Giải tích hàm nâng cao

Không gian Banach và các định lý cơ bản

1Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí MinhBộ môn Toán Ứng dụng-------------------------------------------------------------------------------------Giải tích hàm nâng caoChương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản•Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007) 2 Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản. 1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach. 1.2. Định lý Banach – Steinhauss. Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt. 2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*. 2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều. Chương 3. Không gian Hilbert. 3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng. 3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC 3 Chương 4. Các không gian Lp. 4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 4.2. Tính phản xạ, khả ly của Lp. Đối ngẫu của Lp. 4.3. Tiêu chuẩn compact mạnh trong Lp. Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp compact. 5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản. 5.2. Định lý Riesz – Fredholm. 5.3. Phân tích phổ của toán tử compact. 5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp. 4Đánh giá, kiểm tra. Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)Seminar trên lớp (30%) Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%) 5Tài liệu tham khảo1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978. 3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book company, 2000.7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972. 6Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. 71. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa1 2 1 2 1 21. ( , ) ( ) ( ) ( )x x X x x x xϕ ϕ ϕ∀ ∈ + ≤ +2. ( , 0) ( ) ( )x X x xα ϕ α αϕ∀ ∈ ≥ = Hàm thực trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếuϕ Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính từ không gian tuyến tính X vào tập số thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.f 81. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của nó có xác định một quan hệ < sao cho: 1. a < a (phản xạ) 2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu) 3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng) Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó. 91. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Định nghĩa Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự <, một tập hợp con P được gọi là sắp toàn phần (sắp tuyến tính) nếu ( , ) a b P a b b a∀ ∈ < ∨ < Một phần tử được gọi là cận trên của tập hợp P nếu a S∈ Định nghĩa( ) b P b a∀ ∈ < Một phần tử được gọi là phần tử tối đại của S nếu ( , ) a S m a m a∀ ∈ < =m S∈ 101. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bổ đề Zorn Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại. [...]... ∈ 5 Tài liệu tham khảo 1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002. 2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978. 3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000. 6. Walter Rudin.... thứ nhất) 13 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g. Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F. F là hàm cần tìm. 20 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ... 0 : } y C λ α α = > ∈ ( )p x λ = vaäy ( ) ( )p x p x λ λ = 17 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Hệ quả 1 Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian f con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho 1. | ; M F f = 2. || || || ||F f= 7 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Định nghĩa 1 2 1 2 1 2 1. ( , ) ( ) ( )... || ||g x v x v λ λ δ λ ⇒ + = ≤ + ⇒ liên tục tsu rey ra .ân g G 33 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bài tập 9 Cho x là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E ta đều có f(x) = 0 thì x = 0. Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 8. 16 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Cho E và F là hai không gian định chuẩn.... 2 1. ( , ) ( ) ( ) ( )x x X x x x x ϕ ϕ ϕ ∀ ∈ + ≤ + 2. ( , 0) ( ) ( )x X x x α ϕ α αϕ ∀ ∈ ≥ = Hàm thực trên khơng gian tuyến tính X được gọi là hàm dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếu ϕ Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính từ khơng gian tuyến tính X vào tập số thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính. f 14 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Kiểm tra F D X= 0 \ F x X D∃ ∈ Giả sử Đặt 0 0 ; ( , )... N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972. 11 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Định lý Hahn-Banach là một phiếm hàm tuyến tính trên M.f Cho X là khơng gian tuyến tính thực, M - không gian con của X. Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho : X R ϕ → : ( ) ( )x M f x x ϕ ∀ ∈ ≤ thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho :F X R→ 1. ( ) ( ) ( )x M F x f x ∀ ∈ = 2.... tính. Cho phiếm hàm tuyến tính f thỏa: ví dụ = = = −(1,1,1) 1; (1,0,1) 2; (1,1,0) 1f f f Khi đó các siêu phẳng là những mặt phẳng. 3 { | ( ) }H x R f x R α = ∈ = ∈ 31 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bài tập 7 Cho v là một véctơ của không gian định chuẩn E . Chứng minh rằng ∈ = = * ,|| || 1 || || sup | ( ) | f X f v f v Hướng dẫn. Sử dụng bài tập 1. 35 1. Dạng giải tích của định lý... C∉ Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho ( ) ( ) 0z C f z∀ ∈ < ( , ) ( ) ( )x A y B f x f y⇔ ∀ ∈ ∈ < Cố định , với R α ∈ sup ( ) inf ( ) y B x A f x f y α ∈ ∈ ≤ ≤ Khi đó siêu phẳng của phương trình tách A và B theo nghĩa rộng. { ( ) }f x α = 12 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định... Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Định nghĩa Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự <, một tập hợp con P được gọi là sắp tồn phần (sắp tuyến tính) nếu ( , ) a b P a b b a∀ ∈ < ∨ < Một phần tử được gọi là cận trên của tập hợp P nếu a S∈ Định nghĩa ( ) b P b a∀ ∈ < Một phần tử được gọi là phần tử tối đại của S nếu ( , ) a S m a m a∀ ∈ < = m S∈ 18 1. Dạng giải tích. .. x f x f f x f x x 1. Hàm là một chuẩn trong L(E,F). || ||f fa Định lý 10 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Bổ đề Zorn Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại. 45 2. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach. Giả sử C là tập hợp lồi, mở, không rỗng, . Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục . Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997. 5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại,