c a góc t o b i BD m t ph ng ( SAD) 2) Tính cosin c a góc t o b i SD m t ph ng ( SCI ) 3) Tính cosin c a góc t o b i hai đ ng th ng IC SD H Gi i SI AB SI ( ABCD) Ta có ( SAB) ( ABCD) ( SAB) ( ABCD) AB N A I B Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! D T ng đài t v n: 1900 69-33 K M C - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian a 1) D ng BH SA (1) ( H SA) DA AB Ta có DA ( SAB) DA BH (2) DA SI T (1) (2), suy ra: BH (SAD) Khi DH hình chi u vuông góc c a DB lên m t ( SAD) SAB đ u c nh a SI Suy ( BD,(SAD)) ( DH , DB) BDH Ta có BD a BH Khi cos BDH a a 3a DH BD BH 2a 10 DH a :a BD 10 2) G i M trung m c a BC K giao m c a DM CI V y cosin c a góc t o b i BD m t ph ng ( SAD) b ng BIC CMD ICB MDC Mà DCK ICB 900 DCK CDM 900 DM CI DM CI V y DM ( SCI ) hay DK (SCI ) DM SI Suy SK hình chi u c a SD lên m t ph ng ( SCI ) (SD,(SCI )) (SD, SK) DSK Ta có tam giác SAD vuông t i A (do DA (SAB) - ch ng minh ý 2) ) Suy SD SA2 AD2 a 2 CD 2 2a a a a Ta có DM CD CM a , : CD DK.DM DK DM a 5 2 2 2 4a a Suy SK SD DK 2a 5 2 Xét tam giác SDK ta có: cos DSK 15 SK a SD 5.a 15 3) D ng m N cho A trung m c a IN , ICDN hình bình hành , suy IC // ND Suy ( IC, SD) ( DN, SD) V y cosin c a góc t o b i SD m t ph ng ( SCI ) b ng 3a a a SN SI IN a2 2 Áp d ng h qu đ nh lí cosin tam giác SND ta có: 5a 7a 2a 2 SD DN SN 4 10 cos SDN 2SD.DN 20 a 2.a 2 10 V y cos( IC , SD) cos( DN, SD) cos SDN 20 Ta có DN CI DM Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Bài 11 Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a i m M thu c đo n BC ' , N thu c đo n AB ' a ng th ng MN t o v i m t ph ng ( ABCD) góc Ch ng minh r ng: MN sin cos Gi i: G i M ', N ' l n l t hình chi u D C c a M , N lên m t ( ABCD) M' Không m t tính t ng quát gi s MM ' NN ' MN M ' N ' P N' A B Khi MN,( ABCD) NPN ' M Ta có MM ' BM '; NN ' AN ' a BN ' D' M t khác MN PN PM MN cos PN cos PM cos PN ' PM ' M ' N ' MN sin PN sin PM sin NN ' MM ' (a BN ') BM ' a ( BN ' BM ') (1) Do M ' N ' BN '2 BM '2 MN cos P C' N A' B' (2) T (1) (2), suy MN sin cos a ( BN ' BM ') BN '2 BM '2 a ( BN ' BM ') BN ' BM ' a (do 2( x2 y2 ) ( x y)2 ) Suy MN a sin cos (đpcm) Bài 12 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông t i B , có SA AB a , BAC , SA ( ABC ) góc gi a hai m t ph ng ( SAC ) ( SBC ) cos Ch ng minh r ng tan tan cos Tam giác ABC th a mãn u ki n đ 600 Gi i: G i H , K l n l t hình chi u vuông góc c a A SB, SC CB AB CB ( SAB) CB AH AH ( SBC ) Ta có CB SA S Suy AH SC SC ( AHK) SC KH K Khi AKH (do AKH 900 ) BC AH AH BC (1) AB HK AB HK AH SH ABH ~ SAH AB SA Do (2) SCB ~ SHK CB SC HK SH Ta có tan tan H A C B Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Thay (2) vào (1) ta đ M t khác AC Suy c: tan tan Chuyên đ : Hình h c không gian BC AH SH SC SC AB HK SA SH SA a a2 a cos SC SA2 AC a cos cos cos SC cos cos hay tan tan (đpcm) cos SA cos Do 600 nên tan tan tan tan cos cos 1 tan 2 cos cos cos Suy 3tan tan tan 1 Do 00 900 tan 450 V y tam giác ABC vuông cân t i B Bài 13 Cho hình chóp S ABC có hai m t (SAB), (SAC ) vuông góc v i m t ph ng ( ABC ) Tam giác ABC cân t i đ nh A , trung n AD a , đ ng th ng SB t o v i m t ph ng ( ABC ) m t góc b ng h p v i m t ph ng (SAD) m t góc b ng 1) Xác đ nh góc , a sin sin 2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC V 3cos( ) cos( ) Gi i: S 1) Xác đ nh góc , ( SAB) ( ABC ) SA ( ABC ) Ta có ( SAC ) ( ABC ) ( SAB) ( SAC ) SA Suy hình chi u c a SB lên ( ABC ) AB Khi SB, ( ABC ) (SB, AB) SBA Tam giác ABC cân t i A có AD trung n BD AD , mà ta có: BD SA BD (SAD) A B a Suy hình chi u c a SB lên ( SAD) SD D Khi SB, (SAD) ( SB, SD) BSD C 2) Ch ng minh th tích c a kh i chóp S ABC V a sin sin 3cos( ) cos( ) SB2 SA2 AB2 SA2 AD BD Ta có: SA SB sin SB2 SB2 sin a SB2 sin BD SB sin SB2 (1 sin sin ) a SB2 a2 a2 sin sin cos sin (1) Ta có th tích c a kh i chóp S ABC là: Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian 1 a V SABC SA AD.BC.SA a 2SB sin SB sin SB2 sin sin 6 Thay (1) vào (2) ta đ (2) a a2 a sin sin sin sin (*) c: V cos sin 3(cos sin ) L i có: cos2 sin cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos( ) cos( ) (2*) 2 Thay (2*) vào (*) ta đ c: V Hocmai – Ngôi tr a sin sin 3cos( ) cos( ) ng chung c a h c trò Vi t !! Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : T ng đài t v n: 1900 69-33 Hocmai.vn - Trang | 10 -