Công thức hình học giải tích 12 I. Tọa độ trong không gian:
Trang 1Công thức hình học giải tích 12
I Tọa độ trong không gian:
1 Cộng, trừ vectơ:
2 Nhân vectơ với một số thực: k R.
3 Tích vô hướng của 2 vectơ:
4 Tích có hướng của 2 vectơ: [] = =
5 Độ dài vectơ:
6 Hai vectơ bằng nhau:
7 Góc giữa hai vectơ: .
8 Hai vectơ vuông góc:
9 Hai vectơ và cùng phương [] =
nếu
10 Ba vectơ , và đồng phẳng [, ] = 0.
11 Diện tích tam giác:
12 Thể tích tứ diện ABCD:
13 Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’:
14 I là trung điểm đoạn thẳng AB
15 G là trọng tâm tam giác ABC
16 Tọa độ vectơ: (
II Phương trình mặt cầu:
1 Mặt cầu đi qua M(x0; y0; z0)
bán kính R có phương trình là: (x – x 0) 2 + (y – y0) 2 + (z – z0) 2 = R 2
2 Phương trình x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0 với điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0 là phương trình mặt cầu
tâm I(- a; - b; - c); bán kính R =
III Phương trình mặt phẳng:
1 Mặt phẳng đi qua M(x0; y0; z0)
có vectơ pháp tuyến (A; B; C) có phương trình là: A(x – x 0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0.
2 Mặt phẳng đi qua M(x0; y0; z0) và có 2 vectơ chỉ phương và thì có vectơ pháp tuyến là:
= [;
3 Chú ý:
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng (Tìm vtcp của đường thẳng => vtpt của mp)
• Đường thẳng song song với mặt phẳng thì vtcp của đt là vtcp của mp.
• Hai mặt phẳng song song với nhau thì vtpt của mp này là vtpt của mp kia và ngược lại.
• Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vtpt của mp này là vtcp của mp kia.
IV Phương trình đường thẳng:
1 Đường thẳng đi qua M(x0; y0; z0)
Trang 2có vectơ chỉ phương (a; b; c) có
a Phương trình tham số là: .
b Phương trình chính tắc là: nếu abc ≠ 0
2 Đường đi qua M(x0; y0; z0) và có 2 vectơ vuông góc (“pháp tuyến”) và thì có vectơ chỉ phương là:
= [;
3 Chú ý:
• Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ chỉ phương của đường thẳng (Tìm vtpt của mp => vtcp của đường thẳng).
• Đường thẳng song song với mặt phẳng thì vtpt của mp có giá vuông góc với đường thẳng.
• Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì vtcp của đường thẳng có giá vuông góc với đường thẳng kia.
• Hai đường thẳng song song với nhau thì vtcp của đt này là vtcp của đt kia và ngược lại.
V Góc:
1 Góc giữa hai đường thẳng: d1, d2 có vtcplần lượt là và , α là góc giữa chúng thì: .
2 Góc giữa hai mặt phẳng: (P) và (Q) có vtpt lần lượt là và , α là góc giữa chúng thì .
3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d có vtcp , (P) có vtpt là , α là góc giữa chúng thì
VI Khoảng cách:
1 Khoảng cách giữa hai điểm A và B: AB = = ||.
2 Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mp(P) Ax + By + Cz + D = 0 là:
3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng (P) ( // (P)): Lấy A d; d(,(P)) = d(A, (P)).
4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P) và (Q): Lấy A (P); d((P),(Q)) = d(A, (Q)).
5 Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : d(M, ) = (M0 thuộc ).
6 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 1 // 2 : Lấy M thuộc 1 , d(1, 2) = d(M, 2).
7 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2 : 1; 2 , d(1, 2) =