Bài tập về quan hệ vuông góc song song trong hình không gian

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian CH NG MINH QUAN H VUÔNG GÓC SONG SONG ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG Bài Cho t di n ABCD G tr ng tâm tam giác ABD Trên đo n BC l y m M cho MB  2MC Ch ng minh r ng MG // (ACD) A H ng d n G i N trung m c a AD BG 2 Khi GN N G BM BG BM 2  Mà ta có B C MC GN MC M Theo h qu đ nh lý Ta let ta có: MG / /NC MG / /NC Khi   MG // (ACD) NC  (ACD) V y MG // (ACD) đpcm D Bài Cho lăng tr ABC.A' B'C' G i M trung m c a AB Đi m N thay đ i đo n BB' G i P trung m c a CN a Ch ng minh r ng MP // (AA'C'C) b Ch ng minh r ng MP thu c m t m t ph ng c đ nh, N thay đ i c Tìm v trí c a N thu c BB' cho MP // AC' A' H ng d n C' a G i BP CC'  Q Khi BCQN hình bình hành Q P trung m c a BQ Suy MP đ ng trung bình tam giác BQA Suy MP / /AQ  (AA'C'C) nên MP // (AA'C'C) đpcm b Ta có MP qua m M c đ nh MP / /(AA'C'C) B' P N A Suy MP  () () m t ph ng qua M C M song song v i (AA'C'C) nên () c đ nh đpcm B c Ta có MP / /AQ nên MP / /AC' ch Q  C'  N  B Bài Cho t di n ABCD G i O,O' l n l t tâm đ Ch ng minh r ng OO'/ /(BCD) ch H ng tròn n i ti p tam giác ABC,ABD BC AB  AC  BD AB  AD ng d n G i AO BC  M AO' BD  N Khi OO'/ /(BCD)  OO'/ /MN  Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 OA O'A  (1) OM O'N - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) M t khác theo tính ch t đ ng phân giác ta có: OA AB AC AB  AC AB  AC (2)     OM MB MC MB  MC BC O' A AB  AD T ng t ta đ c: (3)  O' N BD Thay vào ta đ c: AB  AC AB  AD BC AB  AC OO'/ /MN     BC BD BD AB  AD Chuyên đ : Hình h c không gian A O O' C đpcm M Bài Cho hình l p ph ng ABCD.A' B'C' D' G i M,N,P l n l t trung m c a BB',CD,A' D' Ch ng minh r ng MP  C'N H ng d n G i E trung m c a CC' Khi ME / /A' D' hay ME / /PD'  MP  (MED'A') (*) B' D th y: C'CN  D'C'E (c.g.c), suy : N1  E1 N B P A' D' C' A M t khác: N1  C'1  900 D M D E Suy E1  C'1  900  C'N  ED' (1) N M t khác: ME / /BC  ME  (CDD'C')  ME  C'N (2) B C T (1) (2), suy ra: C'N  (MED'A') (2*) T (*) (2*), suy C'N  MP đpcm Bài Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD G i E m đ i x ng c a B qua trung m c a SA G i M,N l n l t trung m c a AE,CD Ch ng minh r ng MN  BD H ng d n E Ta có SEAD hình bình hành SE  AB  CD SE / /AB / /CD Suy SEDC hình bình hành S ED / /SC G i AC BD  H M Do S.ABCD hình chóp t giác đ u nên: SH  (ABCD)  SH  BD Ta có : BD  AC , suy ra: BD  (SAC) (*) G i P trung m c a AD A NP / /AC  (MNP) / /(SAC) (2*)  MP / /ED / /SC T (*) (2*), suy ra: BD  (MNP)  BD  MN D P N H B C hay MN  BD đpcm Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi SA  (ABCD) K AB'  SB,AD'  SD v i S B'  SB,D'  SD Ch ng minh r ng B' D'  (SAC) B' H ng d n Ta có BD  SA (do SA  (ABCD) ) D' BD  AC (do ABCD hình thoi) Suy BD  (SAC) (1) A M t khác SAB  SAD (c.g.c) SB' SD'    B' D' // BD (2) T (1) (2), SB SD suy B' D'  (SAC) đpcm B D C Bài Cho lăng tr ABC.A' B'C' có tam giác ABC đ u c nh a , c nh bên CC' vuông góc v i đáy CC'  a G i M, J l n l t trung m c a BB', B'C' N m thu c đo n A' B' cho NB'  a Ch ng minh: a) AM  BC' b) AM  (MNJ) H ng d n a) Ch ng minh AM  BC' G i I trung m c a BC A' AI  BC  AI  CC'(do CC'  (ABC)) C' H J N B'  AI  (BCC' B')  AI  BC' (1) M t khác, m t ph ng (BCC' B') ta có: MI / /B'C  MI  BC' (2)   BC'  B'C M A T (1) (2), suy BC'  (AIM)  AM  BC' (*) b) Ch ng minh AM  (MNJ) C 1 G i H trung m c a A' B' AMB  BHB' (c.g.c)  M1  H1 I B Mà H1  B1  900  M1  B1  900  AM  BH (2*) T (*) (2*), suy AM  (BC'H) (3*) MN / /HB  (MNJ) / /(BC'H) (4*) M t khác  MJ / /BC' T (3*) (4*), suy AM  (MNJ) đpcm Bài Cho hình h p ch nh t ABCD.A' B'C' D' có đáy hình vuông ABCD c nh a AA'  b G i a M trung m c a CC' Xác đ nh t s đ hai m t ph ng (A' BD) (MBD) vuông góc v i b Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian H ng d n G i O tâm c a hình vuông ABCD Ta có A' B  A' D  A'O  BD L i có MB  MD  MO  BD A'O  BD; MO  BD Khi  (A' BD) (MBD)  BD A' D' B' Suy góc t o b i (A' BD) (MBD) A'OM C' M A D V y (A' BD)  (MBD)  A'OM  90  A'O  OM  A'M (*) 2 O  a  a2 B 2 2 A'O  A' B  BO  a  b     b2       Ta có:   b2 a b2 2  ; A'M  A'C'2  C'M  2a  OM  MC  CO  4  Khi  C 5b2 b2  a  2a   b  a (vì a, b  ) 4 a  (A' BD)  (MBD) đpcm b Bài Cho t di n S.ABC có SA  (ABC) G i H,K l n l V y v i t tr c tâm c a tam giác ABC SBC a Ch ng minh r ng ba đ ng th ng AH,SK BC đ ng quy b Ch ng minh r ng SC  (BHK) HK  (SBC) c Kéo dài SA c t HK t i R Ch ng minh r ng t di n SBCR có c p c nh đ i vuông góc H ng d n a G i E chân đ ng cao h t A c a tam giác ABC S Ta có SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAE) Suy BC  SE V y ba đ ng th ng AH,SK BC đ ng quy t i E SA  (ABC)  SA  BH    BH  (SAC)  BH  SC AC  BH  Mà BK  SC  SC  (BHK) đpcm K b Ta có A Khi SC  HK (1) Mà theo ý a ta có BC  (SAE)  HK  BC  HK (2) B H E T (1), (2), suy HK  (SBC) đpcm C c Trong t di n SBCR có SR  BC (do BC  (SAE) - ý a ) Ta có RB  (HKB)  SC  RB (vì SC  (BHK) ch a RB ) Theo ý b ta có HK  (SBC)  RK  HK  (SBC)  RK  SB (*) R M t khác K tr c tâm tam giác SBC nên CK  SB (2*) T (*) (2*), suy SB  (RCK)  SB  RC hay RC  SB Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông c nh a SA  (ABCD) G i M,N hai m l nl H a 3a Ch ng minh r ng (SMN)  (SAM) t hai c nh BC,DC cho BM  , DN  ng d n 5a a Xét tam giác ABM ta có AM  AB  BM  a     2 Xét tam giác ADN ta có 2 2 25a  3a  AN  AD  DN  a     16   Xét tam giác CMN ta có 2 S 2 5a a a MN  CM  CN        16 2 4 2 25a  AM2  MN2 16 Suy tam giác AMN vuông t i M Suy AN2  A MN  AM Khi   MN  (SAM) , suy MN  SA (SMN)  (SAM) đpcm D N B C M Bài 11 Trong m t ph ng () cho hình vuông ABCD Các tia Bx Dy vuông góc v i m t ph ng () chi u Các m M N l n l t thay đ i Bx,Dy cho m t ph ng (MAC) (NAC) vuông góc v i Ch ng minh r ng: a) BM.DN không đ i b) (AMN)  (CMN) H ng d n a) Ch ng minh BM.DN không đ i Đ t BM  m,DN  n,AB  a G i O tâm hình vuông ABCD AC  BD x M y H  AC  (BMND)  MO  AC Ta có  AC  BM N Theo gi thi t (MAC)  (NAC)  MO  (NAC)  MO  ON MN2  OM2  ON2 (*) Trong hình thang vuông BDNM ta có: MN  BD  (BM  DN)  2a  (m  n) 2 2 Ta có OM2  BM2  BO2  m  a2 a2 ON  DN  OD  n  2 Khi 2 B C O A D a2 a2 a2 a2 2  2a  (m  n)  m   n   a  2mn   mn  hay BM.DN  2 2 Hocmai – Ngôi tr 2 ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian b) Ch ng minh (AMN)  (CMN) H OH  MN (H  MN ) Xét tam giác vuông MON ta có: 1    2 OH OM ON2  OH2  m2  a2  n2  a2  m2  n2  a2  a  a   m   n    2  a2 a4 a4 a2 a4 (m  n )   (m  n )  2  4  a  OH  a  AC 2 m2  n2  a2 m2  n2  a2 m2n2  Mà HO trung n c a AHC , suy AHC  900 hay AH  CH (1) M t khác, MN  AC (do AC  (BMND) - ch ng minh ý 1)) MN  OH  MN  (HAC)  MN  AH (2) T (1) (2), suy AH  (MNC)  (AMN)  (CMN) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình ch nh t SA  (ABCD) K AB'  SB,AC'  SC,AD'  SD (B'  SB,C'  SC,D'  SD) Ch ng minh r ng t giác AB'C' D' n i ti p đ H ng tròn ng d n Tr c tiên ta s ch ng minh m A,B',C',D' đ ng ph ng Ta có CB  AB CB  SA (do SA  (ABCD) ) S C' Suy CB  (SAB)  CB  AB' D' M t khác SB  AB' AB'  (SCB)  AB'  SC (1) Ch ng minh t ng t ta đ c AD'  (SCD)  AD'  SC (2) Mà theo gi thi t AC'  SC (3) T (1), (2) (3), suy A,B',C',D' đ ng ph ng (*) B' A B D C +) Ta có AB'  (SCB)  AB'  B'C' hay AB'C'  900 AD'  (SCD)  AD'  D'C' hay AD'C'  900 Suy AB'C'  AD'C'  1800 (2*) T (*) (2*), suy t giác AB'C' D' n i ti p đ ng tròn đpcm Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình ch nh t v i BC  a ; SA  a SA  (ABCD) Góc t o b i SB m t đáy b ng 600 G i M trung m c a AD Ch ng minh (SAC)  (SMB) H ng d n Do SA  (ABCD) nên góc ta có góc t o b i SB (ABCD) SBA  600  AB  SA.cot 600  a 3 a G i AC BM  I Do AM // BC nên theo đ nh lý Ta let ta có: AI MI AM AI MI       IC IB BC AC MB Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian S a2 Ta có AC2  AB2  BC2  3a  AI  AC2    1  a  a2 2 MI  MB   a     9     a a2 a2  a      MA     Suy tam giác AIM vuông t i I hay MB  AC (1) M t khác: SA  (ABCD)  SA  MB (2) Khi AI  MI  T (1) (2), suy ra: MB  (SAC)  (SMB)  (SAC) đpcm M A I 600 B C a Bài 14 Cho hình chóp S.ABC , có SA,SB,SC đôi m t vuông góc G i H tr c tâm c a tam giác ABC a) Ch ng minh r ng: SH  (ABC) b) G i  , ,  l n l minh r ng: t góc t o b i m t ph ng (SBC),(SCA),(SAB) v i m t (ABC) Ch ng cos2   cos2   cos2   A H ng d n a) Ch ng minh r ng: SH  (ABC) N G i M