PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN SỐ THỰC ppsx

Trần văn minh _nguyễn cao nhạc Nguyễn huy hoàng_Phí thị vân anh đặng thị mai . Phép tính giải tích HàM một biến số thực (Tài liệu toán A2 dùng cho cán bộ, sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh tế ) nhà xuất bản giao thông vận tải hà nội- 2003 Chơng I Tập hợp-ánh xạ- tập số thực 1.1 Tập hợp 1. Khái niệm về tập hợp Tập hợp là một khái niệm toán học cơ bản không đợc định nghĩa. Ta hiểu tập hợp là các vật hay các đối tợng có thể liệt kê ra đợc hoặc có cùng một tính chất chung nào đó. Các đối tợng lập nên một tập gọi là phần tử của tập hợp. Một tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ cái in hoa: A,B,C Còn các phần tử của tập hợp thờng đợc ký hiệu bằng các chữ in thờng: a,b, ,x,y,z Nếu x là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX, còn x không là phần tử thuộc tập X ta ký hiệu xX. Tập A gồm các phần tử x có tính chất p ký hiệu A={x| p(x)} hay A={x:p(x)} Ví dụ 1.1: a. N là tập các số tự nhiên: N={0,1,2, ,n, }. b. Z là tập các số nguyên: Z={0,+1,-1,+2,-2, }. c. Q là tập các số hữu tỉ: Q={p/q| p,q Z;q0}. d. P n (t)={x(t)=a 0 +a 1 t+ +a n t n | a i R} là tập các đa thức bậc không lớn hơn n với các hệ số thực. e. C[0,1]={x(t)| x(t) liên tục trên [0,1]}. 2. Tập con của một tập hợp Nếu mọi phần tử của tập A đều là phần tử của tập X thì ta nói A là tập con của X và ký hiệu: AX. Hai tập X, Y đợc gọi là bằng nhau nếu XY và YX, ký hiệu X=Y. Một tập hợp không có phần tử nào ta gọi là tập hợp rỗng, ký hiệu . Ta thấy: N Z Q và P n (t) C[0,1]. Ví dụ 1.2: A={x| x 2 +1=0,xR}=. 3. Các phép toán trên tập hợp a. Phép hợp: Ta gọi hợp của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A hoặc B. AB ={x| xA hoặc xB} b. Phép giao: Giao của hai tập A,B là tập hợp, ký hiệu AB, gồm các phần tử thuộc đồng thời cả A và B. AB ={x| xA và xB} c. Hiệu của hai tập hợp: Hiệu của A và B là tập hợp, ký hiệu A\B, gồm các phần tử thuộc A nhng không thuộc B. A\B ={x| xA, xB} d. Phần bù: Nếu AX thì X\A gọi là phần bù của A trong X, ký hiệu CxA. Chú ý: Các phép toán hợp và giao có thể suy cho một số tuỳ ý các tập hợp. e. Các tính chất: Các phép toán của tập hợp có các tính chất sau: 1. Giao hoán AB = BA , AB = BA 2. Kết hợp (AB)C = A(BC) (AB)C = A(BC) 1 3. Phân phối A(BC) = (AB)(AC) A(BC) = (AB)(AC) 4. Công thức De Morgan X\ (AB) = (X\A) (X\B) X\ (AB) = (X\A)(X\B) công thức De Morgan đúng cho một họ tuỳ ý các tập hợp. f. Tích Đề các của các tập hợp Định nghĩa 1: Cho hai tập X,Y ta gọi tích Đề các của X và Y là tập hợp, ký hiệu XìY gồm các phần tử sắp thứ tự (x,y) sao cho xX, yY. Nh vậy: XìY ={(x,y) | xX, yY} Mở rộng cho tích Đề các của n tập hợp ta có: X 1 ì X 2 ì ìX n ={(x 1 ,x 2 , ,x n ) | x i X i (i= n,1 )} Khi X 1 = X 2 = = X n = X ký hiệu X 1 ì X 2 ì ìX n =X n Hai phần tử bằng nhau: Cho (x 1 ,x 2 , ,x n ), (x 1 ,x 2 , ,x n ) X 1 ì X 2 ì ìX n ta định nghĩa: (x 1 ,x 2 , ,x n )= (x 1 ,x 2 , ,x n ) x i =x i (i= n,1 ) Ví dụ 1.3: a. Cho X={0,1}, khi đó: X 2 =XìX={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} b. R n ={(x 1 ,x 2 , ,x n )|x i R, i= n,1 } 1.2 ánh xạ 1. Các định nghĩa Định nghĩa 2: Cho hai tập X,Y, một ánh xạ f từ X vào Y là một quy tắc cho ứng mỗi phần tử xX với một phần tử y=f(x) Y xác định trên Y. Ký hiệu: f: XY, x y=f(x) X gọi là tập nguồn hay miền xác định của f. Với AX tập f(A)={f(x)Y| xA}gọi là ảnh của tập A qua ánh xạ f. Khi đó tập f(X) gọi là miền giá trị của f. Với BY tập f -1 (B)={xX| f(x)B} gọi là nghịch ảnh của tập B. Tập {(x,f(x))|xX} XìY gọi là đồ thị của f. 2. Đơn ánh, Toàn ánh, Song ánh Định nghĩa 3: ánh xạ f: XY - Gọi là đơn ánh nếu từ f(x 1 )=f(x 2 ) suy ra x 1 =x 2 . - Gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y. - Gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh. Ví dụ 1.4: (i) f: NN : f(n)=2n+1 là một đơn ánh. (ii) f: RR + : f(x)=x 2 là toàn ánh nhng không là đơn ánh. (iii) I x : XX I x (x)=x là một song ánh trên X và gọi là ánh xạ đồng nhất. 3. Tích các ánh xạ Định nghĩa 4: Cho f: XY và g: YZ là hai ánh xạ, khi đó h: XZ đợc xác định bởi h(x)=g(f(x)) đợc gọi là tích của hai ánh xạ f và g và viết h=g o f. Hệ quả 1: Cho hai ánh xạ: f: XY và g: YZ, khi đó: a. Nếu h=g o f là đơn ánh thì f là đơn ánh. b. Nếu h=g o f là toàn ánh thì g là toàn ánh. Chứng minh: a. f(x 1 )=f(x 2 ) g(f(x 1 ))=g(f(x 2 )) h(x 1 )=h(x 2 ), nhng do h là đơn ánh nên x 1 =x 2 , do đó f là đơn ánh. b. Ta có f(X)Y, do h là toàn ánh nên: Z=h(X)=g(f(X)) g(Y) Z Vậy g(Y)=Z hay g là toàn ánh. 4. ánh xạ ngợc và điều kiện tồn tại Định nghĩa 5: Cho f: XY . Nếu g: YX sao cho: fog = I y và gof = I x thì g đợc gọi là ánh xạ ngợc của f, ký hiệu g=f -1 . Hiển nhiên f cũng là ánh xạ ngợc của g. Định lý 1: Nếu f: XY là một song ánh thì luôn tồn tại ánh xạ ngợc và ánh xạ ngợc là duy nhất. 2 Chứng minh: Vì f là toàn ánh nên với mỗi yY tồn tại xX sao cho y=f(x), do f là đơn ánh nên x ứng với y trên là duy nhất. Do vậy ta xác định đợc duy nhất ánh xạ g: YX mà g(y)=x sao cho f(x)=y. Hiển nhiên f(g(y))=f(x)=y= I y và g(f(x))=g(y)=x= I x . 