Trong một số bài hình học, đề bài cho một điểm chuyển động, khi đó thường kéo theo một đường chuyển động và vấn đề đặt ra là cần tìm điểm cố định mà các đường chuyển động đó luôn đi qua. Trước hết cần lưu ý phân biệt giữa cố định và không đổi. Thường “cố định” bao gồm hai nội dung: Độ lớn (kích thước) không đổi và cả vị trí cũng không thay đổi. Còn “không đổi” thì chỉ độ lớn (kích thước) không thay đổi còn vị trí thì vẫn thay đổi. Để chứng minh điểm X cố định, thường đưa về một trong các trường hợp sau: 1.Điểm X cố định vì là giao điểm của những đường cố định. 2.Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có điểm A cố định và đoạn AX có độ dài không đổi. 3.Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có 2 điểm A, B cố định và tỉ số không đổi (điểm X chia đoạn AB theo một tỷ số không đổi ). 4.Điểm X cố định vì nó trùng với 1 điểm cố định đã cho trong đề bài. Khi giải các bài toán có câu hỏi về tìm điểm cố định, ta cần theo hai bước: Tìm chính xác điểm đó rồi chứng minh điểm đó cố định. Việc dò tìm điểm là rất quan trọng. Ta có thể làm như sau : 1. Tập trung chú ý vào các điểm cố định, các đường cố định có trong đề bài (hoặc được suy ra từ đề bài), tính chất đối xứng của hình vẽ. 2. Tốt nhất là tìm cách vẽ thêm một vị trí khác của điểm chuyển động. Khi đó hai đường chuyển động cắt nhau ở đâu thì đó chính là điểm cố định cần tìm.
Trang 1CHUYÊN ĐỀ III: ĐIỂM CỐ ĐỊNH TRONG HÌNH HỌC
Trong một số bài hình học, đề bài cho một điểm chuyển động, khi đó thường kéo theo một đường chuyển động và vấn đề đặt ra là cần tìm điểm cố định mà các đường chuyển động đó luôn đi qua
Trước hết cần lưu ý phân biệt giữa cố định và không đổi Thường “cố định” bao gồm hai nội dung: Độ lớn (kích thước) không đổi và cả vị trí cũng không thay đổi Còn “không đổi” thì chỉ độ lớn (kích thước) không thay đổi còn vị trí thì vẫn thay đổi
Để chứng minh điểm X cố định, thường đưa về một trong các trường hợp sau:
1 Điểm X cố định vì là giao điểm của những đường cố định
2 Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có điểm A cố định và đoạn
AX có độ dài không đổi
3 Điểm X cố định vì thuộc đường (C) cố định, trên đó có 2 điểm A, B cố định và tỉ
số AX
BX không đổi (điểm X chia đoạn AB theo một tỷ số không đổi )
4 Điểm X cố định vì nó trùng với 1 điểm cố định đã cho trong đề bài
Khi giải các bài toán có câu hỏi về tìm điểm cố định, ta cần theo hai bước: Tìm chính xác điểm đó rồi chứng minh điểm đó cố định
Việc dò tìm điểm là rất quan trọng Ta có thể làm như sau :
1 Tập trung chú ý vào các điểm cố định, các đường cố định có trong đề bài (hoặc được suy ra từ đề bài), tính chất đối xứng của hình vẽ
2 Tốt nhất là tìm cách vẽ thêm một vị trí khác của điểm chuyển động Khi đó hai đường chuyển động cắt nhau ở đâu thì đó chính là điểm cố định cần tìm
Tất nhiên trường hợp vẽ thêm này, ta phải bố trí vào các vị trí đặc biệt, thậm chí phải chọn một vài vị trí đặc biệt thì mới tìm được điểm cố định
Các vị trí đặc biệt thường gặp:
Trang 2- Với một điểm, vị trí đặc biệt có thể là ở hai đầu mút hoặc ở chính giữa của một đoạn thẳng hay một cung tròn
- Với 2 đường thẳng, hai đường thẳng song song là vị trí đặc biệt của hai đường thẳng cắt nhau khi giao điểm ở xa vô tận
- Với đường tròn, tiếp tuyến có thể coi là vị trí đặc biệt của cát tuyến khi hai điểm cắt trùng nhau, đường thẳng có thể coi là vị trí đặc biệt của đường tròn có bán kính
