Trong một số bài hình học, đề bài cho một điểm chuyển động, khi đó thường kéo theo một đường chuyển động và vấn đề đặt ra là cần tìm điểm cố định mà các đường chuyển động đó luôn đi qua. Trước hết cần lưu ý phân biệt giữa cố định và không đổi. Thường “cố định” bao gồm hai nội dung: Độ lớn (kích thước) không đổi và cả vị trí cũng không thay đổi. Còn “không đổi” thì chỉ độ lớn (kích thước) không thay đổi còn vị trí thì vẫn thay đổi. Để chứng minh điểm X cố định, thường đưa về một trong các trường hợp sau: 1.Điểm X cố định vì là giao điểm của những đường cố định. 2.Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có điểm A cố định và đoạn AX có độ dài không đổi. 3.Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có 2 điểm A, B cố định và tỉ số không đổi (điểm X chia đoạn AB theo một tỷ số không đổi ). 4.Điểm X cố định vì nó trùng với 1 điểm cố định đã cho trong đề bài. Khi giải các bài toán có câu hỏi về tìm điểm cố định, ta cần theo hai bước: Tìm chính xác điểm đó rồi chứng minh điểm đó cố định. Việc dò tìm điểm là rất quan trọng. Ta có thể làm như sau : 1. Tập trung chú ý vào các điểm cố định, các đường cố định có trong đề bài (hoặc được suy ra từ đề bài), tính chất đối xứng của hình vẽ. 2. Tốt nhất là tìm cách vẽ thêm một vị trí khác của điểm chuyển động. Khi đó hai đường chuyển động cắt nhau ở đâu thì đó chính là điểm cố định cần tìm.
CHUYÊN ĐỀ III: ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC Trong số hình học, đề cho điểm chuyển động, thường kéo theo đường chuyển động vấn đề đặt cần tìm điểm cố định mà đường chuyển động qua Trước hết cần lưu ý phân biệt cố định không đổi Thường “cố định” bao gồm hai nội dung: Độ lớn (kích thước) không đổi vị trí không thay đổi Còn “không đổi” độ lớn (kích thước) không thay đổi vị trí thay đổi Để chứng minh điểm X cố định, thường đưa trường hợp sau: Điểm X cố định giao điểm đường cố định Điểm X cố định thuộc đường (C) cố định, có điểm A cố định đoạn AX có độ dài không đổi Điểm X cố định thuộc đường (C) cố định, có điểm A, B cố định tỉ AX số không đổi (điểm X chia đoạn AB theo tỷ số không đổi ) BX Điểm X cố định trùng với điểm cố định cho đề Khi giải toán có câu hỏi tìm điểm cố định, ta cần theo hai bước: Tìm xác điểm chứng minh điểm cố định Việc dò tìm điểm quan trọng Ta làm sau : Tập trung ý vào điểm cố định, đường cố định có đề (hoặc suy từ đề bài), tính chất đối xứng hình vẽ Tốt tìm cách vẽ thêm vị trí khác điểm chuyển động Khi hai đường chuyển động cắt đâu điểm cố định cần tìm Tất nhiên trường hợp vẽ thêm này, ta phải bố trí vào vị trí đặc biệt, chí phải chọn vài vị trí đặc biệt tìm điểm cố định Các vị trí đặc biệt thường gặp: GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn - Với điểm, vị trí đặc biệt hai đầu mút đoạn thẳng hay cung tròn - Với đường thẳng, hai đường thẳng song song vị trí đặc biệt hai đường thẳng cắt giao điểm xa vô tận - Với đường tròn, tiếp tuyến coi vị trí đặc biệt cát tuyến hai điểm cắt trùng nhau, đường thẳng coi vị trí đặc biệt đường tròn có bán kính vô lớn Sau số để tham khảo : Bài Cho đường tròn (O) đường kính BC dây BA cố định Điểm M di chuyển đường tròn (O) Từ trung điểm E AM vẽ đường song song với với CM, đường cắt BM I a) Chứng minh đường EI qua điểm cố định P b) Tìm tập hợp I c) Tìm vị trí M để ∆PBI có diện tích lớn Bài Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng xy tiếp xúc với (O) điểm A cố định Từ điểm B đường tròn vẽ BH vuông góc với xy H (mà H ≠ A) Cho B chuyển động đường tròn qua điểm cố định a) Chứng minh phân giác góc OBH , chứng minh điểm M thuộc b) Gọi M giao điểm BH với phân giác góc BOA đường tròn cố định , điểm C Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm K AB nhỏ Trên BC lấy M cho BM = AC chuyển động cung AK a) Chứng minh ∆CKM vuông cân b) Chứng minh đường thẳng kẻ từ M, vuông góc với BC qua điểm cố định Từ suy tập hợp M GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn c) Trên BC lấy điểm D cho CD = CA, chứng minh trung trực AD qua điểm cố định d) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC điểm A, D, B thuộc đường tròn Bài Cho đoạn thẳng