Tài liệu BÀI TẬP TÍCH PHÂN BỘI pdf

Chương 5. TÍCH PHÂN BỘI. A. TÍCH PHÂN HAI LỚP. §1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN HAI LỚP MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN . • 1. Định nghĩa : • Cho hàm số z = f(x,y), xác định trên miền D đóng, giới nội. • + Chia D thành các miền con D k ( k = 1, 2, …, n) không dẫm lên nhau, gọi ΔS k là diện tích của D k . • + Trong mỗi miền D k chọn điểm M k (x k ,y k ). • + Lập tổng: • + Tìm giới hạn: • Nếu giới hạn tồn tại thì nó được gọi là tích phân hai lớp của f(x,y) trên D. • Kí hiệu: ( ) n • ∑ n k k k=1 σ = f M ΔS max ( ) 0 max ( ) 0 . k k n d D d D →∞ →∞ → → • = ∑ n k k n n k=1 limσ lim f(M )ΔS max ( ) 0 max ( ) 0 ( , ) k k n D d D d D f x y dxdy →∞ →∞ → → • = = ∑ ∫∫ n k k n n k=1 limσ lim f(M )ΔS Định lí Fubini : • 1. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên D là miền chữ nhật: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, thì: • 2. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên • D;{(x,y):a ≤ x ≤ b, φ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, thì: • 3. Nếu hàm số z = f(x,y) liên tục trên • D;{(x,y): a ≤ y ≤ b, φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, thì: ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b d d b D a c c a f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dy f(x,y)dx. φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (x) b D a (x) f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy. φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (y) d D c (y) f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx. 2 1 0 2. Định nghĩa: Thể tích khối trụ: • 1) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên • D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; c ≤ x ≤ d} thì: • 2) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên • D: {(x,y):a ≤ x ≤ b; φ(x) ≤ x ≤ ψ(x)}, và φ(x), ψ(x) liên tục trên [a; b] thì: • 3) Nếu f(x,y) liên tục và không âm trên • D: {(x,y):c ≤ y ≤ d; φ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}, và φ(y), ψ(y) liên tục trên [c; d] thì: ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ b d d b D a c c a V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy = dx f(x,y)dx. . φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (x) b D a (x) V = f(x,y)dxdy = dx f(x,y)dy . φ ϕ ∫∫ ∫ ∫ (y) d D c (y) V = f(x,y)dxdy = dy f(x,y)dx Tính chất của tích phân • Hàm số f(x), g(x) liên tục trên miền đóng, giới nội D, ta có: • Nếu D được chia thành hai miềm D 1 , D 2 không trùng lấp nhau, thì: [ ] ∫∫ ∫∫ ∫∫ D D D a) af(x)+bg(x) dx = a f(x)dx +b g(x)dx . ∫∫ ∫∫ ∫∫ 1 2 D D D b) f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx (≤ ∀ ∈ ⇒ ≤ ∫∫ ∫∫ D D c) f(x,y) g(x,y) x,y) D f(x,y)dxdy g(x,y)dxdy. . ∫∫ d) S(D) = 1dxdy D • 4) Gọi M, m là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của f(x,y) trên D thì: • 5) Nếu f(x,y) liên tục trên D là miền đóng, giới nội thì: là giá trị trung bình của f(x,y) trên D. 0 0 ( ∃ ∈ ∫∫ 0 0 D x ,y ) D: f(x,y)dxdy = f(x ,y ).S(D). ≤ ≤ ∫∫ D m.S(D) f(x,y)dxdy M.S(D). ∫∫ D 1 . f(x,y) dxdy S(D) 2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội: Làm sao để tính ây ???