Bài tập 11: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến a... Tính giá trị của biểu thức a.. BÀI TẬP SO SÁNH 1... Bài tập 2: Chứng minha.
Trang 1HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT BÀI TẬP HÀM SỐ MŨ
Hàm số mũ có dạng y = ax(0 < a ≠ 1)
Tập XÁC ĐỊNH: D = R
Đạo hàm y’ = axln a
Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R
Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R
Giới Hạn: x
xlim a 0
nếu a > 1 và x
xlim a 0
nếu 0 < a < 1
→ Trục Ox (y = 0) là tiệm cận ngang
Giá trị đặc biệt: x = 0 → y = 1; x = 1 → y = a
y = axluôn dương với mọi x
Công thức cơ bản hàm số mũ
a0= 1; 1a= 1; a–m= 1m
a ; (am)ⁿ = am.n; man amn
Các công thức cùng cơ số
am.an= am+n; amn
a = am–n Các công thức khác cơ số
am.bm= (ab)m; m m
m
( )
Bài tập 1: Đơn giản biểu thức (giả thiết tất cả đều có nghĩa)
1
b B = (a nn b nn a nn b nn
c C = xa 1 ax 1 (a 11 x 11 a 11 x 11)
Bài tập 2: Cho a, b là hai số dương Rút gọn các biểu thức
c C = ( a3 3 b)(a23b23 3 ab)
d D = 13 13 3 a 3 b 1
Trang 2f F = 2
2
2
2a
2
1 3 3
3
(1 2 ) a
a
a 2 ab 4b
Bài tập 3: Tính giá trị biểu thức
b B =
3 3
5 2
10 5
2 3 y
Bài tập 4: Rút gọn biểu thức
a A = {[(3 5 ) : 2 ]:[16 : (5 2 3 )]}32 53 74 13 14 12 12 b B = 4 0,25 9 32 3
4
Bài tập 5: Chứng minh a23a b4 2 b23 b a4 2 ( a3 2 3 b )2 3
Bài tập 6: Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức P = 3 847 3 847
8 8
1
Bài tập 8: Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức
a A = 5 2 2 2 3 b B = a a a a : a1611 (a > 0) c C = 5 b a3
a b (ab ≠ 0)
Bài tập 9: Đơn giản biểu thức
a A = a a : aπ 4 2 4π b B = (a ) a2 3 3 3 6 c C = a2 22 b2 33 2 1
d D = (a2 3 1)(a4 32 3 a33 a3 3)
2 5 5 7 2 7
Bài tập 10: Xét tính đơn điệu của hàm số y = 2x 2 x
2
Từ đó so sánh 2³ – 2–³ và 2² – 2–²
Bài tập 11: Các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến
a y = π x
( )
3 2 c y = 5.
BÀI TẬP LOGARIT
Định nghĩa: Hàm số y = logax (0 < a ≠ 1) xác định khi x > 0
logax = b <=> x = ab (b được gọi là logarit cơ số a của x)
Chú ý: Khi cơ số a = e thì loge= ln x được gọi là logarit tự nhiên
Trang 3Khi cơ số a = 10 thì log10x = log x = lg x được gọi là logarit thập phân.
