VẬN DỤNG dạy học PHÁT HIỆN và GIẢI QUYẾT vấn đề TRONG dạy học bài tập HÌNH học lớp 10 PHẦN PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRONG mặt PHẲNG

Dạy học giải Toán với tư cách là một nghệ thuật, với tính hướng đích là bổi dưỡng năng lực sáng tạo, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề thì dù ở môn học này hay môn học khác đều phả

PHI THANH NGA

VẬN DỤNG DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TRONG DẠY HỌC BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 10 PHẦN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

2006

1.1 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.1 Vấn đề:

Một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thỏa mãn các điều kiện sau:

- Câu hỏi chưa được giải đáp (yêu cầu hành động chưa được thực hiện)

- Chưa có một phương pháp có tính chất thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Vấn đề mang một ý nghĩa khách quan như vậy thật ra ít xuất hiện trong dạy học Toán cũng như trong dạy học nói chung Để có thể vận dụng một cách có hiệu quả khái niệm vấn đề trong giáo dục, người ta thường hiểu khái niệm này như sau: Một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề và câu hỏi (hoặc yêu cầu hành động) thỏa mãn các điều kiện sau:

- Học sinh chưa giải đáp được câu hỏi đó hoặc chưa thực hiện được hành động đó

- Học sinh chưa được học một quy tắc có tính chất thuật toán nào để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra

Hiểu theo nghĩa ở trên thì vấn đề không đồng nghĩa với bài tập Những bài tập chỉ nêu yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng một quy tắc có tính chất thuật toán [11] (trang 185)

1.1.2 Tình huống gợi vấn đề:

Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho học sinh những khó khăn về

lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay lập tức nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức có sẵn

Như vậy, một tình huống gợi vấn đề cần thỏa mãn các điều sau:

a Tồn tại một vấn đề: tình huống phải bộc lộc mâu thuẫn giữa thực tiễn với

trình độ nhận thức, chủ thể phải ý thức trước một khó khăn trong tư duy hoặc hành động mà vốn hiểu biết sẵn có chưa đủ để vượt qua

b Gợi nhu cầu nhận thức: Nếu tình huống có vấn đề nhưng nếu học sinh

thấy nó xa lạ, không muốn tìm hiểu thì cũng chưa phải là tình huống gợi vấn đề Trong tình huống gợi vấn đề, học sinh phải cảm thấy cần thiết, thấy có nhu cầu cần giải quyết vấn đề đó

c Gây niềm tin ở khả năng: Nếu một tình huống tuy có vấn đề và vấn đề tuy

hấp dẫn, nhưng nếu học sinh cảm thấy nó vượt quá xa so với khả năng của mình thì họ cũng không sẵn sàng giải quyết vấn đề Cần làm cho học sinh thấy rõ tuy

họ chưa có ngay lời giải, nhưng đã có một số kiến thức liên quan đến vấn đề đặt

ra và nếu họ tích cực suy nghĩ thì có nhiều hi vọng giải quyết được vấn đề đó Phải thỏa mãn cả điều kiện đó nữa thì tình huống mới có tính chất gợi vấn đề

1.1.3 Đặc trưng của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề có những đặc trưng sau đây:

a Học sinh được đặt vào một tình huống gợi vấn đề

b Học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình để giải quyết vấn đề

c Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho học sinh lĩnh hội được kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy

1.1.4 Các hình thức và mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

Theo Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy [11] (trang 189, 190), tùy vào mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề, người ta nói tới các cấp

độ khác nhau, cũng đồng thời là những hình thức khác nhau của dạy học giải quyết vấn đề:

a Tự nghiên cứu vấn đề: Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của người

học được phát huy cao độ Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống gợi vấn đề, người học

tự phát hiện và giải quyết vấn đề đó

b Đàm thoại giải quyết vấn đề: Trong đàm thoại giải quyết vấn đề, học trò

giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà là có sự gợi ý dẫn dắt của thầy khi cần thiết Phương tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò

c Thuyết trình giải quyết vấn đề: Ở hình thức này, mức độ độc lập của học

sinh thấy hơn ở hai hình thức trên Thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề, sau

đó chính bản thân thầy giáo đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải quyết vấn đề chứ không phải chỉ đơn thuần nêu lời giải Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có lúc thành công, có phải thất bại phải điều chỉnh phương hướng

mới đi đến kết quả Như vậy, kiến thức được trình bày không phải dưới dạng có sẵn mà là trong quá trình khám phá ra chúng, quá trình này là sự mô phỏng và rút gọn quá trình khám phá thực

Các hình thức gợi vấn đề như trên thì theo GS Phan Trọng Ngọ [13] (trang 118,119), ta cũng có 4 mức độ của phương pháp dạy học này là:

- Mức độ 1: Gợi mở vấn đề nghĩa là giáo viên nêu và giải quyết vấn đề, còn

học sinh chú ý học tập nêu vấn đề và giải quyết vấn đề do giáo viên làm mẫu

- Mức độ 2: Dẫn dắt học sinh giải quyết vấn đề nghĩa là giáo viên nêu vấn

đề rồi tổ chức, lãnh đạo học sinh tham gia giải quyết một trong các vấn đề đó

- Mức độ 3: Học viên tự giải quyết tình huống có vấn đề nghĩa là giáo viên

nêu vấn đề rồi tổ chức, lãnh đạo cho học sinh độc lập giải quyết toàn bộ vấn đề

- Mức độ 4: Tạo ra tình huống có vấn đề nghĩa là ở mức độ này học sinh

chủ động tạo ra tình huống có vấn đề, lập kế hoạch triển khai và tự nghiên cứu tìm tòi tri thức và cách thức giải quyết Đây là mức độ cao nhất của dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Theo Nguyễn Bá Kim [11] (trang 189, 190), dạy học giải quyết vấn đề có thể thực hiện bằng các hình thức sau:

