bài tập tích phân đường loại 1 2

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 11... TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 21.. b Dùng công thức Green.

TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 1

1 C

xydl,



C là chu vi hình chữ nhật ABCD với A(0,0), B(4,0), C(4,2), D(0,2)

2 C

(x y)dl,



C : x2 y2 ax.

3

C

(x y z )dl,



C: x a cos t, y a sin t, z bt,0 t 2π (a,b,c 0).     

4 C

(x y)dl



, C có dưới dạng vectơ r t i (1 t) j, 0 t 1.

5 C

xyzdl



, C là giao tuyến của

2

x y z R , x y

4

lấy phần

x 0, y 0,z 0.  

6 C

xydl,



C:

1, x 0, y 0

7

C

2y z dl,



C: giao tuyến của x2 y2 z2 a , x y.2  8

2

C

x dl,



C: giao tuyến của x2 y2 z2 a , x y z 0.2   

9 Tính khối lượng cung parabol

y 2x,0 x

2

nếu hàm mật độ của cung parabol là (x, y) |y|  

10 Xác định tọa độ trọng tâm của cung Cycloit đồng chất x a(t sint), 

y a(1 cos t),0 t    với (x, y) 1. 

Đáp án:

2



R 3 ab(a ab b )

 



3 2



TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2

1

C

(x y) dx (x y) dy,  



C là biên tam giác OAB với O(0,0), A(2,0), B(4,2) theo chiều dương

a) Tính trực tiếp

b) Dùng công thức Green

2

2 C

ydx (y x )dy, 



C : y 2x x , y 0  2  ngược chiều kim đồng hồ

3

2 C

(xy 1)dx x ydy, 



C đi từ A(1,0) đến B(0,2) theo các đường a) Đường thẳng nối A và B

b) Đường parabol

2

y

x 1

4

 

4 C

|x y|dy,



C là một phần tư đường tròn x2 y2 R2 đi từ (R,0) đến (0,R)

5

C

xy dx yz dy x zdz, 



C là đoạn OA với O(0,0,0), A(-2,4,5)

6

C

x ydx x dy,



C là biên của miền giới hạn bởi y2 x, x2 y theo chiều dương

7 C

xydx ydy yzdz, 



C là giao tuyến của y x , x z 0 2   đi từ (0,0,0) đến (1,1,1)

8

3

C

x (x ycos(xy))dx ( xy x xcos(xy))dy,

3



C là nửa trên đường tròn

x y a , y 0 lấy ngược chiều kim đồng hồ

9 Tính các tích phân đường

a)

(3,2)

(1,1)

xdx ydy

x y







theo đường cong không đi qua gốc O

b)

(1,2)

2 (2,1)

ydx xdy x





theo đường cong không cắt trục Oy

c)

(a,b) x (0,0)

e (cosydx sinydy)



10 Tìm số a,b để tích phân

2

C

(1 ax )dy 2bxydx (1 x ) y



không phụ thuộc vào đường

đi với C là đường cong không đi qua điểm (1,0) và (-1,0)

11 Tìm số m N

để tích phân

C

(x y)dx (x y)dy (x y )





không phụ thuộc vào đường đi với C là đường cong không đi qua gốc O và chỉ rõ hàm U(x,y) sao cho

dU Pdx Qdy. 

12 Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi các đường cong sau nhờ tích phân đường:

a) y 0, y 1 x    2

b) y x, y x   2

c)

1 x

y x, y , y (x 0, y 0)

x 4

d) x a cos t, y bsin t,0 t 2π.   

Đáp án:

2

1)16 2) 4 3) a)1 b) 4)



a

3 9) a)ln 13 ln 2 b) c)e cosb 1 10) a b 1

2



11) m 1, U(x, y) ln(x y ) arctg C

12) a) b) c)ln 2 d) ab