AB = 2a điểm M AB Trong nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ hình vuông AMCD MBEF Hai đường thẳng AF, BC cắt N a) Chứng minh AF BC điểm N thuộc hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông b) Chứng minh D, N, E thẳng hàng đường MN vuông góc với DE N c) Cho A, B cố định M di chuyển đoạn AB * Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định * Chứng minh BN BC + AF AN không đổi d) Tìm vị trí M để * Độ dài đoạn MN lớn * Tích FA.FN có giá trị lớn * Tổng S12 S22 nhỏ với S1 diện tích ∆DCF, S2 diện tích ∆AMF Bài Cho hình vuông ABCD tâm O Đường thẳng d quay quanh O cắt cạnh AD, BC E, F (không trùng với đỉnh hình vuông) Từ E kẻ đường song song với DB từ F kẻ đường song song với AC, chúng cắt I a) Tìm tập hợp điểm I b) Từ I vẽ vuông góc với EF H Chứng minh H thuộc đường tròn cố định c) Chứng minh đường thẳng IH qua điểm cố định , tia Ax lấy điểm B cố định tia Ay có điểm Bài 6* Cho góc vuông xAy C chuyển động Đường tròn tâm I nội tiếp ∆ABC, tiếp xúc với CB, CA thứ tự M, N GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn a) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm E cố định b) Vẽ BH MN, gọi G trọng tâm ∆ABE Tìm vị trí C để đoạn GH ngắn Bài Cho hai đường tròn ( O, R) ( O’, r ) tiếp xúc A R > r Đường thẳng d qua A, không vuông góc trùng với đường nối tâm, cắt đường tròn (O) M (khác A) cắt đường tròn (O’) N (khác A) Vẽ đường kính ME đường tròn (O) a) Chứng minh đường thẳng EN qua điểm I cố định d quay quanh A b) Tính độ dài đoạn IA c) Chứng minh ∆AEN ∆AMF có diện tích d) Chứng minh A I chia đoạn OO’ theo tỷ số , lấy điểm I, K thứ tự Ox Oy Vẽ đường tròn Bài Cho góc vuông xOy tâm I bán kính OK, cắt Ox M (điểm I OM) Vẽ đường tròn tâm K bán kính OI, cắt Oy N (điểm K ON) a) Chứng minh hai đường tròn (I) (K) cắt A, B b) Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vuông c) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng d) Cho I K di động cho OI + OK = a không đổi, chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài Cho đường tròn tâm O bán kính R điểm A cố định đường tròn Đường thẳng d vuông góc với OA A Trên d có điểm M di động, từ M vẽ hai tiếp tuyến MB, MC tới (O) với B, C hai tiếp điểm Dây BC cắt OM, OA thứ tự H, K a) Chứng minh OH.OM = OK.OA b) Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định H thuộc đường cố định GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn c) Tìm vị trí M d để diện tích tứ giác MBOC nhỏ d) Một đường thẳng vuông góc với OM O, đường thẳng cắt đường MB, MC thứ tự E, F Tìm vị trí M d điều kiện vị trí A để ∆MEF có diện tích nhỏ Kẻ Bài 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C thuộc cung AB CH AB H Gọi I, K thứ tự tâm đường tròn nội tiếp ∆CAH ∆BAH Đường thẳng IK cắt CA M, cắt CB N a) Chứng minh tứ giác BHKN nội tiếp b) Chứng minh CM = CN Tìm vị trí C để chu vi ∆IHK lớn để tứ giác ABNM nội tiếp c) Tìm vị trí C cung AB d) Kẻ đường thẳng qua C vuông góc với MN, chứng minh đường thẳng qua điểm cố định C di chuyển cung AB e) Tìm vị trí C để diện tích ∆CMN lớn Bài 11* Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Điểm M thuộc cung AB , tia BH cắt AM I cắt tiếp tuyến A Gọi H điểm cung AM đường tròn tâm O điểm K, tia AH cắt BM S a) ∆BAS có đặc điểm gì? b) Chứng minh S thuộc đường tròn cố định M di chuyển c) Xác định vị trí tương đối KS với đường tròn tâm B bán kính BA d) Đường tròn ngoại tiếp ∆BIS cắt đường tròn tâm B, bán kính BA N (khác điểm A) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định M di chuyển = 90o e) Xác định vị trí điểm M cho góc MKA Bài 12 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm M thuộc cung (không trùng với A, B ) Điểm N đối xứng với O qua AM AB a) Chứng minh MN // OA b) Tứ giác OANM hình gì? GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn c) Gọi P, Q, R thứ tự trọng tâm ∆MAB, ∆MNA, ∆NAO; tứ giác OPQR hình gì? d) Khi M di chuyển, Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định Bài 13* Cho đường tròn tâm O bán kính R ∆ABC nội tiếp (có AB = AC > R) nhỏ Gọi Mx tia đối Kẻ đường kính AI, gọi M điểm cung AC tia MC; tia đối tia