Trong mục này ta sẽ chứng minh rằng mọi biến ngẫu nhiênFt - đo được đều có thể viết dưới dạng một tích phân ngẫu nhiên của chuyển động Brown. Trong mục tiếp theo, ta sẽ sử dụng điều này để chứng minh rằng dưới mô hình của chuyển động Brown hình học thì thị trường là đầy đủ.
Ta gọiFt là σ - đại số sinh bởi chuyển động BrownWs,s≤t. Từ (2.4) ta thấy rằng Ft cũng là σ - đại số sinh bởi Ss,s≤t. Ta muốn chứng minh rằng nếuV là
Ft - đo được thì tồn tạiHs tương thích thỏa mãn
V =V0+
Z
HsdWs, (2.9)
trong đóV0 là một hằng số.
Mục đích của chúng ta là chứng minh:
Định lí 2.7. Nếu V là Ft - đo được và EV2 <∞, thì tồn tại một hằng số c và một quá trình tương thích Hs vớiER0tHs2ds<∞sao cho
V =c+
Z t
0
HsdWs.
Trước khi chứng minh định lí này, ta lí giải một chút vì sao gọi là định lí biểu diễn mac-tin-gan. Giả sử Ms là một mac-tin-gan tương thích với Fs, trong đó Fs là σ - đại số sinh bởi một chuyển động Brown. Ta cũng giả sử rằng EMt2<∞. Đặt
V =Mt. Sử dụng định lí (2.7), ta có thể viết
Mt =V =c+
Z t
0
HsdWs.
Tích phân ngẫu nhiên là một mac-tin-gan, vì thế vớir≤t,
Mr =E[Mt|Ft] =c+E Z t 0 HsdWs|Fr =c+ Z r 0 HsdWs.
Ta đã biết các tích phân ngẫu nhiên ứng với chuyển động Brown là các mac-tin-gan. Định lí này cho ta điều ngược lại: mọi mac-tin-gan đều có thể biểu diễn như một tích phân ngẫu nhiên. Lưu ý là ta cần có giả thiếtEMt2<∞vàMs là tương thích với
σ - đại số của một chuyển động Brown.
Ta cũng có thể chứng minh được rằng: nếu mọi mac-tin-gan có thể biểu diễn như một tích phân ngẫu nhiên thì mọi biến ngẫu nhiênV là Ft - đo được và EV2 <∞
cũng được biểu diễn như thế.
Thật vậy: Giả sử rằng mọi mac-tin-gan Ms tương thích với Fs thỏa EMt2 < ∞ có biểu diễn là Mr=c+Rr
Ft - đo được vớiEV2 <∞, đặtMr=E[V|Fr]. Theo tính chất của tích phân ngẫu nhiên ta cóMr là một mac-tin-gan. Do đó: Mr=c+ Z r 0 HsdWs
với hàmHstương thích. Áp dụng cho r=t,
V =E[V|Ft] =Mt =c+ Z t 0 HsdWs. Để chứng minh định lí (2.7) ta cần một số mệnh đề sau: Mệnh đề 2.3. Giả sử Vn =cn+ Z t 0 HsndWs, cn →c, E|Vn−V|2 →0,
và với mỗi n quá trình Hn là tương thích với ERt
0(Hsn)2ds <∞. Khi đó sẽ tồn tại một hằng số c và mộtHstương thích vớiER0tHs2ds<∞sao cho
Vt =c+
Z t
0
HsdWs.
Mệnh đề này ý nói rằng nếu ta có thể biểu diễn được một dãy các biến ngẫu nhiênVn vàVn→V thì ta sẽ biểu diễn đượcV.
Chứng minh. Với các giả thiết đã cho, ta có
E|(Vn−cn)−(Vm−cm)|2 →0 khin,m→∞. Do đó E Z t 0 (Hsn−Hsm)dWs 2 →0.
Từ các tính chất về tích phân ngẫu nhiên, điều này tương đương với
E
Z t
0
|Hsn−Hsm|2ds→0.
Suy raHsn là dãy Cauchy trong không gianL2 (với chuẩn tương ứng làk.k2 cho bởi kYk2 = ERt
0Ys2ds1/2). Theo lý thuyết độ đo, không gianL2 là đầy đủ. Do đó tồn tại Hssao cho
E
Z t
0
|Hsn−Hs|2ds→0.
Đặc biệt,Hsn→Hsvà điều này kéo theoHslà tương thích. Dựa vào bổ đề Fatou, ta có ERt
ĐặtUt =Rt 0HsdWs. Khi đó, E|(Vn−cn)−Ut|2=E Z t 0 (Hsn−Hs)2ds→0.
Do đóUt =V−cvàU có dạng như mong muốn.
