Bài 2 phân giác trong và tâm nội tiếp có lời giải

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC... Lại có AD và AF là 2 phân giác trong và ngoài góc A nên AE AD Do đó F là trung điểm của DE.. Tìm A: Là giao điểm của đường tròn đường kính ED và

Bài 1:Tam giác ABC có phân giác trong AD:x y  2 0, đườngcao BH: 2x y  1 0 Cạnh AB đi qua điểm (1;1)

M và diện tích tam giác ABC là 6,75 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Chú ý: AD là phân giác thì cần lưu ý đến tính đối xứng trục của

đường này

Giải: Gọi ( ; )N x y là điểm đối xứng với M qua đường AD do đó N N

3; 3

N





Phương trình đường thẳng AC:

1 x3 2 y3   0 x 2y 9 0

A là giao điểm của: 2 9 0 5; 7

2 0

A

x y

   

   

 Phương trình đường AB: 2x 1 1 y  1 0 2x y  3 0

B là giao điểm của: 2 3 0 1 ;2

x y

B

x y



 

1 2.2 9

10

1 4

B AC

BH d

 



Gọi ( ; )C x y nên C C   2 2

AC x   y 

Có: 1 6,75 27

S BH AC  27 5  5 2 72 27  5 2 72 5

Lại có C thuộc đường thẳng AC do đó ta có hệ:

2 9 0

5

4

   



4; ; 6;

     

Bài 2:Tam giác ABC có E;Flà chân đường vuông góc hạ từ B và C lên đường phân giác trong góc A, điểm K là

giao điểm của các đường FB và CE Tìm tọa độ đỉnh A có hoành độ nguyên nằm trên đường thẳng:

2x y  3 0 và 2; 1 ; 1; 1

2

E  K  

Ta sẽ chứng minh AK BE như sau:

 

 

Lại cóABE đồng dạng với ACF (g.g)

(2)

BE AE

CF AF

Từ (1);(2) KB AE AK BE

KF AF

Mà BE AD AK AD

I A

B

C D

H

M

N

D B

A

C

F

K

E

24H HỌC TOÁN - CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI

Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải BÀI 2: Phân giác trong và tâm nội tiếp

Do A nằm trên đường thẳng 2x y  3 0 nên A a ; 2 a 3Do AK AE  AK AE 0

Có: 1 ;2 5 ; 2 ;2 2 0

2

AK a a  AE a a AK AE

 1 2  2 5 2 2 0

2

        

5

a

a

  



            

 



Do A có hoành độ nguyên nên A 1; 1

BÀI 3:Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại A là:

2 7 0

x y  Đường phân giác góc ngoài của góc A cắt BC tại E 9; 3 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm 21 3;

5 5

B 

  và điểm A có tung độ dương

Đường thẳng BC đi qua điểm B và E nên có phương trình là: x2y 3 0

Gọi F là giao điểm của tiếp tuyến tại A với đường thẳng BC

Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình: 2 3 0 5  5;1

F

     

     

Kẻ AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC

FAD FAC CAD FDA ABC BAD   

2

FAC ABC  sdAC CAD BAD do đó: FAD FDA  FDA cân tại F nên FA FD Lại có AD và AF

là 2 phân giác trong và ngoài góc A nên AE AD Do đó F là trung điểm của DE

Tìm A: Là giao điểm của đường tròn đường kính ED và tiếp tuyến tại A

Do đó ta viết phương trình đường tròn đường kính ED:

4 2 20

FE    nên Đường tròn tâm F là:   2 2

x  y  Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

  2 2  2

7 2

3

y

  

Do điểm A có tung độ dương nên A 1;3

Điểm D là nghiệm của hệ:

  2 2  2

3 2

1

y

  

Đường thẳng AD: x  1 0 Gọi M là điểm đối xứng với B qua đường AD 1 3;

5 5

  

Phương trình đường AM là: 2x y  1 0 Tọa độ C là nghiệm của hệ: 2 1 0 5 7;

x y

C

  



I

A

E

B

C D

F

Bài 4: Tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếpI 6;6 và tâm đường tròn nội tiếp là J 4;5 BJ và CJ cắt đường tròn (I) tại M và N Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết đường thẳng MN có phương trình là

8x6y59 0 và đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ điểm C

Do  NJA NAJ NJA cân tại N lại có NM là phân giác ANC nên A

và J đối xứng với nhau qua đường thẳng MN

Do đó dễ dàng xác định điểm A qua phép đối xứng trục MN như sau:

88 116;

A



 Đường thẳng AJ: 3x4y 8 0 Gọi D là giao điểm của AJ với đường tròn(I) Phương trình đường tròn (I) là:   2 2

x  y  Toa độ D là nghiệm của hệ:

y

D

4 8

3 4 8 0

8;8 3

Phương trình đường tròn tâm J bán kinh JD là:  2 2

x  y 

Do DJ= DB =DC nên B và C là giao điểm của đường trong tâm J bán kính JD với đường tròn (I)

Do đó tọa độ của B và C là nghiệm của hệ:

2

8;8 ; ;

5 5

5 84 352 0

Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (I) có AC AB Gọi 2; 3

2

D  

  là chân đường phân giác trong góc A E  1;0 là điểm thuộc đoạn AC sao cho AB AE Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết (I)

có phương trình: x2y2 x 2y30 0 và điểm A có hoành độ dương

Gọi H là giao điểm của AI với đường DE

Ta có ABDADE c g c( ) nên  ABC AED

Mà tam giác IAC cân tại I nên:

  1800  900 

2

AIC

 1800   1800 900 900

Do đó AI vuông góc với đường thẳng DE Đây là tính chất hình học quan trọng cần phải tìm ra trong bài toán này Đến đây công việc trở nên đơn giản hơn như sau:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm 1;1 ; 5 5

I  R

Phương trình đường thẳng (DE): x2y 1 0 Đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường DE: (AI): 2   x y 2 0

K

A

M

D N

M D I A

F

E

H

A là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương

2

2 2

2

5 5 30 0

2 30 0

3

x y

x

x

  





Do điểm A có hoành độ dương nên A 2;6 Đường thẳng (AD): x  2 0

Do AD là phân giác của góc BAC mà AB AE do đó E đối xứng với B qua đường thẳng AD

Do đó EB AD   0 và trung điểm của EB thuộc đường AD do đó : 1 0  5;0

2 0 2

B B

y

B x

 

 

 



Phương trình đường thẳng (AE): 2x y  2 0

Gọi F là giao điểm của AD với đường tròn (I) nên tọa độ điểm F là nghiệm của hệ:

2

2 0

6

x x

y

 

    





Do A 2;6 nên F2; 4 

Phương trình đường (BC) đi qua F và vuông góc với IF do đó (BC): x2y10 0

C là giao điểm của BC và AE nên tọa độ của C là nghiệm của hệ: 2 10 0 14 22;

C

x y