MB lấy điểm D cho MD = MC a) Chứng minh MA phân giác góc BMx b) Gọi K giao điểm thứ hai DC với (O) Tứ giác MIKD hình gì? : c) Khi M di chuyển cung nhỏ AC * Điểm E trung điểm BM di chyển đường nào? * Điểm G trọng tâm ∆MDK di chuyển đường nào? với đường * Gọi N giao AD với (O), P giao điểm phân giác góc IBN tròn tâm O Chứng minh đường thẳng DP qua điểm cố định Bài 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB điểm M đường tròn Từ điểm H đoạn OB, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Các đường thẳng AM, BM tiếp tuyến M (O) thứ tự cắt d D, C, I đường thẳng AC cắt (O) E Đường thẳng ME cắt OI K a) Chứng minh IE tiếp tuyến (O) I trung điểm DC b) Khi M di chuyển, chứng minh tích OI.OK không đổi c) Khi M di chuyển, chứng minh đường thẳng ME qua điểm cố định Bài 15 Cho đường tròn (O) có dây AB cố định Điểm D đoạn AB Vẽ đường tròn tâm I qua D tiếp xúc (O) A vẽ đường tròn tâm K qua D tiếp xúc (O) B a) Tứ giác OIDK hình gì? b) Gọi giao điểm thứ hai hai đường tròn (I) (K) N Chứng minh bốn điểm A, N, O, B thuộc đường tròn GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn c) Khi D di động đoạn AB, chứng minh đường thẳng ND qua điểm cố định Bài 16 Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động BC Qua M vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc AB B qua M vẽ đường tròn tâm J tiếp xúc với AC C Hai đường tròn cắt N (khác M) a) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O) b) Đường thẳng BI CJ cắt K cố định c) Chứng minh đường MN qua điểm qua điểm E cố định d) Tìm vị trí M BC để ∆BNC có diện tích lớn nhất? Có chu vi lớn nhất? Bài 17 Cho đường tròn (O, R) dây AB Qua trung điểm I AB vẽ đường kính PQ ) Điểm M tia đối tia BA (mà AQM 90 o ) (điểm P thuộc cung nhỏ AB Đường MQ cắt đường tròn (O) E (khác Q) Hai dây PE, AB cắt D a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp b) Chứng minh PD.PE = PI.PQ ME.MQ = MD.MI c) Vẽ tia Ax // PE, tia cắt đường tròn (O) F Chứng minh BE QF d) Khi A, B, M cố định, đường tròn (O) thay đổi qua A, B Chứng minh đường thẳng PE qua điểm cố định Bài 18 Cho đường tròn (O, R ) dây CD cố định Gọi H trung điểm CD, điểm S tia đối tia DC Qua S vẽ tiếp tuyến SA, SB tới (O) Đường thẳng AB cắt SO, OH thứ tự E, F a) Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp b) Chứng minh tích OE.OS có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm S c) Cho R = 10cm, SD = 4cm, OH = 6cm Tính CD SA d) Khi S di động tia đối tia DC, chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố có độ lớn không đổi định góc CED GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn Bài 19 Cho A, B hai điểm cố định đường tròn tâm O, M di động cung lớn AB Trên MA lấy A’ mà MA’ = a không đổi, MB lấy B’ mà MB’ = b không đổi a) Chứng minh ∆MA’B’ b) Chứng minh đường song song với A’B’, kẻ từ M qua điểm cố định đường thẳng A’B’ tiếp xúc với đường tròn cố định c) Chứng minh đường cao MH ∆ MA’B’ qua điểm cố định đường trung trực A’B’ tiếp xúc với đường tròn cố định Bài 20 Cho đường tròn tâm O có đường kính AB CD vuông góc với Lấy điểm I đoạn CD a) Tìm điểm M tia ADx điểm N tia ADy cho I trung điểm đoạn MN b) Khi I chuyển động đoạn CD * Chứng minh tổng AM + AN không đổi * Chứng minh đường tròn đường kính MN qua điểm cố định * Từ I vẽ đường thẳng song song với AB, lấy điểm J cho IJ = AB Tìm tập hợp điểm J Tìm tập hợp điểm J Bài 21* Cho tam giác ABC vuông A AB < AC Đường tròn tâm O thay đổi thay đổi luôn qua A, B cắt AC N, cắt BC M ( BM > AB ) Lấy điểm E đối xứng với M qua đường thẳng BN Đường trung trực AE cắt BE I Chứng minh đường thẳng AI luôn qua điểm cố định Bài 22 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động Vẽ ME AB MF AC (E, F nằm đường AB AC) cung nhỏ BC a) Xác định vị trí M để EF qua trung điểm BC) b) Vẽ AP MB, AQ MC ( P, Q nằm đường MB, MC) Chứng minh đường thẳng PQ qua điểm cố định GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn Bài 23* Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động (O) Gọi A,, B,, C, thứ tự điểm đối xứng với M qua đường thẳng BC, CA, AB a) Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng b) Chứng minh đường thẳng B’C’ qua điểm cố định c) Vẽ ON A’B’ N, gọi G trọng tâm ∆ ABC Tìm vị trí M để đoạn GN có độ dài ngắn Bài 24 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển nửa đường tròn nhận AB đường kính (M khác A B) a) Nêu cách dựng đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với đường kính AB Gọi tiếp điểm với AB N b) Đường tròn (E) cắt MA, MB thứ tự C, D Chứng minh CD // AB c) Chứng minh đường thẳng MN qua điểm K cố định d) Chứng minh KN KM không đổi e) Đường CN, DN cắt KB, KA thứ tự C’, D’ Tìm vị trí M để tam giác NC’D’ có chu vi nhỏ Bài 25 Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có đáy BC AD Trên tia đối tia BC lấy điểm P, đường PA cắt (O) M (khác A) Đường tròn đường kính PD cắt (O) E ( khác D ) Đường DE cắt đường BC N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định Bài 26* Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định OA = 2R Một đường kính BC quay quanh O cho A, B, C không thẳng hàng Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA P (khác A) Đường thẳng AB, AC cắt đường tròn tâm O điểm thứ hai D, E Nối DE cắt đường thẳng OA K a) Chứng minh ∆OPB ∆OCA b) Chứng minh tứ giác PCEK nội tiếp c) Chứng minh AK AP = AE AC d) Chứng minh đường thẳng DE qua điểm cố định GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn e) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định Bài 27* Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB, AC (B, C tiếp điểm) Lấy điểm M thuộc cung BC phần miền ∆ABC Lần lượt vẽ MI BC, MH AC MK AB Đường MB cắt IK E, đường MC cắt IH F Chứng minh: a) Các tứ giác BIMK CIMH nội tiếp b) MI2 = MH.MK c) EF MI d) Đường thẳng MN qua điểm cố định, với N giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp ∆MEK ∆MFH Bài 28* Cho đường tròn tâm O bán kính R điểm M đường tròn Từ M vẽ tiếp tuyến MB, MA cát tuyến MCD tới đường tròn (MC < MD) Đường thẳng AB cắt MO H, cắt CD K Gọi I trung điểm CD a) Chứng minh điểm A, O, I, B, M thuộc đường tròn tâm E b) Khi (O), C, D cố định, điểm M di chuyển đường CD (ở đường tròn) Hỏi: * Tâm E * Tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB * Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HIK di chuyển đường nào? * Đường thẳng AB qua điểm cố định nào? c) Cho M, C, D cố định, đường tròn (O) thay đổi qua C, D Hỏi: * Điểm A, B di chuyển đường nào? * Đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK qua điểm cố định nào? * Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HIK di chuyển đường nào? GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 10 Hình thang nội tiếp đường tròn hình thang cân Vị trí đặc biệt P chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC Khi B C P 90o , điểm E trùng với A Đường MAD ED// BC nên N xa vô tận Đường MN K đường thẳng kẻ từ M song song song O với AD, đường cắt (O) K mà MADK A hình chữ nhật AK đường kính D (O) M E DAM , mà AMED Do BC // AD BPA nội tiếp MED 180o Tứ giác PMEN nội tiếp Do PED 90o PMN 90o DAM AK đường kính (O) K cố định Bài 26* a) Đường tròn (O1) ngoại tiếp ∆ABC có ∆OPB ~ ∆OCA b) Đường tròn (O1) có: O1 ABC sđ AC APC Đường tròn (O) có: B DEC sđ DC ABC DEC Suy APC D K A H F O P J Tứ giác PECK nội tiếp c) ∆APC ~ ∆AEK C AP.AK = AE AC E d) Vị trí đặc biệt BC vuông góc với AO Khi DE AO AO trục đối xứng hình vẽ Các điểm cố định thuộc đường thẳng AO Trong (O1) có OA.OP = OB.OC OP = R 5R R2 R = AP = 2R + 2 2R GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 33 Trong (O) có AE.AC = AT2 = AO2 – R2 = 3R2 AT tiếp tuyến (O) 3R 6R Tứ giác KPCE nội tiếp AE.AC = AK.AP AK = K cố định AP OK = AO – AK = 2R – 6R 4R 6R 9R R KJ = AJ – AK = 3R – ; KH = 5 5 9R Trong (O) có KD.KE = KH.KJ = (A, D, E) có KD.KE = AK.KF 25 9R 6R 3R KF KF = F cố định 25 10 Bài 27* a) Các tứ giác MIBK MICH nội tiếp A có góc đối diện vuông b) ∆MIK ∆MHI MI2 = MH.MK MBK MCB MHI c) Chú ý MIK MCH MBC MKI MIH MIH BMC MCB MBC BMC MIK 180o Tứ giác MEIF nội tiếp O1 MFE MCB EF // BC MI EF MIE N M K d) Vị trí đặc biệt điểm M BC Khi I D (chính BC) H G E F C B I hai đường tròn (O1) ngoại tiếp ∆MFH (O2) D ngoại tiếp ∆MEK Toàn hình O đối