Bài tập về quan hệ vuông góc song song trong hình không gian

Ch ng minh r ng MNBD... Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và SAABCD... Ch ng minh r ng SCBHK và HKSBC... Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a và SAABCD.. Ch ng mi

Bài 1 Cho t di n ABCD và G là tr ng tâm tam giác ABD Trên đo n BC l y đi m M sao cho

MB2MC Ch ng minh r ng MG // (ACD)

H ng d n

G i N là trung đi m c a AD

Khi đó BG 2

GN

Mà ta có BM BG BM

2

MC GNMC

Theo h qu đ nh lý Ta let ta có: MG / /NC

Khi đó MG / /NC

NC (ACD)





 MG // (ACD)

V y MG // (ACD) đpcm

Bài 2 Cho lăng tr ABC.A' B'C' G i M là trung đi m c a AB Đi m N thay đ i trên đo n BB' G i

P là trung đi m c a CN

a Ch ng minh r ng MP//(AA'C'C)

b. Ch ng minh r ng MP luôn thu c m t m t ph ng c đ nh, khi N thay đ i

c. Tìm v trí c a N thu c BB' sao cho MP//AC'

H ng d n

a. G i BP CC' Q Khi đó BCQN là hình bình hành và

P là trung đi m c a BQ

Suy ra MP là đ ng trung bình trong tam giác BQA

Suy ra MP / /AQ(AA'C'C) nên MP//(AA'C'C) đpcm

b. Ta có MP đi qua đi m M c đ nh và MP / /(AA'C'C)

Suy ra MP ( ) trong đó ( ) là m t ph ng đi qua M

và song song v i (AA'C'C) nên ( ) c đ nh đpcm

c. Ta có MP / /AQ nên MP / /AC' khi và ch khi Q C' NB

Bài 3 Cho t di n ABCD G i O,O' l n l t là tâm đ ng tròn n i ti p các tam giác ABC,ABD

Ch ng minh r ng OO'/ /(BCD) khi và ch khi BC AB AC

BD AB AD







H ng d n

G i AO BC M và AO' BD N Khi đó OO'/ /(BCD) OO'/ /MN OA O'A

OM O'N

CH NG MINH QUAN H VUÔNG GÓC SONG SONG

ĐÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

M

N G

D

C B

A

M

P

Q

N

C'

B' A'

C

B A

M t khác theo tính ch t đ ng phân giác ta có:

OA AB AC AB AC AB AC

T ng t ta đ c: O' A AB AD

O' N BD



 (3) Thay vào ta đ c:

AB AC AB AD BC AB AC OO'/ /MN

 đpcm

Bài 4 Cho hình l p ph ng ABCD.A' B'C' D' G i M,N,P l n

l t là trung đi m c a BB',CD,A' D' Ch ng minh r ng

MPC'N

H ng d n

G i E là trung đi m c a CC' Khi đó

ME / /A' D' hay ME / /PD'MP(MED'A') (*)

D th y: C'CN D'C'E (c.g.c), suy ra : N1E1

M t khác: 0

'

N C 90

Suy ra 0

'

E C 90 C'NED' (1)

M t khác: ME / /BCME(CDD'C')MEC'N (2)

T (1) và (2), suy ra: C'N(MED'A') (2*)

T (*) và (2*), suy ra C'NMP đpcm

Bài 5 Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD G i E là đi m đ i x ng c a B qua trung đi m c a SA

G i M,N l n l t là trung đi m c a AE,CD Ch ng minh r ng MNBD

H ng d n

Ta có SEAD là hình bình hành do đó

SEAB CD và SE / /AB / /CD

Suy ra SEDC là hình bình hành khi đó

ED / /SC

G i AC BD H

Do S.ABCDlà hình chóp t giác đ u nên:

SH(ABCD)SHBD

Ta có : BDAC, suy ra: BD(SAC) (*)

G i P là trung đi m c a AD khi đó

NP / /AC (MNP) / /(SAC)

MP / /ED / /SC







T (*) và (2*), suy ra:

BD(MNP)BDMN

hay MNBD đpcm

E

S

H

P

N

M

D

C B

A

E

1

1 1

P

M

N D

C B

A

D'