1.Giáo viên thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề

2.Thầy trò vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề

3 Người học hợp tác phát hiện và giải quyết vấn đề

4.Người học độc lập phát hiện và giải quyết vấn đề

1.1.5 Thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề:

Ở mục 1.1.3 đã cho biết thế nào là dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Từ đó

ta thấy hạt nhân của cách dạy học này là việc điều khiển học sinh tự thực hiện hoặc hòa nhập vào quá trình nghiên cứu Quá trình này có thể chia thành các

bước sau đây, và các bước được thực hiện dựa các mức độ được chia ở mục 1.1.4

Bước 1: Phát hiện hoặc thâm nhập vấn đề

 Phát hiện vấn đề từ một tình huống gợi vấn đề (thỏa mãn các điều kiện nêu ở mục 1.1.2) thường do thầy tạo ra Có thể liên tưởng những cách suy nghĩ tìm tòi, dự đoán, gợi động cơ mở đầu

 Giải thích và chính xác hóa tình huống (khi cần thiết) để hiểu đúng vấn đề được đặt ra

 Phát biểu vấn đề và đặt mục tiêu giải quyết vấn đề đó

Bước 2: Tìm giải pháp: Tìm một cách giải quyết vấn đề thường được thực hiện theo sơ đồ hình 1.1

Bước 3: Trình bày giải pháp

Khi đã giải quyết được vấn đề đặt ra, người học trình bày lại toàn bộ từ việc phát biểu vấn đề cho tới giải pháp Nếu vấn đề là một đề bài cho sẵn thì có thể không cần phát biểu lại vấn đề Trong khi trình bày, cần tuân thủ các chuẩn mực đề ra như ghi rõ giả thiết , kết luận đối với bài toán chứng minh, phân biệt các phần: phân tích, cách dựng, chứng minh, biện luận đối với bài toán dựng hình, giữ gìn

vở sạch, chữ đẹp

Bước 4: Nghiên cứu sâu giải pháp

 Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả

 Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lật ngược vấn đề, … và giải quyết nếu có thể

1.1.6 Những cách thông dụng để tạo ra tình huống có vấn đề trong dạy học môn Toán

Để thực hiện dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề, điểm xuất phát là tình huống có vấn đề Một số giáo viên nghĩ rằng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề tuy hay nhưng ít thực hiện do khó tạo được những tình huống

có vấn đề Để xóa bỏ những ấn tượng không đúng đó, có thể nêu một số tình huống gợi vấn đề một cách phổ biến, rất dễ gặp và dễ thiết lập Chẳng hạn có thể tạo ra tình huống có vấn đề theo các cách sau đây:

1.1.6.1 Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm ( nhờ đo đạc tính toán…)

Ví dụ: Cho vectơ a2; 3  và vectơ 1;3

a  u và ,

a u cùng phương và ngược hướng Phải chăng 2 vectơ a u sao cho ,

( 0)

aku k  thì a và u cùng phương, cụ thể là nếu k>0 thì a và u cùng hướng, k<0 thì a và u ngược hướng?

1.1.6.4 Khái quát hóa

Ví dụ: Từ hệ thức tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB, ta có thể tìm ra hệ thức tọa độ trọng tâm của tam giác ABC

1.1.6.5 Giải bài tập cho người chưa biết thuật giải

Ví dụ: Tìm điểm đối xứng của điểm A(1;2) qua đường thẳng d : 3x4y 2 0

1.1.6.6 Tìm sai lầm trong lời giải

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy có đường tròn     2 2

C x  y  Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua điểm M(5;4)

Học sinh giải như sau:

Đường tròn (C) có tâm I(2;-1) và bán kính R=3

Gọi k là hệ số góc của phương trình đường thẳng ∆ đi qua M(5;4) Khi đó ∆ có dạng:yk x   5 4 kx y 5k 4 0

Vì ∆ tiếp xúc với (C) nên d I ; R

ta thấy lời giải rất chặt chẽ và có duy nhất một tiếp tuyến nhưng điểm M nằm ngoài đường tròn do đó qua M sẽ phải có 2 tiếp tuyến của đường tròn (C) Như vậy còn 1 tiếp tuyến nữa ở đâu? Và lời giải sai ở chỗ nào?

Giáo viên chỉ ra cho học sinh còn 1 lớp các đường thẳng không có hệ số góc, đó

là các đường thẳng song song với trục Oy Trong đó đường thẳng x5 tiếp xúc với đường tròn (C) và đi qua điểm M Vì vậy khi sử dụng hệ số góc, ta phải xét trường hợp song song với trục Oy

Để tránh tình trạng ở trên, ta nên sử dụng phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n a b; 0, phương trình đường thẳng ∆ có dạng:

Vậy ta được 2 tiếp tuyến 1:x5 và 2:8x15y1000

1.1.6.7 Phát hiện nguyên nhân sai lầm và sửa chữa sai lầm

Học sinh đều biết rằng ABCD là hình bình hành thì có ABCD nên khi gặp bài toán sau: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-2;-1), B(1;5), C(3;9) Tìm điểm

D sao cho ABCD là hình bình hành

Cho nên khi gặp bài này học sinh sẽ giải như sau:

ABCD là hình bình hành ABCD

Mà AB(3;6) và CDx D 3;y D 9

Do đó 6 (6;15)

15

D D

1.2 Dạy học giải bài tập

1.2.1 Các chức năng của bài tập Toán học

Ở trường phổ thông, dạy Toán là một hoạt động Toán học cho học sinh, trong đó giải Toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải Toán bài tập

có tầm quan trọng đặc biệt và từ lâu là một vấn đề trọng tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh có thể coi giải Toán là một hình thức chủ yếu của việc học Toán Vì vậy giải bài tập Toán cần có các chức năng sau:

a Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý thuyết đã học Trong nhiều trường hợp giải Toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt học sinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì một lý

do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên việc giải bài tập cho học sinh mở rộng được tầm hiểu biết của mình

b Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới Qua những bài toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn của toán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộc sống chiến đấu và xây dựng của dân tộc Học sinh thể hiện được phẩm chất đạo đức của người lao động mới qua hoạt động Toán Đồng thời rèn luyện được: đức tính cẩn thận, chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỷ luật, năng suất cao, khắc phục khó khăn, dám nghĩ, dám làm, trung thực, khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trong Toán học và trong thực tiễn

c Chức năng phát triển:

