CÔNG THỨC TOÁN CẤP III ĐẦY ĐỦ

VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :... 3.Cách lập phương trình đường tròn các dạng cơ bản: Để lập phương trình đường trịn C ta thường cần phải xác định tâm I a; b và bán kính R của C.. Tâm I là trung điểm

CĂN BẬC HAI

1 A 2 A 2 AB A B(A0, B0 ) 3

B

A B

B A

B A C B A

10)

B A

B A C B

 A = 0 và B  0 : phương trình vô nghiệm

 A = 0 và B = 0 : phương trình vô số nghiệm.( x R  )

 A = 0 và B  0 : vô nghiệm A = 0 và B < 0 : vô số nghiệm.( x R)

NHỚ 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT HAI ẨN SỐ 1/ Dạng :

c y b x a

c by ax

b a

b a

b c

c a

 D = 0 và Dx  0

Hệ vô nghiệm

D = 0 và Dy  0

 D = Dx = Dy = 0 : Hệ vô số nghiệm tùy thuộc a, b, c, a/, b/, c/

NHỚ 3 : PHƯƠNG TRÌNH BẬT HAI MỘT ẨN

21

22

x

22

/ /

/ /

f(x) = 0 cĩ hai nghiệm 0;f(x) = 0 cĩ nghiệm kép 0; f(x) = 0 vơ nghiệm 0

f(x) = 0 cĩ hai nghiệm trái dấu 0

0

a P

a

S P

0000

a

S P

f(x) Trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 5 : DẤU TAM THỨC

f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) ( Nhớ : TRONG TRÁI NGOÀI CÙNG)

f(x) cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a

NHỚ 6 : SO SÁNH NGHIỆM CỦA TAM THỨC BẬC HAI VỚI CÁC SỐ

Cho: f(x) = ax2 + bx + c ( a  0) và ,  là hai số thực()

0)(0



 S

0)(0



 S af

0)(



 af

0)(



 af af

2 1

x x

x x

0)(0

S af af

 Chú ý:

B B

02

2

hayB A

B A B

B A B

A B

A

2

0 2/

B A B A B

B A

2

2

000 3/ 2K 1A B A B2K 1

B A

B A B

)()()

()(

x

x g x f x

x g x f

x g x f

b a

0,

c bc ac

c bc ac b

b a

0

;11

ab khi b a

ab khi b a b a

2

Hay

n n n

n

a a

a a a a a

1

Dấu đẳng thức xảy ra  a1 = a2 = a3 = = an

Cơ si cho 2 số khơng âm: a b , 0: a b 2 ab Dấu “=” xảy ra khi a b

Tính chất: Cho 2 số khơng âm a b,

 Nếu a b  hằng số thì a b đạt giá trị lớn nhất khi a b

 Nếu a b  hằng số thì (a b )đạt giá trị nhỏ nhất khi a b

4/ BĐT Bunhia Côp ski :

Cho a1, a2, a3, , an, b1, b2, b3, , bn là những số tực khi đó:

)

)(

()

6/ BĐT tam giác :

B A B

A   .Đẳng thức xảy ra  AB  0

NHỚ 12 : CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

A HỆ THỨC CƠ BẢN ( 6 công thức )

Điều kiện tồn tại :

 tanx là(x  / 2 + k , k  Z)  cotx là (x  k , k  Z)

 sinx là – 1  Sinx  1  cosx là – 1  Cosx  1

Chú ý :

 a2 + b2 = ( a + b)2 – 2ab  a3 + b3 = ( a + b)3 – 3ab( a + b)

B CÔNG THỨC CỘNG ( 8 công thức ):

7/ cos a b(  )cos a cosbsin a sinb 8/ cos a b(  )cos a cosbsin a sinb

9/ sin a b(  )sin a cosbcos a sinb 10/.sin a b(  )sin a cosb cosa sinb

1 tan

tana tanb tan a b

I NHÂN ĐÔI : ( 3 công thức)

15/ sin a2 2 sin a cosa 16/ cos a2 2cos a2   1 1 2sin a2 cos a2 sin a2

1

tana tan a

tan a





II NHÂN BA : ( 3 công thức)

18/ Cos3a4Cos3a3Cosa 19/ Sin3a3Sina4Sin3a 20/

a Tan

a Tan Tana a

3

31

33

a Sin    1Cos2a 2Sin2a

22/

2

21

a Cos   1Cos2a 2Cos2a

23/

4

33

a Sin   24/

4

33

2Cos a b Cos a b Cosb

22

2Sin a b Sin a b Cosb

30/

22

2Sin a b Cos a b Sinb

22

2Cos a b Sin a b Sinb

32/

CosaCosb

b a Sin Tanb Tana  (  ) 33/

CosaCosb

b a Sin Tanb

34/

SinaSinb

b a Sin Cotb Cota  (  ) 35/

SinaSinb

b a Sin Cotb

2

1

b a Cos b a Cos

CHUÙ YÙ:

cos()cos sin(  ) sin sin cos

G Giá trị lượng giác của các gĩc cĩ liên quan đặc biệt:

NHỚ 13 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

k v u

k  Z Cosu = Cosv u vk2

B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI Sin và Cos

Dạng: aSinx + bCosx = c (1) ( a2 + b2  0 ) Phương pháp :

Cách 1: Chia hai vế cho 2 2

b

b a

b Cos

b a

b a

c x

c

a2b2 c2 (*) Vô nghiệm khi 2 2 2

c b

3

32

1

12

Xét x  (2k + 1) .Đặt :

2

x Tan

2

t

t Cosx t

t Sinx

C PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI:

1/ Đối với một hàm số lượng giác: Giả sử a 0

aSin2xbSinxc0( đặt tSinx , t 1)  aCos2xbCosxc0(đặt tCosx , t 1) aTan2xbTanxc0( đặt tTanx x  k 

2

 aCot2xbCotxc0( đặt tCotx ,xk  )

2/ Phương trình đẳng cấp đối với Sinx, Cosx

Dạng:  aSin2xbSinxCosxcCos2x0 (1)

 aSin3xbSin2xCosxcSinxCos2xdCos3x0 (2) Phương pháp :

Cách 1:

 Kiểm x = / 2 + k có phải là nghiệm của phương trình ?

 Chia hai vế cho Cos2x ( dạng 1), chia Cos3x ( dạng 2) để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai, bậc ba đối với Tanx

Cách 2:

Dạng (1) có thể sử dụng công thức hạ bậc và

2

2x Sin SinxCosx  thế vào

3/ Phương trình đối xứng của Sinx, Cosx:

Dạng : a(Sinx + Cosx) + bSinxCosx + c = 0 (*)

4(

1(*)

K A

K A

k B

l A

l A

1

B A

NHỚ 14: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIAC

H

A

1.TAM GIÁC THƯỜNG ( các định lý)

2 2



bc

a c b CosA

2

2 2 2

b SinA

a

2,



b a

b a B A Tan

B A Tan

Các chiếu  a bCosCcCosB

4

)(

12

12

b SinA

a S

abc R

22

2



 a, b, c : cạnh tam giác

 A, B, C: góc tam giác

 ha: Đường cao tương ứng với cạnh a

 ma: Đường trung tuyến vẽ từ A

 R, r : Bán kính đường tròn ngoại, nội tiếp tam giác



2

c b a

p   Nữa chu vi tam giác

2.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG:



AC AB BC AH

CH BH AH

.2

2 2 2

111

AC AB

NHỚ 15: MỘT SỐ BÀI TÓAN CẦN NHỚ

CHO TAM GIÁC ABC :

1/

222

4Cos A Cos B Cos C SinC

SinB

2/

2224

1 Sin A Sin B Sin C CosC

.22

22

C Cot B Cot A Cot C Cot B Cot A

2

.22

.22

A Tan C Tan C Tan B Tan B Tan A Tan

6/ Sin 2A  Sin 2B  Sin2C  2  2CosA CosB CosC

7/ Cos2ACos2BCos2C 12CosA.CosB.CosC

8/ Sin(A )B SinC; Cos(A )B CosC;

22

C Cos B A

22

C Sin B A Cos  

22

C Cot B A

9/

8

33

.SinB SinC

8

1

.CosB CosC

8

332

.2

C Cos B Cos A Cos

12/

8

12

.2

C Sin B Sin A Sin 13/

4

32 2

2





Cos B Cos C A

Cos

14/

9

42 2

2





Sin B Sin C A

Sin 15/ Tan2ATan2BTan2C9

22

24

2

2Cos2 ACos2 BCos2C 

22

2

2 2

2 ATan BTan C 

22

2

2 2

2ASin BSin C 

2

32

NHỚ 17 : HÀM SỐ MŨ

1/ ĐỊNH NGHĨA : Cho a > 0, a  1 ( cố định) Hàm số mũ là hàm số xác định bởi công thức :

y = a x ( x  R)

2/ TÍNH CHẤT :

a) Hàm số mũ liên tục trên R b) y = a x > 0 mọi x  R

c) a > 1 : Hàm số đồng biến : a x1 a x2 x1 x2

d) 0 < a < 1 : Hàm số nghịch biến: a x1 a x2 x1 x2

3/ ĐỒ THỊ :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

4.CÔNG THỨC: .

