Tóm tắt kiến thức nhị thức newton

QUY TẮC ĐẾM 1) Quy tắc cộng : Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng kia là : m + n cách. 2) Quy tắc nhân : Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n cách 3) Các dấu hiệu chia hết – Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. – Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276). – Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4 (ví dụ : 1300, 2512) – Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5. – Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3. – Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8 (ví dụ : 15000, 2016)

QUY TẮC ĐẾM

1) Quy tắc cộng :

Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, hiện tượng 2 có n cách xảy ra và hai hiện

tượng này không xảy ra đồng thời thì số cách xảy ra hiện tượng này hay hiện tượng

kia là : m + n cách.

2) Quy tắc nhân :

Nếu hiện tượng 1 có m cách xảy ra, ứng với mỗi cách xảy ra hiện tượng 1 rồi tiếp đến hiện tượng 2 có n cách xảy ra thì số cách xảy ra hiện tượng 1 “rồi” hiện tượng 2 là : m × n cách

3) Các dấu hiệu chia hết

– Chia hết cho 2 : số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

– Chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 (ví dụ : 276)

– Chia hết cho 4 : số tận cùng là 00 hay hai chữ số cuối hợp thành số chia hếtcho 4 (ví dụ : 1300, 2512)

– Chia hết cho 5 : số tận cùng là 0, 5

– Chia hết cho 6 : số chia hết cho 2 và chia hết cho 3

– Chia hết cho 8 : số tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hếtcho 8 (ví dụ : 15000, 2016)

– Chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 (ví dụ : 2835)

1 ) (

1 (

r n

n r

n n

Vậy, số hoán vị của n phần tử, kí hiệu Pn, là :

Pn = n(n – 1)(n – 2)… × 1 = n!

CHỈNH HỢP

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1  k  n), sắp vào k chỗ khác

nhau Mỗi cách chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn, ,chỗ thứ k có [n – (k – 1)] cách chọn Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn sẽ là:

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (0  k  n) không để ý đến thứ

tự chọn Mỗi cách chọn như vậy gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử Ta thấy

mỗi tổ hợp chập k của n phần tử tạo ra được Pk = k! chỉnh hợp chập k của n phần tử

Do đó, nếu ký hiệu k

n

C là số tổ hợp chập k của n phần tử, ta có: C A k! k (n n! k)!

k n k n

k n

n n

n na k

k n k n

n n

n n

n n

n

b b

a b

a b

a b

a a

(i) Số các số hạng trong khai triển nhị thức (a + b)n là n + 1

(ii) Tổng số mũ của a và b trong từng số hạng của khai triển nhị thức (a + b)n là n(iii) Số hạng thứ (k + 1) là k n k k

từng hàng của tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal:

Các tính chất của tam giác Pascal

(i) C n0 C n n  1 các số hạng đầu và cuối mỗi hàng đều là 1

C (0  k  n – 1): Tổng hai số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng

số hạng ở giữa hai số hạng đó ở hàng dưới

n n

n n n

n n

n n

n n n

2 ) 1

2 ) 1

2/ Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gianmẫu của phép thử và kí hiệu là 

II- BIẾN CỐ

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập  được gọi là biến cố không thể Còn tập  được gọi là biến cố chắcchắn

III- PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là A

Tập AB được gọi là hợp của các biến cố A và B.

Tập AB được gọi là giao của các biến cố A và B.

Nếu A B= thì ta nói A và B xung khắc.

Chú ý

AB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra

AB xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra Biến cố AB còn được kí

hiệu A.B

A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nao cùng xảy ra

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

I / ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Định nghĩa

Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quảđồng khả năng xuất hiện Ta gọi tỉ số nn((A))là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)Vậy P ( A ) nn((A))





Chú ý

n(A) là số phần tử của A

n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử

II/ TÍNH CHẤT CỦA XÁC SUẤT

1/ Định lí

a/ P() =0, P()=1

b/ 0 P(A)1, với mọi biến cố A

c/ Nếu A và B xung khắc thì P( A  B ) = P(A)+P(B)

Hệ quả

Với mọi biến cố A, ta có P A  1  P A

III/ CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP, CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT

A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P(AB)=P(A).P(B)

Phần 1 BÀI TOÁN ĐẾM

1 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

1 Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và không chứa 2

2 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A vàkhông bắt đầu bởi 123

2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999) Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác

nhau, trong đó có 2 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh Hỏi cóbao nhiêu cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn sáchcùng môn được xếp kề nhau?