5. Lực lợng của tập hợp Ta nói hai tập X, Y cùng lực lợng hay tơng đơng nếu có song ánh f:XY. Cho tập I={1,2,,n} mọi tập X tơng đơng I gọi là tập hữu hạn và viết cardX=n. Tập hợp có cùng lực lợng với tập số tự nhiên N gọi là tập vô hạn đếm đợc. Tập các số nguyên Z và tập các số hữu tỷ Q là các tập vô hạn đếm đợc. Tập có lực lợng lớn hơn N là tập vô hạn không đếm đợc, tập các số vô tỷ Q và tập các số thực R là các tập vô hạn không đếm đợc. 1.3 Sơ lợc về logic mệnh đề 1. Mệnh đề Mệnh đề là một câu phản ánh một điều đúng hoặc sai, nhng không đồng thời vừa đúng vừa sai. Ví dụ 1.5: a= Các điểm trên đờng tròn cách đều tâm. b= Các điểm trên Elip cách đều gốc toạ độ. Ta thấy a là mệnh đề đúng, còn b là mệnh đề sai. Ta thờng dùng các chữ cái p,q,r để chỉ các mệnh đề. Nếu p là mệnh đề đúng ta nói p có giá trị đúng, nếu q là mệnh đề sai ta nói q có giá trị sai. Thay cho đúng và sai ta quy ớc giá trị của mệnh đề đúng bằng 1, giá trị của mệnh đề sai bằng 0. Các mệnh đề có giá trị thay đổi gọi là các biến mệnh đề. Nh vậy một biến mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc 1 hoặc 0. Ví dụ 1.6: p= Tam giác ABC có hai góc bằng nhau. Khi đó: 1 nếu ABC là tam giác cân p= 0 nếu ABC không là tam giác cân. 2. Các phép toán logic a. Phép phủ định: Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề, ký hiệu p, với: p= 1 0 0 1 khi p khi p = = b. Phép tuyển: Tuyển của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu p q, với: 0 nếu p=0 và q=0 pvq= 1 với các trờng hợp còn lại c. Phép hội: Hội của hai mệnh đề p,q là mệnh đề, ký hiệu pq, với: 1 nếu p=1 và q=1 pq = 0 với các trờng hợp còn lại. d. Phép kéo theo: Mệnh đề p kéo theo q là mệnh đề, ký hiệu p q, với: 0 nếu p=1 và q=0 pq= 1 với các trờng hợp còn lại. e. Phép tơng đơng: Mệnh đề p tơng đơng q, ký hiệu pq, có nghĩa: pq qp 3. Các lợng từ với mọi và tồn tại a. Hàm mệnh đề: Cho một tập X, một ánh xạ P:X{0,1} đợc gọi là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ký hiệu :p=p(x). Nh vậy ứng với mỗi xX xác định một mệnh đề p(x). Ví dụ 1.7: P :R {0,1}: x 2 -2x+1=0 . Khi đó: p= = 10 11 xkhi xkhi Ví dụ 1.8: Các phép toán lôgíc là các hàm mệnh đề sau: Phép phủ định là hàm: P:{0,1}{0,1} với P(0)=1, P(1)=0 Các phép tuyển, hội, kéo theo, tơng đơng, tơng ứng là các ánh xạ từ X 2 ={0,1} 2 {0,1} đợc cho bởi bảng sau: x y xy xy xy xy 3 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 b. Miền đúng của hàm mệnh đề Ta gọi tập Ep(x)={xX| p(x)=1} là miền đúng của hàm mệnh đề p(x). Hai hàm mệnh đề p(x) và q (x) cùng xác định trên X đợc gọi là tơng đơng nếu Ep(x)=Eq(x) , ký hiệu: p(x)q(x). Ví dụ 1.9: P(x)= x 2 - 3x+20 khi đó Ep(x)=[1,2] c. Lợng từ Cho T(x) là một hàm mệnh đề xác định trên tập X. Khi đó: (i) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là với mọi x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x)=X và đợc gọi là lợng từ phổ biến. (ii) Mệnh đề (xX) T(x) (đọc là tồn tại x thuộc X, T(x)) là một mệnh đề chỉ đúng nếu ET(x) và gọi là lợng từ tồn tại. Ví dụ 1.10: a=x[1,2] : x 2 - 3x+20 b=x R: x 2 - 3x+20 là các mệnh đề đúng. d. Phủ định của các lợng từ (xX) T(x)= (xX) T(x) ( xX) T(x)=(xX) T(x) 1.4 Quan hệ 1. Quan hệ Định nghĩa 6: Cho tập X, ta nói R là một quan hệ hai ngôi trên X nếu R XìX. Với x,yX ta nói x có quan hệ với y nếu (x,y)R và viết xRy. Định nghĩa 7: Ta nói quan hệ hai ngôi R trên X: (i) Có tính phản xạ nếu xX, ta đều có xRx. (ii) Có tính đối xứng nếu x,yX mà xRy thì yRx. (iii) Có tính bắc cầu nếu xRy và yRz thì xRz. (iv) Có tính phản đối xứng nếu với x,y mà đồng thời có xRy và yRx thì x=y Ví dụ 1.11: Trên tập các số nguyên dơng Z + , xét quan hệ R nh sau: xRy x y Ta thấy R là quan hệ có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng nhng không có tính đối xứng. 3. Quan hệ tơng đơng Định nghĩa 8: Một quan hệ hai ngôi R trên X đợc gọi là quan hệ tơng đơng nếu R có tính phản xạ ,đối xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ tơng đơng thì xRy ký hiệu xy. Nh vậy một quan hệ là tơng đơng thì: + xx xX + xy yx + xy, yz xz Ví dụ 1.12: Trên tập Z các số nguyên, n là một số nguyên dơng xét quan hệ: xRyx-y chia hết cho n. Ta thấy quan hệ này là quan hệ tơng đơng và gọi là quan hệ đồng d modulo n trên Z và ký hiệu xy(mod n). 4. Quan hệ thứ tự a. Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi trên X đợc gọi là quan hệ thứ tự nếu R có tính phản xạ, phản xứng và bắc cầu. Nếu R là quan hệ thứ tự thì xRy ký hiệu xy, nh vậy một quan hệ là quan hệ thứ tự thì: + xx xX + Nếu xy, yx thì x=y + xy, yz xz Nếu quan hệ thứ tự thoả mãn điều kiện: x,yX hoặc xy hoặc yx thì ta gọi nó là quan hệ thứ tự toàn phần. Tập X cùng với một quan hệ thứ tự trên nó đợc gọi là tập đợc sắp thứ tự và ký hiệu (X, ), nếu là quan hệ thứ tự toàn phần thì (X, ) đợc gọi là đợc sắp thứ tự toàn phần. 4 Ví dụ 1.13: Các tập (N, ), (Z, ) và (Q, ) với quan hệ là các tập đợc sắp thứ tự toàn phần. b. Cận trên và cận dới của một tập hợp sắp thứ tự Định nghĩa 9: Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự, AX, A đợc gọi là bị chặn trên nếu: qX, aq, aA . Khi đó q đợc gọi là một phần tử chặn trên của A. Nếu q là phần tử chặn trên của A và với mọi phần tử chặn trên q của A ta đều có qq thì q gọi là cận trên của A và ký hiệu: q= supA Nếu qA khi đó q đợc gọi là phần tử lớn nhất của A, ký hiệu: q=maxA Định nghĩa 10: Cho (X, ) là một tập sắp thứ tự, AX, A đợc gọi là bị chặn dới nếu: pX, pa, aA . Khi đó p đợc gọi là một phần tử chặn dới của A. Nếu p là phần tử chặn dới của A và với mọi phần tử chặn dới p của A ta đều có pp thì p gọi là cận dới của A và ký hiệu: p= infA Nếu pA khi đó p đợc gọi là phần tử nhỏ nhất của A, ký hiệu: p=minA Tính chất: Nếu A có cận trên (hoặc cận dới) thì cân trên (cận dới) là duy nhất. Định nghĩa 11: Tập A đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới. 1.6 Tập số thực R 1. Số thực a. Số hữu tỷ Gọi N là dãy các số tự nhiên: N={0,1,2,,n,.