Giải tích hàm nâng cao2. potx

Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.. ---Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ khơng của khơng gian định chuẩn E.. Dạng hình học của định lý Hahn-Banach... Dạng hình học của định lý

Giải tích hàm nâng cao

41

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-Giả sử C là tập hợp lồi, mở, chứa véctơ khơng của khơng gian

định chuẩn E.

Bổ đề 1 (dung lượng của tập hợp lồi)

1 (   x E p x ) ( )  inf{   0,   x  C }

Khi đĩ hàm p thỏa

2) ( p x  y )  p x ( )  p y ( )

1) ( p  x )   p x ( ),   0

3) tồ n tại M sao cho:

42

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-Chứng minh b ổ đề 1

1) ( p  x )   p x ( ),   0

Nế u   0 và y   x , ta có

( ) inf{ 0 : y }





'

'

inf{  0 : y C }



    inf{  ' 0 : y ' C }



vậ y ( p  x )   p x ( )

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-, , 0 Từ (1) và (3b), ta có

x y  E  

2) ( p x  y )  p x ( )  p y ( )

(1- ) Suy ra, ( t [0,1])

C

1

x

p x    p x   

( )

x

C

y

C

p y   

( ) chọn

( ) ( ) 2

p x t









C





      p x (  y )  p x ( )  p y ( )

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-Chứng minh b ổ đề 2

Xé t dung lượng củ p a C

1) Giả sử 0 C 

0

g G  R g tx  t

Kiể m tra ( ) g x  p x ( )

0 Xé t G  Rx

Theo định lý Hahn-Banach, tồ n tại trê f n , khuyế E ch củ a g

sao cho (   x E f x ) ( )  p x ( ),

liê n tục do bổ đề 1, 3a)

-Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của

không gian định chuẩn E, A là tập mở Khi đó tồn tại siêu

phẳng đóng tách A và B theo nghĩa rộng.

Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ nhất)

48

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-Chứng minh Đặt C = A\B.

1) Kiểm tra C lồi 2) Kiểm tra C mở 3) Kiểm tra 0 C 

Theo bổ đề 2) tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E sao cho

(   z C f z ) ( )  0    ( x A y ,  B f x ) ( )  f y ( )

Cố định   R , với sup ( ) inf ( )

y B

x A





Khi đó siêu phẳng của phương trình tách A và B theo

nghĩa rộng.

{ ( ) f x   }

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng, lồi, và rời nhau của

khơng gian định chuẩn E, A là tập mở Khi đĩ tồn tại siêu

phẳng đĩng tách A và B theo nghĩa rộng.

Định lý Hahn-Banach (dạng hình học thứ hai)

2 Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

-(0, )

B   B  B 

Chứng minh Vớ i   0, đặ t A   A  B (0, ) 

1) Kiểm tra A  và B  lồi.

2) Kiểm tra A  và B  mở, khơng trống.

3) Kiểm tra A  và B  rời nhau.

Khi đĩ tồn tại siêu phẳng của phương trình tách A và

B theo nghĩa rộng.

{ ( ) f x   } (   x A y ,  B z ,  B (0,1)) ( f x   z )    f y (   z )

( ) || || ( ) || ||

-Cho X là không gian mêtrix đủ, không trống.

Bổ đề Baire

Giả sử   x n n  1 là dãy các tập hợp đóng sao cho

1 n

n







 Khi đó tồn tại n 0 sao cho

0 int X n  0.

52

3 Định lý Banach - Steihauss.

-Cho E, F là hai không gian Banach. là họ các toán tử Định lý Banach - Steihauss

tuyến tính liên tục từ E vào F sao cho

  T i i I 

Khi đó

sup || i ( ) ||

i I

T x



  ( , )

sup || i || L E F

i I

T



 