TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1 1. C xydl, ∫ C là chu vi hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2). 2. C (x y)dl,− ∫ C : 2 2 x y ax. + = 3. 2 2 2 C (x y z )dl,+ + ∫ C: x acost, y asin t, z bt,0 t 2π (a,b,c 0).= = = ≤ ≤ > 4. C (x y)dl+ ∫ , C có dưới dạng vectơ r t. i (1 t). j, 0 t 1. → → → = + − ≤ ≤ 5. C xyzdl ∫ , C là giao tuyến của 2 2 2 2 2 2 2 R x y z R , x y 4 + + = + = lấy phần x 0,y 0,z 0.≥ ≥ ≥ 6. C xydl, ∫ C: 2 2 2 2 x y 1, x 0, y 0. a b + = ≥ ≥ 7. 2 2 C 2y z dl,+ ∫ C: giao tuyến của 2 2 2 2 x y z a , x y.+ + = = 8. 2 C x dl, ∫ C: giao tuyến của 2 2 2 2 x y z a , x y z 0.+ + = + + = 9. Tính khối lượng cung parabol 2 1 y 2x,0 x 2 = ≤ ≤ nếu hàm mật độ của cung parabol là (x,y) |y|. ρ = 10. Xác định tọa độ trọng tâm của cung Cycloit đồng chất x a(t sint),= − y a(1 cost),0 t= − ≤ ≤ π với (x,y) 1.ρ = Đáp án: 2 2 2 2 2 2 a 2 1) 24 2) 3) a b (3a 4b ) 2 3 π π + + π 4 2 2 R 3 ab(a ab b ) 4) 2 5) 6) 32 3(a b) + + + 3 2 0 0 2 a 2 4a 7) 2 a 8) 9) (2 2 1) 10) x y 3 3 3 π π − = = TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 1. 2 2 C (x y) dx (x y) dy,− + + ∫ C là biên tam giác OAB với O(0,0), A(2,0), B(4,2) theo chiều dương a) Tính trực tiếp. b) Dùng công thức Green. 2. 2 C ydx (y x )dy,− + ∫ C : 2 y 2x x , y 0= − ≥ ngược chiều kim đồng hồ. 3. 2 C (xy 1)dx x ydy,− + ∫ C đi từ A(1,0) đến B(0,2) theo các đường a) Đường thẳng nối A và B. b) Đường parabol 2 y x 1 4 = − . 4. C |x y|dy,− ∫ C là một phần tư đường tròn 2 2 2 x y R+ = đi từ (R,0) đến (0,R). 5. 2 2 2 C xy dx yz dy x zdz,+ − ∫ C là đoạn OA với O(0,0,0), A(-2,4,5). 6. 2 2 C x ydx x dy,+ ∫ C là biên của miền giới hạn bởi 2 2 y x, x y= = theo chiều dương. 7. C xydx ydy yzdz,+ + ∫ C là giao tuyến của 2 y x , x z 0= − = đi từ (0,0,0) đến (1,1,1). 8. 3 2 2 C x (x ycos(xy))dx ( xy x xcos(xy))dy, 3 + + + − + ∫ C là nửa trên đường tròn 2 2 2 x y a , y 0+ = ≥ lấy ngược chiều kim đồng hồ. 9. Tính các tích phân đường a) (3,2) 2 2 (1,1) xdx ydy x y + + ∫ theo đường cong không đi qua gốc O. b) (1,2) 2 (2,1) ydx xdy x − ∫ theo đường cong không cắt trục Oy. c) (a,b) x (0,0) e (cosydx sinydy)− ∫ . 10. Tìm số a,b để tích phân 2 2 2 2 C (1 ax )dy 2bxydx (1 x ) y − + − + ∫ không phụ thuộc vào đường đi với C là đường cong không đi qua điểm (1,0) và (-1,0). 11. Tìm số m N ∈ để tích phân 2 2 m C (x y)dx (x y)dy (x y ) − + + + ∫ không phụ thuộc vào đường đi với C là đường cong không đi qua gốc O và chỉ rõ hàm U(x,y) sao cho dU Pdx Qdy. = + 12. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong sau nhờ tích phân đường: a) 2 y 0,y 1 x .= = − b) 2 y x,y x .= = c ) 1 x y x, y ,y (x 0,y 0). x 4 = = = ≥ ≥ d ) x acost, y bsin t,0 t 2π.= = ≤ ≤ Đáp án: 2 17 R 1)16 2) 4 3) a)1 b) 4) 15 2 − 4 2 3 3 a a 2a 5) 91 6) 7) 1 8)( ) 14 4 2 3 π π − − a 3 9) a)ln 13 ln 2 b) c)e cosb 1 10) a b 1 2 − − − = = 2 2 1 y 11) m 1, U(x, y) ln(x y ) arctg C 2 x = = + + + 4 1 12) a) b) c)ln 2 d) ab 3 6 π . 2 2 2 2 2 2 a 2 1) 24 2) 3) a b (3a 4b ) 2 3 π π + + π 4 2 2 R 3 ab(a ab b ) 4) 2 5) 6) 32 3(a b) + + + 3 2 0 0 2 a 2 4a 7) 2 a 8) 9) (2 2 1) 10 ) x y 3 3 3 π π − = = TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 1. . 3) a )1 b) 4) 15 2 − 4 2 3 3 a a 2a 5) 91 6) 7) 1 8)( ) 14 4 2 3 π π − − a 3 9) a)ln 13 ln 2 b) c)e cosb 1 10) a b 1 2 − − − = = 2 2 1 y 11 ) m 1, U(x, y) ln(x y ) arctg C 2 x = = + + + 4 1 12) a). sinydy)− ∫ . 10 . Tìm số a,b để tích phân 2 2 2 2 C (1 ax )dy 2bxydx (1 x ) y − + − + ∫ không phụ thuộc vào đường đi với C là đường cong không đi qua điểm (1, 0) và ( -1, 0). 11 . Tìm số m N ∈ để tích phân