ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌNTRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNHLUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TOÁN HỌC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy tận tình hướng dẫn em trình hoàn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo khoa Toán-Tin học, phòng Sau đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập trường Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học Giải tích khóa 19, chuyên ngành Giải tích nhiệt tình giúp đỡ trình học tập lớp Tôi xin cảm ơn tác giả viết sách giúp có nguồn tài liệu tham khảo quý giá trình tìm hiểu Toán học tài Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng năm 2011 Học viên Đặng Thị Kiêm Hồng Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các khái niệm hội tụ 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ - đại số 1.2.4 Xác suất có điều kiện 1.2.5 Mac-tin-gan 10 1.2.6 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 14 1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.3.1 Nhắc lại số kiến thức Giải tích 1.3.2 Một số khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên 1.3.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.4 Vi phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itô 1.4.1 Vi phân Itô 1.4.2 Công thức Itô 1.4.3 Biến phân bậc hai hai trình ngẫu nhiên 1.4.4 Công thức tích phân phần 15 15 16 17 26 26 27 28 29 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 29 Chương Mô hình tài 31 2.1 Giới thiệu mô hình 31 2.2 Các khái niệm 34 2.2.1 Phương án đầu tư 2.2.2 Phương án đầu tư tự điều chỉnh 2.2.3 Phương án đầu tư chênh lệch thị giá 2.2.4 Sản phẩm phái sinh 34 34 37 38 2.2.5 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trường đầy đủ 39 2.3 Biến đổi độ đo xác suất định lí Girsanov 41 2.3.1 Các độ đo xác suất tương đương 2.3.2 Định lí Girsanov 41 42 2.4 Định lí biểu diễn Mac-tin-gan 45 2.5 Sự đầy đủ 49 2.6 Công thức Black-Scholes định giá bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu 52 2.6.1 Định giá quyền chọn mua bán 2.6.2 Bảo hộ quyền chọn mua bán 2.6.3 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 54 56 58 2.7 Định lí toán tài Phụ lục 60 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 LỜI NÓI ĐẦU Toán học tài lý thuyết toán học thị trường tài chính, nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài chính, nhằm xây dựng mô hình toán học ứng dụng chúng vào việc tính toán sản phẩm tài thị trường thực tế Đây lĩnh vực mới, quan tâm nghiên cứu năm gần Việt Nam Sự phát triển vượt bậc lý thuyết phái sinh tài đánh dấu báo Black Scholes năm 1973 Hai ông tìm công thức tiếng để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có quyền mua bán loại cổ phiếu thời điểm tương lai với giá trị định trước áp dụng rộng rãi thực tế Ngày nay, giới, thị trường phái sinh tài phát triển rộng lớn thị trường cổ phiếu chứng khoán Nói cách khác, lượng tiền đầu tư vào Quyền Chọn dựa cổ phiếu nhiều lượng tiền đầu tư vào cổ phiếu Nội dung luận văn nói việc định giá Quyền Chọn giới hạn phạm vi mô hình tài với thời gian liên tục Luận văn chia thành chương: Chương 1: Một số vấn đề giải tích ngẫu nhiên Chương 2: Mô hình tài Chương kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho việc thực đề tài Ở đây, diễn giải cụ thể khái niệm trình ngẫu nhiên, đặc biệt mac-tin-gan trình Wiener Chúng đưa cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itô, khái niệm quan trọng trình làm việc với mô hình tài thời gian liên tục Nội dung luận văn trình bày chi tiết chương Ở đề cập đến việc định giá