xứng qua trục AO điểm cố định nằm AO GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 34 MCB MHF MEF MBC MKE , tức EF tiếp Do EF // BC MFE tuyến chung (O1) (O2) Đường MN cắt EF G, ta có GF2 = GM.GN GE2 = GM.GN G trung điểm EF Suy D trung điểm BC Đường MN qua D cố định Bài 28* a) Các điểm A, B, I chắn OM góc vuông Các điểm A, O, I, B, M thuộc đường tròn đường kính OM, tâm E b) * E thuộc trung trực OI (trừ phần nằm ∆COD) * Tâm đường tròn nội tiếp ∆MAB thuộc (O), giới hạn dây CD đường kính kẻ tử O song song với CD * Tứ giác HKIO nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HIK thuộc trung trực OI (phần nằm ∆COD) * Đường thẳng AB cắt OI F cố định (xem 18) c) Khi đường tròn (O) thay đổi qua C, D * Do AM2 = MB2 = MC.MD không đổi A B thuộc đường tròn tâm M bán kính MC.MD * MA2 = MH.MO = MK.MI =MC MD M C K I cố định Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK thuộc đường trung trực KI Đường tròn đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHKI A O H K I B Bài 29 Khi EF // AB MD trục đối xứng a) Vị trí đặc biệt M AB hình vẽ, qua tâm O GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 35 D Gọi N giao điểm MD với (O) FEH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) = HMB (góc nội tiếp chắn Ta có: EMD MBA sđ AM cung HF) ANM ANM HMB MBA 90o EMD MN đường kính (O) nên qua O cố định b) Ta có SAMH AH.MH AM.HE (đường DD2 MB) SMBD DB.MH BM.DD SMAD AD.MH AM.DD1 (đường DD1 MA) SMBH BH.MH BM.HF AM HE.DD1 AH.AD Suy (1) BM DD HF DB.BH ( cạnh song song) lại có D DD FHE M I B' D D 1MD HEF A' DD1 DD D2 D1 HF HE O F AM AH.AD Vậy (1) trở thành BM DB.BH A B D H c) Do tính chất đối xứng ta có MI = MH = MK Đường tròn (I) bán kính MH nhận AB làm tiếp tuyến HMK HMB N I KHB MHF 90o IB'E MB'K MHK Suy năm Lại có I IB'E 90o HMB ∆D1DD2 ∆FHE E điểm M, B’, H, B, K thuộc đường tròn đường kính MB 90o hay BB’ đường cao ∆MAB, tương tự với AA’ Vậy BB'M Ta có BB’, AA’ MH đồng quy trực tâm ∆MAB GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 36 K Bài 30 DIB a) ∆BDI cân I DBI M KC DA AK mà BD DA BD AK ∆AKC cân K nên KC b) Vị trí đặc biệt A E BC E M1 A D Khi đường AI trục đối xứng hình vẽ, K nhỏ điểm J BC O I Từ kết câu ta thấy CD BK phân giác C B phải nên AI phân giác BAC J qua điểm J BC AK CJ KC ∆BJI cân J IJ = JB không đổi c) Ta có BJ AI lớn AJ lớn Vị trí cần tìm A E (lúc dây AJ thành đường kính JE) BAC không đổi M thuộc cung BC chứa góc d) ∆CAM cân A BMC 1 BAC , cung có tâm E Khi A C M C; Khi A B AB thành tiếp tuyến B (O), tiếp tuyến cắt cung nói M1 cung chứa góc Vậy M thuộc cung CM Bài 31* 135o P thuộc đường cung BC chứa a) BPC B F M C S K góc 135o Cung tiếp xúc với hai đường chéo I hình vuông N P H Q N' F GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 37 A E M' D Vẽ tia vuông góc với BP P, tia cắt CP F ∆FBP vuông cân B BP = BF PF = PB FBA góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên Ta có ∆FBA = ∆PBC (lưu ý PBC AFB PFB 90o AF = CP AFP ∆AFP có PA2 = AF2 + FP2 = 2PB2 + PC2 b) Vị trí đặc biệt P trùng với C Khi tia đối tia PC tạo với PB góc 45o, tia qua A N A M C, trung điểm MN tâm hình vuông Vậy Q đối xứng B Q D Đường PQ trở thành cạnh CD qua D Gọi giao điểm DQ với AM P’ Từ P’ kẻ IK // BC, FE // DC Gọi giao điểm MQ với AD M’, với IK S Gọi giao điểm NQ với CD N’, với EF H (xem hình vẽ) Hình chữ nhật P’EDK có SEHQM’ = SQSKN’ (∆P’KD = ∆DEP’ trừ tam giác vuông nhau) SP’EM’S = SP’HN’K Hình chữ nhật ABMM’ có SP’IBF = SP’EM’S (∆ABM = ∆MM’A trừ tam giác vuông nhau) SP’IBF = SP’HN’K, cộng với tam giác vuông ta có SCNB = SCNN’ chứng tỏ C, P’, N thẳng hàng, hay P’ thuộc CN Vậy P’ giao điểm CN AM Tức P’ P hay P, Q, D thẳng hàng Lưu ý: Để tiện sử dụng hình trên, điểm P’ kí hiệu P Bài 32 GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 38 a) Vị trí đặc biệt M AB Khi hai đường tròn (O1) (O2) đồng thời đường thẳng MN trung trực AB, ta tìm điểm C trung điểm AB Gọi C giao điểm MN với AB Xét (O1) có CA2 = CN.CM Xét (O2) có CB2 = CN.CM CA = CB Trung điểm C AB điểm cố định cần tìm NAB b) (O1): AMN NBC (O2): BMN 180o AMB (không đổi) ANB Vậy N thuộc cung AB chứa góc 180o