đ Các em hãy tính tích phân sau? ∫∫ D I = xsinydxdy,D =ΔOAB : O(0;0),A(π;0),B(π;π) . • Cách giải: • D:{0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤x} ∫ ∫ ∫ π x π 0 0 0 π I = xdx sinydy = (x - xcosx)dx = +2. 2 2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội: Làm sao để tính ây ???đ π ∫∫ D I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = } . • Cách giải: 2 2 x x ∫ ∫ ∫ π 2x π 0 0 I = dx sinydy = (cos -cos2x)dx = 2. Các em hãy tính tích phân sau? π ∫∫ D I = sinydxdy,D : {2y = x,y = 2x,x = } ≤ ≤ ≤ ≤ x D: {0 xπ, y 2x} 2 Đổi biến trong tích phân hai lớp: • Giacobian của một ánh xạ: • Giả sử U là tập hợp mở trong R 2 và ánh xạ • Xác định bởi: Φ(u, v) = (x(u,v),y(u,v)), trong đó hai hàm số x(u,v), y(u,v) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên U. • Giacobian của một ánh xạ Φ kí hiệu: → 2 Φ:U R ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x x (u,v) (u,v) D(x,y) u v J(u,v) = = y x D(u,v) (u,v) (u,v) u v [...]... = 99 5 CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HAI LỚP • BÀI 1 Tính các tích phân kép sau: 1 1 0 0 1 0 1) I = ∫ dx ∫ (x + y)dy x x2 2) I = ∫ dx ∫ xy 2dy • Lời giải: y=1 1  x y  1 x  1) I = ∫  xy + ÷ dx = ∫  x + ÷dx =  + ÷ = 1 2  y=0 2  2 20 0 0 1 2 y=x 1 2 1  xy  x x  x x  1 2) I = ∫  dx = ∫  - ÷dx =  ÷ ÷ = 3  y=x2 3 3   15 24  0 40 0 0 1 3 1 4 7 5 8 • BÀI 2 Tính các tích phân hai lớp... y = rsinφ 1.5 0 x x  1 = - ÷ =  2 3 0 6 2 2 -1 1 -0.5 -1 -1.5 π ≤ ;2cosφ r≤ 4cosφ},| J |= r ≤ 4 2 4cosφ -2 π 4 rπ 1   dφ = 6 ∫ cos 2φdφ = 3  + ÷ 2 2cosφ  4 2 0 0 rdr = ∫ 2 BÀI TẬP TỰ GIẢI: BÀI 1 Tính các tích phân hai lớp sau: { } dxdy 1) x I = ∫∫, D' : {0φ 2 ≤ ;2cosφ D 4cosφ},| J |= r x 2 ,y = 0 : y = 1 = rcosφ π 2, HD :  ≤ r≤ ≤ π 1 4  y = rsinφ 1+ x + y D rdrπ HD : I = ∫ dφ ∫ = ln2 2... π 6 4) S(D) = ∫ dφ - π 6 2 cosφ 3 ∫ 1 rdr = 3 3 -π 18 0 2 4 5 TÍCH PHÂN BA LỚP • 1 Định nghĩa: • Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian Oxyz • Chia Ω thành n phần nhỏ Ω1, Ω2, …, Ωn không dẫm lên nhau với các thể tích ΔV1, ΔV2, …, ΔVn • Trên mỗi miền Ωk lấy mỗi điểm bất kì Mk(xk,yk,zk) n • Lập tổng tích phân: Sn = ∑ f(xk ,yk ,zk )ΔVk k=1 • Gọi maxd(Ωk) là đường kính... dxdy, D : { xy = 1, y = x,y = 3x, x ≥ 0, y ≥ 0} u = xy D x 2 3 1 1  HD :  ⇒ I = ∫ du ∫ dv = 1 y ⇒ D' : {1 ≤ u ≤ 2; 1 ≤ v ≤ 3},| J |= 2v 2 1 1 v = x  HD : I = ∫ dφ (cosφ + sinφ)dr = BÀI TẬP TỰ GIẢI: Tính các tích phân hai lớp sau: 5) I = ∫∫ xydxdy, D : { cycloit : x = t - sint = 1, y = 1- cost,0 ≤ t ≤ 2π} • D  x = t - sint HD :  ⇒ D' : {0 ≤ t ≤ 