3 (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau,

mỗi dãy có 6 ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 họcsinh trường B vào bàn nói trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợpsau:

1 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác trường vớinhau

2 Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

4 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập

được bao nhiêu số n gồm 5 chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phảikhác 0) trong mỗi trường hợp sau:

1 n là số chẵn

2 Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1

5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và

6 viên bi vàng Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó Hỏi có bao nhiêu cách chọn

để trong số bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?

6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số

thứ tự từ 1 đến 5 cạnh nhau

1 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt(chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?

7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên

các tấm phiếu, sau đó xếp thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng

1 Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2 Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?

8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ

số 1 và bốn chữ số còn là 2, 3, 4, 5 Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:

1 Năm chữ số 1 được xếp kề nhau

2 Các chữ số được xếp tuỳ ý

9 (ĐH Hàng hải 1999) Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E

vào một chiếc ghế dài sao cho:

1 Bạn C ngồi chính giữa

2 Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế

10 (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao

nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số 0 và 1

11 (ĐHQG HN khối B 2000) Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số

gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết cho 5

12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau

trong đó có 5 cuốn sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ Ông muốnlấy ra 6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn

1 Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn sách thuộc 2thể loại Văn và Nhạc Hỏi có bao nhiêu cách tặng?

2 Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sáchtrên đều còn lại ít nhất một cuốn Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh

nữ Có 6 học sinh được chọn ra để lập một tốp ca Hỏi có bao nhiêu cách chọnkhác nhau nếu:

1) phải có ít nhất là 2 nữ

2) chọn tuỳ ý

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 Từ các chữ số đã cho ta có thể lập được:

1 Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau từng đôi một.

2 Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.

3 Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác nhau từng đôi một.

15 (ĐH Y HN 2000) Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật línam Lập một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học

và nhà vật lí Hỏi có bao nhiêu cách?

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số

có năm chữ số trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một Hỏi

1 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2

2 Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10

nam và 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:

1 Có đúng 2 nam trong 5 người đó

2 Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó

18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu

số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các

chữ số của mỗi số là một số lẻ

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có

kích thước đôi một khác nhau

1 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi đỏ

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số bi đỏ

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo

các số 1, 2, 3, 4, 5 Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàngsao cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ

các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ sốkhác có mặt 1 lần

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số

sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số chẵn

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số

sao cho trong mỗi số đó chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước

25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người Trong ngày,

cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người ở địa điểm B, còn 4 ngườithường trực tại đồn Hỏi có bao nhiêu cách phân công?

26 (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có

bao nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghị Hội sinh viên của trường sao cho trong

3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp

27 (HV Quân y 2000) Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh

giống nhau vào một dãy 7 ô trống Hỏi:

1 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?

2 Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên

bi xanh xếp cạnh nhau?

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia

hết cho 9?

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?

30 (CĐSP Nha Trang 2000) Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được baonhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em,

trong đó có 9 em nam, 6 em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em

để tham dự trò chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

32 (ĐH An ninh khối D 2001) Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 Hỏi có thể thành lập được

bao nhiêu số có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần

33 (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ Hỏi

có bao nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7 học sinhnam phải đứng liền nhau

34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và

4 nam

1 Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau vàmỗi nhóm có số nữ như nhau

2 Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi có thể lậpđược bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ

số 4

36 (ĐH Huế khối ABV 2001) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không

có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?

37 (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo

cần chọn ra 5 em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ Hỏi

có bao nhiêu cách chọn?

