Bài tập quan hệ vuông góc trong không gian Vấn đề 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, Hai dường thẳng vuông góc Bài 1. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy. Gọi M, N là hình chiếu của A trên SB, SD. a) Chứng minh MNBD và SC vuông góc với mp(AMN). b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc. Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Gọi H, K là trực tâm của tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: SC vuông góc với mp(BHK). b) HK vuông góc với mp(SBC). Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, biết SB = SD. a) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của đoạn thẳng BD. b) Gọi H, K là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh SH = SK, OH = OK và HKBD. c) Chứng minh (SAC) là mp trung trực của HK. Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H (ABC). Chứng minh rằng:
BÀI TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Vấn đề Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, Hai dường thẳng vuông góc Bài Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy Gọi M, N hình chiếu A SB, SD a) Chứng minh MN//BD SC vuông góc với mp(AMN) b) Gọi K giao điểm SC với mp(AMN) Chứng minh AMKN có hai đường chéo vuông góc Bài Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: SC vuông góc với mp(BHK) b) HK vuông góc với mp(SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, biết SB = SD a) Chứng minh (SAC) mp trung trực đoạn thẳng BD b) Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SH = SK, OH = OK HK//BD c) Chứng minh (SAC) mp trung trực HK Bài Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trực tâm tam giác ABC biết A’H ⊥ (ABC) Chứng minh rằng: a) AA’ ⊥ BC AA’ ⊥ B’C’ b) Gọi MM’ giao tuyến xủa hai mp(AHA’) (BCC’B’) M ∈ BC M’ ∈ B’C’ Chứng minh tứ giác BCC’B’ hình chữ nhật MM’ đường cao hình chữ nhật Bài HAi tam giác cân ABC DBC nằm hai mp khác tạo nên tứ diện ABCD Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh BC ⊥ AD b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH ⊥ (BCD) Bài Cho hai hình chữ nhật ABCD, ABEF nằm hai mp khác cho AC ⊥ BF Gọi CH FK hai đường cao tam giác BCE ADF Chứng minh: a) ACH BFK tam giác vuông b) BF ⊥ AH AC ⊥ BK 6a Bài Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cân A với AB = a, BC = Gọi M trung điểm BC Vẽ AH ⊥ MD a) Chứng minh AH ⊥ (BCD) 4a b) Cho AD = Tính góc hai đường thẳng AC DM c) Gọi G1, G2 trọng tâm tam giác ABC DBC Chứng minh G1G2 ⊥ (ABC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Biết SA = SC SB = SD Chứng minh SO ⊥ (ABCD) AC ⊥ SD Gọi I, J trung điểm BA, BC Chứng minh IJ ⊥ (SBD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD Tính cạnh tam giác SIJ chứng minh SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB) Gọi SH đường cao tam giác SIJ Chứng minh SH ⊥ AC tính độ dài SH Gọi M điểm thuộc BD cho BM ⊥ SA Tính AM theo aAM theo a Bài 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a SAB tam giác SC = a Gọi H, K trung điểm AB, AD Chứng minh SH ⊥ (ABCD) b) Chứng minh AC ⊥ SK CK ⊥ SD Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy SA = a, đáy ABCD hình thang vuông đường cao AB = a, BC = 2a Ngoài SC ⊥ BD Chứng minh tam giác SBC vuông 2 Tính theo a độ dài đoạn AD Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM = x, với ≤ x ≤ a Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM theo a x Xác định x để DE lớn nhất, nhỏ Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy SA = 2a, tam giác ABC vuông C với AB = 2a, ∠ BAC = 30 Gọi M điểm di đọng cạnh AC, H hình chiếu S BM Chứng minh AH ⊥ BM Đặt AM = x, với ≤ x ≤ Tính khoảng cách từ S tới BM theo a x Tìm