Đang tải... (xem toàn văn)
KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: Một số bài toán về hàm số đồng biến, nghịch biến: 1 Điều kiện để hàm số luôn luôn nghịch biến . Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’< 0 . Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không thể luôn luôn nghịch biến. . Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 Đk để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’ 0 ( x (Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 . 2 Điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến : . Nếu y’là hằng số có chứa tham số hay cùng dấu với hằng số thì điều kiện để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’> 0 . Nếu y’ là nhị thức bậc nhất hay cùng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không thể luôn luôn đồng biến. . Nếu y’ là tam thức bậc hai hay cùng dấu với tam thức bậc 2 đk để hàm số luôn luôn đồng biến là: y’( 0 ( x (Trường hợp a có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a= 0 . Ví dụ : 1Định m để hàm số y = giảm nghịch biến. trên từng khoảng xác định của nó. Giải: : D=R y Để hàm số luôn giảm trên từng khoảng xác định của nó y’< 0xD1. 2 Tìm m để hàm số y = (m + 1)x3–3(m – 2)x2 + 3(m + 2)x + 1 tăng (đồng biến) trên R Giải Txđ:, y=3(m+1)x2 6(m 2)x +3(m+2) Để hàm số luôn đồng biến trên R y 0 x 3(m+1.x2 6(m2.x +3(m+2. 0 x(1. Nếu m= –1 (1. 18x+3 0x x (không thoả x . Nếu m –1: điều kiện để (1. xảy ra là Vậy m>1 là giá trị thoả mãn yêu cầu bài toán. Bài tập đề nghị: 1 Xét chiều biến thiên của các hàm số: a. y = 4 + 3x – x2 b. y = 2x3 + 3x2 + 1 c. y = d. y = x3 2x2 + x + 1 e. y = x3 + x2 – 5 f. y = x3 – 3x2 + 3x + 1 g. y = x3 – 3x + 2 h. y = x4 – 2x2 + 3 k. y = x4 + 2x2 – 1 l. y = x4 + x2 – 1 m. y = n. y = p. y = x + q. y = x r. y = 2 Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên tập xác định. y = x3 3mx2 + (m + 2.x – 1 ĐS: y = mx3 – (2m – 1.x2 + 4m 1 ĐS: m = 3 Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên tập xác định. a. y = ĐS: b. y = ĐS: m 4 Cho hàm số y = x3 3(2m+1.x2 + (12m+5.x + 2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến. 5 Cho hàm số y = mx3 (2m1.x2 + (m2.x 2. Tìm m để hàm số luôn đồng biến. 6 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên R (HẾT( Vấn đề 2 : Một số bài toán về cực trị : 1 Điều kiện để hàm số có cực trị tại x = x0 : hoặc 2 Điều kiện để hàm số có cực đại tại x0: hoặc 3 Điều kiện để hàm số có cực tịểu tại x0: hoặc 4 Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu.: y’= 0 có hai
Giải tích 12 ( năm ) Chủ đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ Vấn đề 1: Một số tốn hàm số đồng biến, nghịch biến: 1/ Điều kiện để hàm số ln ln nghịch biến Nếu y’là số có chứa tham số hay dấu với số điều kiện để hàm số ln ln đồng biến là: y’< Nếu y’ nhị thức bậc hay dấu với nhị thức bậc hàm số khơng thể ln ln nghịch biến Nếu y’ tam thức bậc hai hay dấu với tam thức bậc Đ/k để hàm số ln ln đồng biến là: a < y’ ≤ ∀ x ⇔ ∆ ≤ (Trường hợp a có chứa tham số xét thêm trường hợp a= 2/ Điều kiện để hàm số ln ln đồng biến : Nếu y’là số có chứa tham số hay dấu với số điều kiện để hàm số ln ln đồng biến là: y’> Nếu y’ nhị thức bậc hay dấu với nhị thức bậc hàm số khơng thể ln ln đồng biến Nếu y’ tam thức bậc hai hay dấu với tam thức bậc đ/k để hàm số ln ln đồng biến là: a > y’≥ ∀ x ⇔ ∆ ≤ (Trường hợp a có chứa tham số xét thêm trường hợp a= Ví dụ : 1/Định m để hàm số y = Giải: TXĐđ : D=R\ { −1} x+m giảm nghịch biến khoảng xác định x +1 1− m y/= ( x + 1)2 Để hàm số ln giảm khoảng xác định ⇔ y’< ∀ x ∈ D ⇔ 1− m 1 2/ Tìm m để hàm số y = (m + 1)x3–3(m – 2)x2 + 3(m + 2)x + tăng (đồng biến) R Giải Txđ: D = R , y/=3(m+1)x2 − 6(m − 2)x +3(m+2) GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang Để hàm số ln đồng biến R ⇔ y/ ≥ ∀ x ⇔ 3(m+1.x2 - 6(m-2.x +3(m+2 ≥ ∀ x(1 Nếu m= –1 ⇒ (1 ⇔ -18x+3 ≥ ∀ x ⇔ x ≤ Nếu m ≠ –1: điều kiện để (1 xảy (không thoả ∀ x m ≥ ∆/ ≤ 9(m − 2)2 − 9( m + 1)(m + 2) ≤ ⇔ ⇔ ⇔ m >1 m + > m > m > Vậy m>1 giá trị thoả mãn u cầu tốn Bài tập đề nghò: 1/ Xét chiều biến thiên hàm số: x + 3x − x − a y = + 3x – x2 b y = 2x3 + 3x2 + c y = d y = x3 - 2x2 + x + g y = - x3 – 3x + e y = - x3 + x2 – h y = x4 – 2x2 + f y = x3 – 3x2 + 3x + k y = - x4 + 2x2 – l y = x4 + x2 – m y = p y = x + x x+2 x−2 x − 2x r y = 1− x 3x + 1− x q y = x - n y = x 2/ Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định a) y = x3 − 3mx2 + (m + 2.x – ĐS: − ≤ m ≤ b) y = mx3 – (2m – 1.x2 + 4m − ĐS: m = 3/ Tìm m để hàm số sau nghịch biến tập xác định x3 + (m − 2) x + (m − 8) x + a y = (m − 1) x + mx + (3m − 2) x + b y = ĐS: − ≤ m ≤ ĐS: m ≤ 4/ Cho hàm số y = x3 − 3(2m+1.x2 + (12m+5.x + Tìm m để hàm số ln đồng biến 5/ Cho hàm số y = mx3 − (2m-1.x2 + (m-2.x − Tìm m để hàm số ln đồng biến 6/ Tìm giá trị tham số m để hàm số f ( x) = x3 + mx + x + đồng biến R **********HẾT********** Vấn đề : Một số tốn cực trị : 1/ Điều kiện để hàm số có cực trị x = x0 : GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang y' ( x ) = hoặc y' đổi dấu qua x y ' ( x0 ) = y ' ' ( x0 ) ≠ 2/ Điều kiện để hàm số có cực đại x0: y' ( x ) = y' đổi dấu qua từ + sang − qua.x y' ( x ) = y' ' ( x ) < hoặc 3/ Điều kiện để hàm số có cực tịểu x0: y '(x ) = hoặc y ''(x ) > y '(x ) = y '(x) đổi dấu qua từ - sang + qua x 4/ Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại,cực tiểu.: a ≠ ∆ > y’= có hai nghiệm phân biệt ⇔ 5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu.: y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm mẫu (tham khảo 6/ Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt Một số ví dụ: x + mx + 1/Xác định m để hàm số: y = đạt cực đại x=2 x+m Giải: Ta có y ' = x + 2mx + m - ( x + m) ; y '' = x + 2m ( x + m) Để hàm số đạt cực đại x=2 => hs tự giải tiếp tục x2 + 2x + m 2/ Chứng minh hàm số y= ln ln có cực đại cực tiểu x2 + Giải: Ta có y ' = - x + ( - m) x + ( x +1) học sinh tự giải tiếp tục ( ) 2 3/Định m để hàm số y= x − 3mx + m − m x + có cực đại, cực tiểu Giải TXĐđ : D= R ; y/= 3x2 -6mx +3(m2-m GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang Để hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ y/=0 có nghiệm phân biệt ⇔ 3x2 − 6mx + 3(m2 − m = có nghiệm phân biệt ⇔ ∆ / > ⇔ 9m2 − 9m2 + 9m > ⇔ m > m > giá trị cần tìm Bài tập đề nghò: Tìm cực trị hàm só y = x2 – 3x - y = -x2 + 4x – 3 y = 2x3 -3x2 + y = y = -2x3 + 3x2 + 12x – y = x3 – 3x2 + 3x + 1 x − 4x y = -x3 -3x + x − 4x − y = − x + x 10 y = x4 + 2x2 + 2 x−2 2x x − 2x + 11 y = 12 y = 13 y = 14 y = x +1 x−2 x x −1 2 x x − 3x x +3 15 y = 16 y = 17 y = 18 y = x x x −1 x +1 x −1 y = Định m để y= x − 3mx + 3( m − 1) x − ( m − 1) đạt cực đại x=1 x4 Cho hàm số y= − ax + b Định a,b để hàm số đạt cực trị –2 x=1 Tìm m để hàm số sau có cực đại cực tiểu y = x + mx + (12 − m) x + 2 y = x − 2mx + m x − x + (3m + 1) x − m y = x + 3mx − (m − 1) x + 3 y = x − mx + y = x −1 y = x + 2x + m x+2 y = mx + x + m x+m Đ S: m < -4, m > ĐS: m ≠ ĐS: − < m < ĐS: m < , m > 10 ĐS: m < ĐS: m > ĐS: m < 0, m > − x + mx − m y = ĐS: m ≠ x−m Tìm m để hàm số: y = x4 – mx2 + có cực trị ĐS: m > 2 y = x – (m + 1.x – có cực trị ĐS : m < - y = mx + (m – 1.x + – 2m có cực trị ĐS : < m < Tìm m để hàm số: y = x3 – 3mx2 + (m – 1.x + đạt cực trị x = ĐS : m = 1 2 y = mx + (m − 2) x + (2 − m) x + đạt cực trị x = -1 ĐS : m = 3 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang y = x3 – mx2 – mx – đạt cực tiểu x = ĐS : m = 3 y = x + (m + 1.x + (2m – 1.x + đạt cực đại x = -2 ĐS : m = 7/2 x + a (1 − a ) x − a + Chứng minh với giá trị a, hàm số y = ln có cực x+a đại cực tiểu **********HẾT********** Vấn đề 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Phương pháp giải: * Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số miền xác định hay khoảng: - Tìm tập xác định - Tính y’, tìm cc nghiệm phương trình y’=0 hay y’ khơng xác định - Lập bảng biến thiên bảng biến thiên ⇒ GTLN, GTNN * Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [a;b]: - Tính y’, tìm cc nghiệm phương trình y’=0 thuộc đoạn [a;b] Giả sử nghiệm x1, x2,…, xn - Tính giá trị f(a., f(x1., f(x2.,…., f(xn , f(b GTLN số lớn giá trị vừa tìm được, GTNN giá trị nhỏ số vừa tìm Ví dụ a.Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số y= 2x − x b.Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số y = x2 + x +1 [ ;2 ] x Giải : a.Txđ : ∀x ∈ [0;2] ( Hoặc D= [0;2] y/= 1− x 2x − x cho y/=0 ⇔ 1-x=0 ⇔ x=1 ⇒ y=1 Bảng biến thiên x / y + y 1 CĐ max f ( x ) = f (1) = f ( x ) = f (0) = f (2) = 1 x = ∈ ;2 x −1 b y/= cho y/=0 ⇔ x2 − 1=0 ⇔ 1 x x = −1 ∉ ;2 2 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang Ta có y( ) = f ( x ) [ ;2] 7 ; y(1.=3 ; y(2.= 2 = f( ) =f(2.