DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN docx

GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 2 §0. NHẮC LẠI VÀI QUI TẮC TRONG PHÉP LÝ LUẬN 1) Mệnh đề “ , ( )x D T x ” (tất cả x thuộc D đều có tính chất T(x)) được phủ đònh thành “ , ( )x D T x ” (có một x thuộc D không có tính chất T(x)). 2) Mệnh đề “ AB ” (cả hai A và B đều như thế) được phủ đònh thành “ AB ” (có một trong hai A hay B không phải như thế). 3) Mệnh đề “ , ( )x D T x ” (có một x thuộc D mang tính chất T(x)) được phủ đònh thành “ , ( )x D T x ” (tất cả x thuộc D đều không có tính chất T(x)). 4) Mệnh đề “ AB ” (có một trong hai A hay B là như thế) được phủ đònh thành “ AB ” (cả hai A và B không phải như thế). 5) Mệnh đề “ AB ” (có A thì phải có B) được phủ đònh thành “ AB ” (có A nhưng vẫn không có B). 6) Phép chứng minh qui nạp: Giả sử rằng: * mệnh đề 0 ()Tn đúng * mệnh đề T(k) luôn suy ra được mệnh đề T(k + 1) (ý nói với mọi 0 kn , mệnh đề kéo theo “ ( ) ( 1)T k T k ” luôn đúng). Khi đó mệnh đề T(n) sẽ đúng với mọi 0 nn . 7) Phép phản chứng trong mệnh đề phản đảo: Mệnh đề “ AB ” cùng nghóa với “ BA ” (có A thì phải có B, cũng nghóa với nếu không có B thì sẽ không bao giờ có A). Áp dụng: khi người ta cho điều A và yêu cầu ta chứng minh điều B, ta có thể giả sử phản chứng rằng không có điều B rồi ta lý luận không có điều A, trái với giả thiết người ta cho. Vậy phải có điều B. Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 1 8) Phép phản chứng trực tiếp: Khi người ta yêu cầu chứng minh điều A, ta có thể giả thiết tạm rằng không có A rồi suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết tạm. Bài tập 1. a) Cho số tự nhiên m và 2 m là số chẵn. Chứng minh m cũng là số chẵn. b) Chứng minh rằng nếu một số chính phương là chẵn thì số chính phương đó chia hết cho 4. 2. Chứng minh rằng không tồn tại một phân số m n (với m và n là các số tự nhiên, đương nhiên n khác 0) sao cho 2 2 m n . 3. Cho 1 và n là số tự nhiên tùy ý lớn hơn 1. Dùng phép qui nạp, hãy chứng minh bất đẳng thức Bernouli sau đây: 11 n n . 4. Cho số α thỏa 0, . Chứng minh 0. 5. Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương: Mệnh đề 1 là “ 0, a ”; mệnh đề 2 là “ 0, .a ” 6. Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương: Mệnh đề 1 là “ 0, a ”; mệnh đề 2 là “ 0, . 2 a ” 7. Chứng minh các bất đẳng thức sau đây (bất đẳng thức tam giác) a) x y x y b) x y x y c) .a b a b §1. TIÊN ĐỀ VỀ SUPREMUM; INFREMUM 1) Các đònh nghóa và ký hiệu: * Các tập hợp số thực, hữu tỉ, số nguyên, số tự nhiên lần lượt được ký hiệu là , , , (sinh viên đã có khái niệm về các số này ở phổ thông. Nếu thích tìm hiểu thêm, sinh viên có thể tham khảo Giáo trình Giải Tích Hàm Một Biến, N.Đ.Phư, N.C.Tâm, Đ.N.Thanh & Đặng Đức Trọng; hoặc Giải Tích Nhập Môn, Đặng Đình Áng). Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 4 * Với số thực x, ta ký hiệu [x] là phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất nhưng không lớn hơn x, nghóa là [ ] [ ] 1xxx và [x] là số nguyên. * Số thực  được gọi là chặn trên của tập con A khác rỗng trong nghóa là ,x A x . * Số thực  được gọi là phần tử lớn nhất của tập con A khác rỗng trong nghóa là và ,A x A x . Lúc đó ta ký hiệu max A . * Số thực  được gọi là chặn dưới của tập con A khác rỗng trong nghóa là ,x A x . * Số thực  được gọi là phần tử nhỏ nhất của tập con A khác rỗng trong nghóa là và ,A x A x . Lúc đó ta ký hiệu min A . * Tập con A khác rỗng của được gọi là bò chặn trên nghóa là có một số  là chặn trên của A. * Tập con A khác rỗng của được gọi là bò chặn dưới nghóa là có một số  là chặn dưới của A. * Tập con A khác rỗng của được gọi là bò chặn nghóa là A vừa bò chặn trên vừa bò chặn dưới. 2) Tiên đề về sup: Mọi tập con A khác rỗng của nếu bò chặn trên thì sẽ có chặn trên nhỏ nhất. Chặn trên nhỏ nhất trong số các chặn trên của tập A được ký hiệu là sup A . Hệ quả: (sinh viên tự chứng minh) Mọi tập con A khác rỗng của nếu bò chặn dưới thì sẽ có chặn dưới lớn nhất. Chặn dưới lớn nhất trong số các chặn dưới của tập A được ký hiệu là inf A . 