Giải tích hàm nâng cao

Giải tích hàm nâng cao Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Ta có || g || sup | g (x ) |  sup | g ( x  v ) |  x G || x || x G || x  v || n Vì d (v , M )    0, neâ (z  M ,0  r  1) ||v  z || r 1  r ||v  z ||  Khi | g (v  z ) |   r ||v  z || Vậy || g || | g (v  z ) |  r ||v  z || Vì r tùy ý, r < 1, nên || g || || g || 21 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Theo hệ 1, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E: F |G  g  (x  M ) F (x )  g (x )  || F |||| g || ■ 22 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Hệ Giả sử M không gian không gian định chuẩn E v  E \ M : d (v, M )  inf || v  x ||   xM Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E, cho (x  M ) F ( x )  F (v )  || F || d ( v, M ) 23 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Chứng minh Đặt G  M , v  g :G  R g ( x  v)   Tương tự phần chứng minh hệ 24 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Bài tập Với v  không gian định chuẩn E, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho ||F || F (v ) || v || Giải Sử dụng Hệ (slide 19), đặt M = {0} 25 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Bài tập Cho M không gian đóng không gian định chuẩn E, v  M Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho F (v )  (x  M ) F ( x)  Giải Vì M đóng, v  M Khi tồn hình cầu B (v , M ) M, suy d (v , M )  nằm Sử dụng hệ 26 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Bài tập Cho x y hai véctơ khác không gian định chuẩn E Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho F (x )  F ( y ) Giải x y x y 0 Sử dụng tập 27 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Bài tập Cho họ véctơ M  { x 1, x , , x m } không gian định chuẩn E, véctơ x không tổ hợp tuyến tính M Chứng minh tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho F ( x )  (x  M ) F (x i )  Giải L( M )  x1 , x2 , , xm  Khi L(M) không gian đóng E Sử dụng tập 28 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach - Bài tập Cho E không gian định chuẩn f phiếm hàm tuyến tính liên tục E, f khác không Chứng minh siêu phẳng { x  E : f (x )  } tập khác rỗng Hướng dẫn Sử dụng tập 30 ... M Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho F (v )  (x  M ) F ( x)  Giải Vì M đóng, v  M Khi tồn hình cầu B (v , M ) M, suy d (v , M )  nằm Sử dụng hệ 26 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach... véctơ khác không gian định chuẩn E Khi tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho F (x )  F ( y ) Giải x y x y 0 Sử dụng tập 27 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach ... M Chứng minh tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục F E cho F ( x )  (x  M ) F (x i )  Giải L( M )  x1 , x2 , , xm  Khi L(M) không gian đóng E Sử dụng tập 28 Dạng giải tích định lý Hahn-Banach