C' B'

A'

N M

O' O

B

D C

A

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi

và SA(ABCD) K AB'SB,AD'SD v i

B' SB,D' SD  Ch ng minh r ng B' D'(SAC)

H ng d n

Ta có BDSA (do SA(ABCD))

và BDAC (do ABCD là hình thoi)

Suy ra BD(SAC) (1)

M t khác SAB SAD (c.g.c)

SB' SD' B' D'

SB SD

   //BD (2) T (1) và (2),

suy ra B' D'(SAC) đpcm

Bài 7 Cho lăng tr ABC.A' B'C' có tam giác ABC đ u c nh a, c nh bên CC' vuông góc v i đáy và CC' a G i M, J l n l t là trung đi m c a BB',B'C' và N là đi m thu c đo n A' B' sao cho

a

NB'

4

 Ch ng minh:

a) AMBC' b) AM(MNJ)

H ng d n

a) Ch ng minh AMBC'

G i I là trung đi m c a BC khi đó

AI BC

AI CC'(do CC' (ABC))

 



AI (BCC' B') AI BC'

    (1)

M t khác, trong m t ph ng (BCC' B') ta có:

MI / /B'C MI BC'

BC' B'C



T (1) và (2), suy ra BC'(AIM)AMBC' (*)

b) Ch ng minh AM(MNJ)

G i H là trung đi m c a A' B' khi đó

AMB BHB' (c.g.c) M1H1

Mà H1B1 900 0

1 1

     (2*)

T (*) và (2*), suy ra AM(BC'H) (3*)

M t khác MN / /HB (MNJ) / /(BC'H)

MJ / /BC'







T (3*) và (4*), suy ra AM(MNJ) đpcm

Bài 8. Cho hình h p ch nh t ABCD.A' B'C' D' có đáy là hình vuông ABCD c nh a và AA'b G i

M là trung đi m c a CC' Xác đ nh t s a

b đ hai m t ph ng (A' BD) và (MBD) vuông góc v i

D'

B'

B A

S

1 1

1

J

I

N

M

H

C'

B' A'

C

B A

H ng d n

G i O là tâm c a hình vuông ABCD

Ta có A' BA' DA'OBD L i có MB MD MOBD

Khi đó A'O BD; MO BD

(A' BD) (MBD) BD



Suy ra góc t o b i (A' BD) và (MBD) là A'OM

V y (A' BD)(MBD)A'OM 90 0 A'O2OM2 A'M2 (*)

Ta có:

2

2

OM MC CO ; A'M A'C' C'M 2a









Khi đó 5b2 2 2 b2

      (vì a,b0)

V y v i a 1

b  thì (A' BD)(MBD) đpcm

Bài 9 Cho t di n S.ABC có SA(ABC) G i H,K l n l t là tr c tâm c a tam giác ABC và SBC

a. Ch ng minh r ng ba đ ng th ng AH,SK và BC đ ng quy

b. Ch ng minh r ng SC(BHK) và HK(SBC)

c. Kéo dài SA c t HK t i R Ch ng minh r ng t di n SBCR có các c p c nh đ i vuông góc

H ng d n

a. G i E là chân đ ng cao h t A c a tam giác ABC

Ta có SA(ABC)SABCBC(SAE)

Suy ra BCSE

V y ba đ ng th ng AH,SK và BC đ ng quy t i E

b. Ta có SA (ABC) SA BH BH (SAC) BH SC

AC BH





Mà BKSCSC(BHK) đpcm

Khi đó SCHK (1)

Mà theo ý a ta có BC(SAE)HKBCHK (2)

T (1), (2), suy ra HK(SBC) đpcm

c. Trong t di n SBCR có SRBC (do BC(SAE) - ý a )

Ta có RB(HKB)SCRB (vì SC(BHK) ch a RB)

Theo ý b ta có HK(SBC)RKHK(SBC)RKSB (*)

M t khác K là tr c tâm tam giác SBC nên CKSB (2*)

T (*) và (2*), suy ra SB(RCK)SBRC hay RCSB

E H

K

R

C

B A

S

O

M

D

C B

A

D'