AMB trừ điểm A B NAB c) Xét (O1): AMD M O1 O2 O N A C D ABD AN // BD (O): AMD Tương tự BN // AD Vậy ANBD hình bình hành Sẽ hình thoi ND AB M AB d) S∆ANB = S∆ADB = AB.DH (DH đường cao hạ từ D xuống AB)mà AB không đổi S∆ANB lớn nhỏ M AB lớn Ngược DH lớn D AB lớn M AB nhỏ Đề cho M di động lại, D AB đường tròn (O) nên phải so sánh diện tích hai trường hợp nói Ta thấy, nhỏ diện tích ∆ANB lớn M AB Bài 33 ) + sđ BM (sđ EB a) Có MEF ) (sđ AF + sđ BM ADF GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 39 B AM MEF ADF 180o E, C, D, F thuộc đường tròn BM (sđ EF (sđ EF – sđ AM ) EHF – sđ MB ) b) Ta có EGF 2 EHF E, G, H, F thuộc EGF đường tròn ADG Từ a) ta có FEM FGH Từ b) ta có FEH FGH GH // AB ADG N F E c) Vị trí đặ biệt C D trung điểm AB lớn Vậy Khi E F N AB MN đường kính (O) sđ AM Nhận thấy MEA sđ BM MEA MAB MAB MA tiếp tuyến đường tròn (O1) ngoại tiếp ∆ACE O1 giao điểm trung trực AC với đường vuông góc với MA kẻ từ A O1 A O2 O C B D M G H Tương tự O2 giao điểm trung trực DB với đường vuông góc với MB kẻ từ B Rõ ràng AO1 BO2 qua điểm cố định N Bài 34 GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 40 a) Kẻ tiếp tuyến xAx’, chứng minh x' xAx’// ED OA ED EDB ( cạnh tương ứng vuông Ta có: OAC EAF ( tứ giác AEHD nội tiếp) góc) EDB A EAF phân giác góc DAC D Nên OAC phân giác OAE N x b) Tứ giác AEHD nội tiếp N thuộc trung trực ED E H Tứ giác BEDC nội tiếp M thuộc trung trực ED B F Vậy MN trung trực ED Có 90o Trung điểm MN điểm NDM cách bốn đỉnh E, N, D, M Tứ giác ENDM nội tiếp c) Một toán quen thuộc chứng minh AH = 2OM Vậy AH = BC BC = 2.OM ∆BOC vuông cân O O C M BOC 45o BAC d) * Ta có Tương tự A HF SBHC AF SBAC HD SCHA HE SAHB , BD SBAC CE SBAC C1 O E HF HD HE Vậy AF BD CE * Giao điểm AF với (O) K, nhận thấy B2 D C2 B1 H B F C A1 ∆HCK cân C HF = FK K AA FK HF Nhận thấy KA2 // FA1 AA1 AF AF Sử dụng kết trên, ta có A1A B1B2 C1C2 1 AA1 BB1 CC1 GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 41 A2 e) * Khi BC cố định OM không đổi Đường tròn ngoại tiếp ∆ADE đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD có đường kính AH Mà AH = 2.OM nên AH không đổi * Tia Ax DE qua tâm O (chú ý kết “câu a” chứng minh) Bài 35 M a) Có hệ thức MC2 = MD2 = MA MB Tương tự (O) có ME2 = MF2 = MA MB E Suy C, D, E, F cách điểm M nên thuộc đường tròn tâm M A P BAD b) Xét (O’): BCD D BPQ Xét (O): BAD BPQ BCD O O' K B Tương tự với cặp góc lại, suy ∆BCD C ∆BPQ Q BPQ c) Từ kết câu b, suy BCD BPK có tứ giác BCPK nội tiếp Khi đường tròn ngoại tiếp hay BCK ∆KPC qua B cố định Bài 36* Chọn vị trí đặc biệt d song song với BC Khi BDEC O1FGO2 hình chữ nhật , ta tìm điểm cố định a) D, E cách điểm cố định điểm phải thuộc trung trực DE Tứ giác BDEC hình thang vuông nên trung trực DE đường trung bình Điểm cần tìm trung điểm N BC b) Trung trực FG qua K trung điểm O1O2 cố định GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 42 c) Chứng minh ∆DHE DH Tam giác O1HO2 cố O1H ∆O1HO2 theo tỉ số k = định nên S∆DHE hay chu vi ∆DHE lớn k lớn Lúc DH lớn 2O1H M tức DH đường kính (O1) Vậy vị trí cần tìm d AH A I E G F D O1 d) * Khi A trung điểm DE M2 O2 K M1 DA = EA FA = AG I A KA DE Vậy d KA A N B E1 trung điểm DE 1 * Để DA = AE FA = AG 2 C H D1 Sử dụng tính chất đường thẳng song song cách ta dựng sau : Gọi K’ điểm chia đoạn O1O2 theo tỉ số O1K’ = O2K’ Nối K’A d phải vuông góc với K’A e) Tứ giác MAHN nội tiếp được, nên M thuộc đường tròn đường kính AN Do yêu cầu đề A DE nên vị trí giới hạn d tiếp tuyến AD1 (O2) tiếp tuyến AE2 (O1) Khi M vị trí giới hạn M1 trung điểm AD1 M2 trung điểm AE1 Vậy M thuộc cung M 1AM đường tròn đường kính AN = 90o AC trở thành tiếp tuyến (O1) AB trở thành tiếp tuyến g) Khi BAC (O2) Lúc hai đường tròn gọi trực giao với GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 43 SBDEC = S∆ADB + S∆BAC + S∆AEC E A Nhận thấy S∆BAC không đổi ∆ADB ∆CEA (g.g), gọi diện tích D S AB tương ứng S1, S2 không S2 AC đổi nên S1 lớn S2 lớn O1 O2 Q B S∆ADB lớn Mà S1 = C H Bài toán đưa tìm (d) để S1 = AB DQ lớn DQ lớn nhất, lúc Q = 450 O1 DAB Vậy (d) tạo với AB (hoặc AC) góc 45o SBDEC lớn ( Lưu ý đường thẳng (d) nằm ∆ABC) Bài 37 A a) Tứ giác ABHE nội tiếp đường tròn đường kính AB Tứ giác AHFC nội tiếp đường tròn đường kính AC CBD (cùng = CAD ) nên HF // BD b) Có CHF c) Vị trí đặc biệt ∆ABC cân A Khi H, E, F O trùng trung điểm BC Tâm đường tròn ngoại E tiếp ∆EFH trung điểm I BC B Vẽ đường tròn ngoại tiếp ∆EHF cắt BC G, tương tự chứng minh HF // BD ta có EG // AC, suy ACB ( đồng vị ) EGH G H I F D DAB (cùng bù với EHB ) Lại có EHG DCB nên EHG DCB EGH EHG ACB DCB = 90o nên tâm mà DAB đường tròn ngoại tiếp ∆EHF tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHFG HG GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 44 C EFG nên EFG DCB Tứ giác DFGC nội Trong tứ giác EHFG có EHG 90o DGC 90o DG // AH tiếp Do CFD Tứ giác AHDG hình thang nhận OI đường trung bình (vì qua trung điểm hai đường chéo) Vậy OI // AH OI BC Vậy I trung điểm HG đồng thời trung điểm BC nên I cố định Bài 38 = MAB + NAD suy MAN = 45o a) Từ giả thiết MAN = 45o tứ giác MBAP nội tiếp được, MPA mà MBP = 90o Năm điểm P, Q, M, C, N = 90 o Tương tự có MQN thuộc đường tròn đường kính MN b) Gọi H giao điểm MP NQ suy H trực tâm ∆MAN Đường AH vuông góc với MN K = BPM (1) Có ABMP nội tiếp BAM = QAH (2) AQHP nội tiếp BPM MAH ∆ABM = ∆AKM, Từ (1) (2) suy BAM M B C Q H N P A AK = AB không đổi Điểm A cố định, AK MN nên MN tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB, đường tròn cố định = 45o ∆AQN ∆APM vuông cân AP AQ c) Do MAN AM AN ∆APQ ∆AMN theo tỉ số S S 1 SAMN S2 d) Cách 1: “câu b” ta có ∆ABM = ∆AKM, tương tự ta có ∆ADN = ∆AKN SABMND ≤ SABCD hay 2SAMN ≤ a2 AK.AM ≤ a2 mà AK = AB = a MN ≤ a Đoạn MN lớn a M ≡ C N ≡ C Cách 2: Đặt BM = MK = x DN = NK = y Suy MC = a – x; NC = a – y; MN = x + y Xét ∆CMN ta có (x + y )2 = (a – x)2 + (a – y)2 2xy = 2a2 – 2a(x + y) GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 45 K D x+y=a– xy lớn x = y = a Chú ý : Ở câu hỏi này, để tìm M, N phải bỏ giả thiết M khác B N khác D Bài 39* quay quanh A nên Do góc xAy hình vẽ xét trường hợp B miền góc trường hợp khác cách giải tương tự Vị trí đặc biệt B thuộc cạnh góc Khi độ dài MN đường tròn đường kính MN dễ dàng xác định a) Tứ giác AMBN nội tiếp A đường tròn đường kính AB tâm O = 45o góc nội tiếp MON = 90o MAN ∆MON vuông cân O nên MN = y E M B K O N F x AB không đổi, đường tròn đường kính MN qua O cố định b) ∆EAF có B trực tâm EF AB cố định EF có phương không đổi nên song song với đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ A B Có ∆ENF = ∆ANB (lưu ý ∆ENA vuông cân N ∆BNF vuông cân N) EF = AB không đổi c) Ta có MK = KN = NO = OM = vuông OK = MN = AB = 900, suy MONK hình MON AB Trung điểm K EF thuộc đường tròn tâm O bán kính Bài 40 NKM (cùng ABM ) a) NMA GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 46 AB đường tròn cố định ∆ MNK cân N Có thể thấy N trung điểm DK b) Bốn điểm A, C, M, D thuộc đường tròn đường kính AD R c) Khi C trung điểm AO AC = , 3R R BC = ∆AIO IC = ; 2 R KC = ∆AKC ∆DBC AC KC AC.BC 3R DC = DC BC KC S∆ABD = AB DC = R2 D N O1 I M K E A C O d) Vị trí đặc biệt K trùng với I Khi M, N, D trùng với I Trung trực DK đường kẻ từ I vuông góc với Cx, trung trực AI cắt đường nói O1 Vẽ đường tròn tâm O1 bán kính O1 A ta tìm điểm cố định E đường AB Thực vậy, vẽ đường tròn ngoại tiếp ∆AKD cắt đường AB E Tứ giác DEAK AKC ABD nên ∆EDB cân D có đường cao DC suy nội tiếp suy DEA E đối xứng với B qua C E điểm cố định cần tìm Khi E A cố định tâm O1 thuộc trung trực EA GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 47 B [...]... tập hợp điểm M lớn BC Bài 31* Cho hình vuông ABCD và điểm P nằm ở miền trong của ABC = 135o, chứng minh 2PB2 + PC2 = PA2 a) Giả sử BPC b) Các đường thẳng AP, CP cắt cạnh BC, BA thứ tự tại M, N Gọi Q là điểm đối xứng của B qua trung điểm của MN Chứng minh khi P thay đổi ở miền trong của tam giác ABC thì đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định Bài 32 Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định Điểm M... M * Chọn vị trí đặc biệt I O Khi đó đường tròn (I, IA) chính là (O, D OA) ta thấy bốn điểm A, B, C, D đều cố định Do CD là trung trực của AB nên đường tròn (I, IA) đi qua