vô cùng lớn
Sau đây là một số bài để tham khảo :
Bài 1 Cho đường tròn (O) đường kính BC và dây BA cố định Điểm M di chuyển
trên đường tròn (O) Từ trung điểm E của AM vẽ đường song song với với CM, đường này cắt BM ở I
a) Chứng minh đường EI luôn đi qua điểm cố định P
b) Tìm tập hợp I
c) Tìm vị trí M để ∆PBI có diện tích lớn nhất
Bài 2 Cho đường tròn (O) bán kính R, một đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại
điểm A cố định Từ điểm B trên đường tròn vẽ BH vuông góc với xy tại H (mà
H ≠ A) Cho B chuyển động trên đường tròn
a) Chứng minh phân giác ngoài của góc OBH luôn đi qua điểm cố định
b) Gọi M là giao điểm của BH với phân giác góc BOA , chứng minh điểm M thuộc một đường tròn cố định
Bài 3 Cho đường tròn (O) đường kính AB Điểm K chính giữa AB , điểm C
chuyển động trên cung AK nhỏ Trên BC lấy M sao cho BM = AC
a) Chứng minh ∆CKM vuông cân
b) Chứng minh đường thẳng kẻ từ M, vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định Từ đó suy ra tập hợp M
Trang 3c) Trên BC lấy điểm D sao cho CD = CA, chứng minh trung trực của AD đi qua một điểm cố định
d) Chứng minh tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC và 3 điểm A, D, B cùng thuộc một đường tròn
Bài 4 Cho đoạn thẳng AB = 2a và điểm M ở giữa AB Trong cùng nửa mặt phẳng
bờ AB, vẽ các hình vuông AMCD và MBEF Hai đường thẳng AF, BC cắt nhau ở
N
a) Chứng minh AFBC và điểm N thuộc hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông trên
b) Chứng minh D, N, E thẳng hàng và đường MN vuông góc với DE tại N
c) Cho A, B cố định còn M di chuyển trên đoạn AB
* Chứng minh đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định
* Chứng minh BN BC + AF AN không đổi
S S nhỏ nhất với S1 là diện tích ∆DCF, S2 là diện tích ∆AMF
Bài 5 Cho hình vuông ABCD tâm O Đường thẳng d quay quanh O cắt các cạnh
AD, BC ở E, F (không trùng với đỉnh hình vuông) Từ E kẻ đường song song với
DB và từ F kẻ đường song song với AC, chúng cắt nhau ở I
a) Tìm tập hợp các điểm I
b) Từ I vẽ vuông góc với EF tại H Chứng minh H thuộc một đường tròn cố định c) Chứng minh đường thẳng IH đi qua một điểm cố định
Bài 6 * Cho góc vuông xAy , trên tia Ax lấy điểm B cố định còn trên tia Ay có điểm
C chuyển động Đường tròn tâm I nội tiếp ∆ABC, tiếp xúc với CB, CA thứ tự ở M,
N
Trang 4a) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm E cố định
b) Vẽ BH MN, gọi G là trọng tâm ∆ABE Tìm vị trí C để đoạn GH là ngắn nhất
Bài 7 Cho hai đường tròn ( O, R) và ( O’, r ) tiếp xúc ngoài tại A và R > r Đường
thẳng d đi qua A, không vuông góc hoặc trùng với đường nối tâm, cắt đường tròn (O) ở M (khác A) và cắt đường tròn (O’) ở N (khác A) Vẽ đường kính ME của đường tròn (O)
a) Chứng minh đường thẳng EN đi qua điểm I cố định khi d quay quanh A
b) Tính độ dài đoạn IA
c) Chứng minh ∆AEN và ∆AMF có diện tích bằng nhau
d) Chứng minh A và I chia đoạn OO’ theo cùng một tỷ số
Bài 8 Cho góc vuông xOy , lấy 2 điểm I, K thứ tự trên Ox và Oy Vẽ đường tròn
tâm I bán kính OK, cắt Ox ở M (điểm I ở giữa OM) Vẽ đường tròn tâm K bán kính
OI, cắt Oy ở N (điểm K ở giữa ON)
a) Chứng minh hai đường tròn (I) và (K) luôn cắt nhau tại A, B
b) Tiếp tuyến tại M của đường tròn (I) và tiếp tuyến tại N của đường tròn (K) cắt nhau ở C Chứng minh tứ giác OMCN là hình vuông
c) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng
d) Cho I và K di động sao cho OI + OK = a không đổi, chứng minh đường thẳng
AB đi qua một điểm cố định
Bài 9 Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm A cố định ở ngoài đường tròn
Đường thẳng d vuông góc với OA tại A Trên d có điểm M di động, từ M vẽ hai tiếp tuyến MB, MC tới (O) với B, C là hai tiếp điểm Dây BC cắt OM, OA thứ tự ở
H, K
a) Chứng minh OH.OM = OK.OA
b) Chứng minh đường thẳng BC đi qua 1 điểm cố định và H thuộc một đường cố định
Trang 5c) Tìm vị trí M trên d để diện tích tứ giác MBOC nhỏ nhất
d) Một đường thẳng vuông góc với OM tại O, đường thẳng này cắt các đường MB,
MC thứ tự tại E, F Tìm vị trí M trên d và điều kiện về vị trí A để ∆MEF có diện tích nhỏ nhất
Bài 10 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C thuộc cung AB Kẻ
CH AB tại H Gọi I, K thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp ∆CAH và ∆BAH Đường thẳng IK cắt CA ở M, cắt CB ở N
a) Chứng minh tứ giác BHKN nội tiếp được
b) Chứng minh CM = CN Tìm vị trí C để chu vi ∆IHK lớn nhất
c) Tìm vị trí C trên cung AB để tứ giác ABNM nội tiếp được
d) Kẻ đường thẳng đi qua C và vuông góc với MN, chứng minh đường thẳng đó đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên cung AB
e) Tìm vị trí C để diện tích ∆CMN lớn nhất
Bài 11 * Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Điểm M thuộc cung AB
Gọi H là điểm chính giữa của cung AM , tia BH cắt AM ở I và cắt tiếp tuyến tại A
của đường tròn tâm O ở điểm K, tia AH cắt BM ở S
a) ∆BAS có đặc điểm gì?
b) Chứng minh S thuộc đường tròn cố định khi M di chuyển
c) Xác định vị trí tương đối của KS với đường tròn tâm B bán kính BA
d) Đường tròn ngoại tiếp ∆BIS cắt đường tròn tâm B, bán kính BA tại N (khác điểm A) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định khi M di chuyển
e) Xác định vị trí điểm M sao cho góc MKA = 90 o
Trang 6c) Gọi P, Q, R thứ tự là trọng tâm ∆MAB, ∆MNA, ∆NAO; tứ giác OPQR là hình gì?
d) Khi M di chuyển, Chứng minh đường thẳng PQ đi qua điểm cố định
Bài 13 * Cho đường tròn tâm O bán kính R và ∆ABC nội tiếp (có AB = AC > R)
Kẻ đường kính AI, gọi M là điểm bất kỳ trên cung AC nhỏ Gọi Mx là tia đối của
tia MC; trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC
a) Chứng minh MA là phân giác của góc BMx
b) Gọi K là giao điểm thứ hai của DC với (O) Tứ giác MIKD là hình gì?
c) Khi M di chuyển trên cung nhỏ AC :
* Điểm E trung điểm của BM di chyển trên đường nào?
* Điểm G trọng tâm của ∆MDK di chuyển trên đường nào?
* Gọi N là giao của AD với (O), P là giao điểm của phân giác góc IBN với đường
tròn tâm O Chứng minh đường thẳng DP đi qua điểm cố định
Bài 14 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và điểm M bất kỳ trên đường tròn
Từ điểm H trên đoạn OB, kẻ đường thẳng d vuông góc với AB Các đường thẳng
AM, BM và tiếp tuyến tại M của (O) thứ tự cắt d ở D, C, I đường thẳng AC cắt (O) ở E Đường thẳng ME cắt OI ở K
a) Chứng minh IE là tiếp tuyến của (O) và I là trung điểm của DC
b) Khi M di chuyển, chứng minh tích OI.OK không đổi
c) Khi M di chuyển, chứng minh đường thẳng ME đi qua 1 điểm cố định
Bài 15 Cho đường tròn (O) có dây AB cố định Điểm D bất kỳ trên đoạn AB Vẽ
đường tròn tâm I đi qua D và tiếp xúc (O) ở A và vẽ đường tròn tâm K đi qua D và tiếp xúc (O) ở B
a) Tứ giác OIDK là hình gì?