Quyền Chọn với thời gian liên tục mô hình thị trường tài gồm hai tài sản sở để đầu tư trái phiếu không rủi ro chứng khoán có rủi ro Việc hiểu rõ hoạt động thị trường mô hình đơn giản tảng để mở rộng nghiên cứu lên mô hình thị trường tổng quát Tuy có nhiều cố gắng chắn luận văn tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng quý thầy cô bạn Xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho Ω tập cho trước, σ -đại số F Ω họ tập Ω có tính chất sau (i) 0/ ∈ F , Ω ∈ F (ii) A ∈ F ⇒ A ∈ F (iii) A1 , A2 , ∈ F ⇒ ∞ Ai ∈ F i=1 Bộ (Ω, F ) gọi không gian đo Một độ đo xác suất P không gian đo (Ω, F ) hàm P : F → [0, 1] cho (a) P(0) / = 0, P(Ω) = (b) Nếu A1 , A2 , ∈ F {Ai }∞ / i = j) i=1 rời (Ai ∩ A j = 0, ∞ P( ∞ Ai ) = ∑ P(Ai ) i=1 i=1 Bộ ba (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.2 Nếu (Ω, F , P) không gian xác suất hàm X : Ω → Rn gọi F -đo X −1 (U) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ U} ∈ F Một biến ngẫu nhiên X hàm F -đo được, X : Ω → Rn 1.1.2 Các khái niệm hội tụ Cho (Ω, F , P) không gian xác suất bản, P độ đo đủ Định nghĩa 1.3 Hội tụ hầu chắn (hay với xác suất 1) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ hầu chắn (hay với xác suất h.c.c 1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −−→ X, P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ Định nghĩa 1.4 Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu P Xn − → X, lim P {ω : |Xn (ω) − X(ω)| ≥ ε} = 0, với ε > n→∞ h.c.c P • Xn −−→ X ⇒ Xn − → X h.c.c P • Xn − → X ⇒ ∃{Xnk } ⊂ {Xn } : Xnk −−→ X Định nghĩa 1.5 Hội tụ trung bình Giả sử {Xn } ⊂ L p , p ∈ (0, +∞) Lp Dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn −→ X, lim E |Xn − X| p = n→∞ Lp P • Xn −→ X, p ∈ (0, +∞) ⇒ Xn − → X 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Ta muốn diễn tả trình mà tiến triển theo thời gian ngẫu nhiên Một đối tượng trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.6 Xét không gian xác suất (Ω, F , P) tập hợp số I (vô hạn đếm hay không đếm được) Ta xem I tập hợp số thời gian; I tập N, (−∞, +∞); (0, +∞) hay [0, T ] Xét họ biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F , P) lấy số I - Họ không đếm biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I gọi trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục - Họ đếm {X(t)}t∈I (I đếm được) biến ngẫu nhiên gọi trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo (Ω, F ), (E, ξ ) I tập hợp số Một trình ngẫu nhiên xác định Ω, lấy giá trị E ánh xạ: X : I × Ω → E đo độ đo tích I × Ω Quá trình ngẫu nhiên X, viết X(t, •) hay X(t) hay Xt ,t ∈ I Định nghĩa 1.7 Nếu cố định ω ∈ Ω, {X(t, ω)}t∈I gọi quỹ đạo mẫu hay thể hay hàm mẫu trình ngẫu nhiên (liên kết với ω) Định nghĩa 1.8 Nếu X lấy giá trị không gian Rn (n ≥ 1) ta có trình ngẫu nhiên n chiều 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Định nghĩa 1.9 Một họ σ - đại số (Ft ,t ≥ 0) F , Ft ⊂ F , gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường nếu: • Đó họ tăng theo t, tức Fs ⊂ Ft s < t, • Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ε , ε>0 • Với A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nằm Ft ) Định nghĩa 1.10 Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) Xét σ - đại số FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ (Xs , s ≤ t), σ - đại số chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Ta gọi lọc tự nhiên trình X, lịch sử X, hay gọi trường thông tin X Định nghĩa 1.11 Cho lọc (Ft ,t ≥ 0) (Ω, F ) Một trình ngẫu nhiên X gọi thích nghi với lọc nếu: Xt đo σ -đại số Ft Mọi trình X = (Xt ,t ≥ 0) thích nghi với lịch sử (FtX ,t ≥ 0) Định nghĩa 1.12 Một không gian xác suất (Ω, F , P) có lọc (Ft )t≥0 gọi không gian xác suất lọc, kí hiệu (Ω, F , (Ft ), P) 1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ - đại số Định nghĩa 1.13 Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, X : Ω → Rn biến ngẫu nhiên cho E(X) < ∞ G σ - đại số F , G ⊂ F Khi đó, biến ngẫu nhiên Z gọi kỳ vọng có điều kiện X σ - đại số G , nếu: • Z biến ngẫu nhiên đo G • Với tập A ∈ G ta có ZdP = A XdP A Biến ngẫu nhiên Z ký hiệu E (X|G ) Nếu ta chọn σ - đại số G σ - đại số σ (Y ) sinh biến ngẫu nhiên Y đó, kỳ vọng có điều kiện X lấy σ (Y ) ký hiệu E (X|Y ) Một số tính chất kỳ vọng có điều kiện Giả sử X,Y : Ω → Rn hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞, E(Y ) < ∞ Tất hệ thức phát biểu theo nghĩa hầu chắn: Nếu G σ - đại số tầm thường {0, / Ω} E (X|G ) = EX E (X +Y |G ) = E (X|G ) + E (Y |G ) Nếu X đo G E (XY |G ) = XE (Y |G ) Nói riêng, c số E (cY |G ) = cE (Y |G ) Nếu G1 ⊂ G2 E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ) Nói riêng, E (E (X|G )) = EX Nếu X độc lập với G E (X|G ) = EX Mệnh đề 2.6 Giá trị thời điểm t quyền chọn Châu Âu có lợi nhuận thời điểm đáo hạn CT = f (ST ) Vt = F (t, St ), −r(T −t) √ r − σ /2 (T − t) + σ y T − t ∞ F(t, x) = e f x exp −∞ exp −y2 /2 √ dy × 2π Chứng minh Từ định lí (2.8) ta biết giá trị thời điểm t Vt = EQ e−r(T −t) f (ST ) Ft , (2.15) Q độ đo mac-tin-gan có từ bổ đề (2.1) Dưới độ đo này, Wˆ t = Wt + (µ − r)t/σ chuyển động Brown d Sˆt = σ Sˆt dWˆ t Nghiệm phương trình SˆT = Sˆt exp σ Wˆ T − Wˆ t − σ (T − t) Thế vào (2.15) ta Vt = EQ e−r(T −t) f St er(T −t) exp σ Wˆ T − Wˆ t − σ (T − t) Ft Vì độ đo Q, điều kiện Ft , Wˆ T − Wˆ t biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với giá trị trung bình phương sai (T − t) Do Vt = F (t, St ) e−r(T −t) f St er(T −t) exp σ z − σ (T − t) −∞ ∞ = × z2 exp − × dz 2(T − t) 2π(T − t) ∞ √ −r(T −t) =e f St exp r − σ (T − t) + σ y T − t −∞ y2 × √ exp − 2π dy Mệnh đề chứng minh 53 × 2.6.1 Định giá quyền chọn mua bán a Giá quyền chọn mua Đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu có giá trị đáo hạn K, ta có f (ST ) = (ST − K)+ Đặt θ = T − t Khi đó: Hệ 2.1 Giá trị quyền mua kiểu Châu Âu thời điểm t Vt = St N (d1 ) − Ke−rθ N (d2 ) (2.16) N(.) kí hiệu cho hàm phân phối chuẩn y N (y) = √ 2π u2 e− du (2.17) −∞ d1 , d2 hai giá trị cho St σ2 √ d1 = ln + r + K σ θ √ d2 = d1 − σ θ (2.18) θ (2.19) Chứng minh Thay f x vào công thức chứng minh mệnh đề (2.6) ta có St eσ F(t, St ) = E √ θ Z−σ θ /2 + − Ke−rθ , Z ∼ N(0, 1) Ta có: St eσ √ θ Z−σ θ /2 > Ke−rθ ⇔ Z > K √ ln St σ θ + σ2 θ − rθ Do tích phân (2.20) khác Z + d2 ≥ Vì vậy: St eσ F(t, St ) = E √ θ Z−σ θ /2 √ σ θ y−σ θ /2 ∞ = St e −d2 −∞ = St − Ke √ −σ θ y−σ θ /2 d2 = − Ke−rθ 1Z+d2 ≥0 St e d2 −rθ e−y /2 √ dy 2π − Ke −rθ e−y /2 √ dy 2π −y2 /2 √ −σ θ y−σ θ /2 e √ dy − Ke−rθ N (d2 ) 2π e −∞ √ Thay z = y + σ θ tích phân dòng cuối ta Vt = F(t, St ) = St N(d1 ) − Ke−rθ N(d2 ) 54 (2.20) b Giá quyền chọn bán Đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu có giá trị đáo hạn K, ta có f (ST ) = (K − ST )+ Đặt θ = T − t Khi đó: Hệ 2.2 Giá trị quyền bán kiểu Châu Âu thời điểm t Vt = Ke−rθ N (−d2 ) − St N (−d1 ) (2.21) Φ(.) kí hiệu cho hàm phân phối chuẩn y N (y) = √ 2π u2 e− du (2.22) −∞ d1 , d2 hai giá trị cho S σ2 √ ln t + r + K σ θ √ d2 = d1 − σ θ d1 = (2.23) θ (2.24) Chứng minh Tương tự chứng minh công thức định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu, áp dụng mệnh đề (2.6) ta có −rθ F(t, St ) = E Ke √ + σ θ Z−σ θ /2 − St e , Z ∼ N(0, 1) Ta có: Ke−rθ > St eσ √ θ Z−σ θ /2 ⇔Z< K √ ln St σ θ + σ2 θ − rθ Do tích phân (2.25) khác Z + d2 ≤ Vì vậy: F(t, St ) = E = Ke −rθ −d2 Ke −∞ −rθ = Ke √ σ θ Z−σ θ /2 − St e −rθ Z+d2 ≤0 √ σ θ y−σ θ /2 − St e N (−d2 ) − St −d2 e−y /2 √ dy 2π −y2 /2 √ −σ θ y−σ θ /2 e e −∞ √ Thay z = y + σ θ tích phân dòng cuối ta Vt = F(t, St ) = St N(d1 ) − Ke−rθ N(d2 ) 55 √ dy 2π (2.25) 2.6.2 Bảo hộ quyền chọn mua bán Trước hết ta đưa phương án đầu tư đáp ứng cho quyền chọn kiểu Châu Âu Mệnh đề 2.7 Đối với quyền chọn kiểu Châu Âu, trình (φt )0≤t≤T để xác định số cổ phiếu nắm giữ phương án đầu tư định lí (2.8) cho φt = ∂F (t, x) ∂x x=St Ở đây, F(t, x) hàm số định nghĩa mệnh đề (2.6) Chứng minh Từ kết định lí (2.8) ta có Vˆt = e−rt F(t, St ) Ta thấy hàm F thuộc lớp C∞ [0, T ] × R Đặt ˆ x) = e−rt F t, xert F(t, ta có Vˆt = Fˆ t, Sˆt Theo công thức vi phân Itô ta có: dVˆt = d Fˆ t, Sˆt = ∂ Fˆ ∂ Fˆ ∂ Fˆ t, Sˆt + t, Sˆt d Sˆt + t, Sˆt d Sˆ t , ∂t ∂x ∂ x2 với d Sˆt = Sˆt σ dWt Sˆ t = σ Sˆt2 dt Vì vậy: Vˆt = Fˆ t, Sˆt = Fˆ 0, Sˆ0 + t t Ku du + σ ∂ Fˆ u, Sˆu Sˆu dWu ∂x Vì Vˆt = Fˆ t, Sˆt mac-tin-gan Q nên trình Ku = Q − h.c.c Từ ta có: t ∂ Fˆ Fˆ t, Sˆt = Fˆ 0, Sˆ0 + σ u, Sˆu Sˆu dWu ∂x t ∂ Fˆ = Fˆ 0, Sˆ0 + u, Sˆu d Sˆu ∂x Vì vậy, ta xác định φt bởi: ∂ Fˆt ∂F t, Sˆt = (t, St ) ∂x ∂x φt0 = Fˆ t, Sˆ − φt Sˆt φt = (2.26) (2.27) Và chiến lược (x, Φ) với Φ = φt0 , φt tự điều chỉnh tài đạt mục tiêu 56 a Bảo hộ cho quyền chọn mua: Hệ 2.3 Sử dụng kí hiệu hệ (2.1), quyền chọn mua kiểu Châu Âu ta có ∂F (t, x) = N (d1 ) ∂x Chứng minh Theo hệ (2.1) ta có F(t, x) = E √ x exp σ θ Z − σ θ /2 − K + , Z ∼ N(0, 1) θ = T − t Khi √ ∂F (t, x) = E exp σ θ Z − σ θ /2 1Z+d2 ≥0 ∂x ∞ √ = exp σ θ y − σ θ /2 − y2 /2 √ dy d2 2π √ Trước tiên thay u = −y sau thay z = u + σ θ rút gọn ta ∂F (t, x) = N(d1 ) ∂x b Bảo hộ cho quyền chọn bán: Hệ 2.4 Sử dụng lí hiệu hệ (2.2), quyền chọn bán kiểu Châu Âu ta có ∂F (t, x) = −N (−d1 ) ∂x Chứng minh Tương tự hệ (2.3) Nhận xét 2.10 ∂F thường gọi "Đen-ta" quyền lựa chọn Tổng quát ∂x hơn, hàm giá trị thời điểm t danh mục đầu tư Π(t, St ) đại lượng ∂Π (t, St ) đo độ nhạy danh mục đầu tư trước thay đổi giá chứng khoán ∂x thời điểm t đại lượng gọi "Đen-ta" danh mục đầu tư Người ta gọi "Ga-ma", "Tê-ta", "Vê-ga" cho đại lượng sau: Đại lượng Γ= ∂ 2Π ∂Π ∂Π , Θ= , V= ∂x ∂t ∂σ 57 2.6.3 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes Giá Quyền Chọn xem nghiệm phương trình đạo hàm riêng Với cách này, ta sử dụng công cụ toán học dễ dàng tính toán xấp xỉ giá Quyền Chọn thực tế a Thiết lập phương trình Gọi V giá QMKCA dựa chứng khoán S thời điểm t Khi V hàm theo hai biến S,t ta viết V (S,t) Giả thiết V (S,t) khả vi đến cấp Ta xây dựng phương trình đạo hàm riêng V , gọi phương trình Black – Scholes, qua bước sau đây: i Khai triển chuỗi Taylor hàm hai biến V (S,t): ∂V ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V 2 V (S,t) = V (0, 0)+ ∂V ∂ S (0, 0) S+ ∂t (0, 0)t + ∂ S2 (0, 0) S + ∂ S∂t (0, 0) St + ∂t (0, 0)t + số hạng bậc cao Ta viết ∂V ∂V ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V dV = dS+ dt + (dS) + dSdt + (dt)2 +các số hạng bậc cao 2 ∂S ∂t ∂S ∂ S∂t ∂t (2.28) ii Thay dS biểu thức mô hình Black - Scholes bỏ qua số hạng bậc cao: Ta có dS = µSdt + σ SdW nên (dS)2 = µ S2 (dt)2 + 2µσ S2 dtdW + σ S2 (dW )2 , dSdt = (µSdt + σ SdW ) dt = µS (dt)2 + σ SdW dt √ Ta biết vi phân dW chuyển động Brown xấp xỉ dW ≈ Z dt , Z biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Φ(0, 1) , dW dt ≈ Z (dt)3/2 , (dW )2 ≈ Z dt Thay giá trị vào phương trình (2.28) lược bỏ vi phân bậc cao, ta ∂V ∂V 2 ∂ 2V dV = (µSdt + σ SdW ) + dt + σ S Z dt ∂S ∂t ∂ S2 hay dV = ∂V ∂V ∂ 2V + µS + σ S2 Z 2 ∂t ∂S ∂S dt + σ S ∂V dW ∂S (2.29) Ta thay Z giá trị kỳ vọng E Z = , cuối ta viết dV = ∂V ∂V 2 ∂ 2V + µS + σ S ∂t ∂S ∂ S2 58 dt + σ S ∂V dW ∂S (2.30) iii Cân V với giá phương án đầu tư tự tài trợ bảo hộ cho QMKCA: Do thị trường đầy đủ nên tồn phương án đầu tư tự tài trợ bảo hộ cho QMKCA Gọi phương án đầu tư tự tài trợ (x, Φ) với Φ = (φ , ψ) gồm φ cổ phiếu ψ trái phiếu Ta có phương trình : V (St ,t) = φ St + ψBt với t ∈ [0, T ] (2.31) St giá cổ phiếu Bt giá trái phiếu thời điểm t Ta biết giá cổ phiếu S thỏa mãn phương trình dS = µSdt + σ SdW Còn giá trái phiếu B chịu ảnh hưởng lãi suất không rủi ro r nên ta giả thiết độ dB thay đổi tương đối giá tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo hệ số tỉ lệ B r Nói cách khác, ta có dB = rBdt Phương trình (2.31) trở thành dV = (µφ S + rψB) dt + σ φ SdW (2.32) Cân biểu thức dV theo (2.29) (2.31), ta được: φ (t) = rψB = ∂V (S,t) ∂S ∂V 2 ∂ 2V + σ S ∂t ∂ S2 (2.33) Nhưng theo (2.30) ∂V ∂S ∂V 2 ∂ 2V = + σ S hay ∂t ∂ S2 ψB = V − φ S = V − S Thay (2.34) vào (2.33) ta r V − S ∂V ∂S ∂V ∂V 2 ∂ 2V + σ S + rS − rV = ∂t ∂S ∂S Đó phương trình đạo hàm riêng Black – Scholes (2.34) (2.35) iv Tìm điều kiện biên cho phương trình Black - Scholes: Để tính giá Quyền Chọn, chẳng hạn QMKCA phương trình (2.35) phải kết hợp với điều kiện biên sau: Tại thời điểm đáo hạn T , ST > K nhà đầu tư thực thi hợp đồng thu lợi nhuận St − K ; ST < K người giữ không thực thi hợp đồng thực thi bị lỗ Do lợi nhuận nhà đầu tư thời điểm đáo hạn (ST − K)+ = ST − K ST > K, ST < K Vì vậy, giá quyền chọn mua thời điểm đáo hạn V (S, T ) = (ST − K)+ 59 (2.36) b Giải phương trình Sau số phép biến đổi sơ cấp, đưa phương trình BlackScholes phương trình truyền nhiệt Cách giải chi tiết đề cập [1] Trong tính toán kỹ thuật, ta có nhiều phương pháp khác để giải gần nghiệm phương trình đạo hàm riêng nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng Do vậy, nói hướng tư đại mà Black-Scholes người đề cập đến 2.7 Định lí toán tài Trong mục này, giới thiệu định lí lý thuyết định giá tài sản Việc chứng minh định lí trường hợp tổng quát cần nhiều công cụ toán học phức tạp nên không đề cập Định nghĩa 2.13 Cho không gian xác suất (Ω, F , Ft , P) Một trình ngẫu nhiên St gọi nửa mac-tin-gan viết dạng St = Mt + At , Mt mac-tin-gan liên tục phải At trình tăng thích nghi với lọc Ft Định lí 2.11 Nếu St nửa mac-tin-gan liên tục thị trường độ chênh thị giá tồn độ đo mac-tin-gan tương đương Q Chứng minh Giả sử ta có phân tích St = Wt + f (t), Wt mac-tin-gan liên tục phải f (t) hàm liên tục tăng xác định Để đạt độ đo mac-tin-gan tương đương ta đặt t Mt = exp − f (s)dWs − t ( f (s))2 ds Để Mt có nghĩa ta cần f khả vi Một kết từ lý thuyết độ đo nói f không khả vi ta tìm tập A [0, ∞) cho 0t IA (s)ds = tổng giá trị tăng f tập A số dương(∗) Nghĩa ta có t IA (s)d f (s) > 0, tích phân theo nghĩa Riemann-Stieljes Khi ta giữ Hs = IA (s) cổ phiếu thời điểm s, lợi nhuận t t Hs dSs = t IA (s)dWs + 60 IA (s)d f (s) Số hạng thứ dương tổng giá trị tăng f tập A Số hạng 0, E 0t IA (s)dWs = 0t IA (s)2 ds = Vì lợi nhuận không ngẫu nhiên dương, nói cách khác ta tạo khoản lợi không rủi ro Điều mâu thuẫn với việc độ chênh thị giá Vậy, Mt có nghĩa Gọi Q độ đo xác suất xác định Q(A) = A Mt (ω)dP, ∀A ∈ Ft Áp dụng định lí Girsanov, ta có St mac-tin-gan độ đo xác suất Q Nói cách khác, Q độ đo xác suất tương đương cần tìm Một ví dụ minh họa cho (*): Trước hết ta sử dụng tập Cantor: Đặt E1 = [0, 1], E2 tập có từ tập E1 cách bỏ khoảng mở 31 , 32 , chia đoạn E2 thành ba phần