hình chi u vuông góc c a A BC SA  SB Ta có  SA  SC H  SA  (SBC)  SA  BC  BC  SA  BC  (SAM)  BC  SH (1)  BC AM   S C M Ch ng minh t ng t ta đ c AB  SH (2) T (1) (2), suy ra: SH  (ABC) B b) Ta có: BC  (SAM)  BC  MS; BC  AM  (SBC),(ABC)   AMS    (SBC) (ABC)  BC Ta có SA  (SBC)  SA  SM , suy tam giác ASM vuông t i S MH BC S  HBC S ABC MA BC S cos2   HAB S ABC MS MS MH.MA MH  cos      Khi cos   MA MA MA MA (oàn toàn t ng t ta s ch đ Suy cos2   cos2   cos2   c: cos2   SHCA S ABC SHBC SHCA SHAB SHBC  SHCA  SHAB S ABC     1 S ABC S ABC S ABC S ABC SABC V y cos2   cos   cos   Hocmai – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Bài 15 Cho hình l p ph Chuyên đ : Hình h c không gian ng ABCD.A' B'C' D' c nh a Đi m M thu c đo n AD' m N thu c đo n BD cho AM  DN  x v i  x  a a đo n MN ng n nh t b) Ch ng minh r ng MN song song v i m t ph ng (A' D'CB) x bi n thiên a) Ch ng minh r ng x  H ng d n A' B' D' C' M A B E N D C a đo n MN ng n nh t tam giác AEM vuông cân t i E a) Ch ng minh r ng x  K ME  DA ( E  DA AM x x Xét tam giác EDN , ta có:  DE  a   EM  EA   2 2   x  x  2 EN  DE  DN  2DE.DNcosEDN   a   x  2ax  a   x  2a   x 2 2 2   Xét tam giác MEN , ta có: 2 2  x2 5x2 a  a2 a2 MN  EM  EN    2ax  a  3x  2ax  a   x      2  3  D u 2 x y x    a a a đo n MN ng n nh t b ng  0;a V y x  3 b) Ch ng minh r ng MN song song v i m t ph ng (A' D'CB) x bi n thiên Ta có A,M,D' D,N, B l n l t n m hai đ ng th ng chéo AD' DB  AM MD' AD' AM  DN  x    Do  DN NB DB  AD'  DB  a Khi theo đ nh lý Ta lét đ o, ta suy AD,MN,D' B song song v i m t m t ph ng (1)  D' B  (A' D'CB) M t khác:  AD / /(A' D'CB) Hocmai – Ngôi tr (2) T (1) (2), suy MN / /(A' D'CB) ng chung c a h c trò Vi t !! T ng đài t v n: 1900 69-33 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c: Pen C – N3 (Th y Lê Anh Tu n – Th y Nguy n Thanh Tùng) Chuyên đ : Hình h c không gian Chú ý Đ nh lý Ta lét đ o không gian) Cho hai đ ng th ng chéo d d' L y m phân bi t A, B,C d m A',B',C' d' cho AB BC CA   ba đ A' B' B'C' C' A' v i m t m t ph ng nghĩa có c tr ng h p đ Bài 16 Cho tam giác nh n ABC đ Các m M N l n l ng th ng AA',BB',CC' song song ng song song v i m t m t ch a đ ng th ng  qua A vuông góc v i m t ph ng (ABC) t thay đ i  cho hai m t ph ng (MBC) (NBC) vuông góc v i Tìm v trí c a M,N cho đ dài đo n MN nh nh t H ng d n G i H hình chi u c a A lên BC  BC  MN  BC  (MHN)  MH  BC   BC  AH (MBC)  (NBC)  MH  (NBC)  MH  NH Mà  (MBC) (NBC)  BC Trong tam giác MHN vuông t i H có HA đ ng cao nên A thu c đo n MN M A Khi MN  MA  NA  MA.NA  AH2  2AH D u x y AM  AN  AH V y MN nh nh t M N n m  đ i x ng qua A AM  AN  AH Hocmai – Ngôi tr ng kia) ng chung c a h c trò Vi t !! C H N B Giáo viên : Nguy n Thanh Tùng Ngu n : T ng đài t v n: 1900 69-33 Hocmai.vn - Trang | -