b) Gọi giao điểm thứ hai của hai đường tròn (I) và (K) là N Chứng minh bốn điểm
A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn
Trang 7c) Khi D di động trên đoạn AB, chứng minh đường thẳng ND đi qua một điểm cố định
Bài 16 Cho ∆ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động trên
BC Qua M vẽ đường tròn tâm I tiếp xúc AB ở B và qua M vẽ đường tròn tâm J tiếp xúc với AC ở C Hai đường tròn này cắt nhau ở N (khác M)
a) Chứng minh điểm N thuộc đường tròn (O)
b) Đường thẳng BI và CJ cắt nhau ở K cố định
c) Chứng minh đường MN đi qua điểm đi qua điểm E cố định
d) Tìm vị trí M trên BC để ∆BNC có diện tích lớn nhất? Có chu vi lớn nhất?
Bài 17 Cho đường tròn (O, R) và dây AB Qua trung điểm I của AB vẽ đường kính PQ
(điểm P thuộc cung nhỏ AB ) Điểm M bất kỳ trên tia đối của tia BA (mà o
AQM90 ) Đường MQ cắt đường tròn (O) ở E (khác Q) Hai dây PE, AB cắt nhau ở D
a) Chứng minh tứ giác DIQE nội tiếp được
b) Chứng minh PD.PE = PI.PQ và ME.MQ = MD.MI
c) Vẽ tia Ax // PE, tia này cắt đường tròn (O) ở F Chứng minh BE QF
d) Khi A, B, M cố định, đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn qua A, B Chứng minh đường thẳng PE đi qua điểm cố định
Bài 18 Cho đường tròn (O, R ) dây CD cố định Gọi H là trung điểm của CD, điểm S
trên tia đối của tia DC Qua S vẽ 2 tiếp tuyến SA, SB tới (O) Đường thẳng AB cắt SO,
OH thứ tự ở E, F
a) Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp được
b) Chứng minh tích OE.OS có độ lớn không phụ thuộc vào vị trí điểm S
c) Cho R = 10cm, SD = 4cm, OH = 6cm Tính CD và SA
d) Khi S di động trên tia đối của tia DC, chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định và góc CED có độ lớn không đổi
Trang 8Bài 19 Cho A, B là hai điểm cố định của đường tròn tâm O, còn M di động trên cung
lớn AB
Trên MA lấy A’ mà MA’ = a không đổi, trên MB lấy B’mà MB’ = b không đổi
a) Chứng minh ∆MA’B’ luôn bằng chính nó
b) Chứng minh đường song song với A’B’, kẻ từ M sẽ đi qua điểm cố định và đường thẳng A’B’ tiếp xúc với đường tròn cố định
c) Chứng minh đường cao MH của ∆ MA’B’đi qua điểm cố định và đường trung trực của A’B’ tiếp xúc với đường tròn cố định
Bài 20 Cho đường tròn tâm O có 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau
Lấy điểm I bất kỳ trên đoạn CD
a) Tìm điểm M trên tia ADx và điểm N trên tia ADy sao cho I là trung điểm đoạn
MN
b) Khi I chuyển động trên đoạn CD
* Chứng minh tổng AM + AN không đổi
* Chứng minh đường tròn đường kính MN đi qua 2 điểm cố định
* Từ I vẽ đường thẳng song song với AB, trên đó lấy điểm J sao cho IJ = AB Tìm tập hợp điểm J Tìm tập hợp điểm J
Bài 21 * Cho tam giác ABC vuông ở A và AB < AC Đường tròn tâm O thay đổi
thay đổi luôn luôn đi qua A, B và cắt AC ở N, cắt BC ở M ( BM > AB ) Lấy điểm
E đối xứng với M qua đường thẳng BN Đường trung trực của AE cắt BE ở I Chứng minh đường thẳng AI luôn luôn đi qua một điểm cố định
Bài 22 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động trên
