Tiểu luận tìm điểm rơi trong bất đẳng thức CAUCHY

Tiểu luận đưa ra phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT Cauchy, giúp người đọc có thể dễ dàng hiểu bản chất từ đó ứng dụng làm ngay được nhưng bài tập liên quan. Tiểu luận đưa ra phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT Cauchy, giúp người đọc có thể dễ dàng hiểu bản chất từ đó ứng dụng làm ngay được nhưng bài tập liên quan.Tiểu luận đưa ra phương pháp chọn điểm rơi trong BĐT Cauchy, giúp người đọc có thể dễ dàng hiểu bản chất từ đó ứng dụng làm ngay được nhưng bài tập liên quan.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ HỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN BẤT ĐẲNG THỨC KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Học viên : Hoàng Đại Việt Lớp : Cao Học Toán 2014 – 2016 Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Người hướng dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Hà Nội - 2015 LỜI MỞ ĐẦU Trong hình thành vận động phát triển vũ trụ, quy luật so đo tính toán điều tất yếu phải có Sự to nhỏ, lớn bé, cao thấp hay giàu nghèo so sánh kinh điển mà Lão Tử chiêm nghiệm cho đời "Đạo Đức Kinh" tiếng suốt 2500 năm qua Trong guồng quay khoa học từ thời sơ khai thời đại, Toán học đặt quy luật Sự đời phép so sánh : số lớn số bé, Giá trị lớn nhỏ nhất, giá trị điều tất yếu phải đến lịch sử Toán học Từ thời cổ đại, người phát so sánh tương đối số, biểu thức số học hay đoạn thẳng, góc, diện tích, chu vi hình học Với trình phát triển suốt sau đó, phép so sánh dần định hình chặt chẽ trở thành phần quan trọng Số học, Toán học đại Đó "Bất Đẳng Thức", bước khỏi vỏ bọc Số học để trở thành điểm nhấn quan trọng tất lĩnh vực : Đại Số, Giải tích, Tổ Hợp, Xác suất, Hình học Trong trình hình thành này, nhiều định lý, phương pháp quan trọng đời trở thành kinh điển "Toán học" Với khuôn khổ tiểu luận, em xin trình bày phần nhỏ cốt lõi hữu ích để giải nhiều toán cấp độ Phổ Thông Đó Bất Đẳng Thức AM-GM ( hay gọi Cauchy) phương pháp vận dụng Tiểu luận gồm có phần : Chương : Kĩ thuật chọn điểm rơi cô si số Chương : Kĩ thuật chọn điểm rơi cô si số Chương : Bất đẳng thức phụ Dù nhiều hạn chế định nhiều lý em hi vọng Tiểu luận mang đến kết khả quan để phát triển thành luận án thạc sĩ tương lai Chương Kĩ thuật chọn điểm rơi côsi hai số a+b ≥ ab Dấu “=” xảy a = b Cho hai số a, b > ta có: Bài Chứng minh a ≥ a + ≥ a Phân tích: Dự đoán dấu ‘‘ =’’ xảy a = Bài giải 1 a 3a a 3a = + + ≥2 + a a 4 a 4 2.3 ⇒ a + ≥1+ = a