38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001) Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8

trung bình Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 ngườisao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số 5

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?

2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 5 chữ

số đôi một khác nhau?

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể

thiết lập được bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 khôngđứng cạnh nhau?

42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp

thành một hàng dọc Hỏi có bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứngxen kẽ 3 học sinh nữ (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cáchxếp mới)

43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được

bao nhiêu số có 9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vị trí chính giữa?

1 Có bao nhiêu tập hợp con của A?

2 Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số chẵn?

47 (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)

1 Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2,

3, 4, 5

2 Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4,

5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345

48 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ Cần chọn ra

5 học sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếutrong 5 học sinh đó phải có ít nhất:

1 Hai học sinh nữ và hai học sinh nam

2 Một học sinh nữ và một học sinh nam

49 (ĐH Y HN 2001) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được baonhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?

50 (ĐH khối D dự bị 1 2002) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em,

trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10 Hỏi cóbao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có ít nhấtmột em được chọn

51 (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu

số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

52 (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu

số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi số

là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 chữ sốcuối một đơn vị

53 (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần

chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọnnhư vậy?

54 (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?

55 (CĐ Sư phạm khối A 2002)

1 Tìm số giao điểm tối đa của:

a) 10 đường thẳng phân biệt

b) 6 đường tròn phân biệt

2 Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp các đường nóitrên

56 (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác

có số đường chéo gấp đôi số cạnh

57 (CĐ Xây dựng số 3 – 2002) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu

số gồm 3 chữ số khác nhau và nhỏ hơn 245

58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được baonhiêu số lẻ, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau

59 (ĐH khối B 2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5

câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lậpđược bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có

đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2

60 (ĐH khối B 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3

nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ

61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được

bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàngchục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8

62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ.

Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm

đó phải có ít nhất 3 nữ

63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao

nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ số

1, 5

64 (ĐH khối D 2006) Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học

sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C Cần chọn 4 họcsinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên.Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

65 (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh

khối B, 5 học sinh khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối

A và đúng 2 học sinh khối C Tính số cách chọn

66 (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số,

trong đó chữ số 0 có mặt đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ sốcòn lại phân biệt?

67 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng của tất cả

các số đó

68 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho 2 đường thẳng d1, d2 song song với nhau.Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 cho 8 điểm phânbiệt Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác lấy từ

x x x , hãy tìm số hạngkhông phụ thuộc vào x, biết rằng n  n 1   n 2  

C C C 79

9 (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 +1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triểnđó

1 Tính tích phân: I =  

1

6 0

29 (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n là một số nguyên dương cố định Chứng minh

rằng k

n

C lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá n 12

30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng:

35 (ĐH dự bị 2 2002) Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình:

37 (ĐH dự bị 6 2002) Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau:

(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.Hãy tính hệ số a5

38 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thứcNewton của   

n 5 3

Giải bất phương trình: 3 n n n 

n 2n 3n

49 (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003

Khai triển đa thức đó dưới dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003

Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003

50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: 3  2 

4

1 x

Tìm k  {0; 1; 2; …; 2005} sao cho Ck2005 đạt giá trị lớn nhất

59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2Pn + 6

1 x

x , biết rằng: 1   2    n   20 

C C C 2 1

61 (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết rằng số tập con gồm 4

phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A Tìm k{1,2,…, n}sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất

62 (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006)

C : A

24

63 (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)

Tìm số tự nhiên n sao cho: n  n  n

x

khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

69 (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:

72 (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số của x29y8 trong khai triển của (x3 – xy)15

73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta được đathức có dạng:

a0 + a1x + a2x2 + … + anxn

Tìm hệ số của x5, biết a0 + a1 + a2 = 71

Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.