cung nhỏ BC Vẽ ME AB và MF AC (E, F nằm trên đường AB và AC)
a) Xác định vị trí M để EF đi qua trung điểm của BC)
b) Vẽ AP MB, AQ MC ( P, Q nằm trên đường MB, MC) Chứng minh đường thẳng PQ đi qua điểm cố định
Trang 9Bài 23 * Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M di động trên
(O) Gọi A,, B,, C, thứ tự là điểm đối xứng với M qua các đường thẳng BC, CA, AB a) Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng
b) Chứng minh đường thẳng B’C’ đi qua một điểm cố định
c) Vẽ ON A’B’ tại N, gọi G là trọng tâm ∆ ABC Tìm vị trí M để đoạn GN có độ dài ngắn nhất
Bài 24 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R Điểm M di chuyển trên nửa
đường tròn nhận AB là đường kính (M khác A và B)
a) Nêu cách dựng đường tròn tâm E tiếp xúc với (O) ở M và tiếp xúc với đường kính AB Gọi tiếp điểm với AB là N
b) Đường tròn (E) cắt MA, MB thứ tự tại C, D Chứng minh CD // AB
c) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm K cố định
d) Chứng minh KN KM không đổi
e) Đường CN, DN cắt KB, KA thứ tự tại C’, D’ Tìm vị trí M để tam giác NC’D’ có chu vi nhỏ nhất
Bài 25 Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có đáy là BC và AD
Trên tia đối của tia BC lấy điểm P, đường PA cắt (O) ở M (khác A) Đường tròn đường kính PD cắt (O) ở E ( khác D ) Đường DE cắt đường BC ở N Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định
Bài 26 * Cho đường tròn tâm O, bán kính R, điểm A cố định và OA = 2R Một
đường kính BC quay quanh O sao cho A, B, C không thẳng hàng Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA ở P (khác A) Đường thẳng AB, AC cắt đường tròn tâm O ở điểm thứ hai là D, E Nối DE cắt đường thẳng OA ở K
a) Chứng minh ∆OPB ∆OCA
b) Chứng minh tứ giác PCEK nội tiếp được
c) Chứng minh AK AP = AE AC
d) Chứng minh đường thẳng DE đi qua điểm cố định
Trang 10e) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE đi qua 1 điểm cố định
Bài 27 * Cho đường tròn tâm O bán kính R, điểm A ở ngoài đường tròn Kẻ tiếp
tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm) Lấy điểm M thuộc cung BC phần ở miền trong của ∆ABC Lần lượt vẽ MI BC, MH AC và MK AB Đường MB cắt IK ở
Bài 28 * Cho đường tròn tâm O bán kính R và điểm M ở ngoài đường tròn Từ M vẽ
tiếp tuyến MB, MA và cát tuyến MCD tới đường tròn (MC < MD) Đường thẳng
AB cắt MO ở H, cắt CD ở K Gọi I là trung điểm CD
a) Chứng minh 5 điểm A, O, I, B, M cùng thuộc đường tròn tâm E
b) Khi (O), C, D cố định, điểm M di chuyển trên đường CD (ở ngoài đường tròn) Hỏi: * Tâm E
* Tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
* Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HIK
di chuyển trên đường nào?
* Đường thẳng AB đi qua điểm cố định nào?
c) Cho M, C, D cố định, đường tròn (O) thay đổi nhưng luôn qua C, D
Hỏi:
* Điểm A, B di chuyển trên đường nào?
* Đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK đi qua điểm cố định nào?
* Tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HIK di chuyển trên đường nào?