} Z là tập các số nguyên, ta có: Z={0,1,2,,n,} Khi đó tập Q các số hữu tỷ là: Q= 0,,: qZqp q p Mỗi số hữu tỷ là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. Ví dụ 1.14: 25,0 4 1 = 125,0 8 1 = 1666,0 6 1 = )54(,1 545454,1 11 17 == b. Số vô tỷ Một số không biểu diễn đợc dới dạng Zqp q p ,, gọi là số vô tỷ. Nh vậy tập các số vô tỷ là Q , đó là tập các số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Ví dụ 1.15: 2 =1.414213562 =3,141592 sin(20 o )=0.342020143cos(15 o )= 0.965925826 c. Số thực Số thực là số hữu tỷ hoặc vô tỷ, ký hiệu tập số thực là R. Vậy: R=Q Q 2. Một số tính chất của tập số thực Các tính chất sau đây của tập số thực R đợc sử dụng để chứng minh một số định lý quan trọng trong lý thuyết hàm một biến số thực. a. R là tập đợc sắp thứ tự toàn phần Xét quan hệ hai ngôi R trên R nh sau: x R y nếu xy. Ta thấy R là quan hệ thứ tự trên R. Thật vậy: + Tính phản xạ: xR: xx + Tính bắc cầu: nếu xy và yz, ta có xz. + Tính phản đối xứng: nếu xy và yx ta có x=y. Mặt khác x,yR: ta có hoặc xy hoặc yx nên R là tập đợc sắp toàn phần. Vậy (R, ) là một trờng sắp thứ tự toàn phần. b. R là tập có tính đầy Nếu A là tập con không rỗng của R và bị chặn trên khi đó tồn tại supA. Nếu A là tập con không rỗng của R và bị chặn dới khi đó tồn tại infA. Tính chất trên gọi là tính đầy của R. c. R là tập trù mật 5 Cho a,b R, và có a<b, khi đó tồn tại ít nhất một cR mà a<c<b. Thật vậy ta có thể chọn c= 2 ba + . Vì a<c, c<b nên ta lại có thể chọn đợc phần tử nằm giữa a, c và phần tử nằm giữa c,b. Quá trình tiếp tục ta thấy có vô số phần tử nằm giữa a,b. Tính chất trên gọi là tính trù mật của R. 3. Lân cận trong R a. -lân cận Cho điểm x 0 R và một số >0 bất kỳ có thể bé tuỳ ý. Ta gọi tập: U (x 0 )= { } +<< 00 : xxxRx là một -lân cận của x 0 . Tập: U (x 0 -0)= { } 00 : xxxRx << là một -lân cận trái của x 0 . Tập: U (x 0 +0)= { } +<< 00 : xxxRx là một -lân cận phải của x 0 . Nh vậy U (x 0 ) là khoảng mở: (x 0 -, x 0 +) còn U (x 0 -0) và U (x 0 +0) là các khoảng mở (x 0 -, x 0 ) và (x 0 , x 0 +). Khi đủ nhỏ xU (x 0 ), nghĩa là x đủ gần x 0 và cách x 0 một khoảng nhỏ hơn . b. Lân cận Tập U(x 0 ) đợc gọi là một lân cận của x 0 nếu tồn tại >0, sao cho U(x 0 ) U (x 0 ). c. R là tập tách Cho ab, giả sử a<b ta chọn 0<< 3 ab khi đó U (a) U (b)=, nh vậy dù a,b khá gần nhau ta vẫn tách đợc a, b bằng các lân cận rời nhau và ta gọi R là tập tách đuợc. d. Điểm vô cực Ta đa vào hai số thực mở rộng, đó là hai số có tính chất sau: + là số thoả mãn: xR: x<+. - là số thoả mãn: xR: -<x. Nh vậy xR ta có: -<x<+ dó đó ta có thể viết R=(-,+). Khi đó cho M>0, ta gọi các tập: U M (+)= { } MxRx > : U M (-)= { } MxRx < : tơng ứng là M- lân cận của + và -. 4. Các khoảng số thực Ta gọi các tập sau là các khoảng số thực: 1. [a,b]={ xRaxb} 2. [a,b)={ xRax<b} 3. (a,b]={ xRa<xb} 4. (a,b)={ xRa<x<b} 5. [a,+)={ xRax} 6. (a,+)={ xRa<x} 7. (-,b]={ xR xb} 8. (-,b)={ xR x<b} 9. (-,+)={ xR-<x<+} Cho tập XR, khi đó x 0 đợc gọi là điểm trong của X nếu U (x 0 ) một -lân cận của x 0 sao cho: U (x 0 )X. Một tập mà mọi điểm thuộc nó đều là điểm trong thì đợc gọi là tập mở. Nếu mọi U (x 0 ) của x 0 đều vừa chứa các điểm thuộc X vừa chứa các điểm không thuộc X thì x 0 đợc gọi là điểm biên của X. Một tập mà chứa mọi điểm biên của nó thì đợc gọi là tập đóng. Ví dụ 1.16: Các khoảng: (a,b)={ xRa<x<b}, (a,+)={ xRa<x} (-,b)={ xR x<b}, (-,+)={ xR-<x<+} là các tập mở và gọi là các khoảng mở. Khoảng [a,b] là tập đóng và gọi là khoảng đóng. 6 Bài tập chơng I 1. Chứng minh rằng a. A\B= AB b. Nếu AB ,CD thì ACBD 2. Cho A,B,C là các tập tuỳ ý, chứng minh các đẳng thức sau: a. A\(A\B)= AB b. A(B\C)= (AB)\( AC) c. A(B\A)= AB 3. Tìm mối liên hệ giữa các tập sau: A={ xR: x 2 +2x >1} và B={ xR: x> 2 - 1} 4. Chứng tỏ rằng các ánh xạ f: RR sau là đơn ánh nhng không là toàn ánh a. f(x)= 3 2 2 x x + + b. f(x)= 2 1 2 x x 5. Chứng tỏ các ánh xạ f: RR sau là toàn ánh nhng không là đơn ánh. a. f(x)= x x 3 2 1 1 + + b. f(x)= 2 3 3 2 2 x x x 6. Chứng tỏ các ánh xạ f: RR sau là song ánh a. f(x)= 2x+1 b. f(x)= x x x 3 2 4 1 1 + + + 7. Cho ánh xạ f:XY,A,BX, chứng minh rằng: a. f(AB)= f(A)f(B) b. f(AB)f(A)f(B) 8. Chứng minh rằng tích đề các của tập hợp có tính phân phối với phép hợp và giao hai tập hợp a. Ax(BC)=(AxB)(AxC) b.Ax(BC)=(AxB)(AxC) 9. Cho mệnh đề P(x)= x 2 -5x+6>0 a. Tìm Ep(x). b. Tìm tập X để mệnh đề (xX, P(x)) là mệnh đề sai. c. Tìm tập X để mệnh đề ( x X, P(x)) là mệnh đề đúng. 10. Cho E={0,1}, tìm tập E 3 . 11. Cho f:RR xác định bởi biểu thức: f(x)= x 2 +4x-5 xR. Hãy tìm f(1), f(A), f -1 (A) với A={ xR: -2x2} 12. Cho Z là tập các số nguyên và a,b,c,dZ mà ad-bc=1. Xét ánh xạ f: Z 2 Z 2 với f(x,y)=(ax+by,cx+dy). Chứng tỏ f là một song ánh, hãy viết công thức của f -1 . 13. Cho biết 3 có là một số vô tỷ không, tại sao? 14. a. Cho A={x2x+1Z, 5x+2Z}. Chứng ming rằng A=Z. b. Cho B={xx 3 +xQ, 3x 2 +1Q}. Chứng ming rằng B=Z. 7 . c. Số thực Số thực là số hữu tỷ hoặc vô tỷ, ký hiệu tập số thực là R. Vậy: R=Q Q 2. Một số tính chất của tập số thực Các tính chất sau đây của tập số thực R đợc sử dụng để chứng minh một số. văn minh _nguyễn cao nhạc Nguyễn huy hoàng_Phí thị vân anh đặng thị mai . Phép tính giải tích HàM một biến số thực (Tài liệu toán A2 dùng cho cán bộ, sinh viên các ngành kỹ thuật và kinh. lý thuyết hàm một biến số thực. a. R là tập đợc sắp thứ tự toàn phần Xét quan hệ hai ngôi R trên R nh sau: x R y nếu xy. Ta thấy R là quan hệ thứ tự trên R. Thật vậy: + Tính phản xạ: xR: xx + Tính