Bài 2 phân giác trong và tâm nội tiếp có lời giải

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG CÂU PHÂN LOẠI Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 2: Phân giác tâm nội tiếp Bài 1:Tam giác ABC có phân giác AD: x  y   , đườngcao BH: x  y   Cạnh AB qua điểm M(1;1) diện tích tam giác ABC 6,75 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Chú ý: AD phân giác cần lưu ý đến tính đối xứng trục đường Giải: Gọi N( xN ; yN ) điểm đối xứng với M qua đường AD A H 1  xN  1   y N  1    x  y N   x  3  N  N  N  3; 3   xN  y N  x  y   y        N N N     N M I Phương trình đường thẳng AC: 1 x     y     x  y   C B D x  y   A giao điểm của:   A  5; 7  Phương trình đường AB:  x  1   y  1   x  y   x  y    2.2  2 x  y   1  27 B giao điểm của:   B  ;  Có BH  d( B ; AC )   x  y   10 1    x Gọi C( xC ; yC ) nên AC  Có: S  C     yC   27 27  BH AC  6,75  10 x C     yC    2 2 27   xC     yC    4  xC  yC    13   15   Lại có C thuộc đường thẳng AC ta có hệ:  2   C  4;  ; C  6;       xC     yC     Bài 2:Tam giác ABC có E;Flà chân đường vuông góc hạ từ B C lên đường phân giác góc A, điểm K giao điểm đường FB CE Tìm tọa độ đỉnh A có hoành độ nguyên nằm đường thẳng:  1 x  y   E  2; 1 ; K  1;     Ta chứng minh AK  BE sau: A K E C B D F  BE  AD KB KE BE Do   CF  BE    (1) KF KC CF CF  AD Lại có  ABE đồng dạng với  ACF (g.g) BE AE   (2) CF AF KB AE Từ (1);(2)    AK  BE KF AF Mà BE  AD  AK  AD   Do A nằm đường thẳng x  y   nên A  a; 2 a   Do AK  AE  AK.AE         5 Có: AK  1  a; a   ; AE   a; a    AK.AE    1  a   a    a    a    2 2    a  1  a  a   a  a    5a  a     Do A có hoành độ nguyên nên  A  1; 1  a  3  2 BÀI 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Phương trình tiếp tuyến đường tròn A là: x  y   Đường phân giác góc góc A cắt BC E  9;  Tìm tọa độ đỉnh tam giác biết  21  điểm B  ;  điểm A có tung độ dương  5 Đường thẳng BC qua điểm B E nên có phương trình là: x  y   A E I F Gọi F giao điểm tiếp tuyến A với đường thẳng BC Tọa độ điểm F nghiệm hệ phương x  y   x  trình:    F  5;1 x  y   y  Kẻ AD phân giác góc A tam giác ABC   FAC   CAD  ; FDA   ABC   BAD  FAD C D B   FDA  FDA cân F nên FA  FD Lại có AD AF   ABC   sdAC  ; CAD   BAD  đó:  FAD Và FAC phân giác góc A nên AE  AD Do F trung điểm DE Tìm A: Là giao điểm đường tròn đường kính ED tiếp tuyến A Do ta viết phương trình đường tròn đường kính ED: FE   2  20 nên Đường tròn tâm F là:  x     y  1  20 2 x   y  x  y    x   y     y  Tọa độ điểm A nghiệm hệ:  2  x     y  1  20  y  1    y  1  Do điểm A có tung độ dương nên A  1;  x   y  x  y    x   y      y  1  D  1; 1 Điểm D nghiệm hệ:  2  y   x     y  1  20 5  y  1  20   3 Đường thẳng AD: x   Gọi M điểm đối xứng với B qua đường AD  M   ;   5 2 x  y    7 Phương trình đường AM là: x  y   Tọa độ C nghiệm hệ:   C ;   3 x  y   Bài 4: Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  6;  tâm đường tròn nội tiếp J  4;  BJ CJ cắt đường tròn (I) M N Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng MN có phương trình x  y  59  đỉnh B có hoành độ nhỏ hoành độ điểm C A M K N J I B C   NAJ   NJA cân N lại có NM phân giác  ANC nên A Do NJA J đối xứng với qua đường thẳng MN Do dễ dàng xác định điểm A qua phép đối xứng trục MN sau: 6  x A     y A     88 116    A ;   xA    yA   25 25  6  59  8 2  Đường thẳng AJ: 3x  y   Gọi D giao điểm AJ với đường tròn(I) Phương trình đường tròn (I) là:  x     y    2 Toa độ D nghiệm hệ:  4y   x  y   x    D  8;   2  x     y     25 y  316 y  928   D Phương trình đường tròn tâm J bán kinh JD là:  x     y    25 2 Do DJ= DB =DC nên B C giao điểm đường tâm J bán kính JD với đường tròn (I) Do tọa độ B C nghiệm hệ:  x  2   y  2   44 32    y  24  x   B  8;  ; C  ;  hoán vị  2  5   x     y    25 5x  84 x  352   3 Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (I) có AC  AB Gọi D  2;   chân đường phân giác 2  góc A E  1;  điểm thuộc đoạn AC cho AB  AE Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết (I) có phương trình: x  y  x  y  30  điểm A có hoành độ dương Gọi H giao điểm AI với đường DE   AED  Ta có  ABD  ADE(c.g.c) nên ABC A Mà tam giác IAC cân I nên:    ACI   180  AIC  900  ABC  HAE   180  AED   HAE   180  90  90  AHE  E I H B D M F C  Do AI vuông góc với đường thẳng DE Đây tính chất hình học quan trọng cần phải tìm toán Đến công việc trở nên đơn giản sau:   5 Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I   ;1  ; R    Phương trình đường thẳng (DE): x  y   Đường thẳng AI qua I vuông góc với đường DE: (AI): 2 x  y   A giao điểm AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tọa độ A nghiệm hệ phương y  2x     2x  y     x1  trình:  2  x  y  x  y  30  5x  5x  30    x  3   Do điểm A có hoành độ dương nên A  2;  Đường thẳng (AD): x   Do AD phân giác góc BAC mà AB  AE E đối xứng với B qua đường thẳng AD  yB      B  5;  Do EB.AD  trung điểm EB thuộc đường AD :  1  xB 20   Phương trình đường thẳng (AE): x  y   Gọi F giao điểm AD với đường tròn (I) nên tọa độ điểm F nghiệm hệ: x   x       y  Do A  2;  nên F  2; 4   2  x  y  x  y  30    y  4  Phương trình đường (BC) qua F vuông góc với IF (BC): x  y  10   x  y  10   14 22  C giao điểm BC AE nên tọa độ C nghiệm hệ:   C ;    2 x  y   ...  2   y  2   44 32    y  24  x   B  8;  ; C  ;  hoán vị  2  5   x     y    25 5x  84 x  3 52   3 Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (I) có. .. x  y   Bài 4: Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I  6;  tâm đường tròn nội tiếp J  4;  BJ CJ cắt đường tròn (I) M N Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng MN có phương trình...     Do A có hoành độ nguyên nên  A  1; 1  a  3  2 BÀI 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Phương trình tiếp tuyến đường tròn A là: x  y   Đường phân giác góc góc A