Điều kiện để tích phân đường loại 2 trong không gian không phụ thuôc vào đường đi. Định lý: Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trong một miền mở đơn liên D. Khi đó các mệnh đề sau tương đương: 1) Trong D ta có: Q P R Q R P , , . x y y z x z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2) Tích phân Pdx + Qdy + Rdz AB ∫ chỉ phụ thuộc vào hai nút A, B mà không phụ thuộc đường cong trơn từng khúc nối A với B nằm trong D. 3) Tồn tại U(x,y,z) sao cho Pdx + Qdy + Rdz là vi phân toàn phần của U, tức là: dU = Pdx +Qdy + Rdz 4) 0 Pdx + Qdy + Rdz C = ∫ với mọi chu tuyến kín C, trơn từng khúc trong D. Chú ý: Khi khẳng định được tích phân không phụ thuộc vào đường đi, nếu: a) Chưa biết hàm U thì tích phân đường có thể tính theo các đường gấp khúc song song với các trục tọa độ. Giả sử, có điểm 0 0 0 1 1 1 A(x , y ,z ), B(x ,y ,z ) thì lấy thêm 2 điểm 1 0 0 1 1 0 C(x , y ,z ), D(x , y ,z ), khi đó 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 (x ,y ,z ) x y z 0 0 1 0 1 1 (x ,y ,z ) x y z ,z ) ,z ) , z) (*)Pdx + Qdy + Rdz P(x, y dx Q(x , y dy + P(x ,y dz.= + ∫ ∫ ∫ ∫ b) Tìm được U trong mệnh đề 3), thì khi đó ta có: AB U(B) - U(A). (**) Pdx + Qdy + Rdz = ∫ Ví dụ 1: Tính π ( 1, ,2) 2 x x (0,0,0) I cos y yz) siny) .(e dx +(xz -e dy + (xy + z)dz − = + ∫ Ta có: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Q P R Q R P , , x y y z x z ( tự kiểm tra). Vậy tích phân không phụ thuộc vào đường đi. Áp dụng công thức (*), ta có: π 1 2 2 x 1 0 0 0 π I e e siny ( + z) 2π. 2 dx dy + dz − − = + − − = − ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính ( 1,2,1) (1,0,2) I x . ydx + dy + 4dz − = ∫ Ta có P = y, Q = x, R = 4 thỏa điều kiện: 1 0 0 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ Q P R Q R P , , . x y y z x z Suy ra U : dU = Pdx + Qdy + Rdz ∃ ' x ' y ' z U y (1) U x (2). U 4 (3) = ⇒ = = Từ (1) U(x, y,z) ydx + f (y,z) yx + f (y,z).⇒ = = + ∫ Do (2) ' ' ' y y y U(x, y,z) yx + f (y,z) U x f x f 0 f g(z)= + ⇒ = + = ⇒ = ⇒ = (f không là hàm không phụ vào y). (3) ' z U(x, y,z) yx + g(z) U h '(z) 4 h(z) 4z C.= ⇒ = = ⇒ = + Vậy: U(x, y,z) yx + 4z C. = + Theo công thức (* *), ta có: I U( 1,2,1) U(1,0,2) 2 8 6. = − − = − = − . phân không phụ thuộc vào đường đi. Áp dụng công thức (*), ta có: π 1 2 2 x 1 0 0 0 π I e e siny ( + z) 2 . 2 dx dy + dz − − = + − − = − ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính ( 1 ,2, 1) (1,0 ,2) I x . ydx + dy + 4dz − = ∫ . Điều kiện để tích phân đường loại 2 trong không gian không phụ thuôc vào đường đi. Định lý: Cho P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) và các đạo hàm. Chưa biết hàm U thì tích phân đường có thể tính theo các đường gấp khúc song song với các trục tọa độ. Giả sử, có điểm 0 0 0 1 1 1 A(x , y ,z ), B(x ,y ,z ) thì lấy thêm 2 điểm 1 0 0 1 1 0 C(x