2 Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A

* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123

* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài

Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n

 Tính m: Lập một số chẵn a a a a a 5 4 3 2 1 gồm 5 chữ số khác nhau a1, a2,

a3, a4, a5  A, có nghĩa là:

Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8}  có 4 cách

Lấy a2, a3, a4, a5 từ 7 số còn lại của A  có 4

7

A = 7.6.5.4 = 840 cách

Do đó: m = 4.840 = 3360

 Tính n: Lập một số chẵn 123a a 2 1 bắt đầu bởi 123; a1,a2 A; a1 ≠ a2

Lấy a1 từ {4,6,8}  có 3 cách

Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1}  có 4 cách

Do đó: n = 3.4 = 12

Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348

2 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)

Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách

Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:

Nhóm sách Toán: 2! cách

Nhóm sách Văn: 4! cách

Nhóm sách Anh: 6! cách

Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách

Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.

Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách

2 Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế đểngồi

Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhấttrường A: có 6 cách chọn học sinh trường B

Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinhtrường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,v.v…

Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách

Ta loại những số có dạng 0bcde Có 3 cách chọn e, và 3

* Xem các số hình thức abcde (kể cả a = 0) Có 3 cách chọn vị trí cho

1 Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {1}: có 4

7 A

cách

Như thế: có 3 4

7

A = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài

* Xem các số hình thức 0bcde Có 2 cách chọn vị trí cho 1 Chọn chữsố khác nhau cho 3 vị trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là 3

6

A Như thế: có 2 3

6

A = 240 số hình thức dạng 0bcde.Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số

5 (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)

Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là: 4

15

C = 1365

Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:

* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có 2 1 1

4 5 6

C C C = 180

* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có 1 2 1

Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720

Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =645

6 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)

1 * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách

* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách

Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài

2 * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải Số cách xếp cho 2số chẵn là 2! cách Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách

Vậy có 2.6 = 12 cách

* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ

ở bên trái

Vậy: có 12 + 12 = 24 cách

7 (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)

Số có 6 chữ số khác nhau có dạng: abcdef với a ≠ 0

1 Vì số tạo thành là số lẻ nên f  {1, 3, 5}

Do đó: f có 3 cách chọn

a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)

b có 4 cách chọn (trừ a và f)

c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)

d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)

e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số

2 Vì số tạo thành là số chẵn nên f  {0, 2, 4}

* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vị của (1,2,3,4,5) Do đó có 5! số

* Khi f  {2, 4} thì:

f có 2 cách chọn

a có 4 cách chọn

b có 4 cách chọn

c có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn

e có 1 cách chọn

Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số

Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn

8 (HV Ngân hàng TPHCM 1999)

1 Gọi 11111 là số a Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5 Do đó số có

9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số

2 Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếpcác số 2, 3, 4, 5 vào 4 vị trí tuỳ ý trong 9 vị trí (5 vị trí còn lại đươngnhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần)

Vậy: có tất cả A49 9!

5! = 6.7.8.9 = 3024 số

9 (ĐH Hàng hải 1999)

1 Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách

Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu

2 Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách

Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách

Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu

* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:

Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)

* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:

Nếu chữ số tận cùng là 0: có 3

4

A = 24 sốNếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn, có

2

3

A = 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số

Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hếtcho 5

Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là: 6

12

A = 665280Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là: 5

6

A 7 = 5040Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là: 4 2

6 8

A A = 20160Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là: 3 3

6 9

A A = 60480Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600

13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)

1 Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:

* 2 nữ, 4 nam  có 2 4

15 30

C C cáchhoặc * 3 nữ, 3 nam  có 3 3

15 30

C C cáchhoặc * 4 nữ, 2 nam  có 4 2

15 30

C C cáchhoặc * 5 nữ, 1 nam  có 5 1

14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)

1 Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:

abc0 hoặc abc2 hoặc abc4

* Với số abc0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c

 Có 5.4.3 = 60 số

* Với số abc2 hoặc abc4 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cáchchọn c

 Có 4.4.3 = 48 số abc2 và 48 số abc4

Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn

2 Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng ab0 hoặc ab5

* Với số ab0 ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b

 Có 5.4 = 20 số

* Với số ab5 ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b

 Có 4.4 = 16 số

Vậy có: 20 + 16 số cần tìm

3 Gọi abc là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau Khi đó{a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}

* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540

Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật línam là: 1 1 1

C C C = 5.3.4 = 60Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là: 1 2

3 4

C C = 18Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là: 2 1

3 4

C C = 12Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn

16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000)

Xét số năm chữ số a a a a a 1 2 3 4 5

1 Xếp chữ số 2 vào một trong năm vị trí: có 5 cách xếp

Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại: có 4

5

A = 120 cách.Vậy có 5.120 = 600 số

2 Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vị trí: có 2

A = 480 số

17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)

1 Chọn 2 nam và 3 nữ: có 2 3

10 10

C C = 5400 cách

2 Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:

* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách

* 3 nam và 2 nữ: có 3 2

18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)

Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số Trong cácsố có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4 Loạinày có:6 cách chọn chữ số hàng vạn

7 cách chọn chữ số hàng nghìn

7 cách chọn chữ số hàng trăm

7 cách chọn chữ số hàng chục

7 cách chọn chữ số hàng đơn vị

Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số

Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó cómặt đủ các chữ số 2, 3, 4

19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)

Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho a a a a 1 2 3 4 Có hai khả năng:

1 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số chẵn thì có thể lấy a5  {1, 3, 5, 7, 9} vàlập được 5 số có 5 chữ số a a a a a 1 2 3 4 5 với tổng các chữ số là một số lẻ

2 Nếu a1 + a2 + a3 + a4 là số lẻ thì có thể lấy a5  {0, 2, 4, 6, 8} vàlập được 5 số có 5 chữ số a a a a a 1 2 3 4 5 với tổng các chữ số là một số lẻ

Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số nàylại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên cótất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một sốlẻ.

20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)

1 Có: 2

5

C cách chọn ra 2 viện bi đỏ

4 13

C cách chọn ra 4 viên bi còn lại

Vậy có: 2

5

C 4 13

C = 7150 cách chọn

2 Có các trường hợp xảy ra:

* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng  có 3 3

21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)

Có 2 khả năng:

1 Các thẻ trắng ở vị trí lẻ, các thẻ đen ở vị trí chẵn  có 5!5! cách

2 Các thẻ trắng ở vị trí chẵn, các thẻ đen ở vị trí lẻ  có 5!5! cáchVậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách

22 (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)

Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ôđiền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5 Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn 2

ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6

Vậy có tất cả có: 8.7.6.5 2

4

C 1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài

23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)

Số các số có 6 chữ số a a a a a a 1 2 3 4 5 6 là 9.105 số

Với mỗi số có 6 chữ số a a a a a a 1 2 3 4 5 6 ta lập được 5 số có 7 chữ số

1 2 3 4 5 6 7

a a a a a a a mà tổng các chữ số là một số chẵn

Vậy có tất cả: 9.105.5 = 45.105 số

24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)

Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nàonên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …, 8,9} = T Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1 cáchsắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước

Vậy số các số cần tìm là: C59 9!

5!4! = 126

25 (HV Kỹ thuật quân sự 2000)

Có tất cả: C C39 26  C C49 52 C C29 47 = 1260 cách

26 (ĐH GTVT 2000)

Có 2 khả năng:

* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có 1 2

4

C Vậy số cách xếp khác nhau là: 3

7

A 3 4

28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)

Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:

Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9

29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:

x = a a a a a a 1 2 3 4 5 6

Từ giả thiết  a1  {5,6,7,8,9}, a6  {1,3,5,7,9}

Có 2 khả năng:

1 a1 lẻ:

* a1 có 6 cách chọn

* a6 có 4 cách chọn

* sau khi chọn a1, a6, cần chọn a a a a 2 3 4 5, mỗi cách chọn ứng với mộtchỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử

Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4 4

8

A = 40320 số

2 a1 chẵn:

* a1 có 2 cách chọn

* a6 có 5 cách chọn

* a a a a 2 3 4 5 có 4

8

A cách chọn

Vậy khả năng thứ hai có: 2.5 4

8

A = 16800 sốKết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm

4 5

A = 120Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số

31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)