= max f ( x ) = f (1) = ; ;2 2 Bài tập đề nghị Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau: y = x2 – 2x + 2 y = -x2 + 4x + y = x3 – 3x2 + y = x2 + 2x – đọan [-2 ; 3] y = x2 – 2x + đọan [2 ; 5] x + x + x − đọan [-4 ; 0] y = x3 – 3x2 + đọan [-1 ; 1] y = y = x4 – 2x2 + đọan [-3 ; 2] y = -x4 + 2x2 + đọan [0 ; 3] 10 y = x4 – 2x2 + đọan [1 ; 4] 11 y = khỏang (0 ; + ∞ x x − 3x + 14 y = đọan [1 ; 4] x +1 12 y = x + x +1 đọan [2 ; 5] x −1 13 y = x - khỏang (0 ; 2] x 2 x + 5x + 15 y = đọan [-3 ; 3] x+2 16 y = 100 − x đọan [-8 ; 6] 17 Tìm GTLN GTNN hàm số f ( x ) = x − x + đoạn [ 0; 2] π 18 Tìm GTLN GTNN hàm số f ( x ) = x + 2cosx đoạn 0; 2 19 Tìm GTLN, GTNN hàm số: f ( x ) = x + đoạn [ 2; 4] x 20 Tìm GTLN GTNN hàm số f ( x ) = − x + − đoạn [ −1; 2] x+2 21 Tìm GTLN GTNN hàm số f ( x ) = x − x + đoạn [ −1;1] 22 Tìm GTLN GTNN hàm số f ( x ) = 2x −1 đoạn [ 0; 2] x −3 23 Tìm GTNN, GTLN hàm số: y = ( x + ) − x 24 Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x + 10 − x 25 Tìm GTLN, GTNN hàm số y = x ( − x ) **********HẾT********** Vấn đề Tiệm cận Đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang a Định nghĩa 1: Đường thẳng y = y gọi đường tiệm cận ngang ( gọi tắt tiệm f ( x) = y0 lim f ( x) = y0 cận ngang đồ thị hàm số y=f(x nếu: xlim →+∞ x →−∞ b Định nghĩa 2: Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng ( gọi tắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f ( x) = +∞ lim+ f ( x) = −∞ x → x0− x → x0 lim− f ( x) = −∞ lim+ f ( x) = +∞ x → x0 x → x0 Tìm tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số sau: 2x −1 a y = x+2 −2 x + e y = 3x + Vấn đề 5: b y = f y = x2 − x − ( x − 1) c y = 2− x x2 + 3x d y = 2 x − 4x + x −4 x x +1 Khảo sát hàm số I/ Khảo sát hàm đa thức hàm phân thức Kiến thức trọng tâm ( Xem sgk trang 31 – trang 38) Bài tập áp dụng: a Hàm bậc ba: y = − x3 + 3x + ( a < y’= có nghiệm phân biệt) y = x3 + 4x2 + 4x (a > y’= có nghiệm phân biệt) y = x3 + x2+9x (a > y’= vơ nghiệm) y = -x3+x2-9x (a < y’= vơ nghiệm) y = − x3 + 3x2 − 3x − (a < y’= có nghiệm kép) y = x3 + 3x2 + 3x − (a > y’= có nghiệm kép) b Hàm trùng phương x4 − x − (a > y’=0 có nghiệm phân biệt) 2 − y = x + 2x2 + (a < y’=0 có nghiệm phân biệt) y = y = − x4 − x + (a < y’= có nghiệm) 2 y= x4 +2x2+1 (a>0 y’=0 có nghiệm) c Hàm số: y = GV Nguyễn Thị Ngọc Yến ax + b cx + d Trang x+3 (y’0) 2x − y = Bài tập đề nghị; Bài 1: Khảo sát hàm số sau: 1/ y = x3 – 3x2 2/ y= − x3 + 3x – 4/ y = x4 – 6x2 + y= 5/ y = − x4 + 2x2 + 6/ y = x4 + 2x2 y = x4 – 2x2 + y=-x3+3x2-2 x −1 x+2 3/ y = x3 + 3x2 + 4x − 10 y = 2x3 + 3x2 − 11 y = 3x − x +1 12 y= x4 -2x2+1 13 Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1 14 Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m − 11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m = Vấn đề 6: Các tốn liên quan đến khảo sát hàm số * Bài tốn 1: Vị trí tương đối hai đồ thị Tìm số giao điểm hai đường: Giả sử hàm số y = f(x)có đồ thị (C1) hàm số y = g(x) có đồ thị (C2) * Hồnh độ giao điểm (nếu có nghiệm phương trình f(x)=g(x) (*) Nếu x0, x1, x2, x3,… nghiệm phương trình (*) điểm M 0(x0;f(x0)), M1(x1; f(x1)),… giao điểm (C1) (C2) + Đặc biệt: f ( x) = g ( x) (C1 ) tiếp xúc (C2 ) ⇔ ' có ' f ( x) = g ( x) nghiệm Biện luận số giao điểm (C): y = f(x) đường thẳng (d) qua A(xA; yA): y = k(x − xA) + yA Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) : y = k(x − xA) + yA (*) a) Nếu phương trình (*) bậc hai: ax2 + bx + c = Tính xét dấu ∆ → số giao điểm (C) (d) b Nếu phương trình (* bậc ba phân tích thành: x = α (1) ⇒ 1giao diem ( x − α )(ax + bx + c) = ⇔ ax + bx + c = (2) - Giải biện luận (2) - Số giao điểm (1) (2) số giao điểm (C) (d) Ví dụ: Chứng minh với giá trị m, đường thẳng y=2x+m ln cắt đồ thị (C) hàm số y = GV Nguyễn Thị Ngọc Yến x +3 hai điểm phân biệt x +1 Trang Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình f(x,m.=0 (1 B1: Từ phương trình f(x,m.=0 f(x.=g(m., Số nghiệm phương trình (1 với số giao điểm hai đồ thị: y = f ( x ) (C ) y=g(m (d B2: Dựa vào đồ thị để kết luận số giao điểm ( * Chú ý: biện luận dựa vào đồ thị ta dựa vào ycđ yct hàm số Ví dụ: Cho hàm số y= − x3 + 3x Khảo sát vẽ đồ thị (C) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x3-3x+m=0 * Bài tốn 2: Tiếp tuyến với đồ thị Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trường hợp sau: 1/ Tại điểm có toạ độ (x0;y0): B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x 0; y0) là: y − y0 = f / (x ) (x–x0) ⇒ y = f / (x ) (x – x0) + y0 2/ Tại điểm đồ thị (C) có hồnh độ x0 : B1: Tìm f ’(x) ⇒ f ’(x0) ; y0 B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x0 là: y - y0= f / (x ) (x–x0 ⇒ y = f / (x ) (x – x0) + y0 3/ Tại điểm đồ thị (C) có tung độ y0 : B1: Tìm f ’(x) B2: Do tung độ y0 ⇔ f(x0) = y0 Giải phương trình tìm x0 ⇒ f /(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y là: y - y0 = f / (x ) (x– x0) ⇒ y = f / (x ) (x – x0) + y0 4/ Biết hệ số góc tiếp tuyến k: B1: Gọi M0(x0; y0) tiếp điểm B2: Hệ số góc tiếp tuyến k nên : f ′( x0 ) =k (*) B3: Giải phương trình (*) tìm x0 ⇒ f(x0) ⇒ phương trình tiếp tuyến Chú ý: - Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b có f/(x0)=a - Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b có f/(x0).a = − 5/ Biết tiếp tuyến qua điểm A(x1;y1): ( Chương trình nâng cao) B1:Phương trình đường thẳng d qua A(x1; y1) có hệ số góc k là: y = k(x − x1) + y1 (x1) B2: d tiếp tuyến (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm : f ( x) = k ( x − x1 ) + y1 f ′( x) = k GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang B3: Giải hệ ta tìm k hệ số góc tiếp tuyến vào (1 ⇒ phương trình tiếp tuyến *Bài tốn 3: Tìm đồ thị (C): y=f(x) có tọa độ ngun: B1: chia đa thức: y= thương (ngun) + dư/mẫu số B2: Với x ngun, để y ngun dư ước mẫu số B3: Giải mẫu số ⇒ x= ⇒ y= , kết luận Ví dụ: Tìm điểm có tọa độ ngun thuộc đồ thị (C) hàm số y = x2 + 2x + x Bài tập đề nghị: Câu 1: Cho hàm số y = x3 − x − (C ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) M o ( −2; −4 ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x + 2008 (d ) Viết phương trình tt với (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: y = x − 2008 ( d ') Viết phương trình tt với (C) giao điểm đồ thị với trục tung Biện luận số nghiệm phương trình: x − 3x + 6m − = theo m Biện luận số nghiệm phương trình: | x − 3x − | = m theo m (tham khảo Câu 2: Cho hàm số y = x − x + (C ) 2 Khảo sát vẽ đồ thò hàm số (C) Viết pt tt với đồ thị (C) điểm M 2; ÷ 2 5−m x − x2 + =0 2 Câu 3:1 Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = − x3 + 3x Dựa vào đồ thị ( C ) , biện luận theo m số nghiệm phương trình: − x3 + 3x − m = Câu 4: Cho hàm số y = x3 + 3x − Biện luận số nghiệm pt: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình x3 + 3x − = m Câu 5: Cho hàm số y = − x + x + có đồ thị ( C ) Khảo sát hàm số Dựa vào ( C ) , tìm m để phương trình: x − x + m = có nghiệm phân biệt Câu 6: Cho hàm số y = x − x + , gọi đồ thị hàm số ( C ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm cực đại ( C ) GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 10 ( 13 + ) ( x + 16 − 15 31+x+31-x =10 17 4x+1-6.2x+1+8=0 ) x = x+3 14 3.25x + 2.49x =5.35x 16.34x+8-4.32x+5+27=0 18.64x -8x-56=0 19 3.4x-2.6x=9x Dạng Logarit hóạ Bài Giải phương trình a 2x - = b 3x + = 5x – c 3x – = 5x − x +12 f 52x + 1- 7x + = 52x + 7x x −1 d x −2 = x −5 x + e 5x.8 x = 500 Dạng sử dụng tính đơn điệu(nâng cao Bài 4: giải phương trình a 3x + x = 5x b 3x – 12x = 4x c + 3x/2 = 2x Bi tập lm thm x − 2.2 x+1 + = = x −5 x −1 x =9 16 x 18 ( 1− x − 10 −3 x + 5+2 ) = ( = (1− x ) 5−2 ) x −1 x +1 19 x 1 2 21 3x.2x+1 = 72 22 1 2 x −3 x +1 =2 log8 ( x 20 x − 3x+7 = 0.25.2 x −6 x +9) −4 = log x x −1 x −1 =3 17 − 2 = x +1 =1 1 − x−2 x+ ( = 4−3 x x+7 16 1 15 3 x −2 −5 12 = 99 14 (0,2 = 1 17 2 x −5 x + 1 2 = 16 x-1 = 16 x −1 x −6 x − 11 16 − x 10 x = 625 13 10 = 2 + x − 2 − x = 15 log x ( x − ) 1+ x x − x +1 x2 +4 ) 2x ( = 3+ 2 ) = 25 1− x = 23 x +1.3 x −3.5 x +1 = 20 60 27 24 5x+1 + 5x – 5x-1 = 52 25 3x+1 – 3x-1 – 3x = 26 4x + 4x-2 – 4x+1 = 3x – 3x-2 – 3x+1 Giải phương trình 4x + 2x+1 – = 4x+1 – 2x+1 + = 34x+8 – 32x+5 + 27 31+x + 31-x = 10 5x-1 + 53 – x = 26 9x + 6x = 4x 4x – 52x = 10x 27x + 12x = 8x ( + ) + ( − ) = x x GV Nguyễn Thị Ngọc Yến x x 10 − 48 + + 48 = 14 Trang 23 x x 11 + 35 + − 35 = 12 12 (7 + ) + ( − ) = 14.2 x x x 13 32x+4 + 45 6x – 22x+2 = 14 8x+1 + 8.(0,5.3x + 2x+3 = 125 – 24.