Trang 11Bài 29 Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định Điểm M di động trên đường
tròn Từ M vẽ MH AB Gọi E, F là hình chiếu của H trên MA, MB
Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với EF, cắt AB ở D
a) Chứng minh đường thẳng MD đi qua điểm cố định
b) Chứng minh
2 2
Bài 30 Cho đường tròn tâm O và dây BC cố định Gọi A là điểm di động trên cung
lớn BC (A khác B, C) Tia phân giác của góc ACB cắt (O) ở D (khác C) Lấy điểm
I trên CD sao cho DI = DB Đường thẳng BI cắt (O) ở K (khác B)
a) Chứng minh ∆KAC cân
b) Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua điểm J cố định
Bài 32 Cho đường tròn tâm O có dây AB cố định Điểm M di động trên đường tròn
tâm O nhưng không trùng với A, B Hai đường tròn tâm O1, O2 đi qua M và tiếp xúc với AB ở A, B, hai đường tròn cắt nhau tại N (khác M)
a) Chứng minh đường thẳng MN đi qua điểm cố định
Trang 12b) Tìm tập hợp N
c) Đường thẳng MN cắt (O) ở D Chứng minh tứ giác ANBD là hình bình hành Tìm vị trí điểm M để ANBD trở thành hình thoi
d) Tìm vị trí điểm M để diện tích ∆ANB lớn nhất
Bài 33 Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn (mà AB
không phải là đường kính), gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AB Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt không trùng với A, B Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn tại E, F (khác M)
a) Chứng minh các điểm C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn
b) Các đường thẳng EA và FD cắt nhau ở G, các đường thẳng FB và EC cắt nhau ở
a) Chứng minh phân giác ABC cũng là phân giác của OAF
b) Gọi N, M là trung điểm của AH, BC Chứng minh tứ giác DNEM nội tiếp được c) Cho biết ∆ABC ở vị trí mà AH = BC Tính BAC ?
Trang 13* Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆ADE có bán kính không đổi
* Tia Ax vuông góc với DE đi qua điểm cố định
Bài 35 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Trên đường thẳng AB lấy
điểm M sao cho M nằm ngoài đoạn AB Từ M kẻ tới (O’) hai tiếp tuyến MC, MD (C nằm ngoài đường tròn tâm O) và kẻ tới (O) hai tiếp tuyến ME, MF (E nằm ngoài đường tròn (O’))
a) Chứng minh bốn điểm E, F, D, C cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh ∆BCD và ∆BPQ đồng dạng (với P là giao điểm của đường thẳng
AC với đường tròn tâm O, còn Q là giao điểm của đường thẳng AD với đường tròn tâm O)
c) Gọi giao điểm của CD và PQ là K, khi M thay đổi trên đường thẳng AB và ở ngoài đoạn AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆KPC đi qua một điểm cố định
Bài 36 * Cho ∆ABC có BAC > 90o Vẽ hai đường tròn (O1) và (O2) có đường kính
là AB và AC Hai đường tròn cắt nhau ở H (khác A) Một đường thẳng d thay đổi luôn qua A cắt (O1) ở D, cắt (O2) ở E sao cho A ở giữa DE
a) Chứng minh D và E luôn cách đều một điểm cố định
b) Gọi trung điểm của DA, EA thứ tự là F, G Chứng minh trung trực của FG luôn
đi qua một điểm cố định
c) Tìm vị trí của d để ∆DHE có diện tích lớn nhất? chu vi lớn nhất?
d) Tìm vị trí của d để A là trung điểm DE? Để DA = 1
2AE?
e) Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh M thuộc một cung tròn cố định
g) Giả sử BAC = 900 Tìm vị trí của d để tứ giác BDEC có diện tích lớn nhất
Bài 37 Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp (O, R) Vẽ đường cao AH, đường kính
AD Vẽ BE, CF cùng vuông góc với AD
a) Chứng minh các tứ giác ABHE và AHFC nội tiếp được
b) Chứng minh tứ giác BHFD là hình thang
Trang 14c) Cho B, C cố định còn A di động nhưng tam giác ABC vẫn nhọn Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH cố định
Bài 38 Cho hình vuông ABCD, điểm M di động trên cạnh BC (M khác B), điểm N
di động trên cạnh CD (N khác D) sao cho MANMAB NAD
a) Đường thẳng BD cắt AN, AM thứ tự tại P, Q Chứng minh năm điểm P, Q, M, C,
N cùng thuộc một đường tròn
b) Chứng minh MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
c) Gọi diện tích tam giác APQ là S1, diện tích tứ giác PQMN là S2 Chứng minh 1
2
SSkhông đổi
c) Khi góc xAy quay, chứng minh trung điểm của EF chạy trên đường tròn cố định
Bài 40 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C là điểm bất kỳ trên
AO, tia Cx AO cắt (O) ở I Điểm K bất kỳ trên đoạn CI (K không trùng với C và I) Tia AK cắt (O) ở M Tiếp tuyến tại M cắt Cx ở N Tia BM cắt Cx ở D
a) Chứng minh ∆MNK cân
b) Chứng minh bốn điểm A, C, M, D thuộc một đường tròn
c) Khi C là trung điểm AO và K là trung điểm của CI, hãy tính diện tích ∆ABD d) Khi K di động trên đoạn CI, chứng minh đường tròn ngoại tiếp ∆AKD đi qua một điểm cố định và tâm đường tròn này di chuyển trên một đường cố định
Trang 15Phần bài giải:
Các bài tập đều có nhiều câu hỏi; ở phần này chỉ những câu hỏi khó, đặc biệt là những câu hỏi về tìm điểm cố định mới được trình bày lời giải Một số câu hỏi dễ nhằm gợi ý để giải bài tập thì chỉ ghi kết quả
Bài 1
a) Vị trí đặc biệt của M là trùng với B, khi đó
điểm E là trung điểm của AB, đường EI là
đường trung bình của ∆ABC do đó điểm P là
trung điểm của AC
Xét ∆ACM có EP là đường trung bình
b) Tập hợp I là đường tròn đường kính BP
(có đi qua A)
c) SBPI lớn nhất khi IP = IB Có hai giao
điểm I1 và I2 thuộc trung trực của BP Từ đó
tìm được hai vị trí hai vị trí M1, M2 trên
đường tròn (O)
Bài 2
a) Vị trí đặc biệt của B là làm cho BH
trở thành tiếp tuyến vuông góc với xy
Khi đó tứ giác OBHA là hình vuông do
đó tìm thấy vị trí C cố đinh
Ta có BA là tia phân giác trong của
góc OBH nên phân giác ngoài là tia kẻ
Trang 16c) ∆ACD vuông cân ở C nên trung trực của
AD đi qua F chính giữa AB
N cùng thuộc hai đường tròn ngoại tiếp hai hình
vuông AMCD, MBEF
b) Do N thuộc đường tròn nên:
DNAANMMNBBNE45
c) N thuộc đường tròn đường kính AB, mà MN là
phân giác ANB Điểm cố định I là chính giữa AB
Nếu xét vị trí đặc biệt của M là chính giữa AB, thì
O'
F D
O
M
Trang 17khi đó hai hình vuông bằng nhau và F, C, N trùng nhau thì thấy ngay MN là đường kính vuông góc với AB
AHIBHI45 H thuộc đường tròn tâm
O’ đường kính AB
K I
F
H
O
C D
O'
A
B E
Trang 18GV: Hoàng Đại Việt ; Email: viethd@boiduongvanhoa.edu.vn 18
c) Vị trí đặc biệt của d là song song với AB
Khi đó E, F là trung điểm các cạnh và IO’ và IH là trung trực của AB, đồng thời
là trục đối xứng của hình vẽ
Chứng minh được điểm K ở chính giữa cung AB phần
nằm ngoài hình vuông là điểm cố định cần tìm
Bài 6 *
a) Vị trí đặc biệt của C là C’ tạo thành ∆BAC’ vuông
cân ở A Khi đó M là trung điểm E của BC’
