Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số. Giải phương trình hàm tức là đi tìm các hàm số chưa biết đó. Phương trình hàm có rất nhiều ứng dụng trong đó phải kể đến ứng dụng của phương trình hàm trong hình học. Phương trình hàm cũng là một chuyên đề quan trọng bồi dưỡng học sinh khá giỏi bậc trung học phổ thông. Các bài toán về phương trình hàm thường có trong các đề thi học sinh giỏi toán trong và ngoài nước. Tuy nhiên, cho đến nay, học sinh các trường chuyên lớp chọn nói riêng và người giải toán nói chung còn biết rất ít các phương pháp chính thống để giải phương trình hàm, thậm chí là lúng túng không biết định hướng khi tiếp cận một phương trình hàm. Và đặc biệt là ứng dụng phương trình hàm trong hình học.
I HC QUC GIA H HI TRNG I HC KHOA HC T NHIấN TIU LUN KT THC HC PHN PHNG TRèNH HM PHNG TRINH HM TRONG HINH HC Hc viờn : Hong i Vit Lp : Cao Hc Toỏn 2014 2016 Ngnh: Phng Phỏp Toỏn S Cp Ngi hng dn: GS.TSKH Nguyn Vn Mu MC LC M u Chng Phng trỡnh hm hỡnh hc Hm s chuyn i cỏc tam giỏc Chng Mt s bi ỏp dng Kt lun Ti liu tham kho M U Phng trỡnh hm l phng trỡnh m n l cỏc hm s Gii phng trỡnh hm tc l i tỡm cỏc hm s cha bit ú Phng trỡnh hm cú rt nhiu ng dng ú phi k n ng dng ca phng trỡnh hm hỡnh hc Phng trỡnh hm cng l mt chuyờn quan trng bi dng hc sinh khỏ gii bc trung hc ph thụng Cỏc bi toỏn v phng trỡnh hm thng cú cỏc thi hc sinh gii toỏn v ngoi nc Tuy nhiờn, cho n nay, hc sinh cỏc trng chuyờn lp chn núi riờng v ngi gii toỏn núi chung cũn bit rt ớt cỏc phng phỏp chớnh thng gii phng trỡnh hm, thm l lỳng tỳng khụng bit nh hng tip cn mt phng trỡnh hm V c bit l ng dng phng trỡnh hm hỡnh hc Tiu lun ny c thc hin v hon thnh ti trng i hc T Nhiờn i Hc Quc Gia H Ni, di s hng dn ca GS.TSKH Nguyn Vn Mu Nhõn dp ny em xin c by t lũng bit n sõu sc ti GS.TSKH Nguyn Vn Mu, ngi thy ó ging dy v giỳp em hiu sõu hn cỏc cỏc kin thc v Phng trỡnh hm Mc dự ó rt c gng, song lun khụng trỏnh nhng hn ch v thiu sút Em mong nhn c nhng úng gúp ý kin t cỏc thy cụ giỏo v cỏc bn tiu lun c hon thin hn H Ni, thỏng 11 nm 2015 Chng PHNG TRINH HM TRONG HINH HC Hm sụ chuyờn ụi cỏc tam giỏc Nhc li mt s h thc c trng n gin mụ t s rng buc t nhiờn ca cỏc yu t cnh v gúc tam giỏc Tinh chõt 1.1 iờu kiờn cõn va u ba sụ dng A, B, C la ụ o cac goc cua mụt tam giac ABC la A + B + C = p Tinh chõt 1.2 iờu kiờn cõn va u ba sụ dng a, b, c (khi gn vi cung mụt n vi o lng) lõp ụ dai cac canh cua mụt tam giac ABC la : a + b > c,b + c > a,c + a > b Núi cỏch khỏc, iu kin cn v ba s dng a, b, c lp thnh di ba cnh mt tam giỏc ABC l : |b c| < a < |b + c| Ta nghiờn cu tỡm li gii cho mt s bi toỏn v xỏc nh cỏc hm s thc hin phep chuyn tip cỏc yu t hỡnh hc tam giỏc Bi toỏn I Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc oan [0; p] cho f(A), f(B), f(C) tao ụ o cac goc cua mụt tam giac nao o ng vi moi tam giac ABC cho trc Bi toỏn II Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc trờn R + cho f(a), f(b), f(c) tao ụ o cac canh cua mụt tam giac nao ụ ng vi moi tam giac ABC cho trc Trt ht ta kho sỏt cỏc c trng hm c bn ca mt hm s sinh bi cỏc phep bin hỡnh s cp dng tnh tin, ng dng, phn x v nghch o trờn ng thng thc Chng II CC BI TP P DNG Bi toỏn 1.1 Xac inh a ham sụ f(x) = x + a co tinh chõt la f(a), f(b), f(c) luụn lõp ụ dai cac canh cua mụt tam giac ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii + f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc, trc ht ta phi cú : f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, "D ABC + Suy : a + a > 0,b + a > 0,c + a > 0, " D ABC + Hay : a > - a,b > - a,c > - a, " D ABC + iu ny tng ng vi iu kin : a > max { - a, - b,- c} , " D ABC + Do ú a + Ngc li, vi a thỡ f(a), f(b), f(c) luụn l di cỏc cnh ca mt tam giỏc a, b, c l di ba cnh ca tam giỏc ABC + Tht vy, ta cú : ỡù a + b > c ỡù 2a + a + b > a + c ỡù f(a) + f(b) > f(c) ùù ù ù ùớ b + c > a ị ùùớ 2a + b + c > a + a ị ùùớ f(b) + f(c) > f(a) ùù ù ù ùù c + a > b ùùù 2a + c + a > a + b ùùù f(c) + f(a) > f(b) ợ ợ ợ + Vy vi a thỡ hm s f(x) = x + a cú tớnh cht l f(a), f(b), f(c) luụn lp thnh di cỏc cnh ca mt tam giỏc ng vi mi tam giỏc ABC cho trc Bi toỏn 1.2 Xac inh a ham sụ f(x) = ax co tinh chõt la f(a), f(b), f(c) lõp ụ dai cac canh cua mụt tam giac ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii + f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc, trc ht ta phi cú : f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, " D ABC + Suy : a a > 0, a b > 0, ac > 0, " D ABC ị a > + Ngc li, vi a > thỡ f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc a, b, c l di cỏc cnh ca tam giỏc Thy vy, ta cú : ỡù a + b > c ỡù a a + ab > a c ỡù f(a) + f(b) > f(c) ùù ù ù ùớ b + c > a ị ùùớ a b + a c > a a ị ùùớ f(b) + f(c) > f(a) ùù ù ù ùù c + a > b ùùù a c + a a > ab ùùù f(c) + f(a) > f(b) ợ ợ ợ + Vy a > thỡ hm s f(x) = ax cú tớnh cht f(a), f(b), f(c) luụn lp thnh di cỏc cnh ca mt tam giỏc ng vi mi tam giỏc ABC cho trc Bi toỏn 1.3 Xac inh cp sụ a, b ga cho ham sụ f(x) = ax + b co tinh chõt la f(a), f(b), f(c) luụn lõp ụ dai cac canh cau mụt tam giac ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii + f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc, trc ht ta phi cú : f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, " D ABC + Suy : a a + b > 0, a b + b > 0, a c + b > 0, " D ABC ị a Tht vy, nu a < , thỡ ta cú th chn tam giỏc ABC vi cnh a ln cho nh thc bc nht a a + b < + Mt cỏch tng t ta cng cú b 0, vỡ nu b < 0, ta cú th chn tam giỏc ABC vi cnh a nh nh thc a a + b < + Trng hp a = b = thỡ f khụng tha bi toỏn + Ngc li, vi a 0, b 0, a + b > thỡ f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc Tht vy, ta cú : ỡù a + b > c ỡù a a + ab + 2b > a c + b ỡù f(a) + f(b) > f(c) ùù ù ù ùớ b + c > a ị ùùớ a b + a c + 2b > a a + b ị ùùớ f(b) + f(c) > f(a) ùù ù ù ùù c + a > b ùùù a c + a a + 2b > a b + b ùùù f(c) + f(a) > f(b) ợ ợ ợ + Vy vi a 0, b 0, a + b > thỡ hm s f(x) = ax + b cú tớnh cht l f(a), f(b), f(c) luụn lp thnh di cỏc cnh ca mt tam giỏc ng vi mi tam giỏc ABC cho trc co tinh chõt f(a), f(b), f(c) ax + b la ụ dai cac canh cua mụt tam giac ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii * Khụng mt tớnh tng quỏt, ta luụn gi thit a b c Thy rng phep nghch o g(x) = 1/x khụng cú tớnh cht g(a), g(b), g(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc ng vi mi tam giỏc ABC cho trc Tht vy, xet tam giỏc cõn ABC cú a = b = 2, c = thỡ : 1 g(a) = g(b) = ,g(c) = = ị g(a) + g(b) = g(c) c + f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca tam giỏc, trc ht ta phi cú : f(a) > 0,f(b) > 0,f(c) > 0, " D ABC Bi toỏn 1.4 Xac inh + Suy : a, b ham sụ f(x) = 1 > 0, > 0, > " D ABC aa + b ab + b ac + b hay a a + b > 0, a b + b > 0, ac + b> 0, "D ABC + Lp lun tng t bi 3.9 ta c iu kin a 0, b * Nu a = b = thỡ f(x) khụng xỏc nh, * Nu a = 0, b > thỡ f(x) = l hm hng dng nờn f(a) = f(b) = f(c) > b v o ú f(a), f(b), f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc u * Xet vi a > 0, b > 0, ú vi a b c ta cú : aa + b ab + b ac + b > 1 Ê Ê hay f(a) Ê f(b) Ê f(c) aa + b ab + b ac + b + Ta cn xỏc nh cỏc s a > 0, b > cho luụn cú f(a) + f(b) > f(c) ng vi mi tam giỏc ABC tha a b c , hay : 1 + > , "D ABC : a b c (*) aa + b ab + b ac + b + Xet tam giỏc cõn ABC ng dng vi tam giỏc cõn cnh 3, 3, tc l a = b = 3d, c = d vi d > tựy ý Khi ú (*) cú dng : 1 + > ,"d > > ,"d > 3da + b 3da + b da + b 3da + b da + b + Hay 2da + 2b> 3da + b, " d > 0, tc l : b> da, " d > iu ny khụng + Suy xy vi d ln cú tớnh cht f(a), f(b), ax + b f(c) l di cỏc cnh ca mt tam giỏc ng vi mi tam giỏc ABC cho trc + Vy chi vi a = 0, b > thỡ hm s f(x) = Bi toỏn 1.5 Xỏc nh cỏc hm s f(x) liờn tc trờn on [0;p],f(0) = 0v cú o hm khong (0; p) cho f(A), f(B), f(C) to thnh o cỏc gúc ca mt tam giỏc no ú ng vi moi tam giỏc ABC cho trc Li gii ỡù f(x) > 0, " x ẻ (0; p), f(0) = ù + Ta cn xỏc nh hm kh vi f(x) cho : ùù f(A) + f(B) + f(C) = p ợ + Theo gi thit thỡ f(0) = nờn f(p) = p v C = p - (A + B) = p - A - B Suy : f(A) + f(B) + f(p - A - B) = p, " A,B,A + B ẻ [0; p] hay f(x) + f(y) + f(p - x - y) = p, " x, y, x + y ẻ [0; p] + Ly o hm khong (0; p) theo bin x, ta thu c : f '(x) - f '(p - x - y) = 0, " x,y,x + y ẻ [0; p] hay f '(x) = f '(p - x - y), " x, y, x + y ẻ [0; p] + Do ú f(x) l hm hng khong (0; p) Khi ú f(x) = px + q + Do f(0) = nờn q = v vỡ vy f(x) = px Li cú f(p) = p nờn p = v ta c f(x) = x + Vy hm s f(x) = x l hm s liờn tc on [0;p] v cú o hm khong (0; p) cho f(A), f(B), f(C) to thnh o cỏc gúc ca mt tam giỏc no ú ng vi mi tam giỏc ABC cho trc Bi toỏn 1.6 Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc oan [0;p] co f(0) = 0, f(x) > 0, vi moi x thuục (0; p) va f(A), f(B), f(C) tao o o cac goc cua mụt tam giac ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii + Ta phỏt biu li bi toỏn ó cho di dng : Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc oan [0; p] va : ỡù f(0) = 0, f(x) > 0, " x ẻ (0; p) ù (1) ùù f(x) + f(y) + f(p - x - y) = p, " x, y ẻ (0; p), x + y < p ợ + Do f(0) = nờn vi y = 0, ta thu c : f(x) + f(0) + f(p - x) = p, " x ẻ [0; p] hay f(x) + f(p - x) = p, " x ẻ [0; p] (2) + t f(x) = g(x) + x thỡ g(0) = v g(x) l hm liờn tc on (2) tr thnh : x + g(x) + p - x + g(p - x) = p, " x ẻ [0;p] hay g(x) + g(p - x) = 0, " x ẻ [0; p] v ú g(p - x) = - g(x), " x ẻ [0; p] (3) [0; p] Khi ú + Th f(x) = x + g(x) vo (1) v s dng (3) ta thu c : x + g(x) + y + g(y) + p - x - y + g(p - x - y) = p, " x, y ẻ [0; p],x + y Ê p hay g(x) + g(y) + g(p - (x + y)) = 0, " x, y ẻ [0; p],x + y Ê p tc l g(x) + g(y) - g(x + y) = 0, " x, y ẻ [0; p],x + y Ê p + Suy : g(x) + g(y) = g(x + y), " x, y ẻ [0; p],x + y Ê p (4) + Do g(x) l hm liờn tc on [0;p] nờn (4) l phng trỡnh hm Cauchy Khi ú, t (4) suy g(x) = a x & f(x) = x + ax = (1+ a )x + f(x) > 0, " x ẻ (0;p) ta cn cú (1+ a )x > 0, " x ẻ (0; p) , hay 1+ a > + f(A) + f(B) + f(C) = p thỡ : (1+ a )A + (1+ a )B + (1+ a )C = p hay (1+ a )(A + B + C) = p , tc l ta phi cú a =0 + Vy f(x) = x l hm s nht tha iu kin bi Bi toỏn 1.7 Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc oan [0; p] cho f(A), f(B), f(C) luụn tao ụ o cac goc cua mụt tam giac nao o ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii p + Ta thy cú hai hm s hin nhiờn tha bi toỏn, l f(x) = x v f(x) = + Ta thay i cỏch phỏt biu bi toỏn di dng sau : Xỏc nh cỏc hm s f(x) liờn tc on [0; p] v : f(x) > 0,f(x) + f(y) + f(p - x - y) = p, " x, y ẻ (0; p),x + y < p (1) + Cho yđ ta thu c f(x) + f(0) + f(p - x) = p, " x ẻ (0; p) f(p - x) = p - f(0) - f(x), " x ẻ (0; p) hay + Th vo (1) ta thu c : f(x) + f(y) + [p - f(0) - f(x + y)] = p, " x,y ẻ (0; p), x + y Ê p hay f(x) + f(y) = f(x + y) + f(0), " x, y ẻ [0; p],x + y Ê p (2) + t f(x) = f(0) + g(x) Khi ú g(x) liờn tc on [0; p] v (2) cú dng : f(0) + g(x) + f(0) + g(y) = f(0) + g(x + y) + f(0), " x,y ẻ [0; p],x + y Ê p g(x) + g(y) = g(x + y), " x,y ẻ [0; p], x + y Ê p (3) + Do g(x) liờn tc on [0; p] nờn (3) l phng trỡnh hm Cauchy Khi ú (3) cho ta g(x) = a x ị f(x) = ax + f(0) t f(0) = b ta c f(x) = ax + b + Ta cn xỏc nh a, b f(x) > 0, " x ẻ (0;p) v f(A) + f(B) + f(C) = p , hay : ùỡù a x + b > 0, " x ẻ (0; p) ùỡù ax + b> 0, " x ẻ (0; p) ớ ùù a A + b+ a B + b+ a C + b = p ùù a(A + B + C) + 3b = p ợ ợ ỡ ù ỡù a x + b > 0, " x ẻ (0;p) ùù ax + b > 0, " x ẻ (0; p) ù ùù ap + 3b = p ùù b = 1- a p ợ ùợ 1- a p, " x ẻ (0; p) (4) (1- a )p + Cho x đ 0, t (4) suy : a Ê 1- a + Li cho x đ p , t (4) suy : ap + p 0ị a + Do ú, f(x) = ax + Ê a Ê + Vi - < a < 1, hin nhiờn tha Ta xet cỏc trng hp cũn li : 1 p + Vi a = - thỡ : f(x) = - x + tha iu kin bi vỡ 2 vi < x < p ị f(x) > f(p) = ị f(x) > 0, " x ẻ (0;1) + Vy - + Vi a = thỡ f(x) = x nờn hin nhiờn tha iu kin bi Vy cỏc hm s cn tỡm u cú dng : 1- a f(x) = ax + p, - Ê a Ê Bi toỏn 1.8 Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc oan [0; 1] cho f(a), f(b), f(c) luụn la ụ dai cac canh cua mụt tam giac nụi tiờp ng tron ng kinh ng vi moi tam giac ABC nụi tiờp ng tron ng kinh cho trc Li gii + Xet ng trũn O ng kớnh Ký hiu M(D) l hp tt c cỏc tam giỏc ni tip ng trũn O ú Khi ú, iu kin cn v ba s dng a, b, g l ba gúc ca mt tam giỏc thuc M(D) l sin a,sin b,sin g to thnh o cỏc cnh ca mt tam giỏc thuc M(D) + Tht vy, a, b, g l ba gúc ca mt tam giỏc thuc M(D) thỡ theo nh lý hm s sin, ta cú 2R sin a,2R sin b,2R sin g ln lt l di cnh ca tam giỏc ú tng ng vi gúc a, b, g + Do 2R = nờn sin a,sin b,sin g l di cỏc cnh ca mt tam giỏc ni tip c ng trũn O ng kớnh + Ngc li, sin a,sin b,sin g l di cỏc cnh tng ng ca tam giỏc ni tip c ng trũn ng kớnh thỡ a, b, g l cỏc gúc dng nờn a, b, g l ba gúc ca mt tam giỏc Vy, theo kt qu ca bi toỏn 3.13 thỡ hm cn tỡm cú dng : ổ (1- a )pử ữ ữ f(x) = arcsinỗ ax + , ÊaÊ1 ỗ ữ ỗ ữ ứ ố Bi toỏn 1.9 Xac inh cac ham sụ f(x) liờn tuc R + cho f(a), f(b), f(c) luụn tao ụ dai cac canh cua mụt tam giac nao o ng vi moi tam giac ABC cho trc Li gii + Theo kt qu ca bi 3.14 thỡ f(a), f(b), f(c) xỏc nh bi : ổ (1- a )pử ữ ữ f(x) = arcsinỗ ,- Ê aÊ ỗa x + ữ ữ ỗ ứ ố se to thnh o cỏc cnh ca mt tam giỏc ni tip ng trũn ng kớnh ng vi mi tam giỏc ABC ni tip ng trũn ng kớnh cho trc Vy : ổ (1- a )pử ữ ữ f(x) = u.arcsinỗ ,- Ê aÊ ỗax + ữ ữ ỗ ứ ố ng vi u > tựy ý, l hm s tha bi Tip theo, ta quan tõm n b cỏc hm s thit lp nờn mt dóy cỏc tam giỏc ng vi cỏc giỏ tr tng ng ca i s + Trc ht, ta nhn thy rng nghim ca phng trỡnh vụ nh x + y2 = z2 cỏc s thc dng cú th mụ t di dng tham s : ùỡù x = ucosv ổ pử ùù + ỗ ữ y = usinv u ẻ R ,v ẻ 0; ữ ỗ vi ữ ỗ ữ ùù ố 2ứ z = u ùù ợ ổ pử + ữ ỗ0; ữ Bi toỏn 1.10 Chng minh rng vi moi (u, v) o u ẻ R ,v ẻ ỗ ờu ữ ữ ỗ ố 2ứ tụn tai mụt tam giac ma sụ o cac canh la nhng sụ : P1(u,v) = ucosv; P2(u, v) = usin v; P3(u,v) = u ổ pử + ữ ỗ0; ữ va tam giac o ng vi moi (u, v) o u ẻ R ,v ẻ ỗ cho trc ờu la ữ ữ ỗ ố 2ứ tam giac vuụng Li gii + + D thy rng : P1(u, v) > 0,P2(u,v) > 0,P3(u,v) > 0, " u ẻ R , v ẻ ổ pử ỗ ữ 0; ữ ỗ v ữ ỗ ữ ố 2ứ luụn cú : [P1(u,v)]2 + [P2(u,v)]2 = [P3(u, v)]2 + T ú suy P1(u, v) = ucosv; P2(u, v) = usinv; P3(u,v) = u l cỏc cnh ca mt tam giỏc vuụng cú cnh huyn P3(u, v) Tip theo ta xet cỏc b hm s mt bin lp cỏc a thc to thnh di cỏc cnh ca mt tam giỏc ng vi mi i s mt cho trc Bi toỏn 1.11 Chng minh rng vi moi x > ờu tụn tai mụt tam giac ma sụ o cac canh la nhng sụ : P1(x) = x4 + x3 + 2x2 + x + 1; P2(x) = 2x3 + x2 + 2x + 1; P3(x) = x4 - va cac tam giac o ng vi moi x > cho trc ờu co goc ln nhõt nh Li gii + Ta cú : P1(x) = (x2 + 1)(x2 + x + 1),P2(x) = (x2 + 1)(x2 + x + 1),P3(x) = (x2 + 1)(x2 - 1) 2 + t x + x + = a,2x + = b, x - = c Vi mi x > thỡ hin nhiờn a > 0, b > 0, c > 2 + Khi ú : | b - c |=| x - 2x - 2|; b + c = x + 2x + D thy : | b - c |< a < b + c , tc l : | x2 - 2x - 2|< x2 + x + > x2 + 2x, " x > + Do ú : a, b, c l di cnh ca mt tam giỏc Suy : P1(x) = a(x2 + 1),P2(x) = b(x2 + 1),P3(x) = c(x2 + 1) cng l di cnh ca mt tam giỏc Cnh cú di ln nht ca tam giỏc ng vi P1(x) Gi a l gúc ln nht ca tam giỏc va nhn c Khi ú, theo nh lý hm s cosin ta cú : [P3(x)]2 = [P1(x)]2 + [P2(x)]2 - 2P1(x).P2(x)cosa a2(x2 + 1)2 = b2(x2 + 1)2 + c2(x2 + 1)2 - 2bc(x2 + 1)2 cosa b2 + c2 - a2 a = b + c - 2bccosa cosa = 2bc 2p + Thay a, b, c theo x ta c : cosa = - ị a = + Vy vi mi x > thỡ P1(x), P2(x), P3(x) l s o cỏc cnh ca mt tam giỏc no ú ng vi mi x > cho trc Cỏc tam giỏc nhn c u cú gúc ln nht l 2 2p TI LIU THAM KHO A Ting vit [ 1] Nguyn Hu in, a thc va ng dung, Nh xut bn Giỏo dc, 2003 [ 2] Nguyn Mu, a thc sụ va phõn thc hu t, Nh xut bn Giỏo dc, 2004 [ 3] Nguyn Vn Mu, Phng trỡnh ham, Nha xuõt ban Giỏo dc, 1999 [ 4] Nguyn Sinh Nguyờn, Nguyn Vn Nho, Lờ Honh Phũ, Tuyn cac bai d tuyờn Olimpic toan quục tờ, Nh xut bn Giỏo dc, 2002 [ 5] Nguyn Vn Nho, Olimpic toan Chõu Thai Bỡnh Dng, Nh xut bn Giỏo dc, 2003 B.Ting anh B.J Venkatachala, functional equations a problem soving approach ( Problems from mathematical Olympiads and other contests) Prism,2002 KT LUN Nh ó trỡnh by phn m u, hin nay, trng Ph thụng, ni dung v phng trỡnh hm cha c cp nhiu Phn ln cỏc hc sinh tip cn vi phng trỡnh hm l cỏc hc sinh lp chuyờn toỏn a s cỏc hc sinh tỡm hiu v phng trỡnh hm u cm thy khú bi vỡ õy l loi toỏn ũi hi ngi lm toỏn phi dng nhiu kin thc gii, cú kh nng t tt, kh nng khỏi quỏt, phỏn oỏn .Vỡ vy, vic nghiờn cu cỏc phng phỏp gii phng trỡnh hm l rt cp thit, c bit l ng dng hỡnh hc, giỳp ngi gii toỏn núi chung, v hc sinh THPT núi rieng ngy cng tip cn v yờu thớch phng trỡnh hm hn