(0,5.x Vấn đề 2: Phương trình logarit Dạng Đưa số Bài 1: giải phương trình a log4(x + – log4(x -2 = log46 c log4x + log2x + 2log16x = e log3x = log9(4x + + ½ g log2(9x – 2+7 – = log2( 3x – + 2008 Dạng đặt ẩn phu ( Cần nắm vững Bài 2: giải phương trình a + =1 − ln x + ln x h b lg(x + – lg( – x = lg(2x + d log4(x +3 – log4(x2 – = f log4x.log3x = log2x + log3x – log ( x + ) + log ( x − ) = log (TN L2 b logx2 + log2x = 5/2 d log2x + 10 log x + = f 3logx16 – log16x = 2log2x h lg x 16 + l o g x 64 = c logx + 17 + log9x7 = e log1/3x + 5/2 = logx3 g log x + 3log x + log x = Dạng mũ hóa Bài 3: giải phương trình a – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x b log3(3x – = – x Bài tập làm thêm log2x(x + = log2x + log2(x + = log(x2 – 6x + = log(x – log2(3 – x + log2(1 – x = log4(x + – log2(2x – + = log x log 25 x = log125 x 7logx + xlog7 = 98 log2(2x+1 – = x log x 10 x lg x = 10 x 11 x log x + = 32 10 − 10 = 99 12 log x log 2 x = log x 13 lg x − lg x = lg x − + =3 log x + log x 33 15 log x + log ( x − 1) = 16 log x + log x + log x = x 17 log (9 − ) = − x 18 log x − log x = 5 19 log x + log 3x + log 27 x = 20 log x + log x = log 3 1+ x 1− x 21 log x − log x + 14 =0 Giải phương trình GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 24 log22(x - 1.2 + log2(x – 1.3 = 3 log x − log 3x = logx2 – log4x + log4x8 – log2x2 + log9243 = 4log9x + logx3 = + log x + log 27 x = + log x + log 81 x =0 log9(log3x + log3(log9x = + log34 log2x.log4x.log8x.log16x = log5x4 – log2x3 – = -6log2x.log5x Bi tập: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Vấn đề 1: Bất Phương trình mũ( < a ≠ 1) * Chú ý: -Hàm số y=ax đồng biến a>1 nghịch biến 0 g ( x) neu a > ⇔ f ( x ) < g ( x ) neu < a < a f ( x) f ( x) > log ba neu a > >b⇔ b f ( x) < log a neu a > Bài 1: Giải bất phương trình ( Cùng số x+ 1 x–4 a 16 ≥ b ÷ < 3 c x ≤ x+ x −15 x + d x − x + > e ÷ < 23 x − 2 Bài 2: Giải bất phương trình ( Đặt ẩn phụ – a 22x + + 2x + > 17 b 52x −1 x f 52x + > 5x – 2.5x -2 ≤ −2 x c > + d 5.4x +2.25x ≤ 7.10x e 16x – 24x – 42x – ≤ 15 f 4x +1 -16x ≥ 2log48 g 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x Bài 3: Giải bất phương trình a 3x +1 > b (1/2 2x - 3≤ c 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – Giải bất phương trình sau GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 25 X − X +1 ≤ 125 x +6 > x 27 ≤ 1 2 3 2 x −5 x + >4 x ( ) > x − 3 7 x −7 7 ≥ 3 2−2 x 8 ≤ 7 x−2 x 25 − 4.5 − < x 1 − 2. 3 x− x2 9 x2 −2 x 10 4x − 2x − < 11 3.4 x − 2.6 x ≤ x ≤3 12 x + − x + − x + > x +1 − x + 13 x + < x + 7.3 x −1 x −3 14 x + 9.3 − x − 10 < 15 x < x + Giải bất phương trình x +5 >1 27 < x +3 < x +7 33 x −1 x 2 x < x +1 + x −5 x + >4 3x – 3-x+2 + > Vấn đề 2: Bất Phương trình logarit * Chú ý: -Hàm số logarit đồng biến a>1 nghịch biến 0 a > log af ( x ) > log ag ( x ) ⇔ 0 < f ( x) < g ( x) < a < log f ( x) a f ( x) > a b a > >b⇔ b 0 < f ( x) < a < a < Bài 1: Giải bất phương trình ( Cùng số a log4(x + > log4(1 – x c log2( x2 – 4x – < GV Nguyễn Thị Ngọc Yến b log2( x + ≤ log2(3 – 2x – d log1/2(log3x ≥ Trang 26 f log2x(x2 -5x + < e 2log8( x- – log8( x- > 2/3 3x − g log x + > Bài 2: Giải bất phương trình ( Đặt ẩn phụ a log22 + log2x ≤ b log1/3x > logx3 – 5/2 e log x 2.log x 16 > 3x − )≤ f log (3x − 1).log ( log x − 16 Bài Giải bất phương trình a log3(x + ≥ – x c log2( – x > x + Giải bất phương trình sau: log x < b log5(2x + < – 2x d log2(2x + + log3(4x + ≤ ln(5 x + 10) > ln( x + x + 8) log ( x + 1) ≤ log (2 − x) log ( x + x − 8) ≥ −4 2 log 0.25 (2 − x) > log 0.25 x +1 log x + log x + log x < log ( x − 1) ≥ log ( x − 3) + log ( x − 5) < log x + log x − ≤ 11 d − log x + log x > c log2 x + log2x ≤ 10 x +1 − 26.5 x + > + 3x 12 log x −1 log (5 x + 1) < −5 13 log0,8(x2 + x + < log0,8(2x + + 2x 16 log x − log 3x < 14 log (log + x ) > 15 log22x + log24x – > 17 log2(x + 4.(x + ≤ −6 18 log x 20 log2x + log3x < + log2x.log3x x x 22 log − 1 < log − 3 3 2 3x − >0 x2 +1 19 log x − < 21 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 ≤ x −1 x +1 < log log 23 log log x +1 x −1 Bài tập: TỔNG HỢP MŨ VÀ LOGARIT log (9 x −1 + 7) > log (3 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến x −1 +1) +2 log (4 x + 2) + log (2 x+1 +1) =0 Trang 27 Chủ đề 3: NGUN HÀM – TÍCH PHÂN- ỨNG DỤNG Vấn đề : Tìm ngun hàm – Tính tích phân * Kiến thức cần đạt: a -Dùng tính chất cơng thức pp để tìm ngun hàm - Học thuộc bảng ngun hàm tính chất ngun hàm (SGK - Dùng phương pháp hệ số bất định - Dùng phương pháp đổi biến số - Dùng phương pháp phần - Học thuộc vận dụng thật tốt bảng ngun hàm tính chất ngun hàm tích phân −1 ∫ sin mxdx = m cos mx + C −1 ∫ sin(ax + b)dx = a cos(ax + b) + C ∫ cos mxdx = m sin mx + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C mx mx ∫ e dx = m e + C ax +b ax +b ∫ e dx = a e + C - Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos a.cos b = [ cos( a − b) + cos(a + b) ] sin a.sin b = [ cos( a − b) − cos(a + b) ] sin a.cos b = [ sin(a − b) + sin( a + b) ] - Cơng thức hạ bậc: − cos x sin x = + cos x cos x = Bài tập : GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 28 Tìm nguyên hàm hàm số sau: x f(x = x3 – 3x + f(x = x + x f(x = (5x + 3.5 f(x = sin4x cosx b.Tính tích phân: Dạng 1: Phương pháp tính tích phân cách sử dụng đ/n, tính chất ngun hàm Phương pháp Bước 1: Tìm ngun hàm Bước 2: Dùng cơng thức Newton-Leibuiz: ∫ b a b f ( x)dx = F ( x) a = F (a ) − F (b) Bài tập: Tính tích phân sau π π ∫ ∫ (2sin x + 3cos x + x)dx (e x + x + 1)dx ∫ ∫ 1 ( x3 + x + 1)dx ( x + 1)( x − x + 1)dx Dạng 2: Phương pháp đổi biến số( đặt ẩn phụ Phương pháp: Ta sử dụng định lí sau: ' có đạo hàm ϕ (t ) liên tục đoạn [ α ; β ] : • : Nếu hàm số x = ϕ (t ) ϕ (t ) = a; ϕ ' (t ) = b t ∈ [ α ; β ] ⇔ x ∈ [ a; b ] ∫ b a β f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ' (t )dt (* α GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 29 Chú ý: Trong thực hành , việc áp dụng cơng thức(* việc thay hàm số f(x hàm số khác theo biến số t (t ∈ [ α ; β ] ) , hàm số thay hàm sơ cấp tìm ngun hàm trực tiếp từ bảng ngun hàm ( sau số phép biến đỏi đại số * Cần nắm dạng tốn đổi biến dạng đổi biến dạng a Đổi biến dạng 1: ∫ − x dx dx ∫ + x2 ∫ 1 16 − x dx ∫x − x dx b Đổi biến dạng 2: Ví dụ:Tính tích phân sau ∫ x dx x +1 Phân ích: Bước 1: Đặt (tùytheo tốn mà ta đặt cho thích hợp Bước 2: Đổi cận x thành t (hoặc ngược lại Bước 3: Thay vào BT ban đầu đổi biến số Giải: + ta có dx=2tdt Đặt t = x ⇔ t2 = x + Đổi biến số : x=4 -> t=2, x=9 -> t=3 suy ra: ∫ 2 t t 2tdt = 2∫ dt = + ln t −1 t −1 Bài tập: Tính tích phân sau GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 30 a ∫ π π ∫ e x2 x x + 1dx b ∫0 sin x cos xdx f ∫ x3 + e x2 + π dx c ∫ xdx g ∫ e2 e d + 4sin x cos xdx π π + ln x dx h ln x ∫ π ∫ sin x dx + 3cos x ecos x sin xdx Dạng 3: Phương pháp tính tích phân phần Cơng thức tích phân từngphần: b ∫ u.dv = u.v b − ∫ vdu b a a a Tích phân hàm số dể phát u dv ∫ P( x).e dx ∫ P( x).cos xdx x u P(x dv exdx ∫ P( x).sin xdx ∫ P( x).ln xdx P(x cosxdx P(x sinxdx lnx P(x.dx Bài tập: Tính tích phân sau π ∫ x sin xdx ∫ e ln x dx x2 ∫ ln(1 + x )dx ∫ (3 x − 1) ln( x − 1)dx Bi tập : Tính tích phân sau: 5/ ∫ ( x + 1)dx −1 π 6/ ∫ ( π − π4 − 3sin x )dx cos2 x ∫ (3 + cos x ).dx (pt x ∫ (e + 2)dx 11 2x +1 I =∫ dx (đđb x + x +1 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến 7/ ∫ −2 x − dx (pt * ∫ dx x − 2x − 2 10 ∫ (6 x + x )dx *∫ 3x + dx x + 4x + 12 J = ∫ x + 3.x.dx (đđb Trang 31 e π ex 14 ∫ e x + dx sin x ∫ e cos x.dx 13 π 17 e ∫ 15 1 + ln x dx x e ∫ x.cos x.dx (tp 18 ∫ x.ln x.dx 21 ∫ ln x.dx 22 ∫ x.ln( x − 1).dx x + 5x + dx 25 ∫ x + ∫ x.e (tp 19 23 π 3x 16 dx + 3)5 dx π 20 x ∫ cos x dx ∫ e cos x.dx 24 x x + x − 3x dx ∫1 x2 1− 2x dx dx 29 26.* ∫ 27 * ∫ x − 6x + x − x + 4 3x − dx (PP hệ số bất định 28 * ∫ x − x + ∫ x( x e 1 30 ∫ −2 ∫ x − xdx x dx 2− x BÀI TẬP LÀM THÊM Dạng Phương pháp đổi biến số sử dụng định nghĩa, tính chất tính tích phân : Bài Tính tích phân sau : 1 I = ∫ x ( x + 1) dx I = ∫ x (1 − x ) dx π I = ∫ s inxdx + cos x ĐS : 20 ĐS : 168 ĐS : ln2 ĐS : 5x I = ∫ ( x + 4) dx ĐS : 11 I = 2 ∫ 13 I = ∫ 15 I = ∫ x dx − x2 dx x x +4 dx 2x +1 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến 1 I = ∫ x + ÷ dx x 2 x dx ∫ I = x +1 22 I= ∫ 3 x + 5dx ĐS : 275 12 ĐS : ĐS : 65 1 I = ∫ x (1 + x ) dx 15 16 π ĐS : − ĐS : ln 3 I = ∫ x − x dx ĐS : e 10 I = ∫ 1 + ln x dx x π 12 I = ∫ sin 2009 cos xdx ĐS : −7 15 2(2 − 1) ĐS : 2010 ĐS : 14 I = ∫ xdx 2x +1 ĐS : 2 16 I = ∫ x − x dx ĐS : Trang 32 b Dạng Phương pháp tích phân phần : b ∫ u dv = uv b a a − ∫ v du a Bài Tính tích phân sau : 1 x I = ∫ ( x + 1)e dx x I = ∫ xe dx ĐS : e − 3e ĐS : 2x I = ∫ ( x − 2)e dx π I = ∫ x ln xdx I = ∫ x ln xdx ĐS : e 1 x I = ∫ x e dx 10 I = ∫ x ln ( x + 3) dx ĐS : 3e-4 π ∫ sin 3x.cos x.dx (đb ĐS : ln12 − ln − xdx (db Vấn đề2 : ĐS : e-2 π 12 ∫ sin xdx (pt 0 ∫ cos e2 − x I = ∫ (2 x + x + 1)e dx 2e3 + ĐS : I = ∫ x ln xdx π ĐS : 13 ĐS : ln − e I = ∫ ( x + 1)s inxdx 11 ĐS : π 14 cos3 x sin xdx (đđb ∫ Tính diện tích hình phẳng 1/ Dạng tốn1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Cho hàm số y=f(x liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường b cong (C) :y=f(x đường thẳng x= a; x=b; y= : S = ∫ f ( x ) dx a 2/ Dạng tốn2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong đường thẳng Cho hàm số y=f(x có đồ thị (C) y=g(x có đồ thị (C’ liên tục đoạn [a;b] diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C), (C’ đường thẳng x= a; x=b : b S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx a Phương pháp giải tốn: B1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm (C) (C’ B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 33 Nếu phương trình hồnh độ giao điểm vơ nghiệm (a;b Khi diện tích hình phẳng b cần tìm là: S =∫[ f ( x ) −g ( x )]dx a TH2: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x1 ∈ (a;b Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: b x1 b a a x1 S =∫ f ( x ) −g ( x ) dx = ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx + ∫[ f ( x ) −g ( x )]dx TH3: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm x 1; x2∈ (a;b Khi diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 x1 x2 a x2 b S = ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx + ∫[ f ( x ) −g ( x ) ] dx Chú ý: * Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng tốn trường hợp đặc biệt dạng tốn đường cong g(x.=0 Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx đoạn [0;2 π ] trục hồnh Giải : Ta có :sinx = có nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2π π 0 2π ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + π∫ sin xdx = π 2π cos x + cos x π = (đvdt Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P 1.: y = x2 –2 x , (P2 y= x2 + đường thẳng x = -1 ; x =2 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y=lnx, y=0, x=e Bài tập đề nghị: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P.: y= x2 - 2x trục hồnh 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H.: y = x +1 đường x thẳng có phương trình x=1, x=2 y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x - 4x2+5 đường thẳng (d.: y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x3 –3 x , y = x 5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn y=x2-2x, y=x GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 34 6/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn : a) y= 2x – x2, x+y=2 b) y=x3 – 12x , y=x2 c) y=x3 – v tiếp tuyến với y=x3 – điểm (-1;-2 d) y=x2 ; y2=x e) y=2x – x2; x+y=0 f) y=x2, x+y=2 Vấn đề : Tính thể tích vật thể tròn xoay b Dạng tốn : Thể tích vật thể: (xsgk V = ∫S ( x )dx a Dạng tốn : Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x đường thẳng x= a, x=b , y= quay xung quanh trục ox là: b V =Π∫ f ( x ) dx a Ví dụ 1: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x 2 Giải: Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm : S = π ∫ ( x − x ) dx = π ∫ ( x − x + x )dx −1 2 −1 18π x − x + x ) −1 = (đvtt 5 Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn =π ( đường sau quay xung quanh trục Ox: x =0 ; x = π π π ; y = ; y = sinx Đs: V = ( − ) (đvtt Ví dụ 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x , đồ thị (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường y=0, x=0, x=3 quay quanh trục Ox GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 35 Bài tập đề nghị: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn đường sau quay xung quanh trục Ox: π Bài y = cosx ; y = ; x = ; x = Bài y = sin x ; y = ; x = ; x = π x Bài y = xe ; y = ; x = ; x = Bi 4: y=2 – x2 , y=1 Bi 5: y=2x – x2, y=x Bi 6: y=x2 – 4x + 4, y=0, x=0, x=3 Bi : y=x2, x=y2 Bi 8: y=2x – x2, y=0 Bi 9: y=x2, y=1 Chủ đề 4: Số Phức * Kiến thức cần đạt (Xem sgk trang 130-140 - Biết định nghĩa số phức - Biết phần thực phần ảo số phức - Biết tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức - Biết số phức liên hợp, mơđun số phức - Phép cộng, phép trừ, phép nhân phép chia số phức - Giải phương trình bậc tập số phức Bài tập: Bi 1/ Tính : 2 − 15i 1 ; a.5 + 2i – 3(-7+ 6i ; b − 3i + 3i ÷; c / + 2i ; d / + 2i 2 Bi 2: Xác định phần thực phần ảo số phức sau a z=(0 - i –(2 – 3i + (7 + 8i b z=(0 - i.(2+3i.(5+2i 2 c z=(7 – 3i – (2 - i Bi 3: Cho số phức z= – 3i.Tìm : a z2 b c d z+z2+z3 Bi 4: Tìm số thực x, y thỏa : ( ) ( ) a / x + 2i = + yi; b / ( x + 1) + ( y − 1) i = − 6i c x+2i=5+yi d (x+y + 3(y - 1.i=5 – 6i Bi 5/ Giải phương trình: (Trọng tâm 1/ x2 – 6x + 29 = 0; 2/ x2 + x + = x3+8=0 3/ x2 – 2x + = 0; 4/ x2 +(1+i x –(1-i = x3-8=0 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến 10 z4-1=0 11 z4 – z2-6=0 Trang 36 x2 + 3x + 10 = x4 + 5x + = z4-8=0 Bi /Tìm mặt phẳng phức , tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn hệ thức sau: a / z − i ≤ 1; b / z + i = z + Bài 7/ Tìm nghiệm pt: z = z 100 98 96 Bài 8/ CMR: ( + i ) = 4i ( + i ) − ( + i ) Bài Cho số phức z = −6 + i Xác định phần thực, phần ảo,số phức liên hợp mođun số phức Bài 10: Thực phép tính sau: a ( − 2i ) + (9 − i ) b ( + 3i ) − (8 + 2i) c ( + 3i ) (6 − 4i ) d (7 − 4i) (1 − 3i ).