Tứ giác AC’DB là hình vuông, điểm E là tâm của
M
I
D B
K
N
H
Trang 19a) Vị trí đặc biệt của d là trùng với đường nối tâm Khi đó E A và đường thẳng
EN là đường nối tâm Điểm cố định sẽ là nơi EN cắt OO’
Chứng minh được OM // O’N Vẽ giao điểm I của EN và OO’
Ta có IO' O' N r
IO OE R I cố định
b) Tính được IA = 2Rr
Rrc) Chú ý hai tam giác vuông MAE và NAF đồng dạng AM.AF = AN.AE
Hai đường tròn luôn cắt nhau
b) Tứ giác OMCN là hình vuông vì có ba
góc vuông và hai cạnh liên tiếp bằng nhau
c) Sử dụng CM2 = CN2 = CB.CA
d) Vị trí đặc biệt là khi OI = OK = a
2, khi đó AO với AB là đường chéo của
hình vuông IOKB cố định
Khi OI + OK = a không đổi thì hình vuông MONC cố định Rõ ràng đường thẳng
AB đi qua C cố định
Bài 9
a) ∆OKH đồng dạng ∆OMA OH.OM = OK.OA
b) ∆MBO có OH.OM = OB2 = R2 (không đổi)
Vị trí đặc biệt của M là MA, hình vẽ có trục đối xứng là MO
Trang 20Điểm cố định sẽ là K thuộc trục đối xứng
Do OK.OA = R2 OK =
2R
OA không đổi
K là điểm cố định cần tìm
Điểm H thuộc đường tròn đường kính OK
c) SMBOC = MB.OB nhỏ nhất khi MB nhỏ nhất
∆MBO có MB2 = MO2 – R2 nhỏ nhất khi MO
nhỏ nhất
∆MAO có MO ≥ AO không đổi
Vậy SMBOC nhỏ nhất khi MA
d) SMEF = 2SMOE = OB.ME = R(MB + BE) ≥ 2R MB.BE 2R OB2 2R2
Vậy SMEF nhỏ nhất = 2R2 khi MB = BE ∆MOE vuông cân ở O BMC90o
OM = R 2 Để tìm được M thì A cố định và AO ≤ R 2 , đường tròn tâm O bán
KIHBAC
các tứ giác BHKN và AHIM nội tiếp được
H K
F
B M
O A
H O
D C
Trang 21Vậy chu vi ∆IHK lớn nhất khi và chỉ khi CH lớn nhất C nằm chính giữa AB
CMNCBA45 C nằm chính giữa AB d) Chọn vị trí đặc biệt của C là chính giữa AB HO và MN // AB
Khi đó đường cao kẻ từ C là đườngkính vuông góc với AB Có ∆CMN vuông cân ở
C, đường vuông góc kẻ từ C là phân giác ACB Điểm cố định là điểm D, chính giữa của nửa đường tròn nằm phía dưới đường kính AB
a) ∆ABS cân ở B vì có BH vừa là đường cao vừa là phân giác
b) Do BS = BA không đổi nên S
thuộc đường tròn tâm B bán
Trang 22MN là tiếp tuyến tại A của (O) Vậy A sẽ là điểm cần tìm
Lưu ý: bài này rất dễ nhầm khi lấy MB Lúc này I cũng trùng với B và BM trở thành tiếp tuyến tại B của (O), điểm N là S và đường tròn (B, I, S) là đường tròn đường kính BS (!)
Thực ra do BI phải đi qua H nên trung trực của BI là đường vuông góc với BH tại
B, đường thẳng này cắt trung trực của BS tại E mà ∆EBS vuông cân ở E Khi đó N thẳng hàng với A, B nghĩa là đường thẳng MN chính là đường AB
Sau khi đã tìm được điểm A, ta có thể chuyển bài toán thành dạng khác như sau: Gọi N1 là giao điểm của đường thẳng AM với (B, BA) sau đó chứng minh N1 thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆BIS tức là N1 là giao điểm của (B, BA) với (B, I, S)
N1N Thực vậy ∆N1BA cân ở B
1BAN BSI (cạnh tương
∆AMK có MB2 = BD.BA = BA(BA – AD) x2 = 2R(2R – x)
x2 + 2Rx – 4R2 = 0Chỉ lấy x = R( 5 – 1) thỏa mãn điều kiện
O
M
Trang 23d) Nếu chọn vị trí đặc biệt của M là A hoặc B thì ∆MAB, ∆NAM, ∆NAO trở thành
đoạn thẳng nên rất khó hình dung vị trí trọng tâm P, Q, R
Vậy ta chọn M ở chính giữa AB và thấy rõ QP không thể đi qua B mà cắt OB ở D
a) AMBACB và AMxABC
AMB AMx MA là tia phân giác của góc
c) * OEB90o E thuộc đường tròn đường kính OB (giới hạn là cung nằm trong
∆ABC, từ trung điểm của BC tới trung điểm của AB)
* Do AM là trung trực của DC nên AB = AC = AD D thuộc đường tròn tâm A
bán kính AC Trọng tâm G của ∆MKD mà MIKD là hình bình hành nên IG 2