Giải bài tập Toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt rèn luyện những thao tác tư duy, tình hình những phẩm chất tư duy khoa học

d Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng dạy học Toán

và trình độ phát triển của học sinh và vận dụng kiến thức đã học Trong việc lựa chọn bài toán hướng dẫn học sinh giải Toán, giáo viên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của bài toán

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên chưa chú ý đến phát huy tác dụng giáo dục, tác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bài toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập Toán là chưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập Toán Lời giải của bài tập Toán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm: Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do 3 nguyên nhân sau:

+ Sai sót về kiến thức Toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý…

+Sai sót về phương pháp suy luận

+Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải phải đơn giản nhất

1.2.2 Dạy học sinh phương pháp giải bài tập Toán

Trong dạy học giải Toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thể thiếu trong dạy học giải Toán Trong tác phẩm của G.Pôlya, ông đã đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toán:

1.2.2.1 Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa phải còn phải có hứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý hướng dẫn học sinh giải toán là khiêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của các

em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết

và kết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện Điều kiện,

dữ kiện liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác

được không? Như vậy ngay ở bước “Hiểu rõ đề Toán” ta đã thấy vai trò của các

thao tác tư duy trong việc định hướng lời giải

1.2.2.2 Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của các thao tác tư duy thể hiện rõ nét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản, biến đổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường hợp đặc biệt, xét

các bài toán tương tự hay khái quát hơn… thông qua các kỹ năng sau bằng cách đặt câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

+Em đã gặp bài toán này hay bài toán ở dạng hơi khác lần nào chưa

+Em có biết một bài toán liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?

+Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?

+Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

+Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em có thể giải một bài toán?

+Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

+Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định chừng mực nào đó và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép tìm hướng đi lên, phép tìm hướng đi xuống để tìm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi ý nêu trên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên thực hiện kiên trì tất cả các giờ dạy Toán, đồng thời học sinh phải tự mình áp dụng vào hoạt động giải Toán của mình

1.2.2.3 Thực hiện lời giải

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước, em đã thấy rõ ràng mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

1.2.2.4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thỏa mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giản xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các yêu cầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xét xem đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán nhiều khi độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu

ý để phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên cũng không nên thiên quá về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình, yếu, kém chán nản

Tìm cách sử dụng kết quả hay phương pháp giải bài toán này cho một bài toán khác, đề xuất bài toán mới: có thể yêu cầu này là quá cao đối với học sinh yếu kém, nhưng có thể là một phương hướng bồi dưỡng học sinh giỏi Tuy nhiên, trong một số trường hợp đơn giản, dễ hiểu, giáo viên có thể học sinh toàn lớp thấy được việc phân tích lời giải của bài tập toán để áp dụng vào bài toán khác hoặc đề xuất ra bài toán mới

1.3 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề theo hướng rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh

1.3.1 Năng lực

Năng lực là một vấn đề khá trừu tượng của tâm lý học Khái niệm này cho đến ngày nay vẫn có nhiều kiểu tiếp cận và cách diễn đạt khác nhau, dưới đây là một

số cách hiểu về năng lực:

- Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con người khả năng

hoàn thành một loại hoạt động nào đó có chất lượng [16] (trang 660, 661)

- Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con người,

đáp ứng được yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành có kết quả một số hoạt động nào đó [7] (trang 25)

- Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con người đáp ứng yêu

cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắc một loại hoạt động nào đó [7] (trang 25)

Như vậy, cả ba định nghĩa trên đều có điểm chung là: năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền với tính sáng tạo, tuy nó khác nhau về mức độ (định nghĩa 3 gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc)

Mọi năng lực của con người đều được biểu lộ ở những tiêu chí cơ bản như tính

dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh, tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giải quyết nhiệm vụ

1.3.2 Bản chất và các thành phần đặc trưng của năng lực giải Toán

Nội dung của luận văn này chủ yếu nghiên cứu các bài toán có tính chất là một vấn đề, mà ở đó các khâu phát hiện và giải quyết vấn đề là then chốt Với quan niệm: Ngay cả việc giải một số bài toán đơn giản, cũng hàm chứa yếu tố sáng

tạo, yếu tố phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh, xin đưa ra một số nét cơ bản về năng lực giải Toán:

1.3.2.1 Bản chất của năng lực giải Toán: Thực chất cơ bản bên trong của năng lực giải Toán gồm các thành tố:

- Hiểu rõ và giới hạn phạm vi của bài toán Đối với các bài toán là vấn đề thì xác định rõ vấn đề trong các tình huống cần phải giải quyết, luôn nhìn bài toán ở nhiều góc độ và tìm tòi các hướng giải mới lạ

- Xác định các mối quan hệ giữa các thành phần trong bài toán, xử lý sự liên kết, phối hợp các tình huống vấn đề bằng cách thức gắn bó các vấn đề cần giải quyết Đề ra chiến lược giải và hoàn tất việc giải quyết vấn đề một cách thích hợp đi đến kết quả của tiến trình giải Toán Phân tích, nghiên cứu, đánh giá kết quả của tiến trình giải Toán

- Có khả năng tiên liệu các tình huống vấn đề sẽ nảy sinh cùng với các chiến lược giải và lựa chọn phương pháp giải thích hợp, đây là quá trình thu nhập hợp thức hóa bài toán

Các môn học ở trường trung học phổ thông đều huy động đến năng lực giải Toán trong quá trình tiếp thu kiến thức mới Dạy học giải Toán với tư cách là một nghệ thuật, với tính hướng đích là bổi dưỡng năng lực sáng tạo, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề thì dù ở môn học này hay môn học khác đều phải đòi hỏi học sinh lẫn giáo viên có sự linh hoạt, mềm dẻo trong tư duy dựa trên cơ sở

có sự hiểu biết xuyên suốt về bản chất của năng lực giải toán

1.3.2.2 Thành phần của năng lực giải Toán:

Các thành phần của năng lực giải Toán gồm cả 3 lĩnh vực: Lĩnh vực nhận thức, lĩnh vực cảm xúc và lĩnh vực trí tuệ [15] (trang 27) Ba lĩnh vực kết cấu này được cụ thể hóa thành các thành tố và các mối quan hệ giữa chúng, tạo nên một cấu trúc của năng lực giải Toán gồm:

- Lĩnh vực cảm xúc: có khát vọng giải được bài toán thể hiện ở sự kiên trì về

mặt ý chí và hứng thú, say mê trong giải Toán nói riêng và học Toán nói chung

- Lĩnh vực nhận thức:

+ Có năng lực nhận thức và tổ chức hoạt động nhận thức trong giải Toán: hiểu bài toán (thu nhận, chế biến, lưu trữ thông tin…) lĩnh hội nhanh chóng tiến trình giải một bài toán và các tri thức trong tiến trình giải Toán

+ Có năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, có khả năng xây dựng mô hình Toán học, xây dựng kế hoạch giải và tiến hành chiến thuật giải một bài toán + Có năng lực khái quát hóa, phát hiện các vấn đề (tình huống có vấn đề) mới trong các vấn đề (tình huống có vấn đề) quen thuộc Từ đó đề xuất và sáng tạo các bài toán mới, thu nhận hợp thức hóa bài toán thành tri thức của người dạy Toán

- Lĩnh vực trí tuệ: Có khả năng nắm cấu trúc hình thức của bài toán, tri giác

hóa, hệ thống hóa kiến thức về giải Toán, năng lực tư duy bằng các cấu trúc rút gọn có thiên hướng về thao tác với các số liệu về giải Toán: kí hiệu dấu, số, dữ liệu điều kiện, giả thiết, kết luận

Biểu lộ sự phát triển mạnh, linh hoạt của tư duy logic, tư duy sáng tạo Có tốc độ

tư duy nhanh biểu hiện rõ nét của tư duy độc lập, mềm dẻo trong giải Toán

Tập hợp các thành phần của năng lực giải Toán là một thể thống nhất Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ và ảnh hưởng lẫn nhau, tạo thành một hệ thống, một cấu trúc của năng lực giải Toán; việc phân tách thành 3 lĩnh vực cụ thể cũng chỉ nhằm để hiểu rõ sâu sắc hơn chứ không xem xét chúng một cách tách biệt nhau Trong các thành phần nêu trên thì năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề

là năng lực đặc thù, là một bộ phận quan trọng của năng lực giải Toán Nắm được điểm then chốt này có tác dụng quyết định trong việc rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh trong quá trình lĩnh hội tri thức

1.3.2.3 Đặc trưng của năng lực giải Toán: là tập hợp tất cả những nét riêng

và tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệt các năng lực khác, gồm:

- Năng lực giải Toán là một dạng năng lực hoạt động của cá nhân được nảy sinh khi có những tình huống vấn đề, có nhu cầu hay mâu thuẫn cần được giải quyết; được hiểu là một năng lực của phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình giải một bài toán cụ thể

- Năng lực giải Toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của chủ thể (học sinh); tận lực huy động tri thức và kinh nghiệm trong tiến trình giải Toán để phát hiện và giải quyết vấn đề, đi đến lời giải; để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

- Năng lực giải Toán của chủ thể (học sinh) luôn thể hiện ở “ trạng thái động” ở

tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương thức khác nhau để giải bài toán

- Năng lực giải Toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quả cao: phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi hướng để giải đến kết quả của bài toán Tiến trình giải một bài toán cụ thể có 3 mức độ của năng lực giải Toán:

+ Mức độ 1: Tập trung vào sự đáp ứng những yêu cầu mà bài toán đặt ra (đối

với học sinh trung bình với biểu hiện chưa rõ nét của năng lực giải toán)

+ Mức độ 2: Tập trung vào sự lựa chọn những tri thức và phương pháp giải toán

thích hợp; việc sử dụng hiệu quả những tri thức và phương pháp đó để hoàn tất tiến trình giải Toán (đối với học sinh nắm được bản chất của năng lực giải Toán, vận dụng cụ thể, sáng tạo các thành phần của năng lực giải Toán)

+ Mức độ 3: Tập trung vào việc tiên liệu những điều kiện đã làm nảy sinh các

vấn đề, tình huống vấn đề, các nhu cầu hoặc khó khăn, mâu thuẫn cần giải quyết

trong bài toán và việc “ phán xét”, cách tiếp cận, giải quyết các vấn đề trong tiến

trình giải toán (điều này thể hiện ở năng lực giải Toán ở học sinh khá, giỏi)

1.3.3 Các điều kiện hình thành năng lực giải Toán cho học sinh

Trong dạy học giải Toán, giải bài tập Toán được hiểu là hoạt động sáng tạo, hoạt

động “ tìm kiếm” và “phát minh” được quy định với các điều kiện sau:

+ Điều kiện chung: Trong tiến trình giải Toán thì hoạt động giải Toán của học

sinh tích cực hóa trước một tình huống vấn đề, dưới ảnh hưởng của các câu hỏi

có vấn đề, các tình huống nảy sinh vấn đề; các bài toán có tình huống vấn đề trên

cơ sở đó học sinh tiến hành giải quyết vấn đề theo 5 bước của tiến trình giải

Toán theo nguyên tắc “Thầy chỉ đạo – Trò chủ động”

+ Điều kiện bên ngoài: Nhấn mạnh các tác động khách quan (giáo viên, môi

trường ) có ảnh hưởng tích cực tới quá trình giải Toán của học sinh Xuất phát từ đặc điểm hoạt động sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh thì

“Hoạt động của học sinh mang tính tích cực cao trong một môi trường có dụng ý

sư phạm dưới tác động chủ đạo của giáo viên” [10] (trang 18, 19) Người giáo

viên với cấu trúc nhân cách và năng lực sư phạm của mình trong quá trình dạy học định hướng cho học sinh chiếm lĩnh tri thức bằng hoạt động giải Toán

+ Điều kiện bên trong: Phản ánh nội lực của quá trình hình thành, phát triển

năng lực giải Toán, tự giác chủ động phát hiện và giải quyết vấn đề, có ý thức ứng dụng các kiến thức và kĩ năng thu nhận được vào các tình huống đặt ra, trở

thành vị trí chủ thể của quá trình nhận thức, từ người “tiêu thụ” kiến thức thành người “sản sinh” ra kiến thức

Như vậy các điều kiện trên cho phép khẳng định:

Thứ nhất là hoạt động giải Toán của học sinh được tích cực hóa trên cơ sở

tự lực giải quyết các vấn đề, theo nghĩa: “Vấn đề nhận thức đặc trưng ở chỗ nó

đưa cho học sinh ra ngoài giới hạn của những kiến thức vốn có, bao hàm một cái gì đó chưa biết, đòi hỏi phải có sự tìm tòi sáng tạo” [12] (trang 5, 6)

Thứ hai là tính tích cực của học sinh theo chu kì: học sinh tự khám phá, tự nghiên cứu (giáo viên hướng dẫn, cung cấp thông tin); Học sinh tự trả lời, tự thể hiện (giáo viên làm trọng tài); Học sinh hành động, tự kiểm tra, tự điều chỉnh

(giáo viên cố vấn); chu trình này dựa trên nguyên tắc : “Giáo viên xác định từ

trước một cách chính xác các bước sao cho sự nỗ lực tìm tòi nghiên cứu của các

em được đúng hướng và tập trung giải quyết các vấn đề cơ bản” [2] (trang 3,4)

1.3.4 Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề hình thành và phát triển năng lực giải Toán cho học sinh ở trường phổ thông

1.3.4.1 Khi so sánh với quá trình nghiên cứu của nhà khoa học thì đặc điểm, quá trình học tập của học sinh theo hướng sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề mang nét độc đáo sau:

- Học sinh tạo ra cái mới không phải chủ yếu đối với xã hội, mà còn đối với chủ quan của mình nhưng đồng thời mang ý nghĩa xã hội Ý nghĩa xã hội bao hàm:

+Thứ nhất là trong quá trình sáng tạo kiến thức, nhân cách của học sinh được hình thành, biểu lộ và có sự phát triển mới

+Thứ hai là quá trình sáng tạo của học sinh trong giải Toán cũng giống như quá trình sáng tạo của nhà khoa học về nguyên tắc Đó là sự nỗ lực khắc phục khó khăn và các nét đặc trưng của hoạt động sáng tạo Sự khác nhau là ở quy mô của vấn đề, ở trình độ tự lực, độc lập trong các giai đoạn của quá trình sáng tạo,

ở phương tiện làm việc

- Động cơ, hứng thú, nhu cầu trong giải quyết vấn đề của nhà khoa học đã được xác định rõ Về năng lực giải quyết vấn đề cũng như sự huy động trí lực cũng rất khác nhau: Nhà khoa học có một trình độ cao về kiến thức, kỹ năng, kinh nghiệm, chỉ phải sáng tạo về phương tiện, lý thuyết để hoạt động; Còn học sinh mới chỉ bước đầu làm quen với quá trình sáng tạo và cách tiếp cận phát hiện

- Theo lý luận tiếp cận hiện đại của hoạt động dạy học [8] (trang 18, 19) dựa

trên các khuynh hướng lý thuyết dạy học, thông tin, điều khiển, chướng ngại, tình huống… các nhà giáo dục Châu Âu, Mỹ, Á đã đưa ra điều kiện cần và đủ cho một quá trình nảy sinh và tăng trường kiến thức: Hình thành các năng lực sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề trong quá trình dạy học nói chung và tiến trình giải Toán nói riêng và một kết hợp với quy luật nhận thức của học sinh, trong đó nhấn mạnh: Thái độ tìm tòi, phát hiện và giải quyết vấn đề nảy sinh và thái độ sáng tạo

- Tính phổ biến của tình huống vấn đề trong toàn bộ quá trình dạy học là một

lý do để khẳng định sự hình thành và phát triển của năng lực giải Toán, ngoài một số tình huống cơ bản hay gặp, học sinh còn được đặt vào các tình huống vấn

đề khi giao các nhiệm vụ sau: Dự đoán, lật ngược vấn đề, xem xét tương tự, khái quát, giải bài toán nhưng chưa biết thuật giải trực tiếp, tìm sai lầm trong lời giải,

phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm Do đặc điểm của hoạt động giải Toán thì tình huống vấn đề còn mang ở đặc trưng cơ bản: Thế năng tâm lý của nhu cầu nhận thức; tính tích cực tìm tòi và sự sáng tạo trong giải quyết vấn đề đặt ra; niềm say mê trong hạnh phúc giải Toán

1.6.4.3 Quá trình hình thành và phát triển năng lực giải Toán cho học sinh được tóm tắt nhau sau:

Bước 1: Liên quan trực tiếp đến dạy học giải Toán theo hướng phát hiện và giải

quyết vấn đề một cách sáng tạo gồm có các thành tố: học sinh, giáo viên, môi trường và tri thức Trong giải Toán, môi trường có dụng ý sư phạm thực chất là tạo tình huống nhằm kết nối kinh nghiệm của học sinh với nhiệm vụ giải bài toán, trong đó tối thiểu 3 mối liên hệ:

- Môi trường và kinh nghiệm, kiến thức của học sinh

- Các yếu tố của môi trường (bầu không khí của lớp học, sự ham mê, hứng thú để giải Toán, phong cách năng lực của giáo viên, trang thiết bị…)

- Mối liên quan giữa các yếu tố của môi trường với nhiệm vụ nhận thức (giải Toán)

Bước 2: Các mối liên hệ trên cùng với động cơ giải được bài toán là điều kiện

cần thiết tạo các mối liên hệ tạm thời (biểu tượng) tác động đến học sinh, tạo môi trường có dụng ý sư phạm và các tình huống vấn đề trực tiếp tác động đến tư duy của học sinh đòi hỏi cách giải quyết

Bước 3: Học sinh hình thành, phát triển các chức năng phản ánh nhằm phát hiện

được bản chất của đối tượng, là điều kiện và mục đích của hành động giải Toán; huy động các thông tin, kiến thức, kỹ năng và kinh nghiệm hữu ích có liên quan bài toán cần giải (tìm hiểu, phân tích bài toán…) Hoạt động của các lực lượng tiềm thức chiếm ưu thế, với tư duy trực giác và trí tưởng tượng đóng vai trò không nhỏ trong quá trình sáng tạo

