Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề vào các tiết luyện tập chủ đề tứ giác nội tiếp ở trường thcs

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ TÚ ANH VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠYHỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO CÁC TIẾT LUYỆN TẬP CHỦ ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP Ở TRƯỜNG THCS Chun ngành: LÍ LUẬN VÀ PPDH BỘ MƠN TỐN Mã số: 8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THỊ TÚ ANH VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠYHỌC PHÁT HIỆNVÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO CÁC TIẾT LUYỆN TẬPCHỦ ĐỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP Ở TRƯỜNG THCS Chun ngành: LÍ LUẬN VÀ PPDH BỘ MƠN TỐN Mã số : 8.14.01.11 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : TS THÁI THỊ HỒNG LAM NGHỆ AN - 2019 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Tiến sĩ Thái Thị Hồng Lam, người Cô giảng dạy năm tháng học đại học Vinh, Cơ tận tình dìu dắt, bảo tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn tới Thầy giáo, cô giáo giảng viên dạy lớp cao học 25 LL&PPDH mơn Tốn, trường Đại học Vinh giảng dạy tận tình đóng góp ý kiến q báu giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Ban giám hiệu, tổ Toán hai trường THCS Nghi Phú trường THCS Hà Huy Tập TP Vinh giúp đỡ nhiều trình học tập hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, người ln bên tơi, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Học viên Võ Thị Tú Anh DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT STT CHỮ CÁI VIẾT TẮT/ KÝ HIỆU CỤM TỪ ĐẦY ĐỦ DH Dạy học đpcm Điều phải chứng minh GQ Giải GV Giáo viên HS Học sinh PPDH Phương pháp dạy học PH & GQVĐ Phát giải vấn đề THCS Trung học sở THCVĐ Tình có vấn đề 10 THPT Trung học phổ thơng 11 TTC Tính tích cực MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu 4.2 Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu 5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 5.2 Phương pháp quan sát, điều tra 5.3 Thực nghiệm phạm 5.4 Phương pháp thống kê Giả thuyết khoa học Đóng góp luận văn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tổng quan vấn đề nghiên cứu 1.1.1 Những khái niệm phương pháp dạy học phát giải vấn đề a Vấn đề: b Tình gợi vấn đề 1.1.2 Những sở khoa học phương pháp dạy học phát giải vấn đề 12 1.1.3 Đặc điểm phương pháp dạy học giải vấn đề 14 1.1.4 Các hình thức (cấp độ) dạy học phát giải vấn đề 16 1.1.5 Quy trình thực dạy học giải vấn đề 18 1.1.6 Vai trò dạy học phát giải vấn đề hình thành phát triển lực người học 24 1.2 Phương pháp dạy học trường phổ thông 24 1.2.1 Định hướng đổi phương pháp dạy học 24 1.2.2 Phương pháp dạy học phát giải vấn đề việc dạy tập toán 25 1.2.3 Phương pháp dạy tiết luyện tập hình học trường THCS 27 1.2.3.1 Cấu trúc nội dung tiết luyện tập hình học 27 1.2.3.2 Quy trình soạn thực tiết luyện tập toán lớp 28 1.3 Tình hình dạy học tiết luyện tập trường THCS 29 1.3.1 Yêu cầu dạy tiết luyện tập trường THCS 29 1.3.2 Nội dung dạy học tứ giác nội tiếp chương trình hình học 30 a) Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp 30 1.3.3 Thực trạng dạy học tiết luyện tập trường THCS 31 1.4 Kết luận chương I 32 CHƯƠNG II:VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO CÁC TIẾT LUYỆN TẬP VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP TRONG HÌNH HỌC 33 2.1 Phương pháp dạy tiết luyện tập mơn Tốn 33 2.1.1 Vị trí ý nghĩa tiết luyện tập 33 2.1.2 Những lưu ý dạy tiết luyện tập 34 2.2 Vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào dạy học giải tập toán 35 2.2.1 