Giải tích hàm nâng cao 12 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau: 1 2 1 2 ( , ) g g G g g 1 1 2 2. ( ) ( ) ( ) g x D g x g x 2 2 3. ( ) ( ) ( ) g x D g x x 1 2 1. g g D D Kiểm tra S là tập được sắp một phần. { | } S g G g f 11 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Định lý Hahn-Banach là một phiếm hàm tuyến tính trên M. f Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X. Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho : X R : ( ) ( ) x M f x x thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho : F X R 1. ( ) ( ) ( ) x M F x f x 2. ( ) ( ) ( ) x X F x x 13 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g. Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F. F là hàm cần tìm. 15 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. cần chọn sao cho 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | sup inf F F x D y D F y y x x x F x vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được ( ) ( ) ( ) ( ) F x y F x F y x y 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F x F y x x y x 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) F y y x x x F x Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■. 16 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Cho E và F là hai không gian định chuẩn. L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. ( ( , )) || || inf{ : ( ) , } f L E F f k f x kx x F 0 || || 1 || || 1 || ( )|| 2. || || || ( )|| || ( )|| sup sup sup || || x x x f x f f x f x x 1. Hàm là một chuẩn trong L(E,F). || || f f Định lý 17 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Hệ quả 1 Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian f con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho 1. | ; M F f 2. || || || || F f 18 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Chứng minh Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn ( ) ( ) || || || || x E x f x 1. Cần kiểm tra là một sơ chuẩn 2. ( ) | ( )| || || || || ( ) x M f x f x x Tồn tại phiếm hàm tuyến tính , sao cho và : F E R | M F f ( ) | ( ) | ( ) || ||.|| || x E F x x f x Suy ra F(x) liên tục và 0 0 || ( )|| || ||.|| || || || sup || || || || sup sup || || || || x x F x f x F f f x x Mặt khác ( ) ( ) ( ) || || || || x M F x f x F f Vậy ||F|| = ||f|| 19 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Hệ quả 2 Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E, sao cho \ : ( , ) inf || || 0 x M v E M d v M v x 1. ( ) ( ) 0 x M F x 2. ( ) F v 3. || || 1 F 20 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Chứng minh Đặt , G M v : g G R ( ) g x v 0 ( ) 0 g x 0: || || | |.|| ( )|| | |. x x v v | ( )| | | || || g x v x v lieân tuïc t su re y ra . ân g G . Giải tích hàm nâng cao 12 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không. 11 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. Định lý Hahn-Banach là một phiếm hàm tuyến tính trên M. f Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X. Nếu tồn tại một hàm dưới. F. F là hàm cần tìm. 15 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. cần chọn sao cho 0 0 | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | sup inf F F x D y D F y y x x x F x vì F là hàm tuyến