GọiRlà tập hợp các biến ngẫu nhiên có thể biểu diễn như tích phân ngẫu nhiên. Nghĩa là
R={V :EV2 <∞,V làFt− đo được,V =c+
Z t
0
HsdWs với mọi H tương thích thỏaE
Z t
0
Hs2ds<∞}.
Tiếp theo ta sẽ chứng minhR chứa một tập hợp các biến ngẫu nhiên đặc biệt.
Mệnh đề 2.4. Nếu g là hàm bị chặn thì biến ngẫu nhiêng(Wt)thuộc tậpR.
Tổng quát hơn, ta có kết quả: nếu f là hàm bị chặn thì
f(Wt−Ws) =c+
Z t s
HrdWr với clà hằng số vàHr là một quá trình tương thích.
Chứng minh. Sử dụng công thức Itô vớiXs=−iuWs+u2s/2và f(x) =ex,ta được
eXt =1+ Z t 0 eXs(−iu)dWs+ Z t 0 eXs u2/2ds+1 2 Z t 0 eXs(−iu)2ds =1−iu Z t 0 eXsdWs.
Nhân cả hai vế choe−u2t/2, đó là một hằng số và do đó tương thích, ta được
e−iuWt =cu+
Z t
0
HsudWs (2.10)
trong đócu=e−u2t/2 là một hằng số thích hợp vàHus là hàm dưới dấu tích phân. Nếu f là một hàm trơn (chẳng hạn thuộcC∞ với giá compắc), thì ta có thể lấy biến đổi Fourier fˆcủa f. Có nhiều dạng công thức biến đổi Fourier, ở đây ta sử dụng fˆ(u) = R∞
−∞eiuxf(x)dx và biến đổi Fourier ngược để tìm f theo công thức
f(x) = 21
π
R∞
−∞e−iuxfˆ(u)du.
Vì thế, nếu ta nhân 2 vế (2.10) cho fˆ(u)và lấy tích phân theo biến u với u từ −∞đến∞, ta được
f(Wt) =c+
Z t
0
trong đóclà hằng số và hàm dưới dấu tích phânHs tương thích.
Ta có kết quả: tất cả các hàm bị chặn đều có thể xấp xỉ bởi một dãy các hàm trơn. Do đó, ta có thể xấp xỉ g bởi một dãy các hàm fn thỏa mãn (2.11). Sử dụng mệnh đề (2.3) , lấy giới hạn và đạt được mệnh đề cần chứng minh.
Mệnh đề 2.5. Nếut0≤t1≤...≤tn ≤t và f1, ..., fn là các hàm bị chặn thì f1 Wt1−Wt0 f2(Wt2−Wt1)...fn Wtn−Wtn−1 thuộc vào tậpR.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp. Trước hết ta chứng minh mệnh đề đúng với n=2. Giả sử V = f(Wt)g(Wu−Wt). Từ mệnh đề (2.4) ta có f(Wt) =c+ Z t 0 HsdWs, g(Wu−Wt) =d+ Z u t KsdWs.
ĐặtH¯r=Hr nếur≤s<t và bằng 0 trong trường hợp còn lại. ĐặtK¯r=Kr nếus≤r<t và bằng 0 trong trường hợp còn lại. ĐặtXs=c+Rt 0H¯rdWrvàYs=d+Rs 0K¯rdWr. Khi đó hX,Yis= Z s 0 ¯ HrK¯rdr =0.
Khi đó sử dụng công thức Itô tích phân từng phần ta được
XsYs=X0Y0+ Z s 0 XrdYr+ Z s 0 YrdXr+hX,Yis =cd+ Z s 0 [XrK¯r+YrH¯r]dWr.
Cho s=u ta sẽ có điều cần chứng minh. Lưu ý rằng XrK¯r+YrH¯r =0 nếu r >u.
Đây là bước cần thiết để thực hiện bước quy nạp tổng quát. Giả sử mệnh đề đúng vớin=k, nghĩa là ta có
h(Wt) = f1 Wt1−Wt0
f2(Wt2−Wt1)...fn Wtk−Wtk−1
∈R.
Tương tự chứng minh trường hợpn=2, ta được
V =h(Wt).f Wtk+1−Wtk
∈R.
Chứng minh định lí (2.7). Ta vừa chứng minh được các biến ngẫu nhiên dạng f1 Wt1−Wt0 f2(Wt2−Wt1)...fn Wtn−Wtn−1 (2.12)
thuộc vào tập R. Rõ ràng là nếuVi ∈R với i=1,2, ...,mvà ai là các hằng số, thì
a1V1+...+amVm cũng thuộc vàoR.
Theo lý thuyết độ đo, ta biết rằng nếuEV2 <∞vàV làFt đo được thì ta có thể tìm một dãyVk sao choE|Vk−V|2 →0và mỗiVk là một tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên có dạng (2.12). Áp dụng mệnh đề (2.3) ta có điều cần chứng minh.