Giải tích hàm nâng cao

Không gian Banach và các định lý cơ bản

Trang 1

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng

-Giải tích hàm nâng cao

Chương 1.

Không gian Banach và các định lý cơ bản

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (9/2007)

Trang 2

Chương 1 Không gian Banach và các định lý cơ bản

1.1 Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach

1.2 Định lý Banach – Steinhauss.

Chương 2 Tôpô yếu và các không gian đặc biệt

2.1 Tôpô yếu và tôpô yếu*

2.2 Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều.

Chương 3 Không gian Hilbert

3.1 Định nghĩa, tính chất cơ bản Hình chiếu xuống tập lồi đóng

3.2 Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.

ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC

Trang 3

Chương 4 Các không gian Lp

4.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản

4.2 Tính phản xạ, khả ly của L p Đối ngẫu của L p

4.3 Tiêu chuẩn compact mạnh trong L p

Chương 5 Toán tử compact Phân tích phổ của toán tử tự

Trang 4

Đánh giá, kiểm tra.

Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)

Seminar trên lớp (30%)

Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%)

Trang 5

Tài liệu tham khảo

1 Haim Brezis Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng Nguyễn Thành Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp HCM, 2002

2 Hoàng Tụy Giải tích hiện đại, tập 1,2,3 NXB Giáo dục, 1978

3 Nguyễn Xuân Liêm Giải tích hàm NXB Giáo dục, 1997

4 Nguyễn Xuân Liêm Bài tập giải tích hàm NXB Giáo dục, 1997.

5 Dương Minh Đức Giải tích hàm NXB ĐHQG tpHCM, 2000.

6 Walter Rudin Functional analyse MC Graw – Hill Book

company, 2000.

Trang 7

1 Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.

Ánh xạ tuyến tính từ không gian tuyến tính X vào tập số

thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính

f

Trang 8

-Định nghĩa

Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của

nó có xác định một quan hệ < sao cho:

Trang 9

( a S m a m a,  ) 

m S

Trang 10

-Bổ đề Zorn

Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử tối đại

Trang 11

-Định lý Hahn-Banach

là một phiếm hàm tuyến tính trên M.f

Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X.

Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho : X  R

Trang 12

Trang 13

-Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên

của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác

định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g.

Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F

F là hàm cần tìm

Trang 14

Đặt

0 0

Trang 15

Trang 16

-Cho E và F là hai không gian định chuẩn

L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.

Trang 17

-Hệ quả 1

Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian f

con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm

hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho

1 |F M  f ;

2 || || || ||F  f

Trang 18

Trang 19

-Hệ quả 2

Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và

Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,

Trang 20

Trang 21

Trang 22

Trang 23

-Hệ quả 3

Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và

Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,

Trang 24

Trang 25

Trang 26

d v M

Sử dụng hệ quả 3

Trang 27

Cho x và y là hai véctơ khác nhau của không gian định chuẩn

E Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao

cho



Trang 28

Trang 29

-Bài tập 5

Cho M là không gian véctơ con của không gian định chuẩn E

và Khi nào tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho

Trang 30

Trang 31

Trang 32

-Bài tập 8

Cho x, y là hai véctơ của không gian định chuẩn E Chứng minh rằng nếu với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên E ta đều có f(x) = f(y) thì x = y.

Hướng dẫn Sử dụng bài tập 1

Trang 33

Trang 34

-Cho họ véctơ độc lập tuyến tính của không

gian định chuẩn E, là những số thực Chứng minh rằng tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho

Trang 35

Trang 36

H  x R f x   R

Trang 37

được gọi là đoạn thẳng nối hai điểm a và b.

Một tập hợp được gọi là lồi nếu nó chứa mọi đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó

Trang 39

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

3) Mỗi không gian con của không gian tuyến tính là tập hợp lồi

4) Giao của một số bất kỳ tập hợp lồi là tập hợp lồi

5) Nếu D, E là hai tập lồi, a là một điểm, là một số thực thì các tập hợp sau đây là những tập hợp lồi

Trang 40

-Cho A và B là hai tập hợp con của không gian định chuẩn E

Ta nói siêu phẳng tách A và B theo

Trang 44

p x t

Trang 45

-Giả sử C là tập hợp lồi, mở, khơng rỗng, Khi đĩ

tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho

Bổ đề 2

0( x C f x) ( )  f x( )

Đặt biệt siêu phẳng của phương trình [f f x( )] tách { }x

và theo nghĩa rộng.C

Trang 47

-Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của

không gian định chuẩn E, A là tập mở Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng

Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)

Trang 48

-Chứng minh Đặt C = A\B

1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở 3) Kiểm tra 0 C

Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho

Trang 49

-Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của

không gian định chuẩn E, A là tập mở Khi đó tồn tại siêu phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng

Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)

Trang 50

-(0, )

B B B 

Chứng minh Với   0, đặt A  A B (0, )

1) Kiểm tra lồi. A và B

2) Kiểm tra mở, khơng trống. A và B

3) Kiểm tra rời nhau. A và B

Khi đĩ tồn tại siêu phẳng của phương trình tách A và

Trang 52

sup || ||i L E F

i I T



 

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	799 KB

Giải tích hàm nâng cao

Kiểm tra rời nhau Aε và ε