(8 + 7i) Bài 11: Giải phương trình : (9 + i) z + (2 − 5i).(1 + 2i) = + 3i Bài 12: 5 3 a Tính − i ÷ 2 ÷ b Tìm số thực x, y thỏa mãn: x − 1+ ( 3-2y ) i = − x + ( y − ) i Hết GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 37 [...]... log7 12 = a, log12 24 = b 27 c Tính log 3 25 biết log5 3 = a 5 d Tính log 49 14 biết log 28 98 = a e Tính log 21 x biết log3 x = a , log7 x = b Bài 20: Tính giá trị các biểu thức 1 log915 + log918 – log910 1 3 2 2 log 1 6 − 2 log 1 400 + 3 log 1 45 3 1 3 log 36 2 − log 1 3 2 6 GV Nguyễn Thị Ngọc Yến 4 3 3 log 1 (log 3 4 log 2 3) 4 Trang 20 5 14 − 12 log9 4 log7 2 log125 8 81 .49 + 25 12. .. 4x – 2 52x = 10x 8 27x + 12x = 2 8x 9 ( 2 + 3 ) + ( 2 − 3 ) = 2 x x GV Nguyễn Thị Ngọc Yến x x 10 7 − 48 + 7 + 48 = 14 Trang 23 x x 11 6 + 35 + 6 − 35 = 12 12 (7 + 3 5 ) + ( 7 − 3 5 ) = 14.2 x x x 13 32x+4 + 45 6x – 9 22x+2 = 0 14 8x+1 + 8.(0,5.3x + 3 2x+3 = 125 – 24.(0,5.x Vấn đề 2: Phương trình logarit Dạng 1 Đưa về cùng cơ số Bài 1: giải các phương trình a... Phương pháp tính tích phân từng phần Cơng thức tích phân từngphần: b ∫ u.dv = u.v b − ∫ vdu b a a a Tích phân các hàm số dể phát hiện u và dv ∫ P( x).e dx ∫ P( x).cos xdx x u P(x dv exdx ∫ P( x).sin xdx ∫ P( x).ln xdx P(x cosxdx P(x sinxdx lnx P(x.dx Bài tập: Tính các tích phân sau π 2 0 ∫ 1 x sin xdx 2 ∫ e 1 ln x dx x2 3 ∫ 1 0 ln(1 + x )dx 4 ∫ 3 2 (3 x 2 − 1) ln( x − 1)dx Bi tập : Tính các tích phân sau:... 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (H.: y = x +1 và các đường x thẳng có phương trình x=1, x=2 và y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường cong (C): y= x 4 - 4x2+5 và đường thẳng (d.: y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y = x3 –3 x , và y = x 5/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x2-2x, y=x GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 34 6/ Tính diện tích hình phẳng... diện tích hình phẳng giới hạn bởi : a) y= 2x – x2, x+y=2 b) y=x3 – 12x , y=x2 c) y=x3 – 1 v tiếp tuyến với y=x3 – 1 tại điểm (-1;-2 d) y=x2 ; y2=x e) y=2x – x2; x+y=0 f) y=x2, x+y=2 Vấn đề 3 : Tính thể tích vật thể tròn xoay b Dạng tốn : Thể tích của vật thể: (xsgk V = ∫S ( x )dx a Dạng tốn : Thể tích của một vật thể tròn xoay Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi hình phẳng giới hạn bởi đường... 275 12 ĐS : 4 3 ĐS : 65 4 1 1 3 4 3 7 I = ∫ x (1 + x ) dx 2 4 15 16 1 8 π 1 ĐS : − 8 4 ĐS : 1 5 ln 4 3 1 3 2 8 I = ∫ x 2 − x dx ĐS : 0 e 10 I = ∫ 1 1 + ln x dx x π 2 12 I = ∫ sin 2009 cos xdx ĐS : 8 2 −7 15 2(2 2 − 1) 3 ĐS : 1 2010 ĐS : 1 3 0 1 14 I = ∫ 0 xdx 2x +1 2 ĐS : 2 2 16 I = ∫ x − x dx ĐS : 1 0 Trang 32 b Dạng 2 Phương pháp tích phân từng phần : b ∫ u dv = uv b a a − ∫ v du a Bài 2 Tính các tích. .. 3e-4 0 π 4 ∫ sin 3x.cos x.dx 3 (đb 0 3 2 ĐS : 6 ln12 − ln 3 − 0 xdx (db Vấn đề2 : ĐS : e-2 9 2 π 2 12 ∫ sin 2 xdx (pt 0 0 ∫ cos e2 − 1 4 0 3 2 x 9 I = ∫ (2 x + x + 1)e dx 3 4 1 2e3 + 1 ĐS : 9 2 7 I = ∫ x ln xdx π 2 ĐS : 1 0 13 ĐS : 2 ln 2 − e 5 I = ∫ ( x + 1)s inxdx 11 ĐS : 1 0 π 2 14 cos3 x sin 2 xdx (đđb ∫ 0 Tính diện tích hình phẳng 1/ Dạng tốn1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 đường cong và 3... ) −g ( x ) dx a Phương pháp giải tốn: B1: Lập phương trình hồnh độ giao điểm giữa (C) và (C’ B2: Tính diện tích hình phẳng cần tìm: TH1: GV Nguyễn Thị Ngọc Yến Trang 33 Nếu phương trình hồnh độ giao điểm vơ nghiệm trong (a;b Khi đó diện tích hình phẳng b cần tìm là: S =∫[ f ( x ) −g ( x )]dx a TH2: Nếu phương trình hồnh độ giao điểm có 1 nghiệm là x1 ∈ (a;b Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b... có 1 nghiệm x= π ∈ ( 0;2π ) vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: S= 2π π 0 0 2π ∫ sin x dx = ∫ sin xdx + π∫ sin xdx = π 2π cos x 0 + cos x π = 4 (đvdt Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P 1.: y = x2 –2 x , và (P2 y= x2 + 1 và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y=lnx, y=0, x=e Bài tập đề nghị: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn giữa đường... 0 g ( x) neu a > 1 ⇔ f ( x ) < g ( x ) neu 0 < a < 1 a f ( x) f ( x) > log ba neu a > 1 >b⇔ b f ( x) < log a neu a > 1 Bài 1: Giải các bất phương trình ( Cùng cơ số 2 x+ 5 1 x–4 a 16 ≥ 8 b ÷ < 9 3 6 c 9 x ≤ 3 x+ 2 4 x 2 −15 x + 4 1 d 4 x − x + 6 > 1 e 2 ÷ < 23 x − 4 2 Bài 2: Giải các bất