Bai 16 TICH PHAN MAT LOAI 1

TÍCH PHÂN MẶT LOẠI NỘI DUNG 1.Định nghĩa mặt loại 2.Tính chất mặt loại 3.Cách tính mặt loại Định nghĩa tích phân mặt loại S mặt cong R3, f(x,y,z) xác định S Phân hoạch S thành mảnh Sk có diện tích ∆S , M ∈ S k k k n Tổng tích phân: Sn = ∑ f (Mk )∆Sk k =1 Sn: mặt loại f S ∫∫ f ( x , y , z)ds = nlim →∞ S Tính chất mặt loại 1/ Diện tích mặt cong S = ∫∫ 1ds S 2/ Tp mặt loại không phụ thuộc phía S 3/ Nếu S = S1 ∪ S2 ∫∫ S f ( x , y , z )ds = ∫∫ S1 f ( x , y , z )ds + ∫∫ S2 f ( x , y , z )ds Tính chất mặt loại 4/ Nếu S gồm phần S1 S2 đối xứng qua mp z = (Oxy) ∫∫ f ( x , y , z)ds = ∫∫ f ( x , y , z)ds = f chẵn theo z: S f lẻ theo z: S ∫∫ S1 f ( x , y , z )ds Cách tính mặt loại Nếu S phần mặt hữu hạn, có phương trình z = z(x, y), hình chiếu S lên Oxy miền D, 2 ds = + z′x + z′y dxdy : vi phân mặt ∫∫ S f ( x , y , z )ds = ∫∫ D 2 ′ ′ f ( x , y , z( x , y )) + zx + zy dxdy Cách tính mặt loại Tổng quát: B1: chọn cách viết phương trình mặt cong S (theo biến có số lần xuất pt mặt cong S mặt chắn) B2: tìm hình chiếu D S lên mp tương ứng (giống thể tích tích phân kép) B3: tính D S D Ví dụ 1/ Tính: I = ∫∫S 2 x + y ds mặt biên miền Ω: 2 x + y ≤ z ≤1 S gồm mặt nón 2 S1 : z = x + y , mặt phẳng S2 : z = hc S1 = hc S2 = D : x + y ≤ Oxy Oxy 2 S1 : z = x + y , 2 ′ ′ ⇒ ds = + zx + zy dxdy 2     x x = 1+  ÷ + ÷ dxdy  x2 + y ÷  x2 + y ÷     = 2dxdy 2 S2 : z = ⇒ ds = + z′x + z′y dxdy = dxdy z = 4− x −y 2 x + y = 2y 5/ Tính diện tích phần mặt trụ: 2z = x bị chắn mặt x − y = 0, y − x = 0, x=2 Phương trình mặt cong: y = x z= D = hc Ω : 2x Oxy 2y = x 2 x − y = 0, y − x = 0, x = 2 S = ∫∫ ds = ∫∫ + z′x + z′y 2dxdy S D y = ∫∫ + x dxdy 2y = x D 2 2x = ∫ dx ∫ x = 2x 2 + x dy = 13 x z= 2z = x D 6/ Tính diện tích phần mặt nón: z = x + y bị chắn mặt cầu: 2 x +y +z =2 D = hc Ω : x + y = Oxy S= ∫∫D 2 ′ ′ + (fx ) + (fy ) dxdy = ∫∫D 2dxdy = 2S (D) = 2π (S(D) diện tích hình trịn có R = 1) 7/ Tính diện tích phần mặt cầu: x + y + z = bị chắn mặt: x = z, z = 3x , x ≥ Phần mặt cầu gồm nửa S1 S2: y1,2 = ± − x − z Hình chiếu S1 S2 lên Oxz giống xác định bởi: 4 − x − z ≥ 0, D: ⇒ S = S1 + S2 z = x , z = 3x , x ≥ 4 − x − z ≥ 0, D: z = x , z = 3x , x ≥ 2 x z = x π z S1 = S2 = ∫∫ 2 + ( y ′x ) + ( y z′ ) dxdz D = ∫∫ D 2dxdz 4−x −z π = ∫π ∫ dϕ π S = S1 + S2 = y = 4−x −z 2rdr 4−r2 π = 12