Phương pháp tạo tình gợi vấn đề toán cho học sinh 35 2.2.2 Dạy học PH & GQVĐ theo bước Polia 35 2.2.3 Hướng dẫn học sinh xây dựng đề toán 37 2.3 Phương án vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào tiết luyện tập tứ giác nội tiếp lớp 38 2.3.1 Vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào việc xác định cách nhận biết tứ giác nội tiếp 38 2.3.2 Vận dụng phương pháp Dạy học phát giải vấn đề việc khai toán toán biết 45 2.3.3 Một số toán giúp học sinh trau dồi khả phát giải vấn đề giải toán liên quan đến tứ giác nội tiếp lớp 76 2.4 Kết luận chương 82 CHƯƠNG 3: THỰC TẬP SƯ PHẠM 83 3.1.Mục đích, nội dung, tổ chức thực nghiệm sư phạm 83 3.1.1 Mục đích nhiệm vụ thực 83 3.1.2 Nội dung thực 83 3.1.3 Đối tượng thực 83 3.2.Công tác chuẩn bị thực 84 3.2.1 Công tác chuẩn bị 84 3.2.2 Tổ chức thực 84 3.3 Đánh giá thực nghiệm sư phạm 85 3.2.1 Đánh giá định tính 85 3.2.2 Đánh giá định lượng 85 KẾT LUẬN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 PHỤ LỤC 93 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ (CMCN 4.0) tạo thay đổi vô lớn đời sống, kinh tế xã hội thách thức ngành giáo dục việc đào nguồn nhân lực theo nhu cầu thời đại Hiện nay, không Việt Nam mà nhiều nước phát triển khu vực giới phải đối mặt với thách thức lớn thiếu hụt lao động có trình độ cao kỹ chuyên nghiệp để đáp ứng nhu cầu nguồn nhân lực cho CMCN 4.0 Chính vậy, câu hỏi đặt khơng với giáo dục (GD) Việt Nam mà giới cách để tạo nguồn nhân lực lao động để đáp ứng nhu cầu phát triển bối cảnh giới Phân tích tính quan trọng cấp bách vấn đề này, TS Nguyễn Đắc Hưng (Vụ trưởng Vụ giáo dục Đào tạo dạy nghề - Ban tuyên giáo Trung ương) cho rằng: “Muốn hòa nhập vào cách mạng công nghệ 4.0, vào kinh tế số, yếu tố then chốt nguồn nhân lực Chúng ta cần cải cách hệ thống giáo dục, đào tạo để tạo cơng dân tồn cầu Do giáo dục Việt Nam nói chung trường đại học nơi cung cấp cho xã hội nguồn nhân lực, lao động phải đào tạo theo chuẩn giáo dục 4.0 theo hướng bảo đảm khối kiến thức tảng cho học sinh Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ XI xác định “Phát triển nhanh nguồn nhân lực, nguồn nhân lực cao, tập trung vào việc đổi toàn diện giáo dục quốc gia gắn kết chặt chẽ phát triển nguồn nhân lực với phát triển ứng dụng khoa học, công nghệ” Những định hướng đổi giáo dục thể rõ ràng Điều 28 Luật giáo dục năm 2005 “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phối hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Mục đích yêu cầu đổi phương pháp dạy học xây dựng người phát triển toàn diện đức – trí – tuệ - mĩ, nhiệm vụ giáo dục thời đại Vì việc đổi phương pháp dạy học toàn ngành giáo dục hưởng ứng đạt kết định Tốn học mơn chiếm vị trí quan trọng, sở khoa học Dạy toán tức dạy cách học toán, day phương pháp tư logic, suy luận khoa học đồng thời trang bị cho học sinh kiến thức để tính tốn vận dụng kiến thức vào giải tình thực tế Bàn dạy học Tốn trường THCS, biết cấp học học sinh thường chưa có nhiều kĩ năng, chưa có phương pháp học Tốn hiệu đặc biệt hình học Đa số học sinh ngại học hình, hình bắt nguồn từ thực tế, trừu tượng em Bởi vậy, tiết luyện tập phải đòi hỏi kiến thức chuẩn xác, bao quát kiến thức số nên việc chọn nội dung luyện tập cần thiết Mặt khác, tiết luyện tập đòi học sinh phải tổng hợp nhiều hoạt động Tốn học như: Chứng minh, tìm tập hợp điểm… hoạt động trí tuệ chung như: So sánh, tổng hợp, phân tích với hoạt động ngơn ngữ diễn đạt, giải thích Tiết luyện tập đóng vai trò quan trọng việc củng cố kiến thức, rèn luyện kĩ phát triển tư duy, ngôn ngữ cách diễn đạt cho học sinh Bằng việc vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề dạy luyện tập đòi hỏi giáo viên phải tìm hiểu, đọc hiểu dụng ý sách giáo khoa, đề tập dựa sở tập có sẵn sách với độ khó tăng dần Giáo viên khơng phép biến tiết luyện tập thành tiết chữa tập tiết Luyện tập tốn chắn có phần giải tập Ngay tên luyện tập đủ cho ta thấy thầy phải “luyện” trị phải “tập” Tuy nhiên thực tế, hiệu tiết luyện tập chưa cao Học sinh thường xem nhẹ tiết luyện tập giáo viên lấy tiết luyện tập để thao giảng nghĩ dạy tiết luyện tập khó thành cơng tiết dạy kiến thức mới, đặc biệt tiết luyện tập hình học Phương pháp dạy học phát giải vấn đề giúp tốn có liên kết, gợi mở tạo hứng thú kích thích tư cho học sinh tiết luyện tập Hiểu quan trọng tiết luyện tập q trình dạy học, có nhiều luận văn bàn vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề số tiết luyện tập hình học khơng gian lớp 11,… Nhưng việc vận dụng phương pháp vào tiết Luyện tập tứ giác nội tiếp lớp cịn Xuất phát từ lí tơi định chọn đề tài nghiên cứu là: “Vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào tiết luyện tập chủ đề tứ giác nội tiếp THCS” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp dạy học phát giải vấn đề Từ đề xuất số phương án vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào tiết luyện tập tứ giác nội tiếp lớp 9, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường Trung học sở Nhiệm vụ nghiên cứu Để đạt mục đích nêu trên, luận văn có nhiệm vụ: 3.1 Hệ thống hóa làm rõ lý luận phương pháp dạy học phát giải vấn đề 3.2 Tìm hiểu chương trình nội dung chủ đề Tứ giác nội tiếp 3.3 Tìm hiểu việc dạy học tiết luyện tập Tứ giác nội tiếp lớp trường THCS 3.4 Xây dựng số phương án vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào tiết luyện tập Tứ giác nội tiếp lớp 3.5 Tổ chức thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu việc rèn luyên với nội dung dạy học cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu 4.1 Đối tượng nghiên cứu - Hoạt động phát giải vấn đề trường Trung học sở 4.2 Phạm vi nghiên cứu - Về nội dung mơn Tốn học: Luận văn vận dụng vào chương trình Tốn học THCS thực qua chương “Góc với đường trịn” lớp - Về lý luận dạy học: Luận văn tập trung vào nghiên cứu việc vận dụng Phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào mơn Tốn học sinh THCS hoạt động lớp Phương pháp nghiên cứu 5.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu tài liệu dạy học giải vấn đề - Nghiên cứu sở khoa học dạy học giải vấn đề, khái niệm bản, hình thức dạy học giải vấn đề - Nghiên cứu giáo dục học mơn Tốn, tâm lý học lý luận dạy học mơn Tốn 99 CMR : Tứ giác ABCD nội tiếp Xét tam giác vuông ABC, ta có O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC D A ⇒ đỉnh A, B, C ∈ (O) C (1) Tương tự, tam giác vuông BDC nội tiếp đường tròn (O) O ⇒ đỉnh B, C,D ∈ (O) B (2) Từ (1) (2) ⇒ đỉnh A, B, C, D ∈ (O) Suy ra: Tứ giác A, B, C, D nội tiếp GV: Yêu cầu HS đứng dậy nhận xét làm bạn ̂ = - HS suy nghĩ trả lời GV: Đặt THCVĐ: Vậy 𝐵𝐴𝐶 ̂ ≠ 900 tứ giác ABCD cịn nội 𝐵𝐷𝐶 tiếp đường trịn khơng? B Hoạt động củng cố kiến thức Các cách chứng minh tứ giác nội tiếp GV: Yêu cầu HS nhắc lại cách chứng A Lý thuyết minh tứ giác nội tiếp học Các cách chứng minh tứ giác nội D tiếp A HS suy nghĩ trả lời: - Sử dụng khái niệm: A, B,C, D ∈ (O) O B C x ̂ + Ĉ = 1800 ̂+D ̂=A - Sử dụng định lí: B - HS suy nghĩ GV: Nhận xét đưa câu hỏi: Vậy liệu có cách hay khơng? ̂ - 𝐴̂ = 𝐵𝐶𝑥 GV: Ta kéo dài cạnh BC Em có nhận ̂? xét số đo hai góc 𝐴̂ 𝐷𝐶𝑥 GV: Vậy ta có thêm cách để HS: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện tứ chứng minh tứ giác nội tiếp gì? giác nội tiếp 100 GV nhận xét ghi