3) Tính chất Archimède: Cho số dương , ta có: , , .r n n r Hệ quả: (i) ,,r n n r , Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 1 (ii) 1 0, , .n n 4) Đặc trưng của sup và inf: * sup A khi và chỉ khi “  là chặn trên của A và 0, , .x A x ” * inf A khi và chỉ khi “  là chặn dưới của A và 0, ,x A x .” Bài tập 1. - Số  không phải là chặn trên của tập A nghóa là sao? - Số  không phải là phần tử lớn nhất của A nghóa là sao? - Cho [0;1)A . Số 2009 2010 có phải là chặn trên của A không? - Chứng minh không tồn tại max A và supA = 1. - Số 0 là gì đối với A? 2. - Số  không phải là chặn dưới của tập A nghóa là sao? - Số  không phải là phần tử nhỏ nhất của A nghóa là sao? - Cho (1;2]A . Số 2010 2009 có phải là chặn dưới của A không? - Chứng minh không tồn tại min A và infA = 1. - Số 2 là gì đối với A? 3. Dùng tiên đề sup, hãy chứng minh tính chất Archimède. 4. Chứng minh tính chất đặc trưng của sup và của inf. 5. - Cho hai số thực x, y thỏa 1.yx Chứng minh rằng có số nguyên m sao cho x < m < y. - Cho hai số thực a, b tùy ý và a < b. Chứng minh rằng có số hữu tỉ * , , , m q m n n sao cho a < q < b. Hdẫn: có số tự nhiên n đủ lớn để cho ( ) 1n b a (tính chất Archimède). Sau đó dùng câu trên. 6. Hãy chứng minh phương trình 2 2x có nghiệm dương duy nhất là số thực và không có nghiệm là số hữu tỉ. Hdẫn: Đặt 22 / 2 và / 2 .L s s R s s Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 6 a) Chứng minh L và R khác rỗng, L bò chặn trên, R bò chặn dưới. Từ đó chứng minh sup inf .LR b) Chứng minh L không có phần tử lớn nhất và R không có phần tử nhỏ nhất. Suy ra, với số x thỏa sup infL x R thì 2 2,x đồng thời sup inf .RL c) x thỏa 2 2x thì x không phải là số hữu tỉ. §2. TÍNH TRÙ MẬT CỦA TRONG Giữa hai số thực bất kỳ luôn có một số hữu tỉ (đã được chứng minh trong bài tập 5 ở bài học §1). Hệ quả: Giữa hai số thực bất kỳ luôn có một số vô tỉ. Chứng minh. Giả sử a < b thì có số hữu tỉ q sao cho 22a q b . Suy ra 2a q b . Ta đã chứng minh trong bài tập 1.6 rằng 2 là số vô tỉ, do đó 2q là số vô tỉ (sinh viên tự suy luận). Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài tập 1. Cho * 1 A n n n . Tập A có bò chặn trên không, vì sao? Chứng minh A có phần tử nhỏ nhất. 2. Cho * 1 n An n . Chứng minh A không có phần tử lớn nhất. Tìm supA và chứng minh A có phần tử nhỏ nhất. 3. Cho * ( 1) n An n . Chứng minh tồn tại maxA và minA. 4. Cho ( 1) * n A n n . Tập A có bò chặn trên không, vì sao? 5. Cho 23A q q . Tìm supA, infA (có chứng minh). Có tồn tại maxA, minA không, vì sao? . GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN DÀN BÀI TÓM TẮT NỘI DUNG Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung 2 §0. NHẮC LẠI VÀI QUI. không có điều A, trái với giả thiết người ta cho. Vậy phải có điều B. Dàn bài tóm tắt nội dung môn Giải Tích Hàm Một Biến 1 8) Phép phản chứng trực tiếp: Khi người ta yêu cầu chứng minh điều. trình Giải Tích Hàm Một Biến, N.Đ.Phư, N.C.Tâm, Đ.N.Thanh & Đặng Đức Trọng; hoặc Giải Tích Nhập Môn, Đặng Đình Áng). Sv cần dự các giờ giảng & thực hành trên lớp để hiểu tóm tắt nội dung