Ví dụ và bài tập tích phân mặt

Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính sau I1 = òò xdydz + ydzdx + zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S phía ngồi vật thể gh ≤z ≤1-x2-y2 S I3 = òò y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, S z≥0 I4 = òò ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy S S phía ngồi phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 x I5 = òò zdxdy + ( + )dydz + ( y + z )dxdz S phía x S phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn -1≤y≤1 Bài tập tích phân mặt I1 = òò xdydz + ydzdx + zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 S Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt S Pt mặt S F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: Ñ F = (2 x,2y ,2z ) S phía tức pháp vecto S hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị “+” u r n = + ( x, y , z ), z ³ Tiếp theo, ta chọn cách: Tính trực tiếp chuyển mặt loại Bài tập tích phân mặt Với này, ta chuyển mặtu rloại cách dùng CT , với pháp vecto đơn vị n = (cos a,cos b,cos g) òò Rdxdy + Qdxdz + Pdzdy S = òò( P cos a + Q cos b + R cos g) ds S u r Từ I1 = òò xdydz + ydzdx + zdxdy , n = + ( x, y , z ), z ³ S 2 Suy ra: I1 = òò ( x + y + z ) ds S Với mặt loại này, ta có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) 2dxdy 2 Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds = 2 4- x - y Bài tập tích phân mặt 2dxdy I1 = òò Vậy: Dxy - x2 - y 2 dr x=rcosφ 2p ò dj ò r y=rsinφ 4- r =16π Bài tập tích phân mặt I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S phía ngồi vật thể gh 0≤z≤1-x2-y2 S Mặt S gồm mặt: S1 phía mp z=1, S2 phía mặt paraboloid z=1-x2-y2 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt S1: ur n1 = - (0,0,1) Và pháp vecto đơn vị mặt S2: uu r n2 = + (2 x,2y ,1) 2 x + y +1 Bài tập tích phân mặt Ta tính mặt S1 cách ur chuyển mặt loại S1 mặt phẳng có n1 = - (0,0,1) I21 = òò zdxdy + y 2dxdz = òò ( (- 1)z ) ds = S1 ( z=0) Còn mặt S2 ta tính trực tiếp I22 = òò zdxdy + y 2dxdz S2 Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 uu r Pháp vecto: n2 = + (2 x,2y ,1) → cosγ>0 x + y +1 p 2 Suy ra: I221 = +òò (1- x - y )dxdy ↔ I221 = Dxy Bài tập tích phân mặt 2 I = y dxdz Pt mặt: y =z+x -1 Tp theo dxdz: 222 òò S2 uu r (2 x,2y ,1) Suy ra: Pháp vecto: n2 = + 2 x + y +1 cosβ dấu với y, tức ta phải chia S2 thành nửa ứng với y dương y âm Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên nửa đối xứng qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 nửa Do đó, I222 chia thành mà sau chuyển kép tổng kép trái dấu Tức là: I222=0 Vậy: I2 = I21 + I221 + I222 = p Bài tập tích phân mặt I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S phía ngồi vật thể gh 0≤z≤1-x2-y2 S S mặt cong kín phía ngồi nên ta áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh CT Gauss: òò Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S = ±òòò (Px¢+ Qy¢+ Rz¢)dxdydz V Ta có: I2 = +òòò (0 + 2y +1)dxdydz V Bài tập tích phân mặt I2 = +òòò (0 + 2y +1)dxdydz V I2 = 1- x - y òò dxdy x +y £ 2p 0 ò (2y +1)dz I2 = ò dj ò r (2r sin j +1)(1- r )dr p I2 = Bài tập tích phân mặt I3 = òò y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S phía nửa mặt cầu x2+y2+z2=4, S z≥0 Nhận xét: Pt mặt S chẵn với biến x, y nên tính theo dydz, dzdx ta chia S thành nửa đối xứng có pháp vecto tương ứng ngược dấu Vậy trở thành tổng kép có miền lấy nhau, hàm dấu trái dấu Bài tập tích phân mặt Từ ta được: I31 = òò y 2dxdz = S I32 = òò x 2dydz = S Còn lại thứ ba: I33 = - òò zdydx S Pt mặt S (z dương): z = - x - y Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 S phía tức pháp vecto quay xuống so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0 2 16p Vậy: I = I = x y dxdy = òò 31 x +y £ Bài tập tích phân mặt I4 = òò ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy S S phía ngồi phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Ta viết lại pt mặt S: F ( x, y , z ) = x + y - z(= 0) ổ x y ỗ ẹF =ỗ , ,ỗ ỗ è x2 + y x2 + y S phía ngồi nón tức pháp vecto quay xuống di, cos0 nờn u r ổ x y ỗ n =+ ỗ , ,ỗ 2ỗ ố x2 + y x2 + y ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ø Bài tập tích phân mặt Đưa I4 mặt loi vi ổ u r ỗ x y n =+ ỗ , ,ỗ 2 2 2ỗ x +y è x +y ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ø I4 = òò ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy S é ù x y ú I4 = ( y z ) + ( z x ) + ( 1)( x y ) òò ê ú 2 2 S ê x +y x +y ê ú ë û é ù - xz + yz ê úds I4 = + ( 1)( x y ) òò ê ú 2 S ê ú ë x +y û I4 = 2( y - x ) 2dxdy = òò x +y £1 ... đơn vị mặt S1: ur n1 = - (0,0,1) Và pháp vecto đơn vị mặt S2: uu r n2 = + (2 x,2y ,1) 2 x + y +1 Bài tập tích phân mặt Ta tính mặt S1 cách ur chuyển mặt loại S1 mặt phẳng có n1 = - (0,0,1) I21... 2y +1)dxdydz V Bài tập tích phân mặt I2 = +òòò (0 + 2y +1)dxdydz V I2 = 1- x - y òò dxdy x +y £ 2p 0 ò (2y +1)dz I2 = ò dj ò r (2r sin j +1)(1- r )dr p I2 = Bài tập tích phân mặt I3 = òò y 2dzdx... =16π Bài tập tích phân mặt I2 = òò zdxdy + y 2dxdz S phía ngồi vật thể gh 0≤z≤1-x2-y2 S Mặt S gồm mặt: S1 phía mp z=1, S2 phía mặt paraboloid z=1-x2-y2 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị mặt