lên bảng GV: Trở lại câu hỏi đầu bài: Vậy - Có Quỹ tích cung chứa góc ̂ = 𝐵𝐷𝐶 ̂ ≠ 900 tứ giác ABCD 𝐵𝐴𝐶 cịn nội tiếp đường trịn khơng? Vì HS: Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp sao? nhìn cách góc GV: Vậy ta có thêm cách gì? tứ giác nội tiếp GV nhận xét ghi lên bảng HS: Hình vng, hình chữ nhật, hình GV: Em kể tên số tứ giác đặc thang cân nội tiếp đường trịn biệt nội tiếp được? GV: Đây cách để chứng minh tứ giác nội tiếp “Chứng minh phản chứng” C Hoạt động luyện tập GV đưa tập tổng hợp sử dụng B F cách chứng minh tứ giác nội tiếp Bài toán: Cho hai đoạn thẳng AC BD E C A O vng góc với O Kẻ OE, OF, OG, OH vng góc với AB, BC, DC AD.Chứng minh rằng: a) Tứ giác AEOH, BEOF, CGOF HOGD nội tiếp b) Tứ giác ACFE, AHGC, BEHD, BFGD nội tiếp c) Tứ giác EFGH nội tiếp e) Kẻ BM ⊥ DC (M∈DC), DN ⊥ BC (N∈BC) Chứng minh tứ giác BNMD nội tiếp GV: Yêu cầu HS lên bảng vẽ hình Vận dụng dạy học phát giải vấn đề để hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho N H G D M 101 tốn Bước 1: Tìm hiểu tốn GV: Bài tốn u cầu chứng minh điều gì? HS: Câu a) Tứ giác AEOH, BEOF, CGOF HOGD nội tiếp Câu b) Tứ giác ACFE, AHGC, BEHD, BFGD nội tiếp Câu c) Tứ giác EFGH nội tiếp Câu d) Kẻ BM ⊥ DC (M∈DC), DN ⊥ BC (N∈BC) Chứng minh tứ giác BNMD nội tiếp Bước 2: Xây dựng chương trình giải GV: Các tứ giác AEOH, BEOF, CGOF B F E HOGD có chung đặc điểm gì? HS: Có hai góc đối diện 900 GV: Vậy ta có cách để chứng minh N C A O H tứ giác nội tiếp? G M D HS: Ta sử dụng định nghĩa định lý để chứng minh GV: Đối với câu b, tứ giác ACFE, AHGC, BEHD BFGD khơng cịn có hai góc đối diện 900, GV cần định hướng cho HS cách chứng minh Lưu ý câu trước giả thiết câu sau HS: Sử dụng phương pháp góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện GV: Đối với tứ giác EFGH, HS khó để hình dung cách chứng minh GV định hướng cách chứng minh cách loại trừ phương pháp: Phương pháp sử dụng định nghĩa thường áp dụng cho tứ giác có hai góc 900 Bài tứ giác EFGH chưa xuất góc ngồi nên ta không nên sử dụng theo định lý câu b Ta sử dụng phương pháp dùng định lý ̂ = 1800 ̂ + 𝐻𝐺𝐹 HS: Chứng minh 𝐻𝐸𝐹 ̂ = 1800 ta cần chứng minh điều gì? ̂ + 𝐵𝐸𝐹 ̂ + 𝐴𝐸𝐻 GV: Ta có: 𝐻𝐸𝐹 ̂ = 𝐻𝐺𝐹 ̂ = 𝑂𝐺𝐹 ̂ + 𝑂𝐺𝐻 ̂ hay 𝐵𝐸𝐹 ̂ 𝐴𝐸𝐻 ̂ ̂ + 𝐴𝐸𝐻 ̂ = 𝑂𝐺𝐹 HS: Ta cần chứng minh: 𝐵𝐸𝐹 ̂ = 𝑂𝐺𝐻 GV: Nhờ kết câu a, b hướng dẫn HS chứng minh 102 GV: Đối với tứ giác BNMD có hai góc 900 hai đỉnh liên tiếp Vậy ngồi cách sử dụng định nghĩa ta cịn cách không? HS: Sử dụng phương pháp cung chứa góc Bước 3: Trình bày lời giải ̂ + 𝐴𝐻𝑂 ̂ = 900 + 900 = 1800⇒ Tứ giác AEOH nội a) Cách 1: Xét tứ giác AEOH có: 𝐴𝐸𝑂 tiếp Cách 2: Gọi I trung điểm AO Xét tam giác vng AEO, ta có: I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEO ⇒ A, E, O ∈ (I) B F E (1) Tương tự: I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHO ⇒ A, H, O ∈ (I) ( 2) Từ (1) (2) ta có: A, E, H, O ∈ (I) Vậy tứ giác AEOH N C A O H G M D nội tiếp Ta chứng minh tương tự với tứ giác cịn lại ̂ (góc nội tiếp chắn cung BF) ̂ = 𝐵𝑂𝐹 b) Theo câu a) tứ giác EOFB nội tiếp ⇒ 𝐵𝐸𝐹 ̂ = 𝐹𝐶𝐴 ̂ (cùng phụ với 𝑂𝐵𝐹 ̂ ) ⇒ 𝐵𝐸𝐹 ̂ ⇒ tứ giác ACFE nội tiếp (tứ giác ̂ = 𝐹𝐶𝐴 Mà 𝐵𝑂𝐹 có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện) Các tứ giác cịn lại chứng minh tương tự ̂ = 𝐹𝐶𝑂 ̂ (góc nội tiếp chắn c) Ta có: Theo câu a) Tứ giác CGOF nội tiếp nên 𝑂𝐺𝐹 ̂ (cmt) ⇒ 𝑂𝐺𝐹 ̂ = 𝐵𝐸𝐹 ̂ = 𝐹𝐶𝑂 ̂ cung OF) mà 𝐵𝐸𝐹 (3) ̂ = 𝑂𝐺𝐻 ̂ Chứng minh tương tự ta có: 𝐴𝐸𝐻 (4) ̂ = 1800 ̂ + 𝐵𝐸𝐹 ̂ + 𝐴𝐸𝐻 Ta có: 𝐻𝐸𝐹 (5) ̂ + 𝑂𝐺𝐻 ̂ = 1800⇒ 𝐻𝐸𝐹 ̂ = 1800 ̂ + 𝐸𝐺𝐹 ̂ + 𝐻𝐺𝐹 Từ (3), (4), (5) ta có: 𝐻𝐸𝐹 ⇒ Tứ giác EFGH nội tiếp d) Cách 1: Gọi K trung điểm BD Xét tam giác vng NBD, ta có: K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác NBD ⇒ N, B, D ∈ (K) (6) Tương tự: K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBD ⇒ M, B, D ∈ (K) (7) Từ (6) (7) ta có: B, M, N, D ∈ (K) Vậy tứ giác BNMD nội tiếp ̂ = 𝐵𝑁𝐷 ̂ = 900 Cách 2: Xét tứ giác BNMD ta có: 𝐵𝑀𝐷 103 ⇒Tứ giác BNMD nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc nhau) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải GV: Ta thấy có cách giải khác nhau, ta cần tìm cách giải nhanh cho từ rút đặc điểm tứ giác để lựa chọn cách giải nhanh Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh D Hoạt động vận dụng GV yêu cầu HS làm toán ứng dụng tứ giác nơi tiếp Bài tốn: Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, HS vẽ hình, suy nghĩ C’ chân đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C xuống cạnh đối diện Chứng minh trực tâm H tam giác ABC tâm đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ GV vận dụng dạy học phát giải vấn đề để hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn Bước 1: Tìm hiểu tốn GV: Bài tốn u cầu chứng minh điều gì? HS: Chứng minh trực tâm H tam giác ABC tâm đường tròn nội tiếp ∆A’B’C’.? Bước 2: Xây dựng chương trình giải GV: Để chứng minh H tâm đường tròn nội A tiếp ∆ A’B’C’ ta cần chứng minh điều gì? B' HS: Chứng minh H giao điểm đường C' phân giác tam giác ∆ A’B’C’ GV: Vậy ta cần chứng minh góc nhau? ̂1′ = 𝐴 ̂′2 ; 𝐵 ̂1′ = 𝐵 ̂2′ ; HS: 𝐴 21 H 12 B A' C 104 GV: Hướng dẫn HS chứng minh theo sơ đồ: H tâm đường tròn nội tiếp ∆A’B’C’ ⇑ H giao điểm đường phân giác ⇑ ̂′ = 𝐴 ̂′ ; 𝐵 ̂′ = 𝐵 ̂′ ; 𝐴 2 ⇑ Tứ giác A’HC’B nội tiếp AB’A’B nội tiếp Bước 3: Trình bày lời giải ̂ = 𝐴𝐴′𝐵 ̂ = 900 Xét tứ giác AB’A’B có: 𝐴𝐵′𝐵 ⇒ Tứ giác AB’A’B (tứ giác có hai đỉnh liên tiếp A nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc B' ̂′2 = 𝐵 ̂1 (góc nội tiếp chắn cung nhau) ⇒ 𝐴 AB’) C' (1) ̂ + 𝐻𝐴′𝐵 ̂ = 1800 Xét tứ giác A’HC’B có: 𝐵𝐶′𝐻 ̂1′ = 𝐵 ̂1 (góc nội ⇒ Tứ giác A’HC’B nội tiếp ⇒ 𝐴 tiếp chắn cung C’H) B 21 H 12 A' (2) ̂1′ = 𝐴 ̂′2 Từ (1) (2) ta có: 𝐴 (*) ̂1′ = 𝐵 ̂2′ (**) Từ (*) (**) suy ra: H giao điểm Chứng minh tương tự ta có: 𝐵 đường phân giác ∆A’B’C’ hay H tâm đường tròn nội tiếp ∆A’B’C’ Hoạt động giáo viên Hoạt động học sinh C Hoạt động tìm tịi, mở rộng GV u cầu HS làm số toán nhằm phát số phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Bài toán : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm tam giác ABD, ADC, BDC ABC Chứng minh tứ HS vẽ hình, suy nghĩ C 105 giác G1G2G3G4 nội tiếp Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy GV vận dụng dạy học phát giải vấn đề để hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho tốn Bài tốn 1: Bước 1: Tìm hiểu tốn GV: Bài tốn u cầu chứng minh điều gì? HS: Chứng minh tứ giác G1G2G3G4 nội tiếp Bước 2: Xây dựng chương trình giải GV: - Dự đốn mối liên hệ tứ giác G1G2G3G4 D tứ giác ABCD? - Xét hai tam giác BDC ABC, chọn cạnh G2 G1 A chung BC Gọi I trung điểm BC Kẻ hai tiếp G3 tuyến DI AI CM: G3G4 // AD? HS: Áp dụng định lý đảo định lý Ta lét Ta có: 𝐼𝐺4 𝐴𝐼 = 𝐼𝐺3 𝐴𝐷 G4 B C I (= ) ⇒G3G4 // AD GV: Tương tự ta có điều gì? HS: G1G2 // BC, G2G3 // AB G1G4 // DC ⇒ Tứ giác G1G2G3G4 đồng dạng với tứ giác ABCD Bước 3: Trình bày lời giải Gọi I trung điểm BC Kẻ hai tiếp tuyến DI AI D Vì G3 trọng tâm ∆BDC, G4 trọng tâm ∆ABC A Nên ta có: 𝐼𝐺3 𝐴𝐷 𝐼𝐺4 𝐴𝐼 = 𝐼𝐺4 𝐴𝐼 = ⇒ = 𝐼𝐺3 𝐴𝐷 G3 (= ) G2 G1 B G4 I C 106 Áp dụng định lí Ta lét đảo vào ∆AID vì: 𝐼𝐺4 𝐴𝐼 = 𝐼𝐺3 𝐴𝐷 nên G3G4 // AD Tương tự có: G1G2 // BC, G2G3 // AB G1G4 // DC Suy G1G2G3G4 đồng dạng với tứ giác ABCD theo tỉ lệ Vậy tứ giác G1G2G3G4 nội tiếp Sau hoàn thành giáo viên đặt vấn đề: Vậy điều ngược lại có khơng “Cho tứ giác ABCD Gọi G1, G2, G3, G4 trọng tâm tam giác ABD, ADC, BDC ABC Biết tứ giác G1G2G3G4 nội tiếp Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp”? HS dễ dàng chứng minh mệnh đề đảo GV: Vậy ta có thêm cách để chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Bài toán 2: Bước 1: Tìm hiểu tốn GV: Bài tốn u cầu chứng minh điều gì? HS: Chứng minh đường thẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy Bước 2: Xây dựng chương trình giải GV: Tứ giác MQNP hình gì? HS: Tứ giác MQNP hình bình hành GV: Gọi G giao điểm hai đường chéo MN PQ? Em có nhận xét quan hệ cặp điểm M N, P Q qua điểm G? HS: Các cặp điểm M N, P Q đối xứng qua G GV: Vậy DG: M ⟶ N; N ⟶ M; P ⟶ Q; P ⟶ Q ⇒DG : OM ⟶ Ny; ON ⟶ Mx ; OP ⟶ Qt; OQ ⟶ Pz; Vì OM, ON, OP, OQ đồng quy O nên ta suy đpcm Bước 3: Trình bày lời giải Xét ∆BAD, có MP đường trung bình, ta có: MP // BD MP = BD (1) A y Tương tự ta có: QN // BD QN = BD t (2) bình hành Gọi G giao điểm MN PQ D O Từ (1) (2) suy ra: Tứ giác MQNP hình ⇒ GM = GN; GP = GQ P M B z I G L N Q C x 107 Suy ra: DG: M ⟶ N; N ⟶ M; P ⟶ Q; P ⟶ Q ⇒DG: OM ⟶ Ny; ON ⟶ Mx ; OP ⟶ Qt ; OQ ⟶ Pz Vì OM, ON, OP, OQ giao O nên I = DG(O) Hay Mx, Ny, Pz, Qt đồng quy I (đpcm) Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải GV: Sau giải toán, GV yêu cầu HS xem xét toán đảo sau: Cho tứ giác ABCD có đường thẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy điểm Chứng minh rằng: Tứ giác ABCD nội tiếp HS: Bằng cách chứng minh tương tự toán thuận, ta chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp Như vậy, HS có thêm cách để chứng minh tứ giác nội tiếp Hoạt động hướng dẫn nhà GV giới thiệu hướng dẫn HS chứng minh định lý Ptoleme 108 Giáo án dạy học theo chủ đề “Tứ giác nội tiếp ứng dụng” A LÝ THUYẾT I Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường tròn D gọi tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt tứ giác nội tiếp) A Hình bên: Tứ giác ABCD nội tiếp C B II Các phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp Phương pháp (Sử dụng định nghĩa):Tứ giác có D bốn đỉnh nằm đường trịn gọi tứ giác nội tiếp đường tròn A Phương pháp 2: Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn: C B Tứ giác ABCD nội tiếp ⇔ 𝐴̂ + 𝐶̂ = 180 Phương pháp 3: Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện tứ giác nội D A tiếp O 4.Phương pháp 4: Tứ giac có hai đỉnh liên tiếp D nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại góc tứ giác nội tiếp đường tròn x C B α A α B C 109 Phương pháp 5: (Chứng minh tứ giác nội tiếp M tỷ lệ thức): Cho tam giác MBC, cạnh MB MC lấy hai điểm A D cho: D 𝑀𝐴 𝑀𝐵 = 𝑀𝐷 𝑀𝐶thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn A N C B Phương pháp (Định lý Ptoleme đảo): Tứ giác có D tổng tích hai cạnh đối diện tích hai đường chéo tứ giác nội tiếp đường trịn A “AB CD + AD.BC= BD AC⇔ Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn” C B Phương pháp 7: Cho tứ giác ABCD, Gọi G1, G2, D G3, G4 trọng tâm tam giác ABD, A ADC, BDC ABC cho tứ giác G1G2G3G4 nội G2 G1 G3 tiếp tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn G4 B C I Lưu ý: Phương pháp thay G1, G2, G3, G4 trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp Phương pháp 8:Tứ giác có đường thẳng qua A trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy tứ giác nội tiếp đường trịn P M B N Q C B HỆ THỐNG BÀI TẬP D I 110 Bài toán : (Tuyển sinh lớp 10, khối PT chuyên Toán ĐHSP Hà Nội, năm học 2008 – 2009): Cho tam giác ABC vuông C Trên cạnh AB lấy điểm M tùy ý (M khác A B) Kí hiệu O, O1 ,O2 tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, AMC, BMC a) Chứng minh bốn điểm C, O1 ,M,O2 nằm đường tròn (ε) b) Chứng minh O nằm đường tròn (ε) c) Xác định vị trí M để đường trịn (ε) có bán kính nhỏ Bài tốn 2: Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), hạ AH vng góc với BC H Đường trịn tâm H bán kính HA cắt đường thẳng AB, AC P Q (P, Q khác A) a) Chứng minh P, H, Q thẳng hàng b) Chứng minh B, C, P, Q nằm đường tròn c) Gọi M trung điểm cạnh BC Chứng minh AM ⊥ PQ Bài toán 3:Cho tam giác ABC cạnh a Điểm Q di động cạnh AC, điểm P di động tia đối tia Cb cho AQ.BP = a2 Đường thẳng AP cắt đường thẳng BQ M a) Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp đường trịn b) Tìm giá trị lớn MA + MC theo a Bài tốn 4: Cho hình chữ nhật ABCD Từ điểm I cạnh AB hạ đường vng góc IN với cạnh CD, hạ đường vng góc IM với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp b) Chứng minh MA.MN = MB.MI MA.NI MI khơng đổi Bài tốn 5: Cho đường trịn tâm (O), dây AB, CD vng góc với Các tiếp tuyến với đường tròn A, B, C, D cắt E, F, G, H Chứng minh EFGH tứ giác nội tiếp Bài tốn 6:Cho đường trịn tâm O đường kính AB=2R Lấy điểm M tia tiếp tuyến Ax đường tròn cho AM=AB Đường thẳng MB cắt đường trịn Q, lấy P AQ gọi H K hình chiếu P AB AM, gọi C hình chiếu H KQ Chứng minh rằng: a,Tứ giác AKCP tứ giác nội tiếp C, P, B thẳng hàng , điểm C thuộc (O) 111 b,Xác định vị trí điểm P AQ để S ABC lớn c,Chứng minh P thay đổi vị trí CH ln qua điểm cố định Bài toán 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm bất kì.Gọi E, F, K hình chiếu M xuống AB, BC, CA Chứng minh rằng, điều kiện cần đủ để M ∈ (O) E, F, K thẳng hàng (cùng nằm đường thẳng Simson) Sử dụng đường thẳng Simson để giải toán sau: Bài 1.1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), điểm M thuộc cung AC, Ax tiếp tuyến A Gọi H, I, K, N chân đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC, BC, Ax Chứng minh MH MI = MK MN Bài 1.2: Cho tứ giác ABC điểm M,N thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác Biết đường thẳng Simson điểm M, điểm N vng góc với Chứng minh MN đường kính đường trịn Bài 1.3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H I hình chiếu B cạnh AC, AD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AD, HI Chưng mịnh rằng: a) Các tam giác ABD HBI đồng dạng ̂ = 900 b) MNB Bài tốn 8: Cho đường trịn tâm O, qua điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến MA MC Lấy điểm B thuộc cung lớn AC cho MB nằm hai đoạn thẳng MO MC MB cắt đường tròn O Q, MO cắt AC I Đường thẳng qua Q vng góc với AO cắt AB, AC D K Lấy I trung điểm MA Chứng minh B, I, F thẳng hàng Bài tốn 9:Cho đường trịn tâm O Từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến MA MC (A C tiếp điểm) Gọi Q B giao điểm MO đường tròn (Q nằm M B).MO cắt AC I.Qua C kẻ đường thẳng vng góc với AB H Lấy N trung điểm CH BN cắt đường tròn điểm thứ hai P Chứng minh rằng, MO tiếp tuyến đường tròn MPC Bài tốn 10: Cho đường trịn tâm O Từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến MA MC (A C tiếp điểm) Gọi điểm B thuộc cung lớn AC cho MB nằm MO MC Tia MB cắt đường tròn Q (khác M B) cắt AC N 112 Qua Q kẻ đường thẳng song song với BC cắt MC AM I H, gọi K điểm đối xứng với C qua B Chứng minh M, I, K thẳng hàng Bài tốn 11: Cho nửa đường trịn O đường kính AB Từ điểm M tiếp tuyến Ax đường tròn cho OM > 2R vẽ tiếp tuyến thứ MC(C tiếp điểm) Đường thẳng MB cắt nửa đường tròn Q, cắt AC N Gọi I giao điểm MO AC, gọi E trung điểm MI Chứng minh rằng: MC EN, BI đồng quy Bài tốn 12: Cho đường trịn tâm O Từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ tiếp tuyến MA, MC (A,C tiếp điểm) Cát tuyến MQB (Q nằm M B) Qua Q kẻ đường thẳng song