Bài tập tích phân bội

BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI Hãy cho biết tích phân sau dùng để tính thể tích vật thể nào, vẽ vật thể không gian chiều 2 dx −1 dx 2xdy √ 1−x2 √ − 1−x2 2dy (1 + x2 + y )dxdy, D hình tròn x2 + y ≤ D 4dxdy, D tam giác OAB, O(0, 0), A(0, 2), B(1, 1) D (x2 + 1)dxdy, D hình chữ nhật −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ D Tính tích phân lặp sau vẽ hình miền lấy tích phân −1 dx −2 (ex+y − 2x) dy 2 −1 dx −2 (xy − 2x) dy −1 dx −1 −3 dx √ 2x+6 √ − 2x+6 −1 dx 2−x2 x2 π √ √ 2x 2x−x2 dx √ − π2 dx 1−x2 cos x (x − + y) dy (x − y) dy + xydy + −1 dx 1−x (x − y) dy √ dx 2x+6 x−1 xydy dy y − y2 dy Tính tích phân kép sau D x2 dxdy, D giới hạn y = , y = x, x = 2 y x D 2 x , với D : xy = 1, x = y, x = 9y, x ≥ y ydxdy, G giới hạn y = x2 + 2x, y = D x2 x , y = + , x ≥ 2 dxdy , D : y = 3, y = x2 − 2x, ≤ x ≤ D y exy dxdy, D : ≤ y ≤ 4, ≤ x ≤ y D D x5 y dxdy, D : y = 1, y = x2 , x ≥ +1 D x3 y dxdy, D : y = 1, y = x2 , x ≥ y5 + y − x2 , D : ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x D (x + √ y)dxdy với D : y ≤ −x2 + 2x + 3, y ≤ x2 + 2x + 1, y ≥ D √ ydxdy, với D : y = x x + 2, y = x2 10 D Tính tích phân sau tọa độ cực tọa độ cực mở rộng y x2 + y dxdy, với D : −1 ≤ y ≤ 0, − − y2 ≤ x ≤ x x2 + y dxdy, với D : x2 + y ≤ 2x, y ≥ x D D xydxdy, với D : x2 + y ≤ 2x, y ≥ −x D +y ex dxdy, với D : x2 + y ≤ 1, y ≤ x ≤ −y D ln (x2 + y + 1) dxdy, với D : ≤ x2 + y ≤ D dxdy, với D : ≤ x2 + y ≤ −2y D ydxdy, với D : x2 + y ≤ 1, x2 + y ≤ −2y D |x − y| dxdy, với D : x2 + y ≤ −2x D |x2 + y − 1| dxdy, với D : x2 + y ≤ D |x2 − y | dxdy, với D : x2 + y ≤ 1, x ≥ y 10 D (x + y)dxdy, với D : x2 + y ≤ 2y, y ≥ 11 D 2xdxdy, với D : x2 + y + 2x + 2y + ≤ 0, x + y ≤ 12 D 9x2 + 3y dxdy, với D : 13 D 5.1 x2 y + ≤ 1, y ≥ −x Ứng dụng hình học tích phân kép Tính diện tích miền phẳng D : x2 + y ≤ 1, |x| + |y| ≥ D : 2y ≤ x2 + y ≤ 4y, y ≥ −x x2 y x y D : + ≤ 1, + ≥ 25 D : x2 + y ≤ 2x, x + y ≤ − y2 5.2 Tính thể tích vật thể Ω : z = x2 + 2x − y, z = 0, y = x + 2, x ≥ Ω : z = x2 + y , z = 0, x2 + y = 1, x2 + y = Ω : z = x2 + 1, z = 2x, y = x, y = 2x, x = √ Ω : z = − x2 − y , z = x2 + y , ≤ 3x ≤ y Ω : z = − x2 − y , z = 2, x ≥ y Ω : y + z = 2y, z = 2x, z = 3x x2 + y , z = − x2 − y , x ≥ 0, y ≤ Ω : z = 5.3 Tính diện tích mặt cong sau Phần mặt nón z = x2 + y , phần nằm paraboloid z = − x2 − y Phần mặt phẳng x + y + z = 1, bị cắt trun y = x mặt phẳng x = Phần mặt nón z = x2 + y nằm trụ z = 2y Phần mặt cầu z = − x2 − y nằm mặt phẳng x = z, x = √ 3z Tính tích phân lặp sau vẽ miền tính tích phân 1 dy dx −2 −1 dx dy y+1 x2 +1 dx ydz y √ x dy xydz √ √ 4−x2 x2 +y dy 0 1−y dz √ 1−y dy √ − 1−y zdz dx 0√ − 4−x2 −y zdz Tính tích phân bội ba sau x2 dxdydz, Ω : 2x + z = 2, z = (x − 1)2 + y Ω z x2 + y dxdydz, Ω : z = 1, z = 2, x2 + y = 1, x2 + y = Ω y cos(x + z)dxdydz, Ω : y = Ω √ π x, y = 0, z = 0, z + x = (x + y)dxdydz, Ω : x2 + y ≤ z ≤ − x2 − y , y ≥ x Ω xdxdydz, Ω : ≤ z ≤ − x2 − y , x2 + y ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ Ω (x + z)dxdydz, Ω : x2 + y ≤ z ≤ x2 + y Ω x2 dxdydz, Ω : 2x + z = 2, z = (x − 1)2 + y Ω (2 + xy + x)dxdydz, Ω : z = − y , z = 0, x = 0, x = Ω Theo yêu cầu bài, đổi tích phân sau sang tọa độ trụ tọa độ cầu x2 + y dxdydz, Ω : x2 + y + z ≤ 1, z ≥ I = 3(x2 + y ): tọa độ cầu Ω x2 + y dxdydz, Ω : x2 + y + z ≤ 1, z ≥ − 3(x2 + y ), y ≤ x ≤ −y Tọa I = Ω độ cầu dxdydz, Ω : x2 + y + z = 1, z = x, z = I = √ 3x, x ≥ : tọa độ cầu Ω (x + y )dxdydz, Ω : x2 + z = 1, x = y , x = 0: tọa độ trụ I = Ω (x + y)dxdydz, Ω : z = x2 + y , z + 2x = 0: tọa độ trụ I = Ω I = xydxdydz, Ω : y = √ √ x2 + z , y = 2x ≤ z ≤ − 3x: tọa độ trụ Ω Dùng tích phân bội ba tính thể tích vật thể sau: Ω : z = 0, y + z = 4, x2 + y = Ω : x2 + y + z ≤ 2z, x2 + y + z ≤ Ω : ≤ x2 + y + z ≤ 4, z ≥ Ω : x2 + y + z ≤ 4, z ≥ x2 + y x2 + y , x2 + y ≥