Bước 4: Nảy sinh các vấn đề và tình huống vấn đề Tình huống vấn đề là nguồn

gốc kích thích tư duy sáng tạo, được học sinh tiếp nhận và đòi hỏi cách giải quyết Nhiệm vụ nhận thức được tiếp tục duy trì và kích thích một cách trực tiếp

và gián tiếp nhờ quá trình tìm tòi sáng tạo của học sinh và các tác động sư phạm của giáo viên Đề ra chiến lược giải theo hướng khác nhau, từ đó xây dựng kế

hoạch giải quyết vấn đề Sự “bừng sáng” này hoặc có dự cảm trước (do học sinh

sản sinh ra một cách tích cực bằng tư duy, bằng suy nghĩ sáng tạo) hoặc đột ngột

xuất hiện (tự phát, chợt “lóe sáng” theo nghĩa sáng tạo)

Bước 5: Xác minh kiểm tra lại tiến trình giải Toán, kiểm chứng và kết luận giá

trị chân lý của quá trình sáng tạo Vai trò của tư duy logic, tư duy sáng tạo rất

quan trọng: “Bởi vì những tia sáng lóe ra từ ý thức và để giải quyết vấn đề phải

qua sự kiểm nghiệm, tính đúng đắn hay sai lầm thông qua không chỉ là thuật toán mà phần lớn đều thông qua logic (hình thức, biện chứng)” [7] (trang 7-10)

Bước 6: Nhiệm vụ nhận thức mới lại nảy sinh ra môi trường mới để tạo ra tình

huống vấn đề mới Đây thực chất là mục đích của quá trình sáng tạo bởi lẽ quá trình giải Toán không chỉ dừng ở kết quả lời giải của bài toán mà điều quan trọng hơn là trang bị cho học sinh những kiến thức mới, phương pháp mới cũng như tiếp cận năng lực giải Toán theo định hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

1.4 Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học bộ môn Toán

Việc vận động dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán, theo

Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [9] (trang 159, 160) có

nghĩa là phải tổ chức việc dạy học Toán sao cho các em luôn đứng trước tính huống có vấn đề mang tính chất Toán học phải giải quyết và tìm tòi, phát hiện ra vấn đề và sáng tạo ra những con đường để giải quyết những vấn đề đó (tự rút ra

công thức, tự chứng minh định lý, tìm cách ghi nhớ một cách tích cực cần kiến thức cần lĩnh hội, tự tìm ra những thuật toán giải bài toán điển hình…) Kết quả

là học sinh được lĩnh hội được kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo mới đồng thời học sinh học cách tự khám phá

Khi vận dụng dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong môn Toán cần chú ý khai thác sử dụng những khía cạnh sau đây:

- Khi dạy học khái niệm cần vận động linh hoạt hai con đường: con đường

quy nạp và con đường suy diễn

- Khi dạy học định lý cần chú ý hai con đường suy diễn và suy đoán

- Khi dạy học giải bài tập cần chú ý đến cả hai mặt suy diễn và suy lý

- Nói cách khác khi dạy học cần chú ý đến cả hai mặt: dạy chứng minh và dạy tìm tòi Đồng thời cần chú ý rèn luyện cho học sinh các hoạt động trí tuệ

chung như: tương tự hóa, đặc biệt hóa khái quát hóa, tổng quát hóa

1.5 Kết luận chương 1

Trong chương 1, luận văn đã trình bày khá rõ ràng về các vấn đề sau:

- Thế nào là vấn đề, tình huống gợi vấn đề là gì?

- Hình thức và mức độ của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Thực hiện việc dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

- Các cách thông dụng để tạo ra tình huống có vấn đề trong dạy học môn Toán

- Ứng dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học bộ môn Toán

Khi đã có các khái niệm cơ bản và các vấn đề liên quan đến dạy học giải quyết vấn đề thì chương 2 sẽ ứng dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết

vấn đề trong dạy bài tập Hình học lớp phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

để có thể thấy ưu điểm của phương pháp này trong thực tế

Bài 4 chương I: Hệ trục tọa độ (2 tiết) đồng thời kết hợp Biểu thức tọa độ tích vô hướng của 2 vectơ (2 tiết)

Bài 1 chương III: Phương trình đường thẳng (6 tiết)

Bài 2 chương III: Phương trình đường tròn (2 tiết)

Bài 3 Chương III: Phương trình đường Elip (2 tiết)

Nội dung mỗi phần như sau:

 Hệ trục tọa độ: trục và độ dài đại số trên trục; hệ trục tọa độ;tọa độ của

các vectơ u v , uv,ku; tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm Ngoài ra ở phần tích vô hướng của 2 vectơ liên quan tới hệ trục tọa độ ta còn có biểu thức tọa độ của tích vô hướng; ứng dụng của tích vô hướng: độ dài của vectơ, góc giữa 2 vectơ, khoảng cách giữa 2 điểm

 Phương trình đường thẳng: vectơ chỉ phương của đường thẳng; phương

trình tham số của đường thẳng; vectơ pháp tuyến của đường thẳng; phương trình tổng quát của đường thẳng; vị trí tương đối của hai đường thẳng; góc giữa 2 đường thẳng; công thức tính khoảng từ điểm đến đường thẳng

 Phương trình đường tròn: phương trình đường tròn, có tâm và bán kính

cho trước; phương trình đường tròn ở dạng khai triển; phương trình tiếp tuyến của đường tròn

 Phương trình đường Elip: phương trình chính tắc của Elip, tiêu cự, tiêu

điểm, các tọa độ đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ

2.1.2 Thuận lợi và khó khăn khi dạy chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

 Thuận lợi:

-Các em đã làm quen với tọa độ, đường tròn ở lớp 9

-Có thể biết sơ lược phương trình đường thẳng

-Các dạng bài tập vừa sức, không quá khó, khả năng tư duy trừu tượng đã bắt đầu hình thành ở các em

 Khó khăn:

-Chưa có khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ Hình học sang ngôn ngữ Đại số -Có một số kiến thức liên quan đến Hình học đã học ở lớp dưới, nên gây trở ngại cho học sinh bị hổng kiến thức

2.2 Mục đích và yêu cầu dạy bài tập chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Dựa vào phần nội dung ở mục 2.1.1 mà mục đích dạy học bài tập chương phương pháp tọa độ trong phẳng cũng sẽ được phân theo nội dung như trên:

 Hệ trục tọa độ và các phần liên quan:

-Học sinh biết được vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến

-Hiểu được phương trình tổng quát, phương trình tham số, mỗi liên hệ của 2 dạng phương trình thông qua vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến

-Xác định được tâm và bán kính của đường tròn khi biết dạng tổng quát hoặc

dạng khai triển của phương trình đường tròn

-Viết được các dạng phương trình đường tròn

-Viết được tiếp tuyến của phương trình đường tròn tại 1 điểm và đi qua 1 điểm,

tiếp tuyến song song với 1 đường thẳng hoặc vuông góc với 1 đường thẳng cho trước

 Phương trình đường Elip:

Về kiến thức:

-Biết về phương trình chính tắc của đường Elip

Về kĩ năng:

-Xác định tiêu điểm, tọa độ đỉnh, tiêu cực, độ dài trục lớn và độ dài trục nhỏ

2.3 Vận dụng phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề vào dạy học bài tập trong chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng Hình học lớp 10

2.3.1 Định hướng giải bài tập Toán theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề

ở trường phổ thông

Khi dạy học giải bài tập Toán theo xu hướng phát hiện và giải quyết vấn đề, yêu cầu bài toán đặt ra phải thực sự gợi vấn đề, tức là khiêu gợi ở học sinh những khó khăn trong tư duy, hành động, chứ không dừng lại ở việc yêu cầu học sinh trực tiếp vận dụng quy tắc có tính thuật toán Điều này chỉ có tính tương đối, bởi

vì có nhưng bài toán là vấn đề đối với người này nhưng không là vấn đề đối với người khác

Ở chương này, tác giả chỉ đề cập đến phần hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, không đề cập đến phương trình đường Elip bởi vì ở ban cơ bản, phương trình đường Elip chỉ được đề cập đến việc xác định các yếu tố (tiêu điểm, tọa độ đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ) rất khó sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề nên tác giả không trình bày ở luận văn này

Các dạng bài toán thường gặp:

2.3.2 Dạy học bài tập phần tọa độ vectơ:

Bài toán 1: Cho 2 vectơ u(1;2) và v( ;5)a Tìm điều kiện a sao cho u và v

cùng phương?

Đây là một tình huống gợi vấn đề vì học sinh đã biết được điều kiện để 2 vectơ cùng phương nhưng ở bài toán này học sinh chưa biết thuật giải

Ở đây ta sẽ sử dụng phương pháp từ khái quát đến cụ thể

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:

Hỏi: Yêu cầu đề bài là gì?

Trả lời: Tìm a để u và v cùng phương

Hỏi: a ở đây có mối quan hệ gì với v ?

Trả lời: a ở đây chính là hoành độ của vectơ v

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Mối quan hệ của hai vectơ cùng phương là gì?

Trả lời: u và v cùng phương  u kv (k 0)

Bước 3: Thực hiện thuật giải:

Hỏi: Nếu như đã có điều kiện cùng phương, liệu ta có thể giải được bài toán

Bước 4: Nghiên cứu sâu bài toán:

Hỏi: Ta có thể giải bằng cách khác không?

Trả lời: Ta có thể giải cách như sau:

Bài Toán 2: Cho u 2;1 ,v3; 4 , w    7;2 Tìm a,b sao cho wa u b v.Đây là một tình huống có vấn đề vì: học sinh chưa biết thuật giải của bài toán này cũng như chưa biết 1 vectơ bất kì có thể phân tích thành 2 vectơ không cùng phương mặc dù ở phần lý thuyết giáo viên đã có dạy nhưng chưa thể áp dụng thực tế trong tọa độ

Bước 1: Tìm hiểu bài toán:

Hỏi: Bài toán yêu cầu điều gì?

Trả lời: tìm 2 số a, b thỏa điều kiện wa u b v

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ, hai vectơ muốn bằng nhau thì ta có điều kiện gì Trả lời: Trong mặt phẳng tọa đô, hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi hoành độ

bằng hoành độ, tung độ bằng tung độ

Bước 3: Thực hiện thuật giải:

Hỏi: Ta có thể giải bài toán này nếu sử dụng điều kiện của hai vectơ bằng nhau

hay không?

Trả lời:

Ta có a u b v a 2;1 b 3; 4   2a3 ;b a4b

Bước 4:Nghiên cứu sâu lời giải:

Đối với bài toán tìm điều kiện để 2 vectơ bằng nhau ta có thể sử dụng cách giải ngắn hơn như sau:

Bài Toán 3: Cho các điểm M(-4;1), N(2;4) và P(2;-2) lần lượt là trung điểm các

cạnh BC, AC và AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC Chứng minh trong tâm của tam giác ABC và tam giác MNP trùng nhau

Đây là tình huống có vấn đề: vì học sinh đã biết và sử dụng công thức tọa độ trung điểm khi biết 2 điểm đầu mút, nhưng ở bài toán ngược này học sinh chưa

có thuật giải chính xác

Bước 1: Tìm hiểu bài toán:

Hỏi: Bài toán này có bao nhiêu yêu cầu?

Trả lời: ở bài toán này có 2 yêu cầu, yêu cầu thứ 1: tìm tọa độ của các đỉnh tam

giác ABC và yêu cầu thứ 2: chứng minh rằng 2 tam giác ABC và tam giác MNP

có cùng trọng tâm

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Ở yêu cầu thứ 1, ta có thể sử dụng công thức gì đã biết?

Trả lời: sử dụng công thức toạ độ trung điểm

Bước 3: Thực hiện thuật giải:

N là trung điểm của AC  

A B C

x x x

A B C

y y y

0;11

Bước 4:Nghiên cứu sâu lời giải:

Hỏi: Ở bài toán này, ta có thể sử dụng điều kiện 2 vectơ bằng nhau được hay

không?

A B C

x x x

A B C

y y y

2.3.3 Dạy học bài tập bài phương trình đường thẳng

Bài toán 1: Cho đường thẳng : 2 3

Bước1: Tìm hiểu bài toán:

Hỏi: Đề bài yêu cầu điều gì?

Trả lời: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d

Hỏi: Phương trình đường thẳng d ở trên là dạng phương trình gì?