song với MC cắt AC N Gọi I trung điểm QB Chứng minh cát tuyến MQB thay đổi ln qua M trọng tâm tam giác CQB ln thuộc cung trịn cố định Bài tốn 13: Cho đường trịn tâm O đường kinh AB Từ điểm M tiếp tuyến à đường tròn vẽ cát tuyến MQD (Q nằm M D) MO cắt BQ BD G H Chứng minh O GH Bài toán14:Cho đường trịn tâm O, từ điểm M nằm ngồi đường trịn vẽ hai tiếp tuyến MA MC(A, C hai tiếp điểm) Gọi H, E trung điểm MC MO, AH cắt đường tròn Q Chứng minh EQ ⊥CQ Bài toán 15:Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường trịn đó, cắt Ax By theo thứ tự C D Nối M với B cắt Ax N Bài toán 16:( Bài toán chứng minh nhiều điểm nằm đường tròn - Đường tròn Ơ le): Chứng minh tam giác bất kì, điểm gồm trung điểm cạnh, chân đường cao, trung điểm đoạn nối trực tâm với đỉnh nằm đường trịn Bài tốn 17: (Định lý Pto-le-me): Trong tứ giác nội tiếp, tổng tích hai cạnh đối diện tích hai đường chéo Sử dụng định lí Ptoleme để giải số tốn sau: Bài toán 18: ( Toán tuổi thơ) Cho tam giác ABC, (O) đường tròn ngoại tiếp, M trung ̂ = 𝑆𝐴𝐶 ̂ điểm BC Các tiếp tuyến với (O) B, C cắt S Chứng minh: 𝑀𝐴𝐵 113 Bài 18.1: Đường tròn nội tiếp tâm (I) tam giác ABC theo thứ tứ tiếp xúc với AC, AB E, F BE CF theo thứ tự cắt (I) M N Chứng minh rằng: 𝑀𝐸 𝑀𝐹 𝑁𝐸 = -4 𝑁𝐹 Bài 18.2: Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC theo thứ tự tâm đường tròn nội tiếp M, N theo thứ tự trung điểm AB, AC Chứng minh M, N, O, I thuộc đường tròn Bài 18.3: Cho tứ giác nội tiếp ABCD, O giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB OCD lại cắt K nằm ABCD Dựng điểm L thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chưa O cho tam giác BCL đồng dạng với tam giác ADK Chứng minh tứ giác BKCL ngoại tiếp Bài 18.4: Cho tứ giác nội tiếp ABCD có AB CD = AD BC H K theo thứ tự trung điểm AC BD Chứng minh rằng: KA + KC = HB + HC Bài 18.5: Cho tam giá ABC, AE, BF đường phân giác, O tâm đường tròn ngoại tiếp Tia EF cắt (O) I Chứng minh rằng: 𝐼𝐴 = 𝐼𝐵 + 𝐼𝐶 Bài 18.6: Cho tam giác ABC có AB + AC = 2BC I tâm đường tròn nội tiếp E, F theo thứ tự tiếp điểm (I) với AC, AB K, L theo thứ tự điểm đối xứng E, F qua I Chứng minh rằng: Tứ giác BCLK nội tiếp Bài toán 19: (Bài toán bướm): Cho I trung điểm dây cung AB đường tròn (O) Qua I vẽ hai dây cung tùy ý MN PQ cho M,Q nằm phía AB Các dây cung MP NQ cắt AB E F Chứng minh I trung điểm EF Sử dụng tính chất tốn bướm ta chứng minh toán sau: Bài 19.1: Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với MH cắt AB, AC E F Chứng minh ∆MEF cân Bài 19.2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) Gọi H, I hình chiếu B AC, AD Gọi M, N trung điểm AD HI Chứng minh rằng: a) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI ̂ = 900 b) MNB Bài 19.3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O) có hai cạnh AD BC kéo dài cắt I Qua I kẻ đường thẳng d vng góc với OI Các đường thẳng Ac, BD cắt d M, N Chứng minh IM = IN ... phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào tiết luyện tập chủ tứ giác nội tiếp lớp chương II 33 CHƯƠNG II:VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC PHÁT HIỆN VÀ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀO CÁC TIẾT LUYỆN TẬP VỀ TỨ GIÁC... sử dụng hoạt động 2.3 Phương án vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào tiết luyện tập tứ giác nội tiếp lớp 2.3.1 Vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn đề vào việc xác định cách... vấn đề vào tiết luyện tập chủ đề tứ giác nội tiếp THCS? ?? 3 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu Phương pháp dạy học phát giải vấn đề Từ đề xuất số phương án vận dụng phương pháp dạy học phát giải vấn