C' B'

A'

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a và SA(ABCD) G i M,N là hai đi m

l n l t trên hai c nh BC,DC sao cho BM a, DN 3a

  Ch ng minh r ng (SMN)(SAM)

H ng d n

Xét tam giác ABM ta có

AM AB BM a

 

     

  Xét tam giác ADN ta có

 

     

  Xét tam giác CMN ta có

MN CM CN

   

      

    Suy ra

2

16

Suy ra tam giác AMN vuông t i M

Khi đó MN AM MN (SAM)

MN SA

(SMN)(SAM) đpcm

Bài 11 Trong m t ph ng ( ) cho hình vuông ABCD Các tia Bx và Dy vuông góc v i m t ph ng

( ) và cùng chi u Các đi m M và N l n l t thay đ i trên Bx,Dy sao cho m t ph ng (MAC) và

(NAC) vuông góc v i nhau Ch ng minh r ng:

a) BM.DN không đ i b) (AMN)(CMN)

H ng d n

a) Ch ng minh BM.DN không đ i

Đ t BMm,DNn,AB a

G i O là tâm hình vuông ABCD

Ta có AC BD AC (BMND) MO AC

AC BM

 

 

Theo gi thi t (MAC)(NAC)MO(NAC)

MO ON

  do đó 2 2 2

MN OM ON (*) Trong hình thang vuông BDNM ta có:

MN BD (BM DN) 2a (m n)

Ta có

2

2

và

2

2

   

Khi đó 2 2 2 a2 2 a2 2 a2

2

a BM.DN

2



y x

N

M

H

O

D

C B

A

S

N M

D

C B

A

b) Ch ng minh (AMN)(CMN)

H OHMN (H MN ) Xét tam giác vuông MON ta có:

 

2 2

Mà HO là trung tuy n c a AHC, suy ra AHC 90 0 hay AHCH (1)

M t khác, MNAC (do AC(BMND) - ch ng minh ý 1))

và MNOHMN(HAC)MNAH (2)

T (1) và (2), suy ra AH(MNC)(AMN)(CMN)

Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình ch nh t và SA(ABCD) K

AB'SB,AC'SC,AD'SD(B' SB,C' SC,D' SD)   Ch ng minh r ng t giác AB'C' D' n i ti p

đ ng tròn

H ng d n

Tr c tiên ta s ch ng minh đi m A,B',C',D' đ ng

ph ng

Ta có CBAB và CBSA (do SA(ABCD))

Suy ra CB(SAB)CBAB'

M t khác SBAB' do đó AB'(SCB)AB'SC (1)

Ch ng minh t ng t ta đ c

AD'(SCD)AD'SC (2)

Mà theo gi thi t AC'SC (3)

T (1), (2) và (3), suy ra A,B',C',D' đ ng ph ng (*)

+) Ta có AB'(SCB)AB'B'C' hay AB'C' 90 0

và AD'(SCD)AD'D'C' hay AD'C' 90 0

Suy ra AB'C' AD'C' 180  0 (2*)

T (*) và (2*), suy ra t giác AB'C' D' n i ti p đ ng tròn đpcm

Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh t v i BC a 2 ; SA a 3 và

SA(ABCD) Góc t o b i SB và m t đáy b ng 0

60 G i M là trung đi m c a AD Ch ng minh (SAC)(SMB)

H ng d n

Do SA(ABCD) nên góc ta có góc t o b i SB và (ABCD)

là 0

AB SA.cot 60 a 3 a

3

G i AC BM I Do AM//BC nên theo đ nh lý Ta let

ta có: AI MI AM 1 AI MI 1

IC  IB  BC  2 ACMB 3

C'

D'

B'

C D

S

Ta có

2

2

2

  

     

  

Khi đó

2

 

     

  Suy ra tam giác AIM vuông t i I hay MBAC (1)

M t khác: SA(ABCD)SAMB (2)

T (1) và (2), suy ra: MB(SAC)(SMB)(SAC) đpcm

Bài 14 Cho hình chóp S.ABC, có SA,SB,SC đôi m t vuông góc G i H là tr c tâm c a tam giác