Trả lời: Là phương trình tham số

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Phương trình tổng quát cần những yếu tố gì?

Trả lời: cần vectơ pháp tuyến và 1 điểm đi qua

Hỏi: Phương trình ở trên là phương trình tham số, vậy khi đó ta đã biết được yếu

tố gì?

Trả lời: Ta biết vectơ chỉ phương và 1 điểm đi qua

Hỏi: Vậy em có biết mối quan hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến

hay không? Mối quan hệ đó là gì?

Trả lời: Vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương vuông góc với nhau, hay nói

cách khác, tích vô hướng của chúng bằng không, do đó ta có thể chọn được vectơ pháp tuyến nếu dựa vào vectơ chỉ phương

Bước 3: Thực hiện thuật giải:

Đường thẳng d có 1 vectơ chỉ phương là u  3;1 và 1 điểm A 2;1 d

Khi đó d có 1 vectơ pháp tuyến n 1;3

Do đó phương trình tổng quát của d là: 1x2 3 y   1 0 x 3y 5 0 Vậy phương trình tổng quát của d là: x3y 5 0

Bước 4: Nghiên cứu sâu bài giải:

Nếu không cần thông qua vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến, ta vẫn có thể tìm được phương trình tổng quát của bài toán bằng cách khử t

Khi đó bài giải sẽ ngắn gọn hơn, nhưng chỉ dành cho học sinh đã hiểu mối quan

hệ giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến rồi

Cách giải như sau: Ta có : 2 3 2 3

Vậy phương trình tổng quát cùa d: x3y 5 0

Bài toán 2: Cho đường thẳng :x2y 4 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆

Đây là tình huống có vấn đề vì học sinh chưa biết chuyển sang phương trình tham số khi đã biết phương trình tổng quát mặc dù đã biết mối liên hệ của vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương, nhưng chưa biết cách lấy 1 điểm trên đường thẳng ∆

Bước1: Tìm hiểu bài toán:

Hỏi: Bài toán yêu cầu điều gì?

Trả lời: Bài toán yêu cầu viết phương trình tham số của đường thẳng d

Hỏi: Phương trình của đường thẳng d đang ở dạng phương trình nào?

Trả lời: Phương trình tổng quát

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Phương trình tham số cần các yếu tố nào?

Trả lời: Cần có vectơ chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng

Hỏi: Phương trình tổng quát ta biết được vectơ pháp tuyến và điểm thuộc đường

thẳng, ta có thể sử dụng mối liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương

để chuyển phương trình tổng quát thành phương trình tham số được hay không?

Trả lời: có thể

Bước 3: Thực hiện thuật giải:

Đường thẳng d có 1 vectơ pháp tuyến n1; 2  và B 0;2 d

Khi đó d có 1 vectơ chỉ phương u 2;1

Bước 4: Nghiên cứu sâu bài giải:

Ở bài toán này, ta có thể thực hiện thuật giải ngắn hơn bằng cách đặt xt hoặc

yt, tùy vào phương trình tổng quát đã cho và tùy vào việc lựa chọn của mỗi học sinh

Bài toán 3: Cho 3 điểm A  8;1 ,B  4; 5 , C 4;7 Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BC

Giải

Đây là tình huống có vấn đề vì học sinh chưa biết được mối liên hệ giữa 2 đường thẳng vuông góc sẽ dẫn đến mối liên hệ giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng này với vectơ pháp tuyến của đường thẳng kia

Bước 1:Tìm hiểu bài toán:

Hỏi: Đề bài yêu cầu điều gì?

Trả lời: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua A và vuông góc với

BC

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Phương trình tổng quát cần những yếu tố gì?

Trả lời: Phương trình tổng quát cần có vectơ pháp tuyến và 1 điểm đi thuộc

đường thẳng

Hỏi: Ở bài này, ta đã có yếu tố nào?

Trả lời: Có 1 điểm đi qua, và BC vuông góc với đường thẳng

Hỏi: Như vậy BC và vectơ chỉ phương của được thẳng d hoặc vectơ pháp tuyến

của đường thẳng d có mỗi liên hệ gì với nhau hay không?

Trả lời: vectơ pháp tuyến của đường thẳng d cùng phương với vectơ chỉ phương

của đường thẳng BC

Hỏi: vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là vectơ gì?

Trả lời: BC là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng BC

Hỏi: Vậy BC có mối liên hệ gì với đường thẳng d?

Trả lời: BC là 1 vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

Bước 3: Thực hiện thuật giải:

Đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BC

Do đó: BC 0;12 là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

Phương trình tổng quát của đường thẳng d 0x 8 12y   1 0 y 1

Vậy phương trình đường thẳng :d y1

Bước 4: Nghiên cứu sâu bài giải:

Ở phần này, giáo viên giúp học sinh có mối liên hệ giữa đường thẳng trong mặt

phẳng tọa độ và đồ thị hàm số yaxb Có nhận xét về đường thẳng song song với trục tung, trục hoành

Ta có B 4; 5 , C 4;7 Do đó đường thẳng BC x 4

Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng BC, khi đó đường thẳng d sẽ song

song với trục Ox Phương trình d có dạng yb với b là 1 số thực

Mà d đi qua A(8;1)

Do đó phương trình d có dạng y1

Vậy phương trình đường thẳng :d y1

Bài toán 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua M(3;4) và d

song song với đường thẳng :a x3y 5 0

Đây là tình huống có vấn đề vì học sinh chưa thể tìm được mối liên hệ của vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng khi chúng song song với nhau

Bước 1: Tìm hiểu bài toán:

Hỏi: Đề bài yêu cầu điều gì?

Trả lời: Viết phương trình tham số của đường thẳng d

Hỏi: Đề bài cho ta cái gì?

Trả lời: Một điểm M thuộc đường thẳng và 1 đường thẳng a song song với

đường thẳng d

Bước 2: Xây dựng chương trình giải:

Hỏi: Phương trình tham số cần những yếu tố nào?

Trả lời: 1 điểm thuộc đường thẳng và 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng Hỏi: Đề bài cho 1 đường thẳng a song song với đường thẳng d, ta có được điều

gì?