Dấu “=” xảy ⇔ a = Ta có : a + Bài Cho a > 0, b > a + b ≤ Chứng minh a + b + Dự đoán dấu “ = “ xảy a = b = 1 + ≥5 a b Ta có : 1 1 1 + + a + b = + 4a + + 4b − ( a + b ) ≥ 4a + 4a − 3.1 a b a b a b 1 ⇒ + +a + b≥ 4+ 4−3=5 a b Dấu '' = ' ’ xảy a = b = ∈ Bài Cho x > 0, y >0 ; x, y Z thỏa mãn x + y ≥ Chứng minh : A = x(x – 1) + y(y – 1) ≥ 12 Dự đoán dấu '' = '' xảy : x = y = Bài giải : Đặt A = x ( x − 1) + y(y − 1) 2 A= x −x+y −y A = x + + y + − ( x + y ) − 18 ≥ 6x + 6y − ( x + y ) − 18 ⇒ A ≥ ( x + y ) − 18 A ≥ 12 Dấu '' = '' xảy ⇔ x = y = Bài Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ : x2 y2 z2 + + Q= y+z x+z x+y Dự đoán dấu '' = '' xảy ⇔ x = y = z = Ta có: x2 y+z x2 y + z + ≥2 =x y+z y+z y2 x + z y2 y + z ≥2 =y x+z y+z z2 x+y z2 x + y + ≥2 =z x+y x+y Cộng vế với vế ta được: x+y+z ≥x+y+z x+y+z ⇒Q≥ = =1 2 ⇒ Q ≥1 ⇒Q+ Vậy GTNN Q = x = y = z = Bài x2 y2 + ≥ Với x >1; y>1 Chứng minh rằng: y −1 x −1 Dự đoán dấu '' = '' xảy x = y =2 Bài giải x2 x2 + 4(y − 1) ≥ 4(y − 1) = 2.2x Ta có: y −1 y −1 y2 + ( x − 1) ≥ 4y Tương tự: x −1 x2 y2 ⇒ + 4y − + + 4x − ≥ 4x + 4y y −1 x −1 x2 y2 + ≥8 y −1 x −1 Dấu = xảy ⇔ x = y = ⇒ Bài Cho a ≥ Chứng minh : a + Dự đoán dấu '' = '' xảy ⇔ a = 18 ≥ 36 + a Bài giải Ta có : a + 36 ≥ 12a 18 + a ≥ 2.3 = 6 a 18 ⇒ a + 36 + + a ≥ 12.a + 6 a 18 ⇒ a2 + ≥ 12.a − 36 + 6 − a a 18 ⇒ a2 + ≥ 72 − 36 + 6 − = 36 + a Dấu “=” xảy ⇔ a = Bài Cho a, b, c >0 a+b+c ≤ 1 15 + + ≥ a b c Dự đoán dấu = xảy ⇔ a = b = c = Ta có: + 4.a ≥ a + 4.b ≥ b + 4.c ≥ c ⇒ A + ( a + b + c ) ≥ 4.3 A ≥ 12 − ( a + b + c ) 3 Vì a + b + c ≤ ⇒ A ≥ 12 − 2 Chứng minh rằng: A = a + b + c + A≥ 15 Dấu “=” xảy ⇔ a = b = c = Bài Cho a+b+c+d =2 Chứng minh : a2+ b2+ c2+d2 ≥ Dự đoán dấu = xảy ⇔ a = b = c = d = ≥a b2 + ≥ b Ta có : a + ≥c d2 + ≥ d Suy ra: a + b + c + d + ≥ a + b + c + d ⇒ a + b + c + d ≥ ( a + b + c + d = 1) Dấu = xảy ⇔ a = b = c = d = 2 2 ⇒ a + b + c + d ≥1 c2 + Bài Cho x> 0;y >0 x + y ≥ Chứng minh : 2x + 3y + Dự đoán dấu ‘= ‘ xảy ⇔ x = y = 3x x 3x x x Ta có: + + ≥ + = + x 2 x 2 10 5y y 10 5y y y + + ≥ + = 10 + y 2 y 2 10 3x 5y x y x y ⇒ + + + + + ≥ 16 + + x y 2 2 2 10 ⇒ + + 2x + 3y ≥ 18 ( x + y ≥ ) x y Dấu = xảy x = y = 10 + ≥ 18 x y Chương II ĐIỂM RƠI COSI SỐ a+b+c ≥ abc Dấu “=” xảy a = b = c Cho ba số a, b, c > ta có: Bài 10 Chứng minh : Nếu a ≥ A = a + ≥ a2 Dự đoán đấu “=”xảy ⇔ a = Bài giải Ta có: a a 3a a a 3a A = + + + ≥ 3 + a 8 a 8 3.2 A≥ + = 4 Dấu’’=’’ xảy ⇔ a = 1 Bài 11 Với < a ≤ : Chứng minh rằng: A = 2a + ≥ a Dự đoán dấu “=” xảy a = Bài giải Ta có: 1 A = + 8a + 8a − 14a ≥ 3 8a.8a − 14a a a Dấu “=” xảy a = Suy ra, A ≥ 3.4 − 14a ≥ 12 − = Vậy: A = 2a + ≥5 a2 Bài 12 Cho a, b > ; a + b ≤ Chứng minh rằng: a+b+ 1 + ≥9 a b2 Dự đoán dấu “ =” xảy a = b = Bài giải Ta có: + 8a + 8a − 15a ≥ 12 − 15a a2 + 8b + 8b − 15b ≥ 12 − 15b b2 Suy ra: A ≥ 24 − 15 ( a + b ) ≥ 24 − 15.1 A≥9 Dấu “=” xảy a = b = 3x + + y + ≥ Bài 13 Cho x, y > x+y =4; Chứng mỉnh rằng: A = 4x y2 Dự đoán dấu ‘ =’ xảy x = y = Bài giải: Biết đổi A ta được: A = x + + + y x y Ta có : 1 2x x 1 2x x + + + − ≥ 33 + − x 2 x 2 1 2x x x + + + − ≥1+ x 2 1 2x Dấu “=” xảy = = x Hay y y y y y y + + + ≥ 33 + y 4 y 4 2 y y y y Hay + + + ≥ + y 4 2 Tương tự ta có: y y = = y2 4 Cộng vế với vế ta được: x+y ⇒ A ≥1+ + ≥ +2= 2 2 Dấu = xảy x = y = Một số toán khác: Dấu “=” xảy CHƯƠNG III BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 1 Áp dụng cho số: Với x, y > ta có : + ≥ x y x+y Dấu ‘=’ xảy ⇔ x = y Áp dụng cho số: Với x, y, z > ta có: 1 + + ≥ x y z x+y+z Dấu ‘=’ xảy ⇔ x = y = z Bài 14 Cho a, b > a + b ≤ Tìm GTNN P = Ta có 1 + a + b 2ab 1 4 ≥ = ≥ 2 a + b 2ab a + b + 2ab ( a + b ) 2 1 + Bài 15 Cho a, b > a + b ≤ Tìm GTNN Q = ab a + b Dấu ‘=’ xảy ⇔ a + b = 2ab a + b = ⇔ a = b = Dự đoán dấu “=” xảy a = b = Bài giải Vì: a + b ≤ mà a + b ≥ ab hay ≥ ab ⇒ ab ≤ Ta có : Q = 1 1 + + ≥ + + 2 = 2ab a + b 2ab ( a + b ) 2ab ab a + b 1 Q≥ + Vì ab ≤ nên 4 Hay Q ≥ GTNN Q = a = b = Các tập tương tự: Bài 16 Cho a, b > a + b ≤ Tìm GTNN : A = 1 + + 4ab a + b ab Bài 17 Cho a, b, c > a + b + c = Chứng mỉnh 1 1 + + + ≥ 30 2 a + b + c ab bc ca TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Nguyễn văn Mậu, Bất đẳng thức Định lí áp dụng [ 2] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò, Tuyển tập dự tuyển Olimpic toán quốc tế, Nhà xuất Giáo dục, 2002 [ 3] Nguyễn Văn Nho, Olimpic toán Châu Á – Thái Bình Dương, Nhà xuất Giáo dục, 2003 LỜI CẢM ƠN Vì khuôn khổ tiểu luận có hạn, thời gian thực ngắn nên chưa thể sâu hết dạng toán liên quan đến BĐT Cauchy Dù cố gắng không tránh khỏi số sai sót định Em mong thầy bạn có nhứng đóng góp, sửa đổi để Tiểu luận em trở nên đắn xác Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Văn Mậu tận tình giảng dạy cho lớp chúng em mang lại cho em kiến thức bổ ích quý báu làm hành trang đường làm giáo dục em sau Em xin chân thành cảm ơn [...]...cho em những kiến thức bổ ích và quý báu làm hành trang trên con đường làm giáo dục của em hiện nay và sau này Em xin chân thành cảm ơn