1)a a a ; 2)a a ; 3)(a ) a ; 4)(ab) a b ; 5) a a a b b                               

6) ; 7)

n n n n n n a a a b a b b b   8) n a m  n a m;n k. a m k.  n a m , . 9) ;10) , n n a n m n m a a a a     11) 0 1 a  n 1 a n a   12) (**)(n n ) m n m n a  a a bb a

5.PHƯƠNG TRÌNH MŨ: 0a1 : a f x( ) a g x( )  f x( )g x( ) 6.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ: ( ) ( )

1 : f x g x ( ) ( ) a a a  f x g x ( ) ( )

0a1 : a f x a g x  f x( )g x( ) NHỚ 18 : HÀM SỐ LOGARIT 1/ Định nghĩa : a Với số 0a1,b0 loga b  a  b b) Hàm số logarit theo cơ số a ( a > 0, a  1 ) của đối số x là hàm số được cho bởi công thức: y = log a x ( với x > 0, a > 0, a  1)

2/ TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ logarit : 1)log 1 0 ; loga  a a1 2) loga(b.c)loga bloga c 3) b c c b a a a log log log        ;

4) loga b  .loga b 5) log 1loga a  b b   6) log loga a  b b     6) log 1 log ;log n 1log a a b a b a b b   n 7) b c c b c c a b a a a b log log log log log log    ;

8)log 1 log a b b a  9) loga b a b; 10) logb c logb a a c 11)

c b c

b a

c b c

b a

a a

a a























0 log

log : 1 0

0 log

log : 1

3 GIỚI HẠN: lim 1 1 ; limln(1 ) 1

0



x x

e

x x

x

4/ ĐỒ THỊ :

(a> 1) y ( 0 < a < 1) y

1 1

0 x 0 x

4/ PHƯƠNG TRÌNH Logarit : loga f(x)loga g(x) f(x)g(x)

( f(x) hoặc g(x) > 0 , 0 < a  1 )

5/ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Logarit :  loga f(x)loga g(x) (*)

         ) ( ) ( 0 ) ( (*) 1 x g x f x f a

           ) ( ) ( 0 ) ( (*) 0 1 x g x f x g a

NHỚ 19 : ĐẠO HÀM I/ ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM :  Cho hàm số y = f(x) , xác định trên ( a, b) , x 0  ( a, b) Ta nói f(x) có đạo hàm tại x 0 nếu giới hạn  0   x khi x y tồn tại x x f x x f x y x f x x             ) ( ) ( lim lim ) ( 0 0 0 0 0 '  Đạo hàm bên trái : x y x f x        0 0 ' lim ) ( ( tồn tại )  Đạo hàm bên phải : x y x f x        0 0 ' lim ) ( ( tồn tại )  Cho y = f(x) xác định trên (a, b).y = f(x) có đạo hàm tại x 0  (a, b)  f ‘ (x 0 + ) = f ’ (x 0 – ) II/ QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM : Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) Là các hàm số có đạo hàm, khi đó: 1)(u + u - w)' = u' + v' - w'; 2) (uv)' = u'v + v'u; 3) (k.u)' = k.u' ( kR) 4) ( )' ' 2 ' v u v v u v u   5)(1)' 2' v v v 

III/ BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN :

Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x))

(C)' = 0

(x)' = x-1(  R, x > 0)

x

x

2

1 )'

(  (x > 0)

(u)' = u-1.u'(  R, u > 0)

u

u u

2

' )' (  (u > 0)

x)' 1

(ln 

a x

x

a

ln

1)'(log 

u

u

u)' '(ln 

a u

u u

a

ln

')'(log 

MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ ĐẶC BIỆT:

 (

d cx

b ax





)(cx d

bc ad





2 2

)(

2)'

(

e dx

dc be aex adx

e dx

c bx ax

NHỚ 20 : ĐỊNH LÝ LAGRĂNG

Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại ít nhất một điểm x = c

3/ ĐỔI CƠ SỐ:

dx x f

b

a

)(.)()

với x =  (t) là hàm số liên tục và có đạo hàm  ’ (t) liên tục trên [a, b] ,   t  

a =  (  ), b =  (  ), f[  (t)] là hàm số liên tục trên [  ,  ]

f( ) ( ) b)  ( ) 0

a

a

dx x f

b

c c

a b

a

dx x f dx x f dx x

a

dx x g dx x f dx x g x

[

2

1)'

(cosx)' = -sinx

(tanx)' =

x

2cos

1 (x   k 

2 , k  Z) (cotx)' = -

x

2sin

1 (x  k, k  Z)

(sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' =

u

u

2cos

'(u   k 

2 , k  Z) (cotu)' = -

u

u

2sin'(u  k, k  Z)

dx    C

 1

1 sin( ax b dx ) cos( ax b ) C

x a dx

n C

k n k





n K

C 1 11 

n n

z là thuần ảo  phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

8 CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC:

 zx yi Là căn bậc hai của số phức wa bi  z2 w  2 2

 w = 0 Cĩ đúng 1 căn bậc hai là z = 0

 w 0 Cĩ đúng hai căn bậc hai đối nhau

 Hai căn bậc hai của a > 0 là  a

 Hai căn bậc hai của a < 0 là  a i

9 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0)

Chú ý: Nếu z 0  C là một nghiệm của (*) thì z0 cũng là một nghiệm của (*)

10 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC:

 z r (cos isin ) (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z  0)

cossin

a r b r

 z   1 z cosisin ( R)

11 NHÂN CHIA SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC:

Cho z r (cos isin ) , z'r'(cos ' isin ') :

 z z 'rr' cos(    ') isin(  ')  cos( ') sin( ')

 r(cos isin ) n r n(cosn isinn), (nN*)

 cos isinn cosn isinn

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

 Số phức z r (cos isin ) (r > 0) cĩ hai căn bậc hai là:

NHỚ 24 : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

A VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ :

 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM 

được gọi là tọa độ của điểm M Như vậy, cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM 

B A

y y y

x x x

),

k

x k x x

B A

B A

1.1

5)Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngồi AE (D, E  BC) ta cĩ: AB

1 1

b a

b a b

a b a b

a b Cos a b

t a x x

2 0

1

0 Vectơ chỉ phương:a (a1,a2)



VÉCTƠ CHỈ PHƯƠNG:Là véc tơ song song hoặc nằm trên đường thẳng

2/ PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT :

Dạng 1: AxByC0, (A2B2 0).Pháp vectơ n (A,B)



Dạng 2: A x( x0)B y( y0)0.Khi biết đường thẳng đi qua điểm M x y( ;0 0)

VÉC TƠ PHÁP TUYẾN:Là véc tơ cĩ phương vuơng gĩc với đường thẳng

),Và ngược lại

Hệ số góc:k A (B 0)

B

  

4/ Phương trình đường thẳng qua M( x 0 , y 0 ) có hệ số góc k : yk x( x0)y0

5/ Phương trình đường thẳng qua A(x A , y A ) và B(x B , y B ) :

(x – x A )(y B – y A ) = (y – y A )(x B – x A) hay

A B A

A B

A

y y

y y x x

x x

7/ Phương trình chính tắc :

b

y y a

y y x x

x x

8/ Khoảng cách từ một điểm M(x 0 , y 0 ) đến (d):Ax + By + C = 0 :   0 0

2

1

B

B A

A

2 1

2

1

B

B C

2

1

C

C A

1

x

D

D d

0

y

D D

Chú ý :A 2 , B 2 , C 2  0

d 1 cắt d 2

2 1

2

1

B

B A

A



2 1

2 1

2

1 2

1//

C

C B

B A

A d

2 1

2 1

2

1 2 1

C

C B

B A

A d

11/ Góc của hai đường thẳng d 1 và d 2 :

Xác định bởi công thức :

2 2 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1

B A B A

B B A A Cos

2 2 2 2

1 2 1

1 1 1

B A

C y B x A B

A

C y B x A

Dấu của: n1n2 Phương trình đường phân

giác góc nhọn tạo bởi d1, d2

Phương trình đường phân giác góc tù tạo bởi d1, d2

3.Cách lập phương trình đường tròn các dạng cơ bản:

Để lập phương trình đường trịn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C) Khi đĩ

phương trình đường trịn (C) là: (x a )2(y b )2R2

Dạng 1: (C) cĩ tâm I và đi qua điểm A Bán kính R = IA

Dạng 2: (C) cĩ tâm I và tiếp xúc với đường thẳng  Bán kính R = d I( , )

Dạng 3: (C) cĩ đường kính AB Tâm I là trung điểm của AB Bán kính R = AB

2

Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và cĩ tâm I nằm trên đường thẳng 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Xác định tâm I là giao điểm của d và  – Bán kính R = IA

Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng 

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Tâm I của (C) thoả mãn: I d

Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng  tại điểm B

– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB

– Viết phương trình đường thẳng  đi qua B và vuơng gĩc với  – Xác định tâm I là giao điểm của d và 

– Bán kính R = IA

Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng  1 và  2

– Tâm I của (C) thoả mãn: d I d I

Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi  1 và  2

hay xét dấu khoảng cách đại số từ A đến  1 và  2

– Nếu  1 //  2 , ta tính R = 1d( ,1 2)

2   , và (2) được thay thế bới IA = R

x y

O

)

; (a b I R

a

b

)

; (x y M