x để khoảng cách lớn nhất, nhỏ Bài 13 Cho tam giác ABC có BC = 2a đường cao AD = a Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABC) A lấy điểm S cho SA = a Gọi E, F trung điểm SB, SC Chứng minh BC ⊥ (SAD) Tính diện tích tam giác AEF Bài 14 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a cạnh bên AA’ = a vuông góc với đáy Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI ⊥ BC’ Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh AM ⊥ BC’ a Gọi K điểm đoạn A’B’ cho KB’ = J trung điểm B’C’ Chứng minh AM ⊥ (MKJ) Bài 15 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (DBC) tam giác ABC vuông A Kẻ DI ⊥ BC Chứng minh BC ⊥ (AID) Kẻ DH ⊥ AI Chứng minh DH ⊥ (ABC) 2 Đặt ∠AID = α , ∠ABD = β , ∠ACD = γ Chứng minh sin α = sin β + sin γ Giả sử AD = a, β = γ = 300 Tính BC α 2a 3 Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA = SB = Kẻ SH ⊥ (ABC) Chứng minh H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC TÍnh đọ dài SH theo a Gọi I trung điểm BC Chứng minh BC ⊥ (SAI) Gọi ϕ góc SA SH Tính ϕ Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Gọi I , M trung điểm SC AB Cho SA = a Gọi O giao điểm AC BD Chứng minh IO ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách từ I đến CM Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, SA ⊥ (ABCD) Gọi H, K hình chiếu A SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) Kẻ AJ ⊥ (SBD) Chứng minh J trực tâm tam giác SBD Bài 19 Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ đáy, tam giác ABC cân B Gọi G trọng tâm tam giác SAC N điểm thuộc cạnh SB cho SN = 2NB Chứng minh BC ⊥ (SAB) b) NG ⊥ (SAC) Bài 20 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC, tam giác ABC vuông A Gọi I trung điểm BC Chứng minh: BC ⊥ (SAI) SI ⊥ (ABC) Bài 21 Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC) Gọi AI đường cao H trực tâm tam giác ABC Hạ HK ⊥ DI Chứng minh: HK ⊥ BC 2 K trực tâm tam giác DBC Bài 22 Cho tam giác ABC vuông C Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) A, lấy điểm S di động Gọi D, F hình chiếu A SB, SC Chứng minh: AF ⊥ SB Bài 23 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ∠ASB = 120 , ∠BSC = 90 , ∠CSA = 60 Chứng minh tam giác ABC vuông Xác định hình chiếu H S mp(ABC) Tính SH theo a Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD tứ giác có ABD tam giác đều, BCD tam giác cân C có 0 ∠BCD = 1200 SA ⊥ đáy Gọi H, K hình chiếu vuông góc A SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) Gọi C’ giao điểm SC với mp(AHK) Tính diện tích tứ giác AHC’K AB = SA = a Bài 25 Cho tam giác ABC cạnh a, d đường thẳng vuông góc với (ABC) A Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh HK ⊥ (SBC) Bài 26 Cho hình vuông ABCD Gọi H, K trung điểm AB, AD Trên đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) H, lấy điểm S (khác H) Chứng minh: AC ⊥ (SHK) CK ⊥ SD Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, SA ⊥ đáy Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SC Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông Chứng minh SHK tam giác vuông Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh AC ⊥ AD Bài 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh tâm O, AB = SA = a, SA ⊥ đáy Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với SC, (P) cắt SB, SC, SD H, I, K Chứng minh HK//BD Chứng minh AH ⊥ SB, AK ⊥ SD Chứng minh tứ giác AHIK có hai đường chéo vuông góc Tính diện tích AHIK theo a Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, SCD vuông D có SD = a Chứng minh SA ⊥ (ABCD) tính SA Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC, K L giao điểm SB, SD với mp(HIJ) Chứng minh AK ⊥ (SBC) AL ⊥ (SCD) Tính