ABC

a) Ch ng minh r ng: SH(ABC)

b) G i   , , l n l t là góc t o b i m t ph ng (SBC),(SCA),(SAB) v i m t (ABC) Ch ng

minh r ng: 2 2 2

cos  cos  cos  1

H ng d n

a) Ch ng minh r ng: SH(ABC)

G i M là hình chi u vuông góc c a A trên BC

Ta có SA SB SA (SBC) SA BC

SA SC

 

 

BC SA BC (SAM) BC SH

BC AM

 

 

Ch ng minh t ng t ta đ c ABSH (2)

T (1) và (2), suy ra: SH(ABC)

b) Ta có:

BC (SAM) BC MS; BC AM

(SBC),(ABC) AMS (SBC) (ABC) BC



Ta có SA(SBC)SASM, suy ra tam giác ASM vuông t i S

ABC

1

MH BC S

1

MA BC 2

(oàn toàn t ng t ta s ch ra đ c: 2 HCA

ABC

S cos

S

  và 2 HAB

ABC

S cos

S

 

Suy ra 2 2 2 HBC HCA HAB HBC HCA HAB ABC

V y cos2 cos2 cos2 1

600

a 2

a 3

I

M

C B

A S

N

H

M

C

B

A

S

Bài 15 Cho hình l p ph ng ABCD.A' B'C' D' c nh a Đi m M thu c đo n AD' và đi m N thu c

đo n BD sao cho AMDNx v i 0 x a 2

a) Ch ng minh r ng khi a 2

x 3

 thì đo n MN ng n nh t

b) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng (A' D'CB) khi x bi n thiên

H ng d n

a) Ch ng minh r ng khi a 2

x 3

 thì đo n MN ng n nh t

K MEDA (E DA khi đó tam giác AEM vuông cân t i E

AM x

EM EA

2

   Xét tam giác EDN, ta có:

2

EN DE DN 2DE.DNcosEDN a x 2 a x x 2ax 2 a

2 2

Xét tam giác MEN, ta có:

2

D u x y ra khi a 2  

3

  V y x a 2

3

 thì đo n MN ng n nh t và b ng a 3

3

b) Ch ng minh r ng MN luôn song song v i m t ph ng (A' D'CB) khi x bi n thiên

Ta có A,M,D' và D,N,B l n l t n m trên hai đ ng th ng chéo nhau là AD' và DB

Do AM DN x AM MD' AD'

DN NB DB AD' DB a 2





Khi đó theo đ nh lý Ta lét đ o, ta suy ra AD,MN,D' B cùng song song v i m t m t ph ng (1)

M t khác: D' B (A' D'CB)

AD / /(A' D'CB)



 (2) T (1) và (2), suy ra MN / /(A' D'CB)

N

D'

E

D

M

C'

B' A'

C

B A

Chú ý Đ nh lý Ta lét đ o trong không gian)

Cho hai đ ng th ng chéo nhau d và d' L y các đi m phân bi t A,B,C trên d và các đi m

A',B',C' trên d' sao cho AB BC CA

A' B' B'C'C'A' khi đó ba đ ng th ng AA',BB',CC' cùng song song

v i m t m t ph ng

nghĩa là có c tr ng h p đ ng cùng song song v i m t m t ch a đ ng kia)

Bài 16 Cho tam giác nh n ABC và đ ng th ng  đi qua A và vuông góc v i m t ph ng (ABC) Các đi m M và N l n l t thay đ i trên  sao cho hai m t ph ng (MBC) và (NBC) vuông góc v i nhau Tìm v trí c a M,N sao cho đ dài đo n MN nh nh t

H ng d n

G i H là hình chi u c a A lên BC khi đó

BC MN

BC (MHN) MH BC

BC AH

 

 



Mà (MBC) (NBC) MH (NBC) MH NH

(MBC) (NBC) BC



Trong tam giác MHN vuông t i H có HA là đ ng cao

nên A thu c đo n MN

Khi đó MN MA NA  2 MA.NA2 AH2 2AH

D u x y ra khi AMANAH

V y MN nh nh t khi

M và N n m trên  đ i x ng nhau qua A và AMANAH

H N

M

C

B A