Chọn 3 em nam: có 3

9

C cáchChọn 2 em nữ: có 2

6

C cáchVậy có: 3

9

C 2 6

C = 1260 cách

32 (ĐH An ninh khối D 2001)

Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:

Thế thì:

* Có 6 cách chọn vị trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)

* Sau khi đã chọn vị trí cho số chữ 0 ta còn 3

6

C = 20 cách chọn vị trícho 3 chữ số 4

* Sau khi đã chọn vị trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cáchchọn cho 3 chữ số còn lại

Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số

33 (ĐH Cần Thơ 2001)

Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vị trí mà thôi thì số cáchđể bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách

Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách

34 (HV Chính trị quốc gia 2001)

1 Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗinhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trongđó có 3 nữ và 2 nam  số cách chia là: 3 2

6 + 60 = 66

35 (ĐH Giao thông vận tải 2001)

Giả sử số cần tìm có dạng: A = a a a a a a 1 2 3 4 5 6

+ Nếu a1 = 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1, 2,

Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số

36 (ĐH Huế khối ABV 2001)

 Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số

 Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:

+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên a000 với a  {1,2,3, ,9}có 9 số

+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:

* a111 với a  {2,3,4, …,9}  có 8 số

* 1b11 với b  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* 11c1 với c  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

* 111d với d  {0,2,3,…, 9}  có 9 số

38 (HV Kỹ thuật quân sự 2001)

Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổnên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinhtrong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá Các họcsinh còn lại tạo thành tổ thứ hai

 Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

 Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:

* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi

Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách

39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)

Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

 Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:

Có 4 cách chọn vị trí cho chữ số 0 Sau đó còn 4 cách chọn vị trí chochữ số 5 Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là: 3

5 A

 Số các số thu được là: 4.4 3

5

A = 960 số

 Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:

Có 5 cách chọn vị trí cho chữ số 5

Số cách chọn 4 chữ số còn lại là: 4

5 A

 Số các số thu được là: 5 4

5

A = 600 số

Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số

40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)

1 Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,

8 cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số

2  Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0 Bốn chữ số đứngđầu được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thànhlà: 4

7

A = 840

 Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0

* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)

* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn

* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại

 Số các số tạo thành: 3.6 3

6

A = 2160Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số

41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)

Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720

Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120

số các số có chứa 61 là 5! = 120Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số

42.(ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)

Đánh số vị trí đứng từ 1 đến 9

Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi họcsinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vị trí(1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9)

Có 5 cặp 3 vị trí của 3 học sinh nữ

Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vị trí là 3! Cách xếp 6 bạn nam vào

6 vị trí còn lại là 6!

Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách

43 (HV Quan hệ quốc tế 2001)

Ta chỉ có 1 cách chọn vị trí cho chữ số 9

Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!

Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.

44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1 Số được xét có dạng: a a a a a a 1 2 3 4 5 6 Xếp chữ số 0 vào các vị trí từ a2

đến a6: có 5 cách xếp Còn lại 5 vị trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để xếpvào 5 vị trí này: có 5

2 Số được xét có dạng: a a a a a a a 1 2 3 4 5 6 7

Chọn 2 vị trí để xếp hai chữ số 2: có 2

2 7

C 3 5

C 2! 2

8

C = 11760 số

Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0

Đối với các số 0a a a a a a 2 3 4 5 6 7 :

* Chọn 2 vị trí để xếp chữ số 2: có 2

* Chọn 1 số để xếp vào vị trí còn lại: có 7 cách

Như vậy loại này có: 2

6

C 3 4

A số có chứ hàng đơn vị là 3; …

 Tổng tất cả chữ số hàng đơn vị của các phần tử x  X là:

1 Số tập con của A là: C020 C120 C220 C  2020 = 220

2 Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:

T = C220 C420 C  2020

Ta có: 0 = (1 – 1)20 = C020 C120 C220 C  2020