diện tích tứ giác AKHL Bài 30 Cho tam giác MAB vuông M nằm mp(P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A lấy hai điểm C, D nằm hai phía (P) Gọi C’ hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC’ Chứng minh CC’ ⊥ (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB Chứng minh K trực tâm tam giác BCD Vấn đề Hai mặt phẳng vuông góc Bài Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE DF cắt O Trong mp(ACD) vẽ DK ⊥ AC Gọi H trực tâm tam giác ACD Chứng minh (ACD) ⊥ (ABE) (ACD) ⊥ (DFK) Chứng minh OH ⊥ (ACD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, có cạnh a đường chéo BD = a SC = a vuông góc với (ABCD) Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) Bài Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên SAB SAD vuông góc với (ABCD) Biết ABCD hình vuông SA = AB Gọi M trung điểm SC Chứng minh: a) (SAC) ⊥ (SBD) b) (SAD) ⊥ (SCD) c) (SCD) ⊥ (ABM) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có BC = 2AB Tam giác SAB vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a SA = SB = SC = a a) Chứng minh (SBD) ⊥ (ABCD) b) Chứng minh tam giác SBD vuông Bài Cho tam giác ACD BCD năm hai mp vuông góc với AC = AC = BC = BD = a CD = 2x Gọi I, J trung điểm AB, CD Chứng minh IJ ⊥ AB CD Tính AB IJ theo a x Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD) Bài Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác vuông B AD ⊥ (ABC) Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD) Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông C, SAC tam giác nằm mp vuông góc với (ABC) Gọi I trung điểm SC a) Chứng minh (SBC) ⊥ (SAC) b) Chứng minh (ABI) ⊥ (SBC) Bài Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB’ CC’ vuông góc với mp(ABC) Chứng minh (ABB’) ⊥ (ACC’) Gọi AH, AK đường cao tam giác ABC AB’C’ Chứng minh hai mp(BCC’B’) (AB’C’) vuông góc với mp(AHK) Bài 10 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức lien hệ a, b, x, y để: (ABC) ⊥ (BCD) b) (ABC) ⊥ (ACD) Bài 11 Cho tam giác ABC cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc với a (ABC) D lấy điểm S cho SD = Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAC) b) (SBC) ⊥ (SAD) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA ⊥ đáy Gọi M, N hai điểm thuộc cạnh BC, CD cho BM = x, DN = y Tìm hệ thức lien hệ a, x y để (SAM) ⊥ (SMN) Bài 13 Cho tam giác ABC vuông B Đoạn thẳng AD ⊥ (ABC) Chứng minh (ABD) ⊥ (BCD) Vẽ đường cao AH tam giác ABD, chứng minh AH ⊥ (BCD) Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a có SA = SB = SC = a Chứng minh: (ABCD) ⊥ (SBD) b) Tam giác SBD vuông S Bài 15 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) (ACC’A’) ⊥ (A’BD) Bài 16 Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh: a) (SAC) ⊥ (BHK) b) (SBC) ⊥ (BHK) Bài 17 Cho tứ diện SABC có ba đỉnh A, B, C tạo thành tam giác vuông cân đỉnh B AC = 2a, có cạnh SA ⊥ mp(ABC) SA = a Chứng minh (SAB) ⊥ (SBC) Gọi AH đường cao tam giác SAB Chứng minh AH ⊥ (SBC) Tính độ dài đoạn AH Từ trung điểm O đoạn AC vẽ OK ⊥ (SBC) Tính độ dài đoạn OK Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O có cạnh SA ⊥ đáy Giả sử ( α ) mp qua A vuông góc với cạnh SC, ( α ) cắt SC I Xác định giao điểm K SO với mp( α ) Chứng minh (SBD) ⊥ (SAC) BD//( α ) Bài 19 Cho hình vuông ABCD Gọi S điểm không gian cho SAB tam giác nằm mp vuông góc với đáy Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) (SAB) ⊥ (SBC) Tính góc hai mp (SAD) (SBC) Gọi H, I trung điểm AB, BC Chứng minh (SHC) ⊥ (SDI) Bài 20 Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ (DBC) Gọi AE, BF đường cao tam giác ABC; H, K trực tâm tam giác ABC DBC Chứng minh: a) (ADE) ⊥ (ABC) (BFK) ⊥ (ABC) b) HK ⊥ (ABC) 2a Trên đường thẳng vuông góc với mp(P) Bài 21 Trong mp(P), cho hình thoi ABCD với AB = a, AC = gaio điểm O hai đường chéo AC BD, lấy điểm S cho SB = a Chứng minh: a) Tam giác ASC vuông b) (SAB) ⊥ (SAD) Bài 22 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A, hai đáy AD = 2a, BC = a Biết AB = a, SA = a SA ⊥ đáy a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SDC) b) Dựng thiết diện hình chóp cắt mp(P) chứa AB vuông góc với mp(SDC) Tính diện tích thiết diện theo a Bài 23 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ đáy, đáy ABCD hình chữ nhật Hạ AH ⊥ SB, AK ⊥ SD Chứng minh: a) (SBC) ⊥ (SAB) b) (AHK) ⊥ (SAC) a Bài 24 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên Chứng minh (SBC) ⊥ (SAB) Bài 25 Cho tứ diện ABCD Gọi H hình chiếu A (BCD) O trung điểm AH Chứng minh mp(OBC), (OCD), (OBD) đôi vuông góc với Bài 26 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều, SA ⊥ đáy Gọi H, K trực tâm tam giác ABC DBC Chứng minh: (SAH) ⊥ (SBC) b) (CHK) ⊥ (SBC) Bài 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông, SA ⊥ đáy Gọi M trung điểm BC Tìm N CD để (SAM) ⊥ (SMN) Bài 28 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = SA = a Gọi I, K trung điểm AB, CD Một mp(P) qua CD vuông góc với (SAB) cắt SA, SB M N a) Chứng minh (SIK) ⊥ (SAB) b) (P) cắt hình chóp theo thiết diện hình gì? Tính diện tích thiết diện theo a Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = a vuông góc với đáy Chứng minh (SCD) ⊥ (SAD) Cắt hình chóp mp(P) chứa AB vuông góc với (SCD) Tính theo a diện tích thiết diện Bài 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Hai mp(SAC) (SBD) vuông góc với đáy a) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) b) Từ O kẻ OK ⊥ BC Chứng minh BC ⊥ (SOA) c) Chứng minh (SBC) ⊥ (SOK) d) Kẻ OH ⊥ SK Chứng minh OH ⊥ (SBC) Bài 31 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ Gọi O giao điểm AC BD Kẻ CK ⊥ BD Chứng minh C’K ⊥ BD Chứng minh (C’BD) ⊥ (C’CK) Kẻ CH ⊥ C’K Chứng minh CH ⊥ (C’BD) 2a 3 Hai mp(SAC) Bài 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O, cạnh a, SB = SD = a, BD = (SBD) vuông góc với đáy b) Chứng minh (SBC) ⊥ (SCD) Bài 33 Cho tam giác ABC Trên đường thẳng d vuông góc với mp(ABC) A lấy điểm S Gọi D trung điểm BC a) Chứng minh (SAD) ⊥ (SBC) b) Kẻ CI ⊥ AB, CK ⊥ SB Chứng minh SB ⊥ (ICK) c) Kẻ BM ⊥ AC, MN ⊥ SC Chứng minh SC ⊥ BN d) Chứng minh (CIK) ⊥ (SBC) (MBN) ⊥ (SBC) e) MB cắt CI G, CK cắt BN H Chứng minh GH ⊥ (SBC) f) Chứng minh điểm B, C, I, K, M, N cách D Bài 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC Tứ giác AIHK có đặc điểm gì? Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) (SHK) ⊥ (SAC) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK Chứng minh HM ⊥ (SAB) HN ⊥ (SAC) Bài 35 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O, AB < BC, AB = a Hai mp(SAD) (SAD) cùn vuông góc với đáy Chứng minh SA ⊥ (ABCD) Chứng minh (CSB) ⊥ (SAB) Chứng minh tam giác SAC vuông S a2 SC = ∠ BSC = β cos 2α − sin β ∠ SCA = α Đặt , Chứng minh Bài 36 Cho hình chóp tam giác S.ABC, cạnh đáy có độ dài a, M, N trung điểm SB, SC Biết (AMN) ⊥ (SBC) Tính theo a diện tích tam giác AMN Bài 37 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Hai mp(ASB) (SAD) vuông góc với đáy Chứng minh SA ⊥ (ABCD) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD) Cho SA = 2a Kẻ AH ⊥ (SBC) Tính AH? Bài 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông tâm O, cạnh a, SA ⊥ đáy SA = a Gọi M 0≤ x≤ a 2 điểm thuộc đoạn AO cho AM = x, a) Gọi H hình chiếu M (SBC) Tính MH b) Mp(P) ⊥ AC M cắt hình chóp theo đa giác Trình bày cách dựng thiết diện c) Tìm x để diện tích đa giác lớn