2π; 0 ≤ y ≤ 1- cost},| J |= 1- cost y = y 2π ⇒I=... chất của tích phân ba lớp: • Định nghĩa: • Mặt cong (S): f(x,y,z) gọi là trơn nếu hàm số f(x,y) khả vi liên tục • Mặt cong (S) gọi là trơn từng khúc nếu nó được chia thành hữu hạn mặt cong trơn • Định lí: • Cho hàm số f(x,y,z) xác định trên miền đóng, bị chặn Ω trong không gian Oxyz với biên là mặt cong trơn từng khúc thì f(x,y,z) khả tích trên Ω • Định lí: Cho hai hàm số f(x,y,z), g(x,y,z) khả tích. .. 40  4 3  0 12 0 1 y=1 2 π 3) I = ∫ x ( -cos(x + y) ) 0 π = 2 ∫ xcos(x 0 1 π 2 y=0 y= 3 π π dx = ∫ x[cosx - cos( + x)dx 2 0 π π π π   )dx = 2  xsin(x - ) + cos(x - ) ÷ =π - 2 4 4 4 0  Bài 3 Tìm cận lấy tích phân: I = ∫∫ f(x,y)dxdy D 1) D = {(x,y) ∈ R : x ≥ 0,y ≥ 0,x + y ≤ 2} 2 2) D = {(x,y) ∈ R 2 : x ≤ y, y ≤ 2x, x + y ≤ 6} 3) D = {(x,y) ∈ R 2 : x 2 ≤ y, y ≤ 4 - x 2 } • Lời giải: 2 2-x 1) I =... 0 2x 0 2 6-x 2) I = ∫ dx ∫ f(x, y)dy + ∫ dx ∫ f(x,y)dy 0 x 2 3) I = 1 - 2 g( x) =x x q( x) = 6-x 4-x 2 ∫ dx ∫ s( x) = 4-x2 4 2 h( x) = 2⋅ x f(x, y)dy r( x) = x2 x2 -5 - 2 0 -2 y=2-x 2 2 3 5 BÀI 4 Tính các tích phân hai lớp sau: 5  1) I = ∫∫ xydxdy, D :  xy = 1,x + y =  2  D 2 x 2) I = ∫∫ 2 dxdy, D : { xy = 1,x = 2,y = x} y D • Lời giải: 2 1) I = ∫ xdx 1 2 5 -x 2 ∫ 1 x 2 ydy = ∫ x 1 2 2 3 x 5... ∫ dθ ∫ e rdr = π 1- ÷  e D 0 0 -r 2 -r 2 Ví dụ 2: Tính diện tích hình elip: x2 y2 (E) : 2 + 2 ≤ 1 a b • Lời giải: • Đổi tọa độ cực suy rộng:  x = arcosθ 0 ≤ θ ≤ 2π ,D :  ;| J |= abr   y = brsinθ 0 ≤ r ≤ 1 ⇒ S(E) = ∫∫ dxdy = ∫∫ abrdθdr E D 1 r  = ab ∫ dθ ∫ rdr = 2abπ  ÷ = πab  2 0 0 0 2π 1 2 Tính thể tích vật thể: • 1 Thể tích của mặt trụ giới hạn trên bởi mặt • z = f(x,y) ≥ 0, giới hạn... g∀(x,y,x) ∈ Ω ⇒ ∫∫∫ fdV ≥ ∫∫∫ gdV Ω Ω Ω = Ω1 ∪ Ω2 6)  ⇒ ∫∫∫ fdV = ∫∫∫ fdV + ∫∫∫ fdV Ω1 ∩ Ω2 = ∅ Ω Ω1 Ω2 Định lí: Cho hai hàm số f(x,y,z) khả tích trên miền đóng, bị chặn Ω thì: ∃(x 0 ,y 0 ,z0 )Ω : ∈ f(x,y,z)dv = f(x ,y ,z ∫∫∫ 0 0 )V(Ω) 0 Ω • 3 Cách tính tích phân ba lớp: • Cho miền Ω giới hạn trên bởi mặt z = φ2(x,y), giới hạn dưới bởi mặt z = φ1(x,y), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ có đường sinh... ) 4 = πabc 3 0 • Ví dụ: • • • • Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt z = 4 – x2 – y2 và 2z = 2 + x2 + y2 Lời giải: Giao của hai mặt có hình chiếu xuông Oxy là đường tròn: x2 + y2 = 2 • Vậy: 1  2 2 2 2  V = ∫∫ (4 - x - y ) - (2 + x + y )  dxdy 2  x 2 +y 2 ≤ 2  2 3 2 2 = ∫∫2 (2 - x - y )dxdy = 2 3 x2 +y ≤2 2π 2 dθ ∫ (2 - r 2 )rdr = 3π ∫ 0 0 Diện tích mặt cong: • Cho mặt cong S có phương . Chương 5. TÍCH PHÂN BỘI. A. TÍCH PHÂN HAI LỚP. §1. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN HAI LỚP MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐƠN GIẢN . • 1 1 . f(x,y) dxdy S(D) 2. Các ví dụ: Tính các tích phân bội: Làm sao để tính ây ???đ Các em hãy tính tích phân sau? ∫∫ D I = xsinydxdy,D =ΔOAB : O(0;0),A(π;0),B(π;π)