hai điểm cố định A, B * Thấy ngay AIJB là hình bình hành J chạy trên đường thẳng song song cách đều CD (khoảng cách IJ = AB = 2R) Do I chỉ thuộc CD nên ta có hai đoạn J1J2 và J3J4 song song cách đều CD Bài 21*.Vị trí đặc biệt. .. nhau A y c) Sử dụng CM2 = CN2 = CB.CA a d) Vị trí đặc biệt là khi OI = OK = , 2 O K N khi đó A O với AB là đường chéo của hình vuông IOKB cố định Khi OI + OK = a không đổi thì hình vuông MONC cố định Rõ ràng đường thẳng AB đi qua C cố định Bài 9 a) ∆OKH đồng dạng ∆OMA OH.OM = OK.OA b) ∆MBO có OH.OM = OB2 = R2 (không đổi) Vị trí đặc biệt của M là M A, hình vẽ có trục đối xứng là MO GV: Hoàng Đại Việt... trung điểm AO và K là trung điểm của CI, hãy tính diện tích ∆ABD d) Khi K di động trên đoạn CI, chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆AKD đi qua một điểm cố định và tâm đường tròn này di chuyển trên một đường cố định GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 14 Phần bài giải: Các bài tập đều có nhiều câu hỏi; ở phần này chỉ những câu hỏi khó, đặc biệt là những câu hỏi về tìm điểm cố định. .. quy Bài 30 Cho đường tròn tâm O và dây BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung (A khác B, C) Tia phân giác của góc ACB cắt (O) ở D (khác C) Lấy điểm lớn BC I trên CD sao cho DI = DB Đường thẳng BI cắt (O) ở K (khác B) a) Chứng minh ∆KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua điểm J cố định c) Tìm vị trí điểm A để độ dài AI lớn nhất d) Trên tia đối của tia AB, lấy điểm M sao cho AM = AC... MN đi qua điểm cố định GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 11 b) Tìm tập hợp N c) Đường thẳng MN cắt (O) ở D Chứng minh tứ giác ANBD là hình bình hành Tìm vị trí điểm M để ANBD trở thành hình thoi d) Tìm vị trí điểm M để diện tích ∆ANB lớn nhất Bài 33 Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn (mà AB Trên đoạn AB không phải là đường kính), gọi M là điểm chính... minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định c) Gọi diện tích tam giác APQ là S1, diện tích tứ giác PQMN là S2 Chứng minh S1 S2 không đổi d) Tìm vị trí M, N để đoạn MN lớn nhất = 45o quay quanh điểm A cố định Từ điểm B cố định vẽ Bài 39* Cho góc xAy BM Ax và BN Ay a) Chứng minh MN có độ dài không đổi và đường tròn đường kính MN đi qua một điểm cố định b) Đường BN cắt tia Ax ở E, đường BM... ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 13 c) Cho B, C cố định còn A di động nhưng tam giác ABC vẫn nhọn Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH cố định Bài 38 Cho hình vuông ABCD, điểm M di động trên cạnh BC (M khác B), điểm N MAB NAD di động trên cạnh CD (N khác D) sao cho MAN a) Đường thẳng BD cắt AN, AM thứ tự tại P, Q Chứng minh năm điểm P, Q, M, C, N cùng thuộc một đường tròn... và IH là trung trực của AB, đồng thời là trục đối xứng của hình vẽ Chứng minh được điểm K ở chính giữa cung AB phần nằm ngoài hình vuông là điểm cố định cần tìm Bài 6* x a) Vị trí đặc biệt của C là C’ tạo thành ∆BAC’ vuông D B cân ở A Khi đó M là trung điểm E của BC’ H Tứ giác AC’DB là hình vuông, điểm E là tâm của hình vuông này K 180 C1 Ta có ∆NCM cân ở C N 1 2 E G o M I o N A...Bài 29 Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định Điểm M di động trên đường tròn Từ M vẽ MH AB Gọi E, F là hình chiếu của H trên MA, MB Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với EF, cắt AB ở D a) Chứng minh đường thẳng MD đi qua điểm cố định b) Chứng minh MA 2 AH AD MB2 BD BH c) Gọi I là điểm đối xứng của H qua AM và K là điểm đối xứng của H qua BM Đường thẳng IK cắt ... song song với BC Khi BDEC O1FGO2 hình chữ nhật , ta tìm điểm cố định a) D, E cách điểm cố định điểm phải thuộc trung trực DE Tứ giác BDEC hình thang vuông nên trung trực DE đường trung bình Điểm... tròn (O) có: B DEC sđ DC ABC DEC Suy APC D K A H F O P J Tứ giác PECK nội tiếp c) ∆APC ~ ∆AEK C AP.AK = AE AC E d) Vị trí đặc biệt BC vuông góc với AO Khi DE AO AO trục đối... lớn nhất? d) Tìm vị trí d để A trung điểm DE? Để DA = AE? e) Gọi M trung điểm DE Chứng minh M thuộc cung tròn cố định = 900 Tìm vị trí d để tứ giác BDEC có diện tích lớn g) Giả sử BAC Bài 37