bỏ khoảng phần ta E3 tiếp tục Tập hợp giao E = ∩∞ n=1 En tập Cantor tập đóng, khác rỗng, không đếm không chứa khoảng Ta có độ đo Lebesgue tập E Ta thiết lập tập A = E Gọi f hàm Lebesgue-Cantor Đây hàm có giá trị (−∞, 0], [1, ∞), 12 đoạn 13 , 32 , 14 19 , 92 , 34 79 , 98 định nghĩa tương tự đoạn thành phần tập A Như ta định nghĩa hàm f tập A cho liên tục tăng không khả vi 01 IA (s)d f (s) = Vì A f ví dụ rõ ràng cho ta đề cập (*) 61 PHỤ LỤC: MỘT SỐ CÔNG CỤ TÍNH TOÁN TRONG TOÁN TÀI CHÍNH A Sử dụng maple tính toán Toán tài Maple phần mềm quen thuộc nhà toán học khoa học - kỹ thuật Trong tài chính, hỗ trợ nhiều công cụ tính toán như: lập hàm tài theo yêu cầu cách linh hoạt, vẽ đồ thị sử dụng số thủ tục có sẵn Đây công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giảng dạy nghiên cứu Toán tài Ở đây, giới thiệu hai nội dung điển hình hàm định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu theo công thức Black-Scholes cách sử dụng mô hình BlackScholes có sẵn Maple A.1 Định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu Sử dụng gói thủ tục (package) finance cách gọi lệnh: > with(finance): Hàm blackscholes để định giá quyền chọn mua có cấu trúc sau: blackscholes(S, K, r, n, σ ) Trong đó: - S giá cổ phiếu thời điểm tính - K giá thực thi quyền chọn - r lãi suất không rủi ro T - n số năm tính đến thời điểm đáo hạn ( n = 365 với T số ngày đến thời điểm đáo hạn) - σ bậc hai phương sai giá cổ phiếu Ví dụ: Giả sử quyền chọn có giá thực 49U (đơn vị tiền tệ) 199 ngày đến ngày đáo hạn Giá cổ phiếu 50U Giả sử phương sai giá trái phiếu 0.09 lãi suất phi rủi ro 7%/năm Lệnh tính giá quyền chọn sau: √ , 0.09) : > B := blackscholes(50, 49, 0.07, 199 365 > eval f (B) : 5.849179520 Ở lệnh eval f (B) dùng để lấy giá trị B Như vậy, giá quyền chọn thời điểm gần 5.85U 62 Ta kiểm tra xem giá quyền chọn thay đổi tham số khác thay đổi Chẳng hạn, tăng giá cổ phiếu √ > eval f (blackscholes(50 + 1, 49, 0.07, 199 0.09)) : , 365 6.511554996 giá quyền chọn tăng Tăng giá thực thi √ > eval f (blackscholes(50, 49 + 1, 0.07, 199 , 0.09)) : 365 5.326914003 giá quyền chọn giảm Tăng lãi suất không rủi ro √ 199 , 0.09)) : > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07 + 0.01, 365 5.994210290 giá quyền chọn tăng Tăng thời gian đáo hạn √ , > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07, 199+1 0.09)) : 365 5.864587748 giá quyền chọn tăng Tăng độ biến động giá cổ phiếu √ 199 > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07, 365 , 0.09 + 0.01)) : 6.072347530 giá quyền chọn tăng Ta coi giá quyền chọn hàm giá cổ phiếu Khi ta sử dụng chức giải phương trình vẽ đồ thị maple để có minh họa trực quan Gán hàm f sau: √ > f := x− > blackscholes(x, 49, 0.07, 199 365 , 0.09) : Muốn giá quyền chọn đạt mức 6.5 phải đợi giá cổ phiếu đạt mức: > solve( f (x) = 6.5, x); 50.98296423 Ta vẽ đồ thị liên hệ giá cổ phiếu giá quyền chọn giá cổ phiếu biến thiên từ 20 đến 100 sau: > plot( f (x) , x = 20 80, labels = [‘giacophieu‘, ‘giaquyenchon‘]) 63 A.2 Sử dụng mô hình Black-Scholes có sẵn maple Bấm ctrl+F1 để vào maple help, sau vào thư mục Application and Example worksheet, chọn Black-Scholes model Khi đó, ứng dụng mô hình Black-scholes Trong ứng dụng này, ta tính giá quyền chọn ba phương pháp khác Phương pháp đưa giá quyền chọn dựa công thức BlackScholes, bạn cần điền đầy đủ thông tin giống phần A.1 vào ô có sẵn bấm nút Calculate Option price có kết Điểm ta minh họa thay đổi giá quyền chọn thông qua giá cổ phiếu độ biến động Phương pháp thứ hai tính giá quyền chọn thông qua mô Monte Carlo dựa mô hình Black-Scholes để ước lượng giá cổ phiếu Phương pháp thứ ba giải phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes để tính giá quyền chọn Điểm có hình ảnh minh họa biến động giá quyền chọn thông qua biến động giá cổ phiếu cách rõ nét sống động B Sử dụng phần mềm "The Hoadley Finance Add-in for Excel" Đây phần mềm tập trung đầy đủ hàm định giá quyền chọn khác tính toán phương án đầu tư bảo hộ cho quyền chọn cách chi tiết Vì hữu ích tính toán kinh doanh Tham khảo chi tiết http://www.hoaley.net/options 64 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề việc định giá Quyền Chọn với thời gian liên tục mô hình tài đơn giản gồm hai tài sản sở để đầu tư trái phiếu không rủi ro (hay tài khoản ngân hàng) chứng khoán có rủi ro (cổ phiếu) Trong đó, luận văn đưa công thức định giá phương án đầu tư bảo hộ cho Quyền Chọn tổng quát Bên cạnh đó, luận văn chứng minh thị trường tài xét đầy đủ, giới thiệu định lí mô hình tài Điều quan trọng luận văn trình bày cách hệ thống trình xây dựng khái niệm làm rõ công cụ toán học cần thiết cho việc tìm hiểu nội dung định giá Quyền Chọn Việc hiểu rõ mô hình tài tạo tảng vững cho việc nghiên cứu mở rộng lên mô hình tài tổng quát Ngày nay, vấn đề mở rộng nhiều khía cạnh để mô tả thực chất thị trường thực tế Chẳng hạn vận dụng vào toán định giá Quyền Chọn có tiêu dùng, Quyền Chọn trao đổi chứng khoán, Quyền Chọn chuyển đổi tiền tệ, mô hình lãi suất, mô hình trái phiếu, toán ngăn ngừa rủi ro bảo hộ, mở rộng không gian nhiều chiều, Hơn nữa, thị trường thực tế thường có chi phí giao dịch, không đầy đủ diễn biến phức tạp tác động số yếu tố Do việc nghiên cứu điểm dừng ngày phức tạp 65 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Thị Kiêm Hồng - Nguyễn Chí Long (2011), "Giải phương trình BlackScholes cách đưa phương trình truyền nhiệt", Tập san hội thảo khoa học quốc tế Giải tích Toán ứng dụng, Trường Đại học Sài Gòn [2] Nguyễn Văn Hữu - Vương Quân Hoàng (2007), Các phương pháp toán học tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TP HCM [4] Nguyễn Chí Long (2010), “ Nguyên lý định giá tài sản thị trường Tài chính”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 21(55), tr 38-51 [5] Nguyễn Chí Long (2011), “ Bổ đề Farkas ứng dụng thị trường tài chính”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 21(55), tr 3851 [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập môn Toán học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [7] Nguyễn Đặng Thiên Thư (2010), Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Luận văn tốt nghiệp đại học, Đại học Sư Phạm Qui Nhơn [8] A.W van der Vaart (2005), Financial Stochastic, Wiley [9] Alison Etheridge (2002), A course in Financial Calculus, Cambridge university press [10] Freddy Delbaen, Walter Schachermayer (1994), "A general version of the fundamental theorem of asset pricing", Mathematlsche Annalen, 300, tr 463-520 [11] Lawrence C Evans (2003), An introduction to Stochastic Differential Equations, version 1.2, UC Berkeley 66 [12] Richard F Bass (2003), The basics of financial mathematics, University of Connecticut, Spring [13] http://www.hoadley.net/options [14] http://www.mat.univie.ac.at/ schachermayer/pubs/ 67 [...]... là như sau: Trong Toán học tài chính, giá của các tài sản tài chính cơ bản (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) cũng như giá của các sản phẩm phái sinh (như giá các quyền chọn Vt ) đều được xem là các quá trình ngẫu nhiên Nói chung, chúng không phải là những mac-tin-gan đối với một trường thông tin (Ft ) đang xét Giả sử Xt là giá của một tài sản tại thời điểm mà ta cần xác định Nói chung Xt không... thành một quá trình Zt = φ (Xt ) là một mac-tin-gan và giả thử ta biết giá trị đáo hạn ZT Khi đó, vì E(ZT |Ft ) = Zt (t < T ) nên có thể tính được giá Xt tại thời điểm t < T bởi Xt = φ −1 [E (ZT |Ft )] ,t < T Đặc biệt, X0 = φ −1 [E (ZT |F0 )] Nghĩa là ta có thể tính được giá của tài sản tại thời điểm cần đầu tư dựa vào giá của tài sản đó tại thời điểm đáo hạn 12 Có hai cách để thực hiện sự biến đổi... của Ω, P là độ đo xác suất xác định trên F Khi đó, giá của các chứng khoán là các biến ngẫu nhiên xác định trên không gian xác suất (Ω, F , P) ♣ Ký hiệu Bt là giá của trái phiếu không rủi ro tại thời điểm t, 0 ≤ t ≤ T Để đơn giản mô hình ta giả thiết B0 = 1 Gọi dBt là lượng giá trái phiếu không rủi ro thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ dt = ti+1 − ti Vì lãi suất là cố định nên ta có thể giả dBt thiết... trình giá của phương án đầu tư (x, Φ) là cặp (V0 (Φ) ,Vt (Φ))0≤t≤T trong đó V0 (Φ) = x và Vt (Φ) = φt0 Bt + φt St Ta có: φ00 = x − φ0 S0 Vì các giá chứng khoán Bt , St là các quá trình ngẫu nhiên nên quá trình giá của phương án đầu tư cũng là một quá trình ngẫu nhiên 2.2.2 Phương án đầu tư tự điều chỉnh Định nghĩa 2.2 Một phương án đầu tư (x, Φ) được gọi là phương án đầu tư tự điều chỉnh nếu giá trị... không rủi ro, còn T là thời điểm đáo hạn Vì EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt = e0 Xt nên cuối cùng ta có công thức định giá tài sản X tại thời điểm t < T là Xt = e−r(T −t) EQ (XT ) • Xác suất Q ở đây sẽ gọi là xác suất rủi ro trung tính hay còn gọi là độ đo mac-tin-gan 13 1.2.6 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) Định nghĩa 1.16 Một quá trình ngẫu nhiên W = (Wt ,t ≥ 0) là quá trình Wiener hay một chuyển động Brown... (1.17) 30 Chương 2 Mô hình tài chính cơ bản Trong chương này ta làm việc trong mô hình thị trường đơn giản chỉ gồm hai loại tài sản để đầu tư là trái phiếu không có rủi ro và chứng khoán có rủi ro Sau khi nêu một số khái niệm và công cụ cần thiết, chúng tôi đưa ra công thức định giá Quyền Chọn trong thời gian liên tục Việc nghiên cứu thị trường trong thời gian liên tục là cần thiết vì hai lí do: thứ nhất... trường tài chính gồm có hai tài sản nền tảng để đầu tư: đó là một trái phiếu không rủi ro (hay một tài khoản tín dụng ngân hàng) B, với lãi suất cố định là r và một chứng khoán có rủi ro S Gọi Ω là tập hợp tất cả các yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến giá chứng khoán trên thị trường như các biến động về giá của các sản phẩm khác, các xu hướng tăng trưởng hoặc suy thoái của nền kinh tế thế giới, các diễn... E(Wt −Ws )2 = t − s) Định lí 1.4 (Phân tích Doob-Meyer) Nếu X = (Xt ,t ≥ 0) là một mac-tin-gan dưới đối với (Ft ), khả tích (tức E|Xt | < ∞,t ≥ 0) và liên tục phải theo t, thì X có một biểu thức phân tích như sau: Xt = Mt + At , trong đó Mt là một mac-tin-gan đối với (Ft ) liên tục phải và At là một quá trình tăng thích nghi với (Ft ) Ứng dụng của lý thuyết Mac-tin-gan trong Toán học tài chính Ý tưởng... sao cho dưới xác suất Q mới này thì Xˆt trở thành một mac-tin-gan Giả sử bằng cách nào đó ta biết được giá trị đáo hạn Xt , tức là biết XˆT Khi đó do tính chất mac-tin-gan của Xˆt ta có EQ (XˆT |Ft ) = Xˆt , ∀t < T Gọi φ là phép biến đổi từ Xt sang Xˆt , vậy Xt = φ −1 (Xˆt ) và ta định giá được tài sản Xt tại thời điểm t bởi công thức Xt = φ −1 EQ XˆT |Ft Ta lưu ý hai điều quan trọng: • Thông thường... )| = E ∑ f (ti , ω)(Wti+1 −Wti ) i=0 n−1 ∑ | f (ti , ω)|2 (Wti+1 −Wti )2 + =E i=0 2Re ∑ f (t j , ω)(Wt j+1 −Wt j ) f (ti , ω)(Wti+1 −Wti ) j