Các công thức logarit: với 0 < a ≠ 1; 0 < b ≠ 1; x > 0; y > 0
loga1 = 0; logaa = 1; logaxα= αlogax; aβ a
1
β
; alog x a = x
loga(xy) = logax + logay
loga(x
y) = logax – logay
logbx = a
a
log x
log b hay logab logb x = logax
logax =
x
1
log a
Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số
a y = 1
2
x 1
log
x 5
b y =
2
5
x 3
x 3 log
x 1
d y = lg (–x² + 3x + 4) +
2
1
x x 6 e y =
x 1 log 2x 3
Bài tập 2: Tính giá trị của biểu thức
1 1
log 4 log 8 log 2
4 2
4
1 log 3 3log 5
1 log 5 2
5
1log 9 log 6
log 4 2
72(49 5 ) d 36log 5 6 101 lg 2 3log 36 9
Bài tập 3: Tính giá trị của biểu thức
a A = log915 + log9 18 – log910 b B = 3
1
2
6
1
2
4
log (log 4.log 3)
e E = log (2sin2 π) log cos2 π
log ( 7 3) log ( 49 21 9)
g G = log10tan 2 + log10cot 2 h H = log4x + log4x³ – 2log2x + 6log48
Bài tập 4: Tính giá trị của biểu thức
a A = 2
a
a
log
a a
c C = log tan 1° + log tan 2° + + log tan 89°
d D = log32 log43 log54 log1514 log1615
Bài tập 5: Chứng minh rằng nếu a² + b² = c²; a, b, c > 0; c + b ≠ 1; c – b ≠ 1; a ≠ 1 thì logc+b a + logc–ba = 2logc+ba logc–ba
Trang 4Bài tập 6: Giả sử a, b là hai số dương thỏa mãn a² + b² = 7ab Chứng minh rằng lna b ln a ln b
Bài tập 7: Tính theo a, b các logarit sau
a A = log616 Biết log1227 = a b B = log12530 Biết log 3 = a và log 2 = b
c C = log3135 Biết log25 = a và log23 = b d D = log4932 Biết log214 = a
Bài tập 8: Rút gọn biểu thức P = (logab + logba + 2)(logab – logabb)logba – 1
Bài tập 9: Biết logab = 3; logac = –2 Tính giá trị của biểu thức
a loga(a³b² c) b loga( a c b4 32 2 4
b a c )
Bài tập 10 Cho log2x = 2 Tính giá trị của biểu thức A = log2 x² + log1/2x³ + log4x
BÀI TẬP SO SÁNH
1 So sánh các số mũ
1 Nếu a > 1: am> aⁿ <=> m > n 2 Nếu 0 < a < 1: am> aⁿ <=> m < n
3 Nếu 0 < a < b: aⁿ < bⁿ <=> n > 0 4 Nếu 0 < a < b: aⁿ > bⁿ <=> n < 0
Nếu so sánh hai căn không cùng bậc, thì đưa hai số về cùng bậc rồi so sánh
Bài tập 1: So sánh các cặp số sau
a 330 và 520 b 17 và 328 c 1 3
( )
( )
2
e 5 25
( )
7
và 1f 0,765 và 0,713 g 202303 và 2
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau
a y = 3.3 x 2 x b y = 0,51–sin 2x c y = 2
x
1 x
e
2 So sánh logarit
Trường hợp 2 số có cùng cơ số, ta áp dụng qui tắc sau:
Nếu a > 1 thì logax > logay <=> x > y
Nếu 0 < a < 1, logax > logay <=> x < y
Trường hợp 2 số khác cơ số, dùng số trung gian
Ví dụ so sánh hai số log3 4 và log4 3 Ta có: log34 > 1 = log44 > log43
Bài tập 1 So sánh
a 2log 3 5 và log5 1
2
3 b log3 2 và log2 3 c log23 và log3 11
d 4log 3 log (1/3) 2 4 và 18 e 6 6
1 log 2 log 5 2
1 ( ) 6
và 318 f log29 và log590
g log3 5 và log7 4 h 2ln e³ và 8 – ln (1/e)
Trang 5Bài tập 2: Chứng minh
a log1/23 + log3(1/2) + 2 < 0 b 4log 7 5 7log 4 5 c log37 + log73 – 2 > 0
Bài tập 3: So sánh
a log3(6/5) và log3 (5/6) b log1/319 và log1/317 c log e và log π
ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT
(ax)’ = axln a → (au)’ = u’.auln a
(ex)’ = ex→ (eu)’ = u’.eu
(ln x)’ = 1
x → (ln u)’ = u '
u
(logax)’ = 1
x ln a → (logau)’ = u '
u ln a
Bài tập 1: Tính đạo hàm các hàm số
a y = (x² – 2x)ex b y = (sin x – cos x) e2x c y = exx e xx
d y = ln (x² + 1) e y = ln x
x f y = (1 + ln x) ln x
Bài tập 2: Tính đạo hàm các hàm số
a y = x² ln x21 b log2 (x² – x + 1) c y = 23ln x2